matematicas

1. UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL OBRAS CIVILES
GUIA DE EJERCICIOS
1) Se tiene un canal rectangular de hormigón
(n=0,014) de 1,25 m de ancho, cuya
pendiente es de 0,5%, y que portea un caudal
de 1,5 m3/s.
a) Calcule las alturas normal y crítica.
b) Es el flujo uniforme en este canal
subcrítico o supercrítico?
c) Calcule la pendiente crítica del canal.
1,25 m
h
a) La altura normal (escurrimiento uniforme) se calcula empleando la ecuación de
Manning:
En que:
V = 1 / n R 2/3 i 1/2
n es el coeficiente de rugosidad
R es el radio hidráulico
i es la pendiente del canal
Por lo tanto:
A = 1,25 h
P = 1,25 + 2 h
R = A / P = (1,25 h) / (1,25+ 2 h)
Reemplazando en la ecuación de Manning se tiene:
Q = V A (ecuación de continuidad)

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1 (1,25 h)(5/3)
0,014 (1,25+ 2 h)(2/3)
0,005 (1/2)
Q = V A =
Como Q = 5 m3/s
(1,25 h)(5/3)
(1,25+ 2 h)(2/3) 5 = 5,05076
Q (h)
En el lado derecho de la ecuación se tiene el caudal que pasaría por el canal para
una altura de aguas “h”.
Haciendo una iteración se tiene:
Para h = 1 m Q(h) = 3,34 m3/s
h debe ser mayor para que el caudal sea igual a 5 m3/s. Por lo tanto hay que usar
otros valores de h
h
(m)
Q
(m3/s)
1,000 3,34
2,000 7,70
1,500 5,49
1,400 5,05
1,300 4,62
1,350 4,83
1,370 4,92
1,390 5,01
1,387 5,00
Entonces después de iterar encontramos que la altura normal es:

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hN = 1,387 m
La altura crítica (corresponde a un escurrimiento con energía mínima) se puede
calcular con:
Q2 B
g A3
Fr2 = = 1
La cual se deduce de derivar la energía específica con respecto a h
dE
dh
= 0
En este caso el canal es rectangular:
B = b
A = bh
Por lo que:
Q
b
hc = 0,4671
(2/3
)
5
1,25
hc = 0,4671
(2/3
) = 1,177
Por lo tanto la altura crítica es:
hc = 1,177 m
b) Como hN > hc el escurrimiento es subcrítico o de río.

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hc = 1,177 m
hN = 1,387 m
V
c) La pendiente crítica es aquella para la cual hN = hc
La velocidad crítica es:
V = Q / A = 5 / (1,25x1,177) = 3,40 m/s
Reemplazando en la ecuación de Manning
1 (1,25x1,177)
(2/3
0,014 (1,25 + 2 1,177) 3,40 = i (1/2)
La única incógnita es la pendiente “i” , la cual se puede despejar directamente
La pendiente crítica es:
ic = 0,0075 (0,75%)
con lo cual:
hN = 1,177 m
hc = 1,177 m

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2 En un canal rectangular de 1,5 m de ancho, que conduce 4 m3/s, la rugosidad del canal
es 0,013, y la pendiente longitudinal es 3%. Se pide:
a) La altura normal del flujo
b) La altura crítica del flujo
c) ¿Qué tipo de escurrimiento se tiene?
d) Si en el canal se coloca una compuerta que produce un chorro de 0,5 m de
altura, qué altura se tendrá aguas arriba de la compuerta?
e) Indique en la figura dónde se produce resalto hidráulico y calcule que alturas
tiene.
Pendiente Fuerte
Compuerta Plana
Vertical
a) La altura normal (escurrimiento uniforme) se calcula empleando la ecuación de
Manning:
En que:
V = 1 / n R 2/3 i 1/2
n es el coeficiente de rugosidad
R es el radio hidráulico
i es la pendiente del canal
Por lo tanto:
A = 1,5 h
P = 1,5 + 2 h
R = A / P = (1,5 h) / (1,5+ 2 h)
Reemplazando en la ecuación de Manning se tiene:

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Q = V A (ecuación de continuidad)
1 (1,5 h)(5/3)
0,013 (1,5+ 2 h)(2/3)
0,03 (1/2)
Q = V A =
Como Q = 4 m3/s
(1,5 h)(5/3)
(1,5+ 2 h)(2/3) 4 = 13,3235
Q (h)
En el lado derecho de la ecuación se tiene el caudal que pasaría por el canal para
una altura de aguas “h”.
Haciendo una iteración se tiene:
Para h = 1 m Q(h) = 8,18 m3/s
h debe ser menor para que el caudal sea igual a 4 m3/s. Por lo tanto hay que usar
otros valores de h
h
(m)
Q
(m3/s)
1,000 11,36
0,800 8,49
0,600 5,76
0,400 3,26
0,450 3,86
0,500 4,48
0,450 3,86
0,461 4,00

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Entonces después de iterar encontramos que la altura normal es:
hN = 0,461 m
b) La altura crítica (corresponde a un escurrimiento con energía mínima) se puede
calcular con:
Q2 B
g A3
Fr2 = = 1
La cual se deduce de derivar la energía específica con respecto a h
dE
dh
= 0
En este caso el canal es rectangular:
B = b
A = bh
Por lo que:
Q
b
hc = 0,4671
(2/3
)
4
1,50
hc = 0,4671
(2/3
) = 0,898
Por lo tanto la altura crítica es:
hc = 0,898 m
c) Como hN < hc el escurrimiento es supercrítico o de torrente

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Si en el canal se coloca una compuerta que deja una abertura de 0,5 m, qué altura se
tendrá aguas arriba de la compuerta?
Pendiente Fuerte
Compuerta Plana
Vertical
a
h2
h1
a
1,5 m
Inmediatamente aguas debajo de la compuerta se produce una contracción con una altura
de aguas:
h1 = Cc a
Considerando un coeficiente de contracción Cc = 0,6 se tiene que:
h1 = 0,6 x 0,5 = 0,3 m
En una contracción se puede asumir que la pérdida de energía es despreciable por lo
que:
E1 = E2
E1 = h1 +
V1
2
2g
= h2 +
V2
2
2g
En la sección 2 se tiene h2 = 0,3 m por lo tanto
E2 = h2 +
2
V2
2g
V2 = Q / A = 4 / (1,5 x 0,3) = 8,89 m/s
E2 = 0,3 + (4 / (1,5x0,3))2 / (2x 9,81) = 4,027 m

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E1 = h1 +
V1
2
2g
=
h
4,027
h1 +
(4 / (1,5 x h1))2
2 x 9,81
=
h
4,027
Obviamente la solución correspondiente es de una ecuación cúbica. Procediendo por
iteraciones se puede calcular.
Con h1 = 3 m
se tiene E1 = 3,04 m
h1 E1
3 3,040
3,5 3,530
4 4,023
4,004 4,027
Iterando con otros valores se llega a
h1 = 4,004 m

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e) Indique en la figura dónde se produce resalto hidráulico y calcule que alturas
tiene.
El resalto hidráulico es un fenómeno que ocurre cuando el flujo pasa de régimen de
torrente a régimen de río.
h1
h2
Como el flujo es supercrítico o de torrente el resalto se producirá aguas arriba de la
compuerta, lugar en que el flujo pasa de régimen supercrítico a régimen subcrítico.
Pendiente Fuerte
Compuerta Plana
Vertical
a
h2
h1
hN
hconj
a
1,5 m
La altura de entrada del resalto será la altura normal del canal, pues el flujo del canal es
de torrente.
La altura de salida del resalto se calcula con la ecuación de las alturas conjugadas.

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h1 =
h2
2
(1 + 8 Fr2
2
)(1/2) - 1
En que Fr2 es el número de Froude
Q2 B
g A3
Fr2 =
Con A = 1,5 h2 = 1,5 x 0,3 = 0,45
B = b = 1,5 m
Q = 4 m3/s
Se tiene
2 = 7,378
Fr2
h1 = 1,557 m
Pendiente Fuerte
Compuerta Plana
Vertical
0,5
0,3
4,004
0,461
1,557
hc
0,898 hN