2. Κοιτάξτε το σπίτι στη φωτογραφία αυτή. Διακρίνετεκάποια
γνωστά σας σχήματα?
Ένα ορθογώνιο
παραλληλόγραμμο
Ένα τρίγωνο
Ένα
παραλληλόγραμμο
Ίσως ένα
τετράγωνο
Ακόμα και
ένα
ημικύκλιο
Όλα γνωστά σχήματα από
την Ευκλείδεια Γεωμετρία
4. Όμως τι γίνεται με τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου;
Μπορούν εύκολα να περιγραφούν με Ευκλείδεια σχήματα;
5. «Γιατί η γεωμετρία συχνάπεριγράφεταιως
‘άχαρη’ ή ‘ξερή’; Ένας λόγος είναι η
ανικανότητά της στην περιγραφή του
, ,σχήματος ενός σύννεφου ενός βουνού μιας
,ακτογραμμής ή ενός δένδρου. Τα σύννεφα
,δεν είναι σφαίρες τα βουνά δεν είναι
κώνοι , ,οι ακτογραμμέςδεν είναι κύκλοι και
,οι φλούδες δεν είναι λείες ούτε ο κεραυνός
.»ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή
Benoit Mandelbrot, ο πατέρας της fractal γεωμετρίας,
από το βιβλίο του The Fractal Geometry of Nature,
1982.
6. Αν και δεν έχουμε ακόμα ορίσει τι είναι ένα fractal, εδώ είναι
μερικές fractal αναπαραστάσεις μερικών αντικειμένων που ο
Mandelbrot είπε ότι δεν θα ήταν εύκολο να αναπαρασταθούν με την
παραδοσιακή γεωμετρία.
Αυτό μοιάζει περισσότερο
με σύννεφο απ’ ότι αυτό...
Και αυτό μοιάζει πολύ
περισσότερο με δένδρο απ’ ότι
αυτό!
7. Και λοιπόν, τι είναι ένα fractal?
Καλή ερώτηση… ακόμα και ο μεγάλος Benoit Mandelbrot δεν
κατέληξε σε έναν τελικό ορισμό.
Αλλά υπάρχουν πέντε ιδιότητες που τα περισσότερα fractals
έχουν:
•Τα Fractals έχουν λεπτομέρεια σε οσοδήποτε μικρή
κλίμακα.
•Τα Fractals συνήθως προσδιορίζονται με απλές
περιοδικά επαναλαμβανόμενες διαδικασίες.
•Τα Fractals είναι τόσο ακανόνιστα ώστε να είναι δυνατή
η περιγραφή τους με την παραδοσιακή γεωμετρική
γλώσσα.
•Τα Fractals έχουν κάποιο είδος αυτοομοιότητας.
•Τα Fractals έχουν fractal διάσταση.
8. Είναι σχήματα με εσωτερική δομή ανεξάρτητα από
το βαθμό μεγέθυνσής τους.
Τα Fractals έχουν λεπτομέρεια σε
οσοδήποτε μικρή κλίμακα.
9. Ας ξεκινήσουμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ο επαναληπτικός κανόνας μας
είναι:
Στάδιο 0
Στάδιο 1 Στάδιο 2
Στάδιο n
Συνεχίζουμε
έτσι έως...
Αυτό το σχήμα καλείται
Παρέμβυσμα τουΠαρέμβυσμα του SierpinskiSierpinski
Για κάθε τρίγωνο, ενώνουμε τα μέσα των πλευρών και μετά
αφαιρούμε το τρίγωνο που σχηματίζεται στο κέντρο.
Τα Fractals συνήθως προσδιορίζονται με απλές
περιοδικά επαναλαμβανόμενες διαδικασίες.
10. Ανεπάρκεια της Παραδοσιακής Γεωμετρίας
Αν και το σχήμα φαίνεται οικείο, το τρίγωνο του
Sierpinski δεν είναι τρίγωνο!
Αυτοομοιότητα
Μια εικόνα είναι αυτοόμοια αν ένα μέρος της περιέχει
σε μικρότερη κλίμακα ένα ακριβές αντίγραφο της ίδιας
της εικόνας. ,Αν επιλέξετε ένα τμήμα της εικόνας και το
,μεγεθύνετε στο μέγεθος της εικόνας θα δείτε ένα
ακριβές αντίγραφο της εικόνας!
Τα Fractals είναι τόσο ακανόνιστα ώστε να είναι δυνατή η
μ μ περιγραφή τους ε την παραδοσιακή γεω ετρική
.γλώσσα
Τα Fractals μέχουν κάποιο είδος αυτοο οιότητας.
Μεγεθύνοντας επί
4 παίρνουμε...
11. Στάδιο 1Στάδιο 2Στάδιο 3Στάδιο 4Στάδιο 0Στάδιο 5
Ας δούμε ένα άλλο πολύ γνωστό fractal ΄την καμπύλη του Koch.
Ο κανόνας επανάληψης γι’ αυτό το fractal είναι:
Σε κάθε τμήμα, αφαιρούμε το μεσαίο τρίτο και το αντικαθιστούμε με
ένα ανεστραμμένο V το οποίο έχει πλευρές του ιδίου μήκους με εκείνες
των τμημάτων που αφαιρέσαμε.
12. Αν ενώσουμε τρεις καμπύλες του Koch,
παίρνουμε...
Την χιονονιφάδα του Koch!
13. Γιατί μελετάμε τα fractals?
• Πολλά αντικείμενα στη φύση μοντελοποιούνται
με τα fractals.
• Τα προγράμματα σπουδών κινούνται σε μη
γραμμικά μοντέλα προσεγγίζοντας μια fractal
δομή.
• Τα Fractals είναι και έργα τέχνης, ή μοντέλα για
το σχεδιασμό μόδας.
• Τα χρησιμοποιούμε για τη μοντελοποίηση
μικροσκοπικών μεταβολών σε βακτήρια αλλά και
στη διάδοση επιδημιών, δίνοντας έτσι στην
Ιατρική ένα νέο εργαλείο.
