1. ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην
Πυθαγόρεια παράδοση ,ο πρώτος ορισμός που
έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει
ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε άκρο και
μέσο λόγο. Υπάρχουν πολλά ονόματα για τη
μυστηριώδη τομή. Αναφέρεται ως χρυσός ή θείος
λόγος, μέσος, αναλογία, αριθμός ή τομή. Στα
μαθηματικά συμβολίζεται με το γράμμα τ, που
δηλώνει την τομή, ή συχνότερα με το Φ ή με το φ, το
πρώτο γράμμα από το όνομα του γλύπτη Φειδία, που
τη χρησιμοποίησε στον Παρθενώνα.
2. ΓΙΑΤΙ Ο ΠΛΑΤΩΝΑΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΞΕΙ ΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΤΟΥ Φ
• Ο Πλάτωνας γνώριζε ότι η απάντηση είναι άρρητος αριθμός
που μπορούμε να προσδιορίσουμε γεωμετρικά σε ένα
ευθύγραμμο το τμήμα, αλλά δεν μπορεί να εκφραστεί ως απλό
κλάσμα. Αν λύσουμε το πρόβλημα μαθηματικά και
υποθέτοντας ότι ο μέσος(μεγαλύτερο τμήμα) έχει μήκος 1,
βρίσκουμε μεγάλη τη χρυσή τιμή 1,6180399... (για το σύνολο)
και μικρή χρυσή τιμή 0,6180399... (για το μικρότερο τμήμα).
Ορίζουμε αυτά Φ για το μεγάλο και φ για το μικρό, αντίστοιχα.
Σημειώνουμε ότι τόσο το γινόμενό τους όσο και η διαφορά
τους δίνουν τη μονάδα. Επιπλέον το τετράγωνο του Φ είναι
2,6180399, ή Φ+1. Και φ=1/Φ.
3. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ Φ
• Είναι χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε δύο τμήματα,
ένα μεγάλο α και ένα μικρό β, έτσι ώστε να ισχύει:
Ο παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα
«φ» ύστερα από πρόταση του αμερικανού μαθηματικού Mark Barr,
που είναι το αρχικό του ονόματος του γλύπτη Φειδία, ο οποίος
χρησιμοποίησε τη Χρυσή Τομή στα έργα του. Ο Χρυσός Αριθμός
«φ» θεωρούνταν από τους αρχαίους Έλληνες ως θεϊκη αναλογία
και η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα ή κατασκευές
οδηγούσε σε άριστα αποτελέσματα.
4. ΠΕΝΤΑΛΦΑ
• Η χρυσή τομή , ενοποιεί μέρη και σύνολο όπως καμία άλλη αναλογία ,
συνδέεται στενά με τη φυσική γεωμετρία του πεντάγραμμου ή πεντάλφας
εμβλήματος της ίδιας της ζωής. Κάθε σημείο τομής δημιουργεί μήκη που
χαρακτηρίζονται από χρυσές σχέσεις το ένα ως προς το άλλο. Ο βραχίονας
μιας πεντάλφας περιέχει το κλειδί για μια άλλη σπείρα με χρυσή τομή ,ως
συνεχή ακολουθία αναπτυσσόμενων η σμικρυνόμενων χρυσών τριγώνων.
Η πεντάλφα κατασκευάζεται από ένα κανονικό πεντάγωνο φέρνοντας τις
διαγώνιους στο πεντάγραμμο αυτό. Το σύμβολο συνδέεται με τη χρυσή
τομή φ: ο λόγος κάθε ευθύγραμμου τμήματος που εμφανίζεται σε αυτή ως
προς το αμέσως μικρότερό του ισούται με τη χρυσή τομή. Σύμφωνα με την
εικόνα παρακάτω είναι:
5.
6. Πυραμίδες
• Μια κανονική πυραμίδα με βάση τετράγωνο καθορίζεται από ένα
εσωτερικό ορθογώνιο τρίγωνο,του οποίου οι πλευρές είναι το απόστημα
της πυραμίδας (α),η ήμι-βάση της (b) και το ύψος της (h). Η κλίση της
γωνίας σημειώνεται επίσης. Μαθηματικές αναλογίες b: h: α
όπως και και παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε σχέση με τις
πυραμίδες της Αιγύπτου.
• Οι πυραμίδες της Αιγύπτου καθώς και οι μαθηματικές κανονικές
πυραμίδες που μοιάζουν με αυτές μπορούν να αναλυθούν σε σχέση με
την χρυσή και τις άλλες αναλογίες.
7. Μαθηματικές πυραμίδες και τρίγωνα
• Μια πυραμίδα στην οποία το απόστημα (ύψος της παράπλευρης έδρας )
είναι ίσο με φ φορές την ημι-βάση (το ήμισυ του πλάτους βάσης) ονομάζεται
μερικές φορές χρυσή πυραμίδα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που είναι το πρόσωπο
μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να κατασκευαστεί από τα δύο μισά ενός
ορθογώνιου με χρυσές αναλογίες, ενώνοντας τις μεσαίου μήκους πλευρές για
να κάνουν το απόστημα. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι φορές την ημι-
βάση και το τετράγωνο του ύψους είναι ίσο με την πλευρά της πυραμίδας,
δηλαδή φ φορές το τετράγωνο της ημι-βάσης.
• Το μεσαίο ορθογώνιο τρίγωνο αυτής της "χρυσής" πυραμίδας με
πλευρές είναι ενδιαφέρον από μόνο του, αποδεικνύοντας με το Πυθαγόρειο
θεώρημα τη σχέση . Αυτό το "Τρίγωνο του Κέπλερ" είναι η μόνη αναλογία
ορθογώνιου τριγώνου με μήκη πλευρών σε γεωμετρική πρόοδο, όπως
ακριβώς το 3-4-5 τρίγωνο είναι η μόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με
μήκη πλευρών σε αριθμητική πρόοδο.
• Ένα σχεδόν παρόμοιο σχήμα πυραμίδας, αλλά με ρητές αναλογίες,
περιγράφεται στο Rhind Mathematical Papyrus βασισμένο στο τρίγωνο
3:4:5. Η κλίση της πυραμίδας που αντιστοιχεί στη γωνία με εφαπτομένη 4/3
είναι 53,13 μοίρες (53 μοίρες και 8 λεπτά). Το απόστημα ή το ύψος της
παράπλευρης έδρας είναι 5/3 ή 1.666 ... φορές την ημι-βάση.
• Μια άλλη μαθηματική πυραμίδα με αναλογίες σχεδόν ταυτόσημες με της
«χρυσής» είναι αυτή με περίμετρο ίση με 2π φορές το ύψος της, ή h: b = 4: π.
8. Το Χρυσό Ορθογώνιο έχει λόγο πλευρών ίσο με «φ».
Το σχήμα των πιστωτικών καρτών είναι χρυσό
ορθογώνιο
• Ζητάμε να κατασκευάσουμε ένα χρυσό ορθογώνιο, δηλαδή ένα
ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης του πλευράς προς τη μικρή να
είναι ίσος με τον λόγο της μικρής προς τη διαφορά των πλευρών. Αν
υποθέσουμε ότι μας έχει δοθεί το μήκος της μικρής πλευράς του
ορθογωνίου.
• Ξεκινάμε την κατασκευή με ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με την δοθείσα
μικρή πλευρά του ορθογωνίου, το οποίο το διαιρούμε φέρνοντας την
διάμεσό του. Με κέντρο το μέσο της μιας πλευράς και ακτίνα την
διαγώνιο του μισού τετραγώνου διαγράφουμε τόξο που τέμνει την
προέκταση της πλευράς του τετραγώνου σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο
ορίζει το άλλο άκρο της μεγάλης πλευρά στου χρυσού ορθογωνίου.
• Επαλήθευση: Επειδή προφανώς τα χρυσά ορθογώνια είναι όμοια μεταξύ
τους, πάντα ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά, θα είναι
ο αριθμός (√5 + 1)/2 που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα
Φ, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του
Παρθενώνα.
9.
10. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ
Τα χρυσά τρίγωνα:
Υπάρχουν δυο χρυσά τρίγωνα, και τα δυο ισοσκελή, ένα αμβλυγώνιο
και ένα οξυγώνιο.
Στο αμβλυγώνιο, ο λόγος της βάσης του προς τη πλευρά του είναι ίσος
με το λόγο χρυσής τομής, ενώ στο οξυγώνιο ισχύει το αντίστροφο: ο
λόγος της πλευράς του προς την βάση του είναι ίσος με το λόγο χρυσής
τομής. Τα δυο τρίγωνα συνδέονται μεταξύ τους γιατί διαιρώντας
ανάλογα τη βάση ή την τη πλευρά σε λόγο χρυσής τομής προκύπτουν
δυο μικρότερα χρυσά τρίγωνα ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Αυτό
είναι πιο κατανοητό αν σκεφτούμε ότι το αμβλυγώνιο έχει γωνίες
36°,36° και 108° ενώ το οξυγώνιο έχει γωνίες 72°, 72° και 36°.
11. ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΕΚΑΓΩΝΟ ΚΑΙ ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ
•
Μια και η γωνία της κορυφής του οξυγωνίου χρυσού τριγώνου είναι
36°, είναι φανερό ότι το κανονικό δεκάγωνο θα διαιρείται από τις
ακτίνες του σε δέκα χρυσά τρίγωνα. Αλλά και στο κανονικό
πεντάγωνο μπορούμε να ανιχνεύσουμε τα δυο χρυσά τρίγωνα. Αν
απομονώσουμε τις διαγώνιους του πενταγώνου, τότε παίρνουμε ένα
σχήμα που θυμίζει αστέρι με πέντε ακτίνες. Το σχήμα αυτό λέγεται
πεντάλφα γιατί μπορεί να θεωρηθεί ότι κατασκευάζεται με πέντε Α.Η
πεντάλφα ήταν το έμβλημα των Πυθαγορείων και ο τρόπος
κατασκευής της υπήρξε ένα καλά φρουρούμενο μυστικό που
προκαλούσε τον φθόνο στους ανταγωνιστές. Λέγεται πως ο
Ιπποκράτης ο Χίος εκδιώχθηκε από τη σχολή των Πυθαγορείων γιατί
αποκάλυψε την κατασκευή της.
12.
13. ΧΡΥΣΗ ΣΠΕΙΡΑ
Πρώτη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό ορθογώνιο. Κατασκευή της πρώτης
χρυσής σπείρας: υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά στην κατασκευή της
χρυσής σπείρας. Τώρα ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο και προχωράμε
προς τα μέσα, «κόβοντας» τετράγωνα, πορεία δηλαδή ακριβώς αντίστροφη
από αυτή που είχαμε στην κατασκευή της σπείρας του Fibonacci. (
ξεκινούσαμε από ένα τετράγωνο και το επεκτείνουμε προς τα έξω
σχηματίζοντας διαδοχικά ορθογώνια.) Αλλά ας δούμε την κατασκευή βήμα
προς βήμα:
Βήμα 1°: Ξεκινάμε με ένα χρυσό ορθογώνιο. Φέρνουμε μια κάθετη γραμμή για να το
χωρίσουμε σε τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο.
Βήμα 2°: Το μικρότερο ορθογώνιο που σχηματίστηκε από το βήμα 1, το χωρίζουμε και
αυτό με τον ίδιο τρόπο σε ένα τετράγωνο και ένα ακόμα πιο μικρό χρυσό
ορθογώνιο.
Βήμα 3°: Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα αρκετές φορές, ώστε να
πάρουμε έναν
σχηματισμό με πολλά διαδοχικά τετράγωνα που μικραίνουν συνεχώς στο εσωτερικό
του χρυσού ορθογωνίου.
Βήμα 4°: Τέλος διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Το
αποτέλεσμα είναι μια χρυσή σπείρα που με μεγάλη ικανοποίηση διαπιστώνουμε
ότι προσεγγίζει ακόμα καλύτερα την σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου, από ότι η
σπείρα του Fibonacci.
