1. ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΗ ΦΥΣΗ, ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση ,ο πρώτος
ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση
ενός ευθύγραμμου τμήματος σε άκρο και μέσο λόγο. Υπάρχουν πολλά ονόματα για
τη μυστηριώδη τομή. Αναφέρεται ως χρυσός ή θείος λόγος, μέσος, αναλογία,
αριθμός ή τομή. Στα μαθηματικά συμβολίζεται με το γράμμα τ, που δηλώνει την
τομή, ή συχνότερα με το Φ ή με το φ, το πρώτο γράμμα από το όνομα του γλύπτη
Φειδία, που τη χρησιμοποίησε στον Παρθενώνα.
ΓΙΑΤΙ Ο ΠΛΑΤΩΝΑΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΞΕΙ ΤΗΝ
ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΤΟΥ Φ
(Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΟ
ΛΟΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ)
Ο Πλάτωνας γνώριζε ότι η απάντηση είναι άρρητος αριθμός που μπορούμε να
προσδιορίσουμε γεωμετρικά σε ένα ευθύγραμμο το τμήμα, αλλά δεν μπορεί να
εκφραστεί ως απλό κλάσμα. Αν λύσουμε το πρόβλημα μαθηματικά και
υποθέτοντας ότι ο μέσος(μεγαλύτερο τμήμα) έχει μήκος 1, βρίσκουμε μεγάλη τη
χρυσή τιμή 1,6180399... (για το σύνολο) και μικρή χρυσή τιμή 0,6180399... (για το
μικρότερο τμήμα). Ορίζουμε αυτά Φ για το μεγάλο και φ για το μικρό, αντίστοιχα.
Σημειώνουμε ότι τόσο το γινόμενό τους όσο και η διαφορά τους δίνουν τη μονάδα.
Επιπλέον το τετράγωνο του Φ είναι 2,6180399, ή Φ+1. Και φ=1/Φ.

2. ΠΕΝΤΑΛΦΑ
Η χρυσή τομή , ενοποιεί μέρη και σύνολο όπως καμία άλλη αναλογία , συνδέεται
στενά με τη φυσική γεωμετρία του πεντάγραμμου ή πεντάλφας εμβλήματος της
ίδιας της ζωής. Κάθε σημείο τομής δημιουργεί μήκη που χαρακτηρίζονται από
χρυσές σχέσεις το ένα ως προς το άλλο. Ο βραχίονας μιας πεντάλφας περιέχει το
κλειδί για μια άλλη σπείρα με χρυσή τομή ,ως συνεχή ακολουθία αναπτυσσόμενων
η σμικρυνόμενων χρυσών τριγώνων.
Η πεντάλφα κατασκευάζεται από ένα κανονικό πεντάγωνο φέρνοντας τις
διαγώνιους στο πεντάγραμμο αυτό. Το σύμβολο συνδέεται με τη χρυσή τομή φ: ο
λόγος κάθε ευθύγραμμου τμήματος που εμφανίζεται σε αυτή ως προς το αμέσως
μικρότερό του ισούται με τη χρυσή τομή. Σύμφωνα με την εικόνα παρακάτω είναι:
𝐼𝐺
𝐼𝐸
=
𝐼𝐸
𝐴𝐵
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
= 𝜙

3. Πυραμίδες
Μια κανονική πυραμίδα με βάση τετράγωνο καθορίζεται από ένα εσωτερικό
ορθογώνιο τρίγωνο,του οποίου οι πλευρές είναι το απόστημα της πυραμίδας (α),η
ήμι-βάση της (b) και το ύψος της (h). Η κλίση της γωνίας σημειώνεται επίσης.
Μαθηματικές αναλογίες b: h: α
όπως και και παρουσιάζουν ιδιαίτερο
ενδιαφέρον σε σχέση με τις πυραμίδες της Αιγύπτου.
Οι πυραμίδες της Αιγύπτου καθώς και οι μαθηματικές κανονικές πυραμίδες που
μοιάζουν με αυτές μπορούν να αναλυθούν σε σχέση με την χρυσή και τις άλλες
αναλογίες.
Μαθηματικές πυραμίδες και τρίγωνα
Μια πυραμίδα στην οποία το απόστημα (ύψος της παράπλευρης έδρας ) είναι ίσο
με φ φορές την ημι-βάση (το ήμισυ του πλάτους βάσης) ονομάζεται μερικές
φορές χρυσή πυραμίδα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που είναι το πρόσωπο μιας τέτοιας
πυραμίδας μπορεί να κατασκευαστεί από τα δύο μισά ενός ορθογώνιου με χρυσές
αναλογίες, ενώνοντας τις μεσαίου μήκους πλευρές για να κάνουν το απόστημα. Το
ύψος αυτής της πυραμίδας είναι √ 𝜑 φορές την ημι-βάση και το τετράγωνο του
ύψους είναι ίσο με την πλευρά της πυραμίδας, δηλαδή φ φορές το τετράγωνο της
ημι-βάσης.
Το μεσαίο ορθογώνιο τρίγωνο αυτής της "χρυσής" πυραμίδας (βλέπε διάγραμμα),
με πλευρές είναι ενδιαφέρον από μόνο του, αποδεικνύοντας με
το Πυθαγόρειο θεώρημα τη σχέση ή . Αυτό το
"Τρίγωνο του Κέπλερ" είναι η μόνη αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με μήκη
πλευρών σε γεωμετρική πρόοδο, όπως ακριβώς το 3-4-5 τρίγωνο είναι η μόνη

4. αναλογία ορθογώνιου τριγώνου με μήκη πλευρών σε αριθμητική πρόοδο. Η γωνία
με εφαπτομένη αντιστοιχεί στη γωνία που σχηματίζεται από την πλευρά της
πυραμίδας και το έδαφος, 51,827 ... μοίρες (51 ° 49 '38 ").
Ένα σχεδόν παρόμοιο σχήμα πυραμίδας, αλλά με ρητές αναλογίες, περιγράφεται
στο Rhind Mathematical Papyrus (την πηγή ενός μεγάλου μέρους της σύγχρονης
γνώσης των αρχαίων αιγυπτιακών μαθηματικών),βασισμένο στο τρίγωνο 3:4:5. Η
κλίση της πυραμίδας που αντιστοιχεί στη γωνία με εφαπτομένη 4/3 είναι 53,13
μοίρες (53 μοίρες και 8 λεπτά). Το απόστημα ή το ύψος της παράπλευρης έδρας
είναι 5/3 ή 1.666 ... φορές την ημι-βάση.Το Rhind Papyrus έχει ακόμη ένα πρόβλημα
με την πυραμίδα, πάλι με την κλίση ρητών αριθμών. Τα αιγυπτιακά μαθηματικά δεν
περιλαμβάνουν την έννοια των άρρητων αριθμών,] και η αντίστροφη κλίση ρητών
αριθμών χρησιμοποιήθηκε στην κατασκευή των πυραμίδων.
Μια άλλη μαθηματική πυραμίδα με αναλογίες σχεδόν ταυτόσημες με της «χρυσής»
είναι αυτή με περίμετρο ίση με 2π φορές το ύψος της, ή h: b = 4: π. Αυτό το τρίγωνο
έχει μια γωνία κλίσης 51.854 ° (51 ° 51 '), πολύ κοντά στις ° 51.827 του τριγώνου του
Kepler. Αυτή η σχέση της πυραμίδα αντιστοιχεί στην σχέση .
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ Φ
Είναι χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε δύο τμήματα, ένα μεγάλο
α και ένα μικρό β,
έτσι ώστε να ισχύει:
𝛼
𝛽
=
𝛼+𝛽
𝛼
= 1,618
.

5. Ο παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα «φ» ύστερα
από πρόταση του αμερικανού μαθηματικού Mark Barr, που είναι το αρχικό
του ονόματος του γλύπτη Φειδία, ο οποίος χρησιμοποίησε τη Χρυσή Τομή
στα έργα του.
Ο Χρυσός Αριθμός «φ» θεωρούνταν από τους αρχαίους Έλληνες ως θεϊκή
αναλογία και η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα ή κατασκευές
οδηγούσε σε άριστα αποτελέσματα.
Το Χρυσό Ορθογώνιο έχει λόγο πλευρών ίσο με «φ». Το σχήμα των
πιστωτικών καρτών είναι χρυσό ορθογώνιο
Ζητάμε να κατασκευάσουμε ένα χρυσό ορθογώνιο, δηλαδή ένα ορθογώνιο στο
οποίο ο λόγος της μεγάλης του πλευράς προς τη μικρή να είναι ίσος με τον λόγο της
μικρής προς τη διαφορά των πλευρών. Αν υποθέσουμε ότι μας έχει δοθεί το μήκος
της μικρής πλευράς του ορθογωνίου.
Ξεκινάμε την κατασκευή με ένα τετράγωνο πλευράς ίσης με την δοθείσα μικρή
πλευρά του ορθογωνίου, το οποίο το διαιρούμε φέρνοντας την διάμεσό του. Με
κέντρο το μέσο της μιας πλευράς και ακτίνα την διαγώνιο του μισού τετραγώνου
διαγράφουμε τόξο που τέμνει την προέκταση της πλευράς του τετραγώνου σε ένα
σημείο. Αυτό το σημείο ορίζει το άλλο άκρο της μεγάλης πλευρά στου χρυσού
ορθογωνίου.
Επαλήθευση: Επειδή προφανώς τα χρυσά ορθογώνια είναι όμοια μεταξύ τους,
πάντα ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά, θα είναι ο αριθμός
(√5 + 1)/2 που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Φ, το αρχικό του
ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του
Παρθενώνα.

6. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ
Τα χρυσά τρίγωνα: Υπάρχουν δυο χρυσά τρίγωνα, και τα δυο ισοσκελή, ένα
αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Στο αμβλυγώνιο, ο λόγος της βάσης του προς τη
πλευρά του είναι ίσος με το λόγο χρυσής τομής, ενώ στο οξυγώνιο ισχύει το
αντίστροφο: ο λόγος της πλευράς του προς την βάση του είναι ίσος με το λόγο
χρυσής τομής. Τα δυο τρίγωνα συνδέονται μεταξύ τους γιατί διαιρώντας ανάλογα
τη βάση ή την τη πλευρά σε λόγο χρυσής τομής προκύπτουν δυο μικρότερα χρυσά
τρίγωνα ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Αυτό είναι πιο κατανοητό αν σκεφτούμε
ότι το αμβλυγώνιο έχει γωνίες 36°,36° και 108° ενώ το οξυγώνιο έχει γωνίες 72°, 72°
και 36°.

7. ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΕΚΑΓΩΝΟ ΚΑΙ ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ
Μια και η γωνία της κορυφής του οξυγωνίου χρυσού τριγώνου είναι 36°, είναι
φανερό ότι το κανονικό δεκάγωνο θα διαιρείται από τις ακτίνες του σε δέκα χρυσά
τρίγωνα. Αλλά και στο κανονικό πεντάγωνο μπορούμε να ανιχνεύσουμε τα δυο
χρυσά τρίγωνα. Αν απομονώσουμε τις διαγώνιους του πενταγώνου, τότε παίρνουμε
ένα σχήμα που θυμίζει αστέρι με πέντε ακτίνες.

8. Το σχήμα αυτό λέγεται πεντάλφα γιατί μπορεί να θεωρηθεί ότι κατασκευάζεται με
πέντε Α. Η πεντάλφα ήταν το έμβλημα των Πυθαγορείων και ο τρόπος κατασκευής
της υπήρξε ένα καλά φρουρούμενο μυστικό που προκαλούσε τον φθόνο στους
ανταγωνιστές. Λέγεται πως ο Ιπποκράτης ο Χίος εκδιώχθηκε από τη σχολή των
Πυθαγορείων γιατί αποκάλυψε την κατασκευή της.
ΧΡΥΣΕΣ ΣΠΕΙΡΕΣ
Πρώτη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από χρυσό ορθογώνιο.
Δεύτερη χρυσή σπείρα: Κατασκευή από ορθογώνιο οξυγώνιο τρίγωνο.
Κατασκευή της πρώτης χρυσής σπείρας: Η σπείρα αυτή μας θυμίζει αρκετά την
σπείρα του Fibonacci. Και πραγματικά, οι δυο σπείρες είναι περίπου ίδιες. Θα
δούμε όμως, ότι υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά στην κατασκευή της χρυσής
σπείρας. Τώρα ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο και προχωράμε προς τα μέσα,
«κόβοντας» τετράγωνα, πορεία δηλαδή ακριβώς αντίστροφη από αυτή που είχαμε
στην κατασκευή της σπείρας του Fibonacci. (Αν θυμόμαστε, ξεκινούσαμε από ένα
τετράγωνο και το επεκτείνουμε προς τα έξω σχηματίζοντας διαδοχικά ορθογώνια.)
Αλλά ας δούμε την κατασκευή βήμα προς βήμα:
Βήμα 1°: Ξεκινάμε με ένα χρυσό ορθογώνιο. Φέρνουμε μια κάθετη γραμμή για να
το χωρίσουμε σε τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο.
Βήμα 2°: Το μικρότερο ορθογώνιο που σχηματίστηκε από το βήμα 1, το χωρίζουμε
και αυτό με τον ίδιο τρόπο σε ένα τετράγωνο και ένα ακόμα πιο μικρό χρυσό
ορθογώνιο.

9. Βήμα 3°: Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα αρκετές φορές, ώστε να
πάρουμε έναν σχηματισμό με πολλά διαδοχικά τετράγωνα που μικραίνουν συνεχώς
στο εσωτερικό του χρυσού ορθογωνίου.
Βήμα 4°: Τέλος διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Το
αποτέλεσμα είναι μια χρυσή σπείρα που με μεγάλη ικανοποίηση διαπιστώνουμε ότι
προσεγγίζει ακόμα καλύτερα την σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου, από ότι η
σπείρα του Fibonacci.
Κατασκευή της δεύτερης χρυσής σπείρας: Η διαδικασία είναι ανάλογη με την
προηγούμενη κατασκευή. Σχεδόν η μόνη διαφορά είναι ότι ξεκινάμε με ένα χρυσό
οξυγώνιο τρίγωνο το οποίο το διαιρούμε συνεχώς σε άλλα μικρότερα χρυσά
τρίγωνα (ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο). Ας παρατηρήσουμε ότι στο βήμα 1 η
διαίρεση του χρυσού τριγώνου σε δυο μικρότερα χρυσά τρίγωνα γίνεται απλώς με
το να πάρουμε τμήμα στην μια πλευρά του, αρχίζοντας από την κορυφή, που είναι
ίσο με την βάση του τριγώνου. Η διαίρεση αυτή επαναλαμβάνεται στα επόμενα
βήματα σε κάθε νέο σχηματιζόμενο οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο έως ότου καταλήξουμε
στην κατασκευή που φαίνεται στο βήμα 7. Στο βήμα 8 διαγράφουμε τόξα κύκλων με
κέντρα τις κορυφές των χρυσών οξυγώνιων τριγώνων και ακτίνα μια πλευρά τους.
Έτσι οι βάσεις των χρυσών τριγώνων είναι χορδές στα τόξα που διαγράφουμε.

10. Αν α, β είναι γνωστά τμήματα, να κατασκευάσετε το τμήμα x , που ορίζεται από
την ισότητα Το τμήμα x είναι η μέση ανάλογος των α, β.
Λύση
Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα x2 = αβ η οποία σημαίνει ότι το x είναι το
ύψος του ορθογώνιου τριγώνου, που χωρίζει την υποτείνουσα σε δύο τμήματα ίσα
με α και β αντίστοιχα. Παίρνουμε επομένως σε μία ευθεία διαδοχικά τα τμήματα
ΑΒ=α και ΒΓ=β . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΓ και στο Β υψώνουμε κάθετο
στην ΑΓ, που τέμνει το ημικύκλιο στο Δ. Σχηματίζουμε το τρίγωνο ΔΑΓ το οποίο
είναι ορθογώνιο (Δ=1∟). Επομένως έχουμε ΔΒ2 = ΑΒ ∙ ΒΓ = αβ και κατά συνέπεια
το τμήμα ΔΒ είναι το ζητούμενο.
ΓΙΩΡΓΟΣ ΖΙΩΜΑΣ
ΤΑΣΟΣ ΖΙΩΜΑΣ
ΚΑΛΛΙΑ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗ
ΧΡΥΣΟΥΛΑ ΜΑΥΡΟΥΔΗ

11. Χρυσή τομή στην Άλγεβρα
https://www.youtube.com/watch?v=7KZ3APIBI1A
Τι είναι Χρυσή Τομή;
Είναι χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε δύο τμήματα, ένα μεγάλο
α και ένα μικρό β, έτσι ώστε να ισχύει:
𝛼
𝛽
=
𝛼+𝛽
𝛼
= 1,618 .
Ο παραπάνω λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα «φ» ύστερα
από πρόταση του αμερικανού μαθηματικού Mark Barr, που είναι το αρχικό
του ονόματος του γλύπτη Φειδία, ο οποίος χρησιμοποίησε τη Χρυσή Τομή
στα έργα του.
Ο φ και η Άλγεβρα.
Ο φ είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης φ2 – φ -1 = 0
Ισχύει συνεπώς φ2 = 1+φ και 𝜑 = √(1 + 𝜑)
Η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την οικοδόμηση ενός άλλου ορισμού του
φ.

12. 𝝋 = √ 𝟏 + √(𝟏 + 𝝋) ή 𝝋 = √ 𝟏 + √ 𝟏 + √ 𝟏 + 𝝋
Αυτό μπορεί να συνεχίζεται επ’ άπειρον.
Για τον φ ισχύει επίσης: φ=1 +1/φ φ=1+1/(1+1/φ)
Για τον φ ισχύει ακόμα:
φ = φ, φ2 = φ + 1 φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2 φ5 = 5φ + 3, φ6 = 8φ + 5, . . .
Ακολουθία Φιμπονάτσι
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε
επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.
Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία Fn των αριθμών Φιμπονάτσι ορίζεται από τον
αναδρομικό τύπο:
Fn=F(n-1)+F(n-2)
με F0=0 καιF1=1.
Όπως κάθε ακολουθία, η οποία προσδιορίζεται από αναδρομική σχέση, έτσι και η
ακολουθία Φιμπονάτσι έχει λύση κλειστής μορφής.
όπου
είναι η χρυσή αναλογία, και
Για να το δούμε αυτό,[ θα πρέπει το φ και το ψ να είναι και τα δύο λύσεις της
εξίσωσης
οπότε οι δυνάμει των φ και ψ ικανοποιούν την αναδρομική σχέση Φιμπονάτσι.
Δηλαδή

13. και
Αυτό ισχύει για κάθε τιμή των a και b και η ακολουθία ορίζεται από
και ικανοποιεί την ίδια αναδρομική σχέση
Εάν a και b επιλεγούν έτσι ώστε U0 = 0 και U1 = 1 τότε η ακολουθία που προκύπτει
είναι η ακολουθία Φιμπονάτσι. Αυτό είναι το ίδιο αν απαιτήσουμε τα a και b να
ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα εξισώσεων:
το οποίο έχει λύση
και παράγει την απαιτούμενη φόρμουλα.
Αχ Κουνελάκι
Το 1202 ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι προσπάθησε να υπολογίσει την ταχύτητα
αναπαραγωγής των κουνελιών στη Γη σε ιδανικές συνθήκες. Ας υποθέσουμε, έλεγε,
ότι έχουμε ένα μοναδικό ζευγάρι, το οποίο αρχίζει να αναπαράγεται από τον πρώτο
κιόλας μήνα και μετά από κάθε μήνα κύησης γεννά ένα ακόμη ζεύγος. Και ότι κάθε
νέο ζεύγος γίνεται γόνιμο σε δύο μήνες μετά τη γέννησή του και αρχίζει να
αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος
του πρώτου χρόνου; Στο τέλος του πρώτου μήνα το αρχικό ζευγάρι είναι έτοιμο να
τεκνοποιήσει, αλλά υπάρχει μόνο αυτό. Στο τέλος του δεύτερου μήνα έχουμε το
αρχικό ζευγάρι και το πρώτο ζευγάρι παιδιών του. Στο τέλος του τρίτου μήνα
έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών του, που είναι έτοιμα κι αυτά
να τεκνοποιήσουν, και ένα δεύτερο ζεύγος παιδιών του. Στο τέλος του τέταρτου
μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το τρίτο ζεύγος παιδιών του, το πρώτο ζεύγος
παιδιών και το πρώτο δικό τους ζεύγος παιδιών, καθώς και το δεύτερο ζεύγος
παιδιών, που είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει. Πιο συγκεκριμένα, η ακολουθία των

14. ζευγαριών κουνελιών είναι: 1, 1, 2, 3, 5. Μπορείτε να εντοπίσετε το μοτίβο που
κρύβεται πίσω από αυτή την αλληλουχία; Αν την επεκτείνουμε λίγο ακόμα, τα
πράγματα αρχίζουν να ξεκαθαρίζουν: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Δηλαδή, για να δημιουργήσουμε τη λεγόμενη ακολουθία Φιμπονάτσι (γνωστή και
ως «αριθμοί Φιμπονάτσι»), αρκεί να προσθέσουμε τα δύο προηγούμενα νούμερα
για να έχουμε το αμέσως επόμενο.
Όμως, τι σχέση έχει αυτή η ακολουθία με το χρυσό αριθμό; Κάντε το παρακάτω
πείραμα: πάρτε ένα κομπιουτεράκι και διαιρέστε οποιοδήποτε νούμερο με το
αμέσως προηγούμενό του. Όσο προχωράτε στην ακολουθία, το πηλίκο θα
προσεγγίζει ολοένα και περισσότερο το χρυσό αριθμό. Σε μαθηματικούς όρους,
αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία που δημιουργείται από τη διαίρεση κάθε αριθμού
Φιμπονάτσι με τον αμέσως προηγούμενό του έχει ως όριο το χρυσό αριθμό.
Επίλογος
Τελικά, πιστεύουμε ότι τώρα πια είναι κατανοητή σε όλους μας η χρησιμότητα του φ.
Από τους μαθητές:
Kώτσελας Βαγγέλης
Κούκουνας Γιάννης
Θανόπουλος Άγγελος
Σεραφετινίδης Βασίλης

15. ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΦΥΣΗ
ΑΝΑΤΟΜΙΑ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ
Το χέρι μας παρουσιάζει τη χρυσή τομή και την ακολουθία Fibonacci . Κάθε τμήμα
είναι 1.61804... φορές μεγαλύτερο από το προηγούμενό του.
Κάθε φάλαγγα του ανθρώπινου δείκτη, από το ακροδάκτυλο μέχρι τη βάση του
στον καρπό είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενή της κατά περίπου 1.618,
δηλαδή περίπου κατά το χρυσό λόγο, προσαρμοζόμενη επίσης στους αριθμούς
Fibonacci 2, 3, 5 και 8. Με αυτή την κλίμακα το νύχι μας έχει μοναδιαίο μήκος.
Παρά τη μεγάλη ποικιλομορφία των ανθρώπινων προσώπων, η «μέση
προσωπογραφία» ενός ανθρώπου που προκύπτει από την αλληλεξέταση πολλών
φωτογραφιών ανθρωπίνων προσώπων είναι ένα ιδανικό πρόσωπο που ακολουθεί
τον κανόνα του Χρυσού ορθογωνίου. Δηλαδή, μπορεί να εγγραφεί σε ένα Χρυσό
ορθογώνιο. Επιπλέον, μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι πολλές από τις
λεπτομέρειες του προσώπου βρίσκονται σε αυστηρά καθορισμένους γεωμετρικούς
τομείς ή σε σημεία που προκύπτουν από την αρμονική ανάλυση του Χρυσού
ορθογωνίου, ενώ ο ανθρώπινος οφθαλμός έχει την ικανότητα να εντοπίζει άμεσα
ακόμη και ελάχιστες αποκλίσεις από μια τέτοια αρμονική δομή (Ghyka, 1977).
Το κεφάλι σχηματίζει χρυσό ορθογώνιο με τα μάτια στο μέσον του. Το στόμα και η
μύτη είναι τοποθετημένα σε χρυσές τομές της απόστασης μεταξύ των ματιών και
του κάτω μέρους του σαγονιού.
Το ανθρώπινο σώμα βασίζεται στο Φ και στους αριθμούς Fibonacci

16. Ένας άνθρωπος ύψους 1,83μ. , που μοιάζει με λογότυπο «ανθρωπάκι της Michelin"
με το χέρι σηκωμένο(σε ένα ύψος 2,26μ. ) είναι εγγεγραμμένο σε ένα τετράγωνο. Ο
λόγος του ύψους του άνδρα (1,83μ) προς το ύψος του αφαλού του θεωρείται ότι
αντιστοιχεί ακριβώς στον Χρυσό Λόγο. Το συνολικό ύψος από τα πόδια έως το
ανυψωμένο χέρι χωρίζεται επίσης στον Χρυσό Λόγο σε 1,40μ και στη συνέχεια
0,86μ στο ύψος του καρπού ενός χεριού που κρέμεται προς τα κάτω.
ΤΟ Φ ΣΤΗΝ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗ
Oι γιατροί πρέπει να επιδιώκουν την "Χρυσή τομή"... δηλ. την αναλογία 1.618:1 που
οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν απαραίτητη για ένα αντικείμενο ώστε αυτό να
φαίνεται όμορφο.
"Η Χρυσή τομή δεν αναφέρεται μόνον στη γραμμική διάσταση του πλάτους"
δηλώνει ο Goldstein που ασχολείται με την αισθητική Οδοντιατρική. "Δεν μπορείτε
να μετρήσετε κάθε δόντι ξεχωριστά για να δείτε αν αυτό βρίσκεται στην Χρυσή
τομή". Αντίθετα, χρησιμοποιώντας την απεικόνιση σε υπολογιστή, ο Goldstein
καθορίζει αυτήν την αναλογία βασιζόμενος στον τρόπο με τον οποίο τα δόντια
συμμετέχουν στο τόξο. Π.χ. ένας κεντρικός τομέας πλάτους 8 mm συνήθως δεν έχει
καλή αναλογία με ένα πλάγιο τομέα πλάτους 7 mm.
Εν τούτοις, αν ο τελευταίος στραφεί κατά μία γωνία, ο συνωστισμός μπορεί να
κάνει τα δόντια να φαίνονται καλά. "Αν κατόπιν αυτά τα δόντια διευθετηθούν,
μπορεί να μην φαίνονται ικανοποιητικά", λέει ο Goldstein "γιατί δεν εμπίπτουν στην
αναλογία της Χρυσής τομής.

17. Το Φι και το Ηλιακό Σύστημα
Οι διαστάσεις της Γης και της Σελήνης είναι σε σχέση Φι, σχηματίζοντας ένα Χρυσό
Τρίγωνο.
Σχεδιάστε μια ακτίνα της Γης (1)
Σχεδιάστε μια γραμμή από το κεντρικό σημείο της Γης στο κεντρικό σημείο της
Σελήνης (τετραγωνική ρίζα του Φι)
Σχεδιάστε μια γραμμή που να συνδέει τις δύο γραμμές, ώστε να σχηματίσετε το
χρυσό τρίγωνο (Φι).
Χρησιμοποιώντας τις διαστάσεις από την Wikipedia και το κλασικό Πυθαγόρειο
θεώρημα από τη Γεωμετρία , αυτό εκφράζεται μαθηματικά ως εξής:
Αυτή η γεωμετρική κατασκευή, φαίνεται να είναι η ίδια με εκείνη που έχει
χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή της Μεγάλης Πυραμίδας της Αιγύπτου..

18. Η διάμετρος του Κρόνου είναι σε σχέση φ με τη διάμετρο των δακτυλίων του, όπως
φαίνεται και από την πράσινη γραμμή.
Η εσωτερική διαίρεση δαχτυλίδι είναι σε μια σχέση φ με τη διάμετρο των
δακτυλίων έξω από την σφαίρα του πλανήτη, όπως φαίνεται από τις μπλε γραμμές.
Η διαίρεση Cassini στους δακτυλίους του Κρόνου, πέφτει στο Χρυσό τμήμα του
πλάτους της θέσπισης λιγότερο αυστηρών μέτρων έξω από το τμήμα των
δακτυλίων.
Σημείωση: Φι πλέγμα που δείχνει τη Χρυσή Αναλογία γραμμές που παρέχονται από
το λογισμικό PhiMatrix.
Μια πιο προσεκτική ματιά των δακτυλίων του Κρόνου, αποκαλύπτει ένα
σκοτεινότερο εσωτερικό δακτύλιο, ο οποίος παρουσιάζει την ίδια χρυσή αναλογία
σημείου, όπως ο φωτεινότερος εξωτερικός δακτύλιος.

19. ΤΑ ΖΩΑ
Μια δεύτερη εμφάνιση του χρυσού αριθμού φ βρίσκεται στα ζώα. Στα ζώα
συναντάμε τον χρυσό αριθμό φ είτε ενσωματωμένο στη φυσική προστασία τους
(π.χ. κέλυφος), είτε στα αριθμητικά χαρακτηριστικά του σώματος τους (π.χ.
αναλογίες). Επίσης τον συναντάμε στην αναπαραγωγή κάποιον ζώων (π.χ. τον
κουνελιών, των μελισσών κ.α.)
Λίγα λόγια για την χρυσή σπείρα
Η 'χρυσή σπείρα' είναι μια συναρπαστική καμπύλη. Είναι μόνο ένα μέλος μιας
μεγαλύτερης οικογένειας καμπυλών και σπειρών γνωστής ως 'λογαριθμικές
σπείρες'.
Υπάρχουν και άλλες σπείρες που βρίσκονται στη φύση, όπως η «σπείρα του
Αρχιμήδη».
Στη φύση, δεν είναι δύσκολο να βρεθεί μία από αυτές τις καμπύλες που να
ταιριάζει σ ' ένα συγκεκριμένο μοτίβο, ακόμη κι αν αυτό το μοτίβο είναι μόνο στο
μάτι του θεατή. Το μικρό μυστικό όλων αυτών, είναι ότι όταν ένα μοτίβο βρεθεί,
είναι σπάνια ακριβές. Τα παραδείγματα από τη φύση που μπορούμε να βρούμε σε
βιβλία, έχουν συχνά σημαντικές διαφορές από τη «χρυσή αναλογία».
Ισχυρίστηκε ότι μερικές φορές οι καμπύλες για να χωρέσουν στη «χρυσή σπείρα»,
θα πρέπει στην πραγματικότητα να ταιριάζουν περισσότερο από κάποια άλλη
σπείρα. Το γεγονός ότι μια καμπύλη "ταιριάζει" στα φυσικά στοιχεία, δεν δίνει
καμία ένδειξη για την υποκείμενη φυσική διεργασία, η οποία παράγει την καμπύλη
αυτή στη φύση. Πρέπει να ψάξουμε βαθύτερα για να βρούμε αυτές τις διαδικασίες.
Πολλά βιβλία σχετικά με τους αριθμούς Fibonacci, συσχετίζουν παλιές εικόνες με
σπείρες από τη φύση. Αυτό βοηθά να πωλούνται τα βιβλία, γιατί στους ανθρώπους
αρέσουν οι όμορφες εικόνες.
Τα κοχύλια του Ναυτίλου
Πιθανώς, το πιο διάσημο που χρησιμοποιείται για τις αναλογίες του Φι, είναι το
κέλυφος του Ναυτίλου, που τηρεί άμεσα την Χρυσή Σπείρα. Όπως
αναφέρθηκε προηγουμένως, η Χρυσή Σπείρα, είναι η πιο τέλεια σπείρα όταν
εξετάζεται η αναπαραγωγή της μέσω της συνεχούς ανάπτυξης, και είναι για αυτόν
ακριβώς τον λόγο που τις χρησιμοποιούν πλάσματα με κέλυφος. Με την ανάπτυξη

20. με αυτόν τον τρόπο το κέλυφος μπορεί να φτάσει σε οποιοδήποτε μέγεθος
διατηρώντας την εξαιρετική ισορροπία στη δομική του ακεραιότητα.
Αυτό τον αριθμό εύκολα μπορούμε να τον διακρίνουμε στο όστρακο του ναυτίλου.
Ο παράγοντας που καθορίζει την ανάπτυξη του είναι ο χρυσός αριθμός φ. Ένα
παρόμοιο μοντέλο είναι στην σπείρα, για να την δημιουργήσετε αρκεί να
σχεδιάσετε το ένα τέταρτο της περιφέρεια της σε καθένα από τα διαδοχικά
τετράγωνα. Οι πλευρές των τετραγώνων αναπτύσσονται σύμφωνα με έναν
παράγοντα που προέρχεται από τον χρυσό αριθμό φ.
Εξετάστε το συνηθισμένο ισχυρισμό, είναι το είδος των κοχυλιών
Chambered Nautilus σύμφωνο με τη χρυσή σπείρα; Η φωτογραφία
πάνω δείχνει την τομή ενός κοχυλιού για να δούμε τους
εσωτερικούς του θαλάμους. Για σύγκριση, η πραγματική χρυσή
σπείρα εμφανίζεται στα αριστερά. Εάν αυτές οι δύο σπείρες ήταν επάλληλες δεν θα
ταίριαζαν και δεν θα είχε σημασία πόσο περιορίστηκαν ή εναρμονίστηκαν. Στην
πραγματικότητα, το σχέδιο για την αριστερή εικόνα δεν είναι αρκετά σωστό.
Βρέθηκε σε μια ιστοσελίδα, ότι είναι κατασκευασμένο με κυκλικά τμήματα τόξου τα
οποία βρίσκονται μέσα σε κάθε ένα τετράγωνο. Αυτή η καμπύλη έχει ασυνεχείς
καμπυλότητες όταν εισέρχονται μέσα στο άλλο τετράγωνο. Η πραγματική σπείρα
Fibonacci άλλαξε ομαλά την καμπυλότητά της. Η διαφορά δεν θα ήταν αισθητή στο
μάτι σε αυτή την κλίμακα.
Η ουρά του παγωνιού.
Αυτό το παγώνι αποτελεί μια ιδιαιτερότητα για τους ερευνητές μαθηματικούς. Οι
κηλίδες στην ουρά και στα φτερά του φαίνονται να διαμορφώνουν σπειροειδή
σχέδια. Είναι και αυτά η "χρυσή σπείρα" ή
κάποιο άλλο είδος σπείρας. Η ακριβής
μαθηματική εξίσωση της σπείρας εξαρτάται
από το πόσο μακριά το πτηνό επιλέγει να
ανοίξει την ουρά του. Μπορεί να την κάνει
ό,τι θέλει. Μήπως αυτό το μοτίβο λέει κάτι
επιστημονικά σημαντικό γεγονός για τη άβια
βιολογία; Καθόλου απίθανο.

21. Η ουρά του Χαμαιλέοντα.
Αριστερά απεικονίζεται η ουρά του χαμαιλέοντα. Έχει να μας πει κάτι με την
κουλουριασμένη του ουρά. Είναι απλό. Αρχίστε με μια ουρά που είναι ουσιαστικά
ένας μακρύς
κυλινδρικός κώνος, και τυλίξτε τον σφιχτά. Το αποτέλεσμα είναι εξίσου καλό με
εκείνο του είδους chambered nautilus, με το κέλυφος του οποίου ο καθένας μπορεί
να κάνει μια τέτοια απεικόνιση. "Τα παραπάνω ζώα αποκαλύπτουν το απλό μυστικό
των σπειρών στη φύση, που συχνά προκύπτουν από την ανάπτυξή τους. Καθώς ο
nautilus μεγαλώνει, το ελεύθερο άκρο του κελύφους του
αυξάνει συνεχώς τη διάμετρό του, με σχεδόν σταθερό ρυθμό.
Η καμπύλη περιορίζεται γύρω από το υπάρχον κέλυφος. Το
αποτέλεσμα είναι μια καμπύλη σπείρα. Θα μπορούσατε να
δείτε κάτι τέτοιο από μόνοι σας, αν παρατηρήσετε τα κοινά
σαλιγκάρια του κήπου, που φτιάχνουν ένα ωραίο σπιράλ( το
οποίο είναι η χρυσή σπείρα), που προκύπτει από τον τρόπο με
τον οποίο το κέλυφος τους μεγαλώνει.
Παρθενογένεση στο μελίσσι
Το πρόβλημα με τα κουνέλια του Φιμπονάτσι είναι ότι αποτελούν μια
εξιδανικευμένη υπόθεση. Υπάρχει λοιπόν στη φύση κάποιο υπαρκτό παράδειγμα
που συναντάμε αυτή τη χρυσή ακολουθία; Υπάρχει, στο γενεαλογικό δέντρο κάθε
κηφήνα σε ένα μελίσσι. Το εν λόγω έντομο γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο
αβγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι και πατέρα.
Αντιθέτως, τόσο η βασίλισσα (η μοναδική που μπορεί να κάνει αβγά) όσο και οι
εργάτριες γεννιούνται από αβγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό. Αυτές,
λοιπόν, έχουν και πατέρα και μητέρα. Επομένως, το γενεαλογικό δέντρο του
κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής: έχει 1 μητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό και
θηλυκό), 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και μία του
παππού), 5 προ-προπαππούδες, 8 προ-προ-προπαππούδες και ούτω καθεξής. Το
γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι μια ακολουθία Φιμπονάτσι! Και όχι μόνο
αυτό. Το 1966, ο Νταγκ Γιανέγκα, από το Μουσείο Έρευνας στην Εντομολογία του
Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας, ανακάλυψε ότι η αναλογία που υφίσταται

22. ανάμεσα σε εργάτριες μέλισσες και κηφήνες σε ένα μελίσσι προσεγγίζει το χρυσό
αριθμό.
ΦΥΤΑ
Στον μεγαλύτερο αριθμό των φυτών, ένα συγκεκριμένο κλαδί ή φύλλο θα
μεγαλώσει από τον κορμό περίπου κατά 137,5 μοίρες γύρω από τον βλαστό σε
σχέση με το προηγούμενο κλαδί. Με άλλα λόγια, όταν ένα κλαδί αναπτύσσεται έξω
από το φυτό, το φυτό μεγαλώνει αναλογικά και στη συνέχεια βγάζει ένα άλλο κλαδί
που περιστρέφεται κατά 137,5 μοίρες σε σχέση με την κατεύθυνση που είχε
Σχεδόν όλα τα φυτά χρησιμοποιούν με αυτό τον τρόπο ένα σταθερό τόξο
περιστροφής, που είναι οι 137,5 μοίρες. Ωστόσο, πιστεύεται ότι η πλειονότητα του
συνόλου των φυτών που κάνουν χρήση είτε της περιστροφής των 137,5 μοιρών ή
μιας περιστροφής πολύ κοντά σε αυτή, έχουν ως το βασικό αριθμό στα φύλλα τους
ή τα διασπαρμένα κλαδιά τους, στέλνοντας έξω κάθε φύλλο ή κλαδί, μετά την
περιστροφή γύρω από τις 137,5 μοίρες περίπου σε σχέση με το προηγούμενο κλαδί.
Αν επρόκειτο να πολλαπλασιάσει την τιμή του άνω του 1 Φι στη δεύτερη δύναμη
(0,3819659 ...) φορές τον συνολικό αριθμό των μοιρών σε έναν κύκλο (360ο),
παίρνουμε ένα αποτέλεσμα που δεν είναι άλλο από τις... 137,50 μοίρες. Ως

23. εναλλακτικό τρόπο για να δούμε την ίδια ιδέα, αν παίρναμε την τιμή 1 σε Φι
(0,6180339 ...) και το πολλαπλασιάζουμε με τις 360ο, θα παίρνουμε περίπου 222,5
μοίρες. Αν αφαιρέσουμε έπειτα τις 222,5ο από τις 360ο βρίσκουμε και πάλι 137,5ο
δηλαδή, με άλλα λόγια, η ζητούμενη γωνία στο 1 Φι είναι πάνω από 137,5ο, στην
οποία συμβαίνει επίσης να είναι η τιμή της πάνω από 1 Φι στη δεύτερη δύναμη
φορές 360ο.
Έτσι, αν ακολουθήσουμε τις περιγραφές των μαθηματικών, είναι σαφές ότι κάθε
φυτό που εφαρμόζει τις 137,5 μοίρες περιστροφής στα διασπαρμένα φύλλα ή
κλαδιά του, χρησιμοποιεί την τιμή Φι ουσιαστικά σαν φόρμα. Λαμβάνοντας υπόψη
τη συζήτησή μας στην προηγούμενη ενότητα για το Φι στη γεωμετρία, είναι
ενδιαφέρον να σημειωθεί η ισορροπία του πεντάκτινου αστεριού, που φαίνεται στα
φυτά που χρησιμοποιούν τις 137,5 μοίρες περιστροφής, όταν δούμε το διάγραμμα
από τα ψηλά.
Σίγουρα μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μια πολύ καλή "επιστημονική" εξήγηση,
για τον λόγο που τα φυτά χρησιμοποιούν τις 137,5 μοίρες περιστροφής για την
αύξηση των φύλλων τους. Με απλά λόγια, αυτό το ακριβές ποσό της περιστροφής
είναι η αιτία που προκαλεί μικρότερο ποσοστό κάλυψης για κάθε φύλλο από τα
φύλλα που βρίσκονται υψηλότερα επί του στελέχους. Αν παρατηρήσουμε τη
φωτογραφία με τα δέκα φύλλα, βλέπουμε ότι κάθε φύλλο ξεχωρίζει, όταν τα
κοιτάμε από την κορυφή. Αυτό σημαίνει ότι κάθε φύλλο λαμβάνει το μέγιστο ποσό
φωτός του ήλιου που χρειάζεται για να τη φωτοσύνθεσή του, δηλαδή, τη
διαδικασία με την οποία τα φυτά παίρνουν διοξείδιο του άνθρακα ως ενέργεια για
την ανάπτυξη και την επιβίωσή τους. Επιπλέον, η περιστροφή Φι συμβάλλει
σημαντικά στη γενική ισορροπία του φυτού, ανεξάρτητα από την ανάπτυξή του.
Αρχίζουμε να βλέπουμε ότι το Φι δεν είναι μόνο ένας φιλοσοφικός αριθμός, αλλά
στην πραγματικότητα οδηγεί ορισμένες μορφές ζωής στη μέγιστη αποδοτικότητα.
Αν ο ρυθμός περιστροφής, διέφερε έστω και λίγο από τις 137,5 μοίρες, τότε
αθροιζόμενη η μικρή αυτή ασυμφωνία της περιστροφής των φύλλων, θα οδηγούσε
συνολικά σε μια μεγάλη απώλεια της αποτελεσματικότητας. Ο συντελεστής της
περιστροφής που διέπεται από το Φι, είναι για άλλη μια φορά, ο μόνος αριθμός

24. που μπορεί να παράγει τέλεια αποδοτικότητα και θα παραμείνει έτσι, ανεξάρτητα
από το τελικό μέγεθος και την διάσταση που θα φτάσει το φυτό.
Αν συνεχίσουμε μετά το μίσχο ή τα κλαδιά πολλών φυτών θα βρούμε το μέρος του
φυτού που είναι υπεύθυνο για τη δημιουργία του σπόρου, που είναι το λουλούδι.
Τα λουλούδια αποτελούνται από έναν περικάρπιο ή βασικό σπόρο που
περιβάλλεται από πέταλα. Δεν είναι τυχαίο ότι εάν επρόκειτο να μετρήσουμε τον
αριθμό των πετάλων σε οποιοδήποτε φυτό, οι περισσότερες πιθανότητες είναι ο
αριθμός των πετάλων να είναι μια σειρά από τη σειρά Fibonacci, που έχουμε ήδη
μάθει ότι ουσιαστικά εκφράζει την αναλογία Φι.
Η ομαδοποίηση των σπόρων του φυτού σε ξεφλουδισμένους σπόρους - κουκούτσια
ή σκέτους σπόρους, ρυθμίζεται συχνά απευθείας από το Φι. Ίσως το πιο όμορφο και
γνωστό παράδειγμα της χρήσης του Φι στην οργάνωση σπόρων, είναι στο
μαγευτικό φυτό γνωστό ως το ήλιος. Οι σπόροι του βρίσκονται στο κέντρο των
μεγάλων λουλουδιών του ηλίανθου έχουν ένα πολύ συγκεκριμένο γεωμετρικό
σχήμα.
Αν κάποιος παρακολουθήσει προσεκτικά, θα δει ότι υπάρχει ένα σχέδιο με δύο
σταυρωτές σειρές από σπείρες, η μια σειρά από σπείρες με στροφή προς τα δεξιά,
και η άλλη με στροφή προς τα αριστερά. Σε κάθε σημείο που διασταυρώνονται οι
δύο σπείρες βρίσκεται ένας σπόρος. Ο αριθμός των αριστερόστροφων σπειρών
είναι 55 και ο αριθμός των σπειρών δεξιόστροφων είναι 89 - και οι δύο αριθμοί
είναι του Fibonacci. Αν αναλύσουμε τα ποσοστά αυτών των δύο
εναλλασσόμενων σπειρών, θα ανακαλύψουμε ότι αυτές αποτελούν αποκλειστικά
τη Χρυσή Σπείρα.
Τα πεύκα, επίσης, επηρεάζονται σημαντικά από τους αριθμούς και την αναλογία Φι.
Οι βελόνες που αναπτύσσονται στα κλαδιά των δέντρων δημιουργούν μικρές
ομάδες. Ο αριθμός των βελόνων που μετριέται σε μια συγκεκριμένη ομάδα, είναι
βέβαιο ότι θα είναι ένας αριθμός Fibonacci και τα διάφορα είδη πεύκου κάνουν
χρήση διαφορετικών αριθμών Fibonacci - τις περισσότερες φορές 3, 5, ή 8 βελόνες
ανά ομάδα.
Επίσης, η επιφανειακή διαμόρφωση του κουκουναριού καθορίζεται από την
αναλογία Φι, που για άλλη μια φορά δημιουργείται από δύο αντίστροφα

25. περιστρεφόμενα σύνολα σπειρών, όπως είδαμε και στον ηλίανθο. Στα κουκουνάρια
βρίσκουμε ή πέντε και οκτώ περιστρεφόμενες σειρές σπειρών μεταξύ τους, ή οκτώ
και δεκατρείς, ανάλογα με το είδος του πεύκου. Μην παραλείψετε να σημειώσετε
ότι το κουκουνάρι χρησιμεύει για την ίδια λειτουργία όπως και το λουλούδι του
ηλίανθου, δηλαδή, αυτή του κομιστή σπόρων για τη σπορά.Το ίδιο σπειροειδές
σχήμα της Χρυσής Σπείρας, μπορεί να παρατηρηθεί στη διανομή σπόρων για τη
σπορά πολλών κάκτων.
Από τους μαθητές:
Αντωνιάδη Ανδρέα
Βασιλείου Βύρωνα
Κοκοτσάκη Γιώργο
Σούκουλι Άγγελο

26. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΙΣ ΤΕΧΝΕΣ
ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ
Ανέκαθεν, τα µαθηµατικά έπαιζαν ένα σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης.
Κατά καιρούς αναδείχθηκαν εξέχουσες µορφές, οι οποίες χρησιµοποίησαν
µαθηµατικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης τους. Πολλοί γνωστοί και
καταξιωμένοι ζωγράφοι, έκρυβαν το μυστικό της απόλυτης συμμετρίας των
πινάκων τους. Αυτό δεν είναι άλλο από την χρυσή τομή. Ενδεικτικά: Λεονάρντο Ντα
Βίντσι, Βίνσεντ Βαν Γκονγκ, Σάντρο Μποτιτσέλι. Με τη χρυσή τομή κατάφερναν να
δημιουργήσουν πίνακες αισθητικά τέλειους. Επίσης, οι πίνακές τους ήταν απολύτως
φυσικοί, εφόσον η χρυσή τομή βρίσκεται στη φύση.
Για παράδειγμα ο πίνακας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ευαγγελισμός της Θεοτόκου,
είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαγώνιο τη ρίζα του 5. Αναλύοντας τον
πίνακα βλέπουμε ότι αποτελείται από ένα μεγάλο τετράγωνο (στα δεξιά), όπου
βρίσκεται η Παναγία, και 2 χρυσά ορθογώνια (στα αριστερά), τα οποία διαιρούνται
το καθένα σε ένα μικρότερο τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο. Με
βάση το διαχωρισμό αυτό καθορίζονται οι κύριες περιοχές του πίνακα.

27. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα µαθηµατικά
στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηµατικές µελέτες. Μελέτησε τις
αναλογίες του ανθρωπίνου σώµατος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο
πρόσωπο.
ΜΟΝΑ ΛΙΖΑ
Ένα από τα πιο φηµισµένα και αµφιλεγόµενα έργα του Λεονάρντο Ντα Βίντσι είναι
και η «Μόνα
Λίζα». Ο Ντα
Βίντσι
ζωγράφισε το
πρόσωπο της
Μόνα Λίζα ώστε
αυτό να χωράει
τέλεια σε ένα
χρυσό
ορθογώνιο και
δόµησε τον
υπόλοιπο
πίνακα γύρω
από το
πρόσωπο
χωρίζοντάς τον
επίσης σε χρυσά
ορθογώνια.

28. Ο ΜΥΣΤΙΚΟΣ ΔΕΙΠΝΟΣ
Πρόκειται για µια τοιχογραφία στον τοίχο της µονής Σάντα Μαρία ντέλε Γκράτσιε
που ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι την ξεκίνησε το 1495 και την τελείωσε το 1498.
Ο “Μυστικός ∆είπνος” του Λεονάρντο είναι γεµάτος ανησυχητικές εκτροπές:
δενυπάρχει το Άγιο ∆ισκοπότηρο, ούτε δείχνει το Χριστό να θεσπίζει το µυστήριο
της Θείας Ευχαριστίας. Στα πρόσωπα δε των µαθητών αναγνωρίζει κανείς τα
πορτραίτα επιφανών ετερόδοξων της εποχής του και το έργο ολόκληρο φαίνεται ότι
µεταφέρει ένα συγκλονιστικό κρυφό µήνυµα. Παρόλα αυτά το έργο µάς
εντυπωσιάζει ακόµα και σήµερα καθώς είναι µια πραγµατική και θαυµαστή µελέτη
του ¨χρυσού κανόνα".
Πολλα ακομα εργα τεχνης είναι φτιαγμενα με βαση την χρυση τομη. Καποια από
αυτά είναι
Holy Family του Michelangelo
Το σύμβολο του πεντάλφα συνδέεται με
τη χρυσή τομή φ: ο λόγος κάθε ευθύγραμμου
τμήματος που εμφανίζεται σε αυτή ως προς το
αμέσως μικρότερό του ισούται με τη χρυσή
τομή.

29. Αυτοπροσωπογραφία του
Ρέµπραντ
The Birth of Venus Botticelli

30. Bathers at asnières
ΜΟΥΣΙΚΗ
Στο βιολί η εµφάνιση της χρυσής τοµής
είναι συχνή. Το ηχείο του βιολιού έχει
δώδεκα ή περισσότερα τόξα
καµπυλότητας σε κάθε πλευρά. Το
επίπεδο τόξο στη βάση συχνά
επικεντρώνεται στο σηµείο Χρυσής Τοµής
που βρίσκεται στην κάθετο προς το
κεντρικό ευθύγραµµο τµήµα.
Αλλά και το ηχείο της
κιθάρας είναι
σχεδιασμένο με βάση τη
χρυσή τομή.

31. Στο πιάνο, η οκτάβα του πληκτρολογίου
αποτελείται από δεκατρία πλήκτρα, οκτώ λευκά
και πέντε µαύρα. Τα πέντε µαύρα µε τη σειρά
τους, αποτελούν µία οµάδα δύο πλήκτρων και
µία τριών. Οι αριθµοί 2,3,5,8,13 είναι
διαδοχικοί αριθµοί Fibonacci.
Και στις βασικές συγχορδίες όμως οι
φωνές είναι σχεδιασμένες σύμφωνα με
τους αριθμούς Fibonacci.
Στη Ντο ματζόρε: Μι :3
Σολ :5
Ντο :8
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ
Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που
χρησιμοποίησαν την αναλογία της Χρυσής Τομής στο
κτίσιμο των πυραμίδων. Η αναλογία της κοινής
εξωτερικής περιοχής της πυραμίδας στον τομέα της
βάσης του είναι ίσος με τη "χρυσή αναλογία"
Αυτό είναι το κύριο γεωμετρικό μυστικό της
πυραμίδας Χέοπος.

32. Η πρόσοψη του Παρθενώνα, καθώς και τα
στοιχεία της πρόσοψης αυτού λέγεται από
κάποιους ότι οριοθετήθηκαν από ορθογώνια με
χρυσές αναλογίες.[7]
Άλλοι
μελετητές αρνούνται ότι οι
Έλληνες είχαν κάποια αισθητική
συσχέτιση με τη χρυσή
αναλογία.
Στο σχέδιο του Παρθενώνα δεν
υπάρχει ούτε µία ευθεία γραµµή
αλλά παντού συναντάµε απαλές καµπύλες. Στις αναλογίες του
συναντάµε το χρυσό αριθµό Φ και την σχέση α/2α+1.
Το θέατρο της ∆ωδώνης χωριζόταν σε
τρία διαζώµατα (µε 19 σειρές εδωλίων το
κάτω, 15 το µεσαίο και 21 το επάνω) και
εννέα κερκίδες. Κι εδώ παρατηρούµε την
παρουσία των αριθµών Φιµπονάτσι 21
και 34 (19+15) και την εµφάνιση της
χρυσής τοµής.

33. Ο Πύργος Τηλεπικοινωνιών (CN Tower) στο Τορόντο, ο
ψηλότερος
πύργος στον κόσμο, περιλαμβάνει τη χρυσή τομή στο
σχεδιασμό του. Ο λόγος του συνολικού ύψους του, 553,33
μέτρα, προς το ύψος του
“καταστρώματος παρατήρησης” (observation deck), 342
μέτρα, είναι 1,618 δηλαδή ο αριθμός φ .
Ταζ Μαχάλ
Notre Dame

34. ΓΛΥΠΤΙΚΗ
Ο Μιχαήλ Άγγελος, εκτός από τη ζωγραφική,
χρησιµοποίησε τη χρυσή τοµή και στη γλυπτική,
όπως στο δηµιούργηµά του «∆αυίδ». Οι αναλογίες
του ∆αυίδ συµµορφώνονται µε τη χρυσή τοµή από τη
θέση του οµφαλού σε σχέση µε το ύψος του µέχρι τη
θέση των αρθρώσεων στα δάχτυλά του.
Στην Αφροδίτη της Μήλου,
αριστούργημά του
Αγήσανδρου ή Αλέξανδρου της
Αντιοχείας, η θέση του
ομφαλού επίσης χωρίζει το
άγαλμα σε µμέσο και άκρο λόγο.
ΣΗΜΕΡΑ
Στη σύγχρονη εποχή, ο Le Corbusier µεταχειρίστηκε το σύστηµα της χρυσής τοµής
για να σχηµατίσει το δικό του σύστηµα αναλογιών, γνωστό ως Modulor, εργαλείο
µέτρησης βασισµένο στο ανθρώπινο σώµα και τα µαθηµατικά.

35. Στο άγαλµα «Le Modulor» µε βάση τις ιδανικές
διαστάσεις που πρότεινε ο Le Corbusier στο
οµότιτλο βιβλίο του, ο άντρας ύψους 183 εκ.,
µε το σηκωµένο χέρι φτάνει τα 226 εκ., ενώ ο
οµφαλός του βρίσκεται ακριβώς στη µέση, στα
113 εκ. Ο λόγος 183/113, αντιστοιχεί µε µεγάλη
προσέγγιση στο χρυσό λόγο.
Εργασία των μαθητών:
Καράντζαλου Ζωή
Καραχάλιου Ευαγγελία
Κουτρομάνου Νικολέττα
Μοροσίδου Σαββούλα

36. Πηγές:
www.papadakismanolis.gr
www.p-theodoropoulos.gr
www.sonom.gr
www.xrysitomi-fro.gr
Wikipedia
<< Η Χρυσή Τομή>> Scott Olsen
Σχολικό Βιβλίο Γεωμετριας