1. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 1
1 多項式函數的極限與導數
1-1 函數及其圖形
x 1
1. 求函數 f x 的定義域與值域﹒
x2
解﹕(1)因為分母不可為零﹐所以 f x 的定義域為 x | x 2, x ﹒
x 1 2 y 1
(2)令 y ﹐則 x ﹐ y 1﹒
x2 y 1
所以 f x 的值域為 y | y 1, y ﹒
2. 求函數 f x 2 x 3 4 的定義域與值域﹒
解﹕(1)因為對於所有實數 x ﹐ f x 都有意義﹐
所以定義域為 ﹒
(2)因為 x 3 0 ﹐所以 f x 2 x 3 4 4 ﹒
故 f x 的值域為 y | y 4, y ﹒
1
3. 求函數 f x 的定義域與值域﹒
4 x2
解﹕(1)由分母 4 x 2 0 ﹐得 2 x 2 ﹐
因此﹐定義域為 x | 2 x 2, x ﹒
(2)因為 0 4 x 2 4 ﹐所以
1 1
0 4 x 2 2 ﹐即 ﹒
4 x2 2
2. 2 第 1 章 多項式函數的極限與導數
1
故 f x 的值域為 y | y , y ﹒
2
4. 求函數 f x 8 2 x x 2 的定義域與值域﹒
解﹕(1)因為根號內不可為負數﹐所以
8 2x x2 0 x2 2x 8 0 ﹒
整理得 x 4 x 2 0 4 x 2 ﹒
故 f x 的定義域為 x | 4 x 2, x ﹒
2
(2)因為 f x 8 2 x x 2 x 1 9
且 4 x 2 ﹐所以 0 f x 3 ﹒
故 f x 的值域為 y | 0 y 3, y ﹒
1
5. 求函數 f x 的定義域與值域﹒
3 2 x x2
解﹕(1)因為根號內不可為負數﹐且分母不可為零﹐所以
3 2 x x2 0 x 2 2 x 3 0 ﹒
解得 1 x 3 ﹒
故 f x 的定義域為 x | 1 x 3, x ﹒
2
(2)因為 3 2 x x 2 x 1 4 且 1 x 3 ﹐所以
2
0 x 1 4 4 ﹒
因此 0 3 2 x x 2 2 ﹐即
1 1
﹒
3 2x x 2 2
1
故 f x 的值域為 y | y , y ﹒
2
3. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 3
6. 求函數 f x log 3 9 x 2 的定義域與值域﹒
解﹕(1)因為真數 9 x 2 0 ﹐即 3 x 3 ﹐
所以 f x 的定義域為 x | 3 x 3, x ﹒
(2)因為 0 9 x 2 9 ﹐所以
log 3 9 x 2 log 3 9 2 ﹒
故 f x 的值域為 y | y 2, y ﹒
2x2 x 3
7. 作函數 f x 的圖形﹒
x 1
解﹕因為分母不可為 0﹐所以 f x 的定義域
為 x | x 1 ﹒又因為當 x 1 時﹐
2 x 2 x 3 x 1 2 x 3
f x 2x 3 ﹐
x 1 x 1
所以 y f x 的圖形是直線
y 2 x 3 去掉點 1, 5 ﹐如圖所示﹕
4. 4 第 1 章 多項式函數的極限與導數
1
8. 求函數 f x 2
的值域及其圖形的最高點坐標﹒
x 2x 3
1 2
解﹕(1)由 f x 2
及 x 1 2 2 ﹐得
x 1 2
1
0 f x ﹒
2
1
於是 f x 的值域為 y | 0 y , y ﹒
2
1
(2)因為當 x 1 時﹐ f x 有最大值 ﹐
2
1
所以 f x 之圖形的最高點為 1, ﹒
2
5. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 5
1-2 極限的概念
1. 求下列各極限的值﹕
2x 3 x2 1 x2 x 2
(1) lim ﹒ (2) lim 2 ﹒
x2 x 2 3 x 1 x 3 x 4 x2 1
2 x 3 lim 2 x 3 2 2 3
解﹕(1) lim x2 2 2 1﹒
x2 x 2 3 lim x 3 2 3
x2
x2 1 x2 x 2 x 1 x 2 x 1 x2
(2) lim 2 2 lim lim lim
x 1 x 3 x 4 x 1 x 1 x 4 x 1 x 1 x 4 x1 x 1
11 1 2 2 3 11
﹒
1 4 11 5 2 10
2. 求下列各極限的值﹕
x 1 10 x 10 x4 2
(1) lim
x 5 x 5
2 ﹒ (2) lim 2 ﹒
x 25 x 3 x 3
x 4x 3
x 1 10 x 10
解﹕(1) lim
x2 4x 5 x 5 x 1
2 lim 2
x 5 lim
x 5 x 5
x 25 x 25 x 5 x 5 x 5
x 1 5 1 3
lim ﹒
x 5 x5 55 5
x4
(2) lim 2
2
lim
x 4 x 1 2 lim x2 5 x 6
x 3 x 3
x 4 x 3 x3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 3
x2 32 1
lim ﹒
x 3 x 1 3 1 2
6. 6 第 1 章 多項式函數的極限與導數
10
3. 求 lim
x 1 1
的值﹒
x 0 x
10
解﹕ lim
x 1 1
lim
C 10 x10 C 10 x9 C 10 x C 10 1
0 1 9 10
x0 x x0 x
lim C 10 x9 C 1 x8 C 10 C 10 10 ﹒
0
10
9 9
x 0
x2 2 x
4. 求 lim 的值﹒
x 0 x
x2 2 x x2 2x
解﹕因為右極限﹕ lim lim lim x 2 2 ﹐
x 0 x x 0 x x0
x2 2 x x2 2 x
左極限﹕ lim lim lim x 2 2 ﹐
x 0 x x 0 x x 0
x2 2 x
即右極限 左極限﹐所以極限 lim 的值不存在﹒
x 0 x
f x f x f 1
5. 已知函數 f x 滿足 lim f x f 1 且 lim 2 ﹐求 lim 的
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
值﹒
f x f x
解﹕因為 lim f x lim x 1 lim lim x 1 2 0 0 ﹐
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
且 lim f x f 1 ﹐所以 f 1 0 ﹒
x 1
f x f 1 f x
故 lim lim 2﹒
x 1 x 1 x 1 x 1
7. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 7
x2 x a
6. 設 a ﹐ b 為實數﹐且 lim b ﹐求 a ﹐ b 的值﹒
x2 x2
x2 x a
解﹕因為 lim x 2 0 ﹐且 lim b ﹐所以
x2 x2 x2
lim x 2 x a 0 ﹐
x2
即 4 2 a 0 ﹒解得 a 6 ﹒於是
x2 x a x2 x 6
b lim lim lim x 3 5 ﹒
x2 x2 x2 x2 x2
故 a 6 ﹐ b 5 ﹒
f x f x
7. 已知三次多項式 f x 滿足 lim 1 且 lim 3 ﹐求 f x ﹒
x 1 x 1 x2 x 2
解﹕因為 f x 為多項式﹐所以 lim f x f 1 ﹒
x 1
又因為
f x f x
lim f x lim x 1 lim lim x 1 1 0 0 ﹐
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
因此 f 1 0 ﹒同理可得 f 2 0 ﹒
由因式定理得知﹐ x 1 與 x 2 都是 f x 的因式﹒因此﹐可設
f x ax b x 1 x 2 ﹒
由題意﹐得
f x
1 lim lim ax b x 2 a b ﹐
x 1 x 1 x1
f x
lim ax b x 1 2a b ﹒
3 lim
x2 x 2 x 2
解得 a 4 ﹐ b 5 ﹒
故 f x 4 x 5 x 1 x 2 4 x 3 17 x 2 23x 10 ﹒
8. 8 第 1 章 多項式函數的極限與導數
x3 2, x 1
8. 已知函數 f x 2 在 x 1 處連續﹐求實數 k 的值﹒
x k , x 1
解﹕因為 f x 在 x 1 處連續﹐所以 lim f x f 1 ﹒
x 1
又因為 f 1 13 2 3 ﹐且當 x 從 1 的左邊趨近 1 時
﹐ f x 會趨近於 12 k 1 k ﹐所以
1 k 3 ﹒
解得 k 4 ﹒
9. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 9
1-3 割線與切線
1. 已知 P 3,3 是二次函數 f x x 2 2 x 圖形上的一個定點﹐而 Q x, x 2 2 x
是該圖形上異於 P 的動點﹒問當 x 的值為多少時﹐割線 PQ 的斜率為 5﹒
解﹕由斜率的定義﹐得
f x f 3 x 2 2 x 3 x 3 x 1 5 ﹐
5
x 3 x 3 x 3
即 x 1 5 ﹒
解得 x 4 ﹒
2. 已知點 P 2,3 在二次函數 f x x 2 x 1 的圖形上﹐求以 P 點為切點的切
線方程式﹒
解﹕以 P 點為切點的切線斜率為
f x f 2 x2 x 2 x 1 x 2
lim lim lim
x2 x2 x2 x2 x2 x2
lim x 1 3 ﹒
x2
故過 P 點的切線 L 的方程式為 y 3 3 x 2 ﹐即
L ﹕ 3x y 3 ﹒
3. 已知點 P 1, 4 在二次函數 f x x 2 3 x 的圖形上﹐求以 P 點為切點的
切線方程式﹒
解﹕以 P 點為切點的切線斜率為
f x f 1 x 2 3x 4 x 1 x 4
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
lim x 4 5 ﹒
x 1
故過 P 點的切線 L 的方程式為 y 4 5 x 1 ﹐即
L ﹕ 5 x y 1 ﹒
11. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 11
4. 已知點 P 1,1 在三次函數 f x 2 x 3 x 的圖形上﹐求以 P 點為切點的切
線方程式﹒
解﹕以 P 點為切點的切線斜率為
f x f 1 2 x3 x 1
lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
lim 2 x 2 2 x 1 5 ﹒
x 1
故過 P 1,1 的切線 L 的方程式為 y 1 5 x 1 ﹐即
L ﹕ 5x y 4 ﹒
5. 設有一運動質點的位移函數為 s t t 4 ﹐求此質點在時刻 t 2 的瞬時速
度﹒
解﹕時刻 t 2 的瞬時速度為
s t s 2 t 4 16
lim lim lim t 2 t 2 4 32 ﹒
t 2 t 2 t 2 t 2 t 2
6. 設在一個培養細菌的容器中﹐經 t 小時後細菌個數 N t (萬個)為
N t t 2 4t 5 (0 t 6) ﹒
(1)求時刻 t 1 到 t 3 時﹐細菌個數的平均變化率﹒
(2)求時刻 t 1 時﹐細菌個數的瞬時變化率﹒
解﹕(1)時刻 t 1 到 t 3 時﹐細菌個數的平均變化率為
N 3 N 1 2 2
0 (萬個/小時)﹒
3 1 2
(2)時刻 t 1 時﹐細菌個數的瞬時變化率為
N t N 1 t 2 4t 3
lim lim
t 1 t 1 t 1 t 1
lim t 3 2 (萬個/小時)﹒
t 1
13. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 13
7. 設 a ﹐ b 為實數﹐ f x ax 3 bx 5 ﹒若 f x 在 x 0 到 x 1 的平均變化
率為 4﹐在 x 1 到 x 3 的平均變化率為 8 ﹐則 a ﹐ b 的值為何?
解﹕由題意可列得聯立方程組
f 1 f 0 a b 5 5
4
1 0 1 a b 4
﹒
f 3 f 1 27 a 3b 5 a b 5 8 13a b 8
3 1 2
解得 a 1 ﹐ b 5 ﹒
8. 探照燈的反射鏡面是拋物面﹐當光源放在焦點處時﹐可將光線投射至很
遠的距離﹒如果想把一個鏡口直徑為 80 公分﹑鏡深為 40 公分的反射鏡﹐
其鏡口直徑與鏡深都增加 10 公分﹐那麼光源離反射鏡頂點的距離應增加
幾公分﹖
解﹕設原鏡面是由拋物線 y 2 4c1 x 製作而成﹐如圖所示﹒
因為拋物線通過點 P 40, 40 ﹐所以
402 4c1 40 c1 10 ﹐
即原焦點的坐標為 F1 10, 0 ﹒
又設新鏡面是由拋物線 y 2 4c2 x 製作而成﹒
因為拋物線通過點 Q 50, 45 ﹐所以
81
452 4c2 50 c2 ﹐
8
81
即新焦點的坐標為 F2 , 0 ﹒
8
81 1
故光源離反射鏡頂點的距離應增加 10 公分﹒
8 8
14. 14 第 1 章 多項式函數的極限與導數
1-4 導數與切線的斜率
1. (1)設 f x 2 x 3 3 x 2 5 x 12 ﹐求導數 f 1 的值﹒
(2)設 f x x 2 x 1 x 2 x 10 ﹐求導數 f 1 的值﹒
解﹕(1)由微分公式﹐得
f x 6x2 6x 5 ﹒
故 f 1 6 6 5 17 ﹒
(2)由微分公式﹐得
f x 2 x 1 x 2 x 10 x 2 x 1 2 x 1 ﹒
故 f 1 3 10 3 1 33 ﹒
3
2. 設 f x x 2 1 x ﹐求導數 f 2 的值﹒
解﹕由微分公式﹐得
3
2
f x 2 x 1 x x 2 3 1 x 1 ﹒
故 f 2 4 1 4 3 16 ﹒
3. 已知點 P 2,1 在函數 f x x 3 6 x 2 5 x 7 的圖形上﹐求以 P 點為切點的
切線方程式﹒
解﹕因為 f x 3 x 2 12 x 5 ﹐所以以 P 點為切點的切線之斜率為
f 2 3 22 12 2 5 7 ﹒
故切線方程式為 y 1 7 x 2 ﹐即
7 x y 15 ﹒
15. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 15
4. 已知在函數 f x x 2 2 x 5 的圖形上﹐以 P 點為切點的切線斜率為 6﹐
求 P 點的坐標﹒
解﹕函數 f x 的導函數為 f x 2 x 2 ﹒
設切點 P a, b ﹒因為以 P 點為切點的切線斜率為 6﹐所以
f a 2a 2 6 ﹒
解得 a 2 ﹒
因為 P 點在 f x x 2 2 x 5 的圖形上﹐所以
b 22 2 2 5 3 ﹒
故 P 點的坐標為 2,3 ﹒
5. 已知平行於直線 9 x y 2 0 ﹐且與曲線 y f x x 3 12 x 3 相切的直線
有兩條﹐求此兩條平行直線的距離﹒
解﹕函數 f x 的導函數為 f x 3x 2 12 ﹒
因為直線 9 x y 2 0 的斜率為 9 ﹐所以令
f x 3x 2 12 9 x 2 1 ﹒
解得 x 1 ﹒
因此﹐兩切點的坐標分別為 1, 8 ﹐ 1,14 ﹒
於是﹐兩切線方程式為 y 9 x 1 8 與 y 9 x 1 14 ﹐即
9x y 1 0 與 9x y 5 0 ﹒
1 5 4 2 82
此兩條平行直線的距離為 ﹒
2
9 1 2
82 41
16. 16 第 1 章 多項式函數的極限與導數
6. 已知 P 3,15 為拋物線 y x 2 3x 1 外一點﹐求通過 P 點的切線方程式﹒
解﹕函數 f x x 2 3 x 1 的導函數為 f x 2 x 3 ﹒
設拋物線上的切點為 Q t , t 2 3t 1 ﹒
因為切線的斜率為
f t 2t 3 ﹒
所以切線方程式為
y t 2 3t 1 2t 3 x t ﹒
將 P 3,15 代入切線方程式﹐得
15 t 2 3t 1 2t 3 3 t t 2 6t 5 0 ﹒
解得 t 1 或 5﹒
(1)當 t 1 時﹐切線方程式為 y 5 5 x 1 ﹐即 5 x y 0 ﹒
(2)當 t 5 時﹐切線方程式為 y 41 13 x 5 ﹐即 13 x y 24 ﹒
故通過 P 點的切線有兩條﹐其方程式分別為
5 x y 0 及 13 x y 24 ﹒
7. 已知從高 100 公尺自由落下的物體﹐經 t 秒後高度為 100 4.9t 2 公尺﹐求
落下 3 秒時的瞬時速度﹒
解﹕函數 f t 100 4.9t 2 的導函數 f t 9.8t ﹒
落下 3 秒後的瞬時速度為
f 3 29.4 (公尺/秒)﹒
17. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 17
8. 設 f x x 3 ﹐求 f 3 的值﹒
解﹕由導數的定義﹐得
f x f 3 x 3
f 3 lim lim ﹒
x 3 x 3 x 3 x 3
因為
x 3 x 3
右極限﹕ lim lim 1﹐
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
左極限﹕ lim lim 1 ﹐
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3
即左極限 右極限﹐所以極限 lim 的值不存在﹒
x 3 x 3
故 f x 在 x 3 處的導數 f 3 不存在﹒
18. 18 第 1 章 多項式函數的極限與導數
第1章 總習作
x10 1 10
1. 求 lim 2
的值﹒
x 1
x 1 x 1
x10 1 10 x10 1 10 x 1
解﹕ lim 2
lim 2
x 1
x 1 x 1 x1
x 1
x 1 x9 x8 x 9
lim 2
x 1
x 1
2
lim
x 1 x 8
2 x7 8x 9
2
x 1
x 1
lim x8 2 x 7 8 x 9
x 1
1 2 9 45 ﹒
x 2 ax b
2. 設 lim 4 ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒
x 1 x 1
x 2 ax b
解﹕因為 lim x 1 0 ﹐且 lim 4 ﹐所以
x 1 x 1 x 1
lim x 2 ax b 0 ﹐
x 1
即 1 a b 0 b 1 a ﹒於是
x 2 ax 1 a x 1 x 1 a lim x 1 a 2 a ﹒
4 lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
解得 a 6 ﹐ b 5 ﹒
19. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 19
x2 6x 8
, 若x2
3. 設函數 f x x 2 且在 x 2 處連續﹐求實數 k 的值﹒
k , 若x2
解﹕因為 f x 在 x 2 處連續﹐所以 lim f x f 2 ﹒
x2
x 2 6 x 8 x 2 x 4
由於﹐當 x 2 時﹐ f x x 4 ﹐於是
x2 x2
lim f x lim x 4 2 4 2 ﹒
x2 x2
又因為 f 2 k ﹐所以
k 2 ﹒
4. 設 f x x 3 4 x 1 ﹐求以 P 1, 4 為切點的切線方程式﹒
解﹕因為 f x 3x 2 4 ﹐所以以 P 點為切點的切線之斜率為
f 1 3 12 4 7 ﹒
故切線方程式為 y 4 7 x 1 ﹐即
7x y 3 ﹒
5. 已知 f x x 2 3x 5 在 x a 處的導數 f a 等於從 x 1 到 x 3 的平均
變化率﹐求實數 a 的值﹒
解﹕因為函數 f x 的導函數為 f x 2 x 3 ﹐所以 f a 2a 3 ﹒
又 f x 從 x 1 到 x 3 的平均變化率為
f 3 f 1 3 3 3 5 1 3 1 5
2 2
7﹒
3 1 2
因此﹐由題意得
2a 3 7 a 2 ﹒
20. 20 第 1 章 多項式函數的極限與導數
6. 已知 f x
x 1 x 2 x 3 x 5 ﹐求 f 1 的值﹒
x4
解﹕根據導數的定義﹐得
f x f 1
f 1 lim
x 1 x 1
lim
x 1 x 2 x 3 x 5
x 1 x 4 x 1
lim
x 2 x 3 x 5
x 1 x4
8
﹒
3
7. 設 f x 為三次多項式函數﹐且 f 1 f 1 0 ﹐ f 2 0 ﹐ f 0 5 ﹐求
f x ﹒
2
解﹕因為 f 1 f 1 0 ﹐ f 2 0 ﹐所以 x 1 及 x 2 可整除 f x ﹒
2
因此﹐可設 f x a x 1 x 2 ﹒由微分公式﹐得
2
f x 2a x 1 1 x 2 a x 1 1 ﹒
因為 f 0 5 ﹐所以 4a a 5 ﹒
解得 a 1 ﹒
2
故 f x x 1 x 2 ﹒
21. 第 1 章 多項式函數的極限與導數 21
8. 求在函數 f x x 3 3 x 2 4 的圖形上﹐斜率最小的切線方程式﹒
解﹕函數 f x 的切線之斜率函數為 f x 3x 2 6 x ﹒將 f x 改寫為
2
f x 3 x 1 3 ﹒
因此﹐在函數 f x 的函數圖形上﹐在 x 1 處的切線其斜率有最小值 3 ﹒
因為此時的切點為 1, 2 ﹐所以斜率最小的切線方程式為 y 2 3 x 1 ﹐
即
3x y 5 ﹒
9. 所謂兩曲線在點 P 相切﹐是指在點 P 有公切線﹒若
拋物線 y x 2 ax b 在點 A 1,1 處與拋物線 y x 2
相切﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒
解﹕函數 y x 2 的導函數 y 2 x ﹒因為 A 1,1 在拋物線
y x 2 上﹐所以在 1,1 處的切線方程式為
y 1 2 x 1 ﹐即
y 2 x 1﹒
因此﹐拋物線 y x 2 ax b 在點 A 1,1 處的切線也是 y 2 x 1 ﹒
由於﹐函數 y x 2 ax b 的導函數 y 2 x a ﹐於是﹐
2 1 a 2 a 4 ﹒
又因為拋物線 y x 2 ax b 過點 A 1,1 ﹐所以
1 a b 1 1 4 b 1 b 2 ﹒
故 a 4 ﹐ b 2 ﹒
22. 22 第 1 章 多項式函數的極限與導數
10. 已知 P 3,8 為拋物線 y x 2 外一點﹐求通過 P 點的切線方程式﹒
解﹕函數 f x x 2 的導函數為 f x 2 x ﹒
設拋物線上的切點為 Q t , t 2 ﹒因為切線的斜率為
f t 2t ﹒
所以切線方程式為
y t 2 2t x t ﹒
將 P 3,8 代入切線方程式﹐得
8 t 2 2t 3 t t 2 6t 8 0 ﹒
解得 t 2 或 4﹒
(1)當 t 2 時﹐切線方程式為 y 4 4 x 2 ﹐即 4 x y 4 ﹒
(2)當 t 4 時﹐切線方程式為 y 16 8 x 4 ﹐即 8 x y 16 ﹒
故通過 P 點的切線有兩條﹐其方程式分別為
4 x y 4 及 8 x y 16 ﹒