わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「ソルバーで組み合わせ問題を解いて遊ぶ」
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わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 http://www.wankuma.com/seminar/20151114nagoya37/ の発表資料です。 補足資料（サンプルプログラム等） http://hhiro.net/wkn37
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わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「ソルバーで組み合わせ問題を解いて遊ぶ」
- 3. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 H.Hiro • 情報系の某研究員です。 • 昨年度まで札幌に住んでました。 • 趣味プログラミング19年目です。 現在はRubyやC++を多用します。
- 6. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • いろいろな「組み合わせ」をコンピュータに 試させる
- 8. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 普通に解こうとすると時間がかかるが 需要がある問題なわけなので 「何とかしたい！」と思う人はたくさんいる • となると、効率よく解くために努力している 人もたくさんいる • そういった方々の努力の産物（ソルバー）に、 ありがたく乗っからせていただこう
- 9. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 ソルバー • 英語 “solver” の意味からすれば （問題を）解くためのもの • 一般的にソルバーといえば：事前に定められた フォーマットに該当する問題について、それを 指定すると解いてくれるもの –例えば 「●●の形の方程式を解いてくれる」とか 「●●の形の式を最大化するものを 見つける」とか
- 10. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 Excelのソルバーを見てみる 有効化する方法（MS Office 2007の場合） • 左上のOfficeアイコン • →「Excelのオプション」 • →「アドイン」 • →「設定」
- 13. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • とりあえず、値を「最大化」「最小化」 「特定の値にする」ような計算はできることが わかった • ただ、「解きたい問題をExcelのソルバーが 解ける形に変換する」とか、これだと効率的に 解けない問題とかもあるし • 問題によっては、Excelとは違うソルバーに 任せるべきこともあるし • 話は単純じゃない
- 14. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 今回やること • ソルバーを使う際の考え方、すなわち – 「どんな問題なら解けるのか」 – 「どんな形で問題を与えてあげれば、 望む問題を解いてもらえるか」 を中心に説明します。 • 極力「汎用性の高いソルバー」を紹介します。 • ソルバーの中身までは説明しません。 • 数学的な説明も少し入ります。
- 16. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 1. 一つでも組み合わせが見つかればよい問題 2. 条件を満たすものの中で最適な結果を 得たい問題 3. すべての可能性を列挙したい問題
- 18. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • ここから扱う問題は、主に 「一般には理論的には、計算時間が 爆発するとわかっている問題」を扱います。 （「NP完全」とか「NP困難」とかそれ以上） • ただ、組み合わせ系の問題が全部それに 該当するわけじゃないです。
- 22. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「一つでも組み合わせが見つかればよい問題」 が想定される状況： • ある計画が実行可能であるか わからないとき、それを確かめたい • お絵かきロジック（ピクロス）、 数独等のパズル（多くの場合、 問題を作る際に二つ以上の 答えが出ないようにしている）
- 23. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「一つでも組み合わせが見つかればよい問題」 を解くソルバーの例：SATソルバー • 論理式を入力する。 • それを満たす真/偽の組み合わせがあれば 一つ返す。なければ「ない」と答える。 例： A, B, Cが真理値（「真」か「偽」を取る）のとき [A or B] and [(not A) or C] and [(not B) or (not C)] が真になるA, B, Cの組み合わせは存在する？ Satisfiability Problem （充足可能性問題）から
- 24. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • ソフトウェア多数 • ただ、Excel標準のソルバーでは解けない（？） • ここでは「minisat」の例を示す http://minisat.se/ ※Windowsではcygwinが必要（mingwでは不可） [A or B] and [(not A) or C] and [(not B) or (not C)] p cnf 3 3 /* “3変数・式3行”の意味 */ 1 2 0 /* 0が1つの式の終わり */ -1 3 0 /* マイナスはnotの意味 */ -2 -3 0 ↓ “dimacs”というフォーマットで記述（上記のような “[… or …] and …” の形の式に特化） → 解かせる SAT /* 組み合わせあり */ -1 2 -3 0
- 25. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 例えば数独を解く場合
- 26. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 例えば数独を解く場合 各マスには1から9の数字を入れる。 しかし、論理式の変数一つ一つは真偽値。 • なので、「マスAに1が入る」「マスAに2が入る」 …「マスAに9が入る」という真偽値をそれぞれ 用意する。 参考：http://d.hatena.ne.jp/ku-ma-me/20080108/p1 真偽値だけで条件を書ければ、解いてもらえる ※もちろん、変数が増えると遅くなる
- 27. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 “[このマスは4] or [このマスは7] or [このマスは9]” という式を書く • 縦の制約：1, 2は不可 • 横の制約：1, 2, 3, 5, 8は不可 • 3×3正方形の制約：1, 2, 3, 6は不可
- 28. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 真偽値だけで全部条件を書こうとすると 大変だったもの：お絵かきロジック（ピクロス）
- 29. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 真偽値だけで全部条件を書こうとすると 大変だったもの：お絵かきロジック（ピクロス） 例えばこの列を表現しようとすると 「全部の可能性を列挙するしかない」。 • [あ]と[う]は塗る、他は塗らない • [あ]と[え]は塗る、他は塗らない • [あ]と[お]は塗る、他は塗らない • [い]と[え]は塗る、他は塗らない • [い]と[お]は塗る、他は塗らない • [う]と[お]は塗る、他は塗らない う え おあ い • 論理式では、「個数」は 扱いにくい • マス数が増えるともっと大変
- 30. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 この節のまとめ • 「一つでも組み合わせが見つかればよい問題」 を考えた • SATソルバーを使うのが一つの手段 • SATソルバーは、問題を適切な数の論理式で 表現できるなら使ってみるとよいだろう
- 32. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「条件を満たすものの中で、最適な結果を 得たい問題」が想定される状況： • 最短（最長）の経路を求めたい、 最大の利益（または最小のコスト）となる 組み合わせを求めたい、など • 「地域内のすべての家（または道路）を 検査して回る最短経路」など
- 34. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 例：「最大単語数でのしりとり」 （事前に与えられた単語集合をなるべく多く 利用し、しりとりになるようにする） http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1107/19/news080.html http://chiraura.hhiro.net/shiritori/
- 35. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 例：「最長片道切符」 （JRの切符として買える 最長のものを求める。 「同じ駅を二度通ったら それ以上進めない」と いう制約がある） http://www.swa.gr.jp/lop/
- 36. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「条件を満たすものの中で、最適な結果を得たい 問題」を解くソルバーの例：線形計画ソルバー • 線形の式（定数×変数＋定数×変数＋…）で 条件式ならびに最大化したい式を書く。 • それを最大化するものを返してくれる。 • Excelのソルバーの一つにこれが入っている 例： 制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、 x + y の最大値は？
- 37. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 高校数学で出てくる問題です 例： 制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、 x + y の最大値は？ x y 140 100 2x + y ≦ 100 を満たす範囲 x + 2y ≦ 140 を満たす範囲 実際に x, y が存在できる範囲 50 70
- 38. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 高校数学で出てくる問題です 例： 制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、 x + y の最大値は？ x y 140 100 50 70 x + y = 20 である箇所の集合 x + y = 50 である箇所の集合 x + y = 80 である箇所の集合 → x + y の最大値はこれ！
- 39. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 高校数学で出てくる問題です 例： 制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 140 のもとで、 x + y の最大値は？ x y 70 140 100 50 • これを、変数や条件の数が 増えてもちゃんと解いてくれるのが 線形計画ソルバー
- 40. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • で、しりとりや鉄道路線の問題って線形の式で 書けるの？ • 書けるには書けるけど、完全ではない 制約条件： 1. [X で始まって Y で終わる単語数]は0以上Z以下 （与えられた単語の総数） 2. ΣX [“あ”で始まって X で終わる単語数] = ΣY [Y で始まって“あ”で終わる単語数] （しりとりになる条件） ※最初・最後の単語は別扱いが必要 ※“あ”以外も同様 最大化したい式： ΣX, Y [X で始まって Y で終わる単語数] 「単語数」は 整数。 でも さっきの方法 だと答えが 小数になりうる
- 41. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 • 線形計画問題の、変数の値を整数に 限定したもの（整数計画問題）は、 単なる線形計画問題に比べて大幅に遅い • ただ、それでも変数や条件が極端に多く なければ解いてくれる
- 42. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 線形計画問題・整数計画問題を解いてくれる ソルバーの例： • Excelのソルバー （変数は整数に限る、という指定もできる） • GLPK https://www.gnu.org/software/glpk/ （オープンソース、私の実装でも利用）
- 44. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 例題（Excelファイル参照） 制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 130 のもとで、 x + y の最大値は？ （さっきと微妙に値が違う。きれいな値にはならない） 制約条件 2x + y ≦ 100, x + 2y ≦ 130 のもとで、 x + y の最大値は？（ただしx, yは整数に限る）
- 46. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「すべての可能性を列挙したい問題」が 想定される状況： • 実際にどの結果を採用するか、人の目で見て 判断したい • 例えば、最短経路以外も見つけておいて 実際によさそうなものを選ぶ
- 48. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 「すべての可能性を列挙したい問題」を解く ソルバー（どちらかといえば、すべての可能性を 効率よく表現するライブラリ）の例：Graphillion https://github.com/takemaru/graphillion/wiki • グラフ構造を対象に、条件を満たすものを すべて列挙する • 参考：「おねえさんが経路数を数え上げる動画」 https://youtu.be/Q4gTV4r0zRs これの技術的バックグラウンド
- 50. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 Graphillionの技術的な特徴： “ZDD”という「集合の集合」を圧縮表現する データ構造を用いている • 扱う対象が集合として書ければ、 ZDDで表現できるので、グラフ構造以外でも 表現を圧縮できる可能性はある • ただし、それが効率よく表現できる（圧縮率が 高い）かは、その集合の性質に依存する （サイズが爆発する場合もある）
- 52. わんくま同盟 名古屋勉強会 #37 多くの組み合わせを調べたいときは、先人の 知恵の詰まったソルバーに頼ってみよう。 • ただし、それがなくても十分高速に 解けるかもしれないことは留意を。 • 頼っても解けない場合もあることにも留意を。 • うまく解いてもらうには、問題の特徴を 押さえたり、問題を変形してあげないと ならない。