Libro trigonometria pdf

Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Trigonometría
Plana
ANGULO TRIGONOMÉTRICO
a visión que se tiene en geometría acerca del
ángulo, es de a aquélla que se forma por la unión
de dos rayos fijos, que comparten un punto en
L
común llamado vértice.
En trigonometría plana un ángulo trigonométrico es
aquel que se genera por un rayo móvil, cuando este
realiza una rotación sobre un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial (lado inicial), hasta
una posición final (lado final). La amplitud de la
rotación es la medida del ángulo trigonométrico.
Recordemos que en trigonometría plana si el giro de
realiza en sentido horario , el ángulo generado es
considerado negativo, en cambio si el giro es en
sentido anti horario el ángulo generado es
considerado positivo; además un ángulo
trigonométrico puede tomar cualquier valor
O
N
M
Lado final
Lado inicial
P
Es bueno saber que…..
HIPARCO DE NICEA fue el
observador más grande de la
antigüedad, tanto que su
catálogo estelar, que
contenía posiciones y brillos
de unas 850 estrellas, fue
superado en precisión
solamente en el siglo XVI.
Por otro lado, inventó la trigonometría esférica
que incrementó el potencial del cálculo; renovó
las matemáticas, herramienta esencial de la
cosmología, astrofísica y astronomía, a la que
perfeccionó con nuevos instrumentos.
Conocedor de la distancia y de los movimientos
de la Luna y en posesión de una teoría mejor
que la de sus predecesores acerca de la órbita
solar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una de
las principales exigencias de la astronomía
antigua: la predicción de eclipses, cuestión que
para los griegos, antes de Hiparco, constituía un
serio problema, ya que tan sólo contaban para
desarrollar sus predicciones sobre eclipses con
el método del saros de los babilonios.
Los sucesores de Hiparco trataron de
representar los movimientos planetarios
mediante complejos movimientos circulares, y
fue mucho más tarde, en tiempo de Claudio
Ptolomeo (alrededor del año 150 d.c) cuando la
teoría planetaria de la antigüedad adquirió su
forma definitiva. Según ella, la Tierra descansa
en el centro del universo; los movimientos del
Sol y la Luna en el cielo se pueden representar
bastante bien por trayectorias circulares. Hacia
fines del siglo XV Cristóbal Colón descubrió
América, y pocos años más tarde Copérnico
planteó el punto de vista heliocéntrico del
movimiento de la Tierra.
Creaciones Neper 17 Marco Antonio Moya Silvestre

Si a un ángulo trigonométrico se
le invierte su sentido, su signo
cambia.
Para sumar ángulos trigonométricos en un
gráfico, estos deben tener el mismo signo.

Observaciones:
O
 
ángulo trigonométrico 

La magnitud de un ángulo trigonométrico es
ilimitada
EJERCICIOS RESUELTOS
1. De la figura mostrada, evaluar el ángulo
“x”.
40º
5x+ 10º
-10º
a) 40° b) 20° c) -20°
d) -50° e) -10°
Resolución:
Observamos que los ángulos no tienen el
mismo sentido de giro. Entonces
cambiamos a todos los ángulos en
sentido horario al sentido anti horario(+)
Luego se cumple:
-5x-10
10º
40º
      
40 ( 5 10) 10 90
     
40 5 x
10 10 90
  
40 5 x
90
x
   
10 :
x Rpta E
2. Según la figura, expresar x en términos
de  y 
B C

x

A
D
a) 180º-+ b) --180°
c) 180º-- d) 180º+-
e) --180º
Resolución:
Del grafico observamos que:

( )

( )


es

es
( )
x es
Cambiados el sentido al ángulo 
B C
Xº

-
A
D
Vemos que:
 AOB   
 X

 BOC  X

 COD  
 X


Se cumple que:
 AOB   BOC   COD  180 
Reemplazando:
   x  x  
 x
  
   x
  180

180
 
     
180 :
 
x Rpta B
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Del gráfico, calcule “X”
10-x
20º
Xº
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) 50º
2. Del gráfico, hallar X
36º 9º-3x
a) 15º b) 20º c)25º
d) 130º e) 35º
3. De la figura determina “x”.
O
x

a) 90º -  b)  - 90º c) 90 + 
d) -90º -  e) 180º- 
4. Del gráfico mostrado, calcular “x”
O
144º
(5x9)º
a) 25 b) -25 c) 27
d) -27 e) -36
5. Del gráfico mostrado, calcula “ + ”

a) 270º b) -270º c) 180º
d) –180º e) 90º
6. Del gráfico, hallar “X”.
(11-13X)º (17X-19)º
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7. De la figura que se muestra, determinar
el valor del ángulo x.
2x
(40º-x) (60º-x)
3x
(20º-x)

a) 15º b) 20º c) 25º
d) -30º e) 30º
8. A partir del gráfico mostrado, calcular el
valor de “x”.
(
(
)
)
y+ x
2
y-x
2
+ 34 º
-46 º
150º
a) 150º b) 290º c) -290º
d) -300º e) 30º
9. A partir del gráfico, calcular el valor de
“x”
B
(8-9x)º (7x-4)º
C A
a) 18 b) 15 c) 12
d) 10 e) 19,2
10.Del gráfico, hallar :   
3
2
a) 630º b) 700º c) 660º
d) 600º e) -420º
11. Indicar si los ángulos dados son o no
coterminales
a) 50º y 410º
b) 160º y 880º
c) 400º y 1480º
d) 780º y 1200º
e) 1810º y 370º
f) 1364º y 564º
g) 3838º y 950º
h) 700º y 2880º
I) 1950º y 3850º
12. Averiguar si los ángulos indicados son o
no coterminales
a) -150º y -510º
b) -80º y 640º
c) -340º y -1420º
d) -790º y 650º
e) -220º y 150º
f) -1500 y -3300º
g) 1210º y -2040º
h) -490º y -1930º

I) -2110º y -580º
NIVEL II
1. Del gráfico mostrado, calcula “x”

x
a) 180º-+ b) 180º++
c) 180º-- d) 180º+-
e) --180º
2. Determina el valor de x, en términos de
“”
120º

x
O
a) - 480º- b) 480º+ c) 480º-
d) -480º e) -240º+
3. En la figura mostrada, calcula “x” en
términos de “” y “”
O
130º 
x
a) 130º+- b) 130º--
c) 230º-+ d) 230º--
e) 230º+-
4. En la figura se cumple que:
3  2x 18º . Hallar E   x
3x 
O
a) -9º b) 0º c) 9º
d) 18º e) 36º
5. De la figura mostrada determine: “x+y”
en radianes
120º C
x
y
A
a)  / 3 b)  / 2 c)  / 4
d) 3 / 4 e)  / 5
6. De la figura, calcular el valor positivo
que toma “x”.
B
(3x-7x 2 )º
C
O
A
(3x 2 + x)º
120º
a) 5º b) 7º c) 9º
d) 18º e) 36º
7. De la figura, indicar qué relación existe
entre ,  y 

b a
q
a)      720º
b)      36º
c)     360º
d)      720º
e)     360º
8. De la figura, hallar: “x” en término de
,  y 


 X
a) 2  2 
b)   2 
c)   2 
d)   2  2
e)   2  2
9. En la figura, calcular el valor que toma
“x”.
O
11x+ 50º
560º
a) 5º b) 7º c) 10º
d) 18º e) 36º
10. A partir del gráfico, hallar el suplemento
de “x”.


xº
a) º  º b) º  º
c)  º  º d) 2 º  º
e) 2 º º
10. Señalar si los ángulos indicados son o
no coterminales
a) 40º, 400º y 760º
b) 2580º, 1140º y 420º
c) -359º, 721º y 2521º
d) -1230º, -510º y 2470º
e) -3275º, -1835º y -35
f) 180º, 900º y -360º
NIVEL III
1. De la figura, hallar el máximo valor que
puede tomar ""

C
O
a
A
B
x )
- 100 º
)
(100x)º
a) 180° b) 160° c) 150°
d) 135° e) 120°
2. De la figura mostrada, calcular “x”
(5-11x)g
27x
a) -2 b) -1 c) 5
d) 4 e) 3
3. Del gráfico mostrado a qué es igual:
10x-9y
y
g x
2p rad
3
a) 1 100 b) 360 c) 280
d) 2 400 e) 1 800
4. En la figura, expresar " " en términos
de " " .


O
a)   360º  b)   720º 
c)   360º  d)     720º
e)    1080º
5. Del gráfico mostrado, ¿a cuántas
vueltas equivalen:  + 2 - ?


a) 1 vuelta b) 2 vueltas
c) 3 vueltas d) 4 vueltas
e) 5 vueltas
6. En la figura mostrada, calcular (en rad)
el valor de ángulo  para que el
ángulo  sea máximo.
Considerar :   3,1416
a
(2 -2)rad 2
q= (x - x )rad
x
a) 3,34 b) 2,6 c) 4,2832
d) 1,7431 e) 2,1406
7. En la figura mostrada, si OB y OC
trisecan al ángulo AOD entonces la
expresión correcta es:
rad
b
a
qg
D
C
B
A
O
a) 10 9  0 b) 180   0
c) 200   0 d) 380     

e) 900   9 5
8. Dos ángulos coterminales son entre sí
como 1 es a 5. Hallar la medida del
mayor de ellos, si el menor está
comprendido entre 100º y 200º
a) 180º b) 360º c) 540º
d) 720º e) 900º
9. Sean   7x2 1º y   1 3x2 º ángulos
coterminales, tal que xR . Hallar el
mínimo valor que puede tomar " "
a) 1009º b) 757º c) 505º
d) 253º e) 107º
10. La suma de dos ángulos coterminales
es 600º. Hallar la medida del menor de
ellos, si el mayor está comprendido
entre 400º y 600º.
a) 80º b) 100º c) 120º
d) 140º e) 160º
TAREA DOMICILIARIA
1. De la figura mostrada, hallar “x”
(3-7x)º
(4x-6)º
O
a) 9º b) 10º c) 12º
d) 11º e) 16º
2. De la figura mostrada, determinar “x”
x-40º
3x+ 20º
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 30º e) 45º
3. Del gráfico, calcular x.
4x -20º
-3x
a) 5º b) 8º c) 10º
d) 12º e) 15º
4. Del gráfico mostrado, calcular los
valores de ”x”
2 60º (3x 2 -5x+ 2)º (2-x-x )º
O
a) 8 y -5 b) 6 y -5 c)5 y -6
d) 2 y -2 e) 5 y -5
5. De la figura mostrada, expresar x en
términos de 
x 
a) 2  b) 2 c)  
d)  e) 2 
6. De la figura, determina la mAOC, si es
obtuso.

A C
(4x63)º 5xº
O
B D
a) 130º b) 135º c) 140º
d) 145º e) 150º
7. Del gráfico mostrado, calcular “x”
O 
x
a) + b) -- c) -
d) - e) 2-
8. Indica en orden creciente la medida de
los ángulos mostrados.
 

a) ; ;  b) ; ;  c) ;; 
d) ; ;  e) ; ; 
9. De la figura mostrada, indicar qué
relación cumplen los ángulos ,  ,
b
a
q
a)      720
b)      36º
c)     360º
d)      720º
e)     360º
10. De los siguientes ángulos, indicar
cuáles son coterminales:
  3106º ;   854º y   5186º
a)  y  b)  y 
c)  y  d) todos
e) ninguno
SOLUCIONARIO
NIVEL I
1.d 2.a 3.c 4.d 5.a 6.c
7.d 8.c 9.e 10.a
NIVEL II
1.d 2.a 3.d 4.b 5.a 6.a
7.a 8.d 9.c 10.b
NIVEL III
1.b 2.c 3.d 4.c 5.b 6.c
7.c 8.e 9.d 10.c
TAREA DOMICILIARIA
1.a 2.a 3.c 4.b 5.a 6.d
7.c 8.e 9.a 10.a

Sistemas De
Medición
Angular
ara medir un ángulo trigonométrico existen
infinidad de sistemas, ya que la unidad
angular de medida se puede considerar de
P
manera arbitraria. Los sistemas de medición más
usados son tres: sexagesimal, centesimal y radial.
1. SISTEMA SEXAGESIMAL O
INGLES ( S )
En este sistema, la unidad de medida es
el “GRADO SEXAGESIMAL” ( 1º ) , el
cual se define como la 1
ava
360
parte de la medida del ángulo de una
vuelta ( 360º ).
SUB UNIDADES:
Minuto sexagesimal : 1’
Segundo sexagesimal: 1”
EQUIVALENCIAS
1 circunferencia 360º < > 1 vuelta
1 circunferencia < > 4 cuadrantes
1 cuadrante < > 90º
Es bueno saber que……
El Origen del término Seno inicia por el año 500,
después de N.E., los matemáticos de la India
empezaron a considerar el movimiento de una
recta que gira en sentido contrario al de las
manecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y a
medir las longitudes de las semicuerdas o
perpendiculares trazadas desde el extremo de la
recta (en diversas posiciones de su movimiento) a
la posición inicial de ella. Esa recta se conoce hoy
en día como radio vector o “radio movimiento” (del
latín: vector, “portador”, de vehor, “muevo”;
compárese con “vehículo”.
Por esta razón la longitud de la semicuerda se
asoció a un ángulo, el ángulo determinado por el
giro de la recta.
Semicuerda
Semicuerda
Los indios dieron el nombre de jva a dicha
semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda.
La palabra pasó al árabe como jiba y más tarde se
confundió con la palabra árabe jaib debido
probablemente a que las palabras en árabe se
escribían frecuentemente sin vocales y por ser
iguales las consonantes de ambas jiba y jaib, es
decir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tiene
relación alguna con la longitud de la semicuerda ya
que significa la abertura en el cuello de una prenda
de vestir. Pese a ello, los árabes tomaron la
costumbre de designar a la semicuerda por medio
de dicha palabra jaib sin sentido, que hacía
referencia a un “doblez” o “curva”. Por este tiempo,
los maemáticos europeos se familiarizaron con la
palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron
jaib por la palabra sinus que significa “doblez” o
“curva”. Dicho error se ha perpetuado en nuestra
palabra seno. Así pues, originalmente el seno de
un ángulo representaba la longitud de la
semicuerda de una circunferencia de un radio uno.
En nuestros días, como pronto veremos, cuando
hablamos del seno de un ángulo, no hablamos de
una longitud.

1º < > 60’
1’ < > 60”
1º < > 3600”
Observaciones:
aº b’ c” = aº +
b’ + c”
2. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCES ( C )
En este sistema, la unidad de medida es
el “GRADO
CENTESIMAL” ( 1g ), el cual se define como
la
1 parte de la medida del Angulo de
ava
400
una vuelta ( 400 g )
SUB UNIDADES:
Minuto sexagesimal: 1m
Segundo sexagesimal:
1s
EQUIVALENCIAS
1 circunferencia 400g < > 1 vuelta
1 circunferencia < > 4 cuadrantes
1 cuadrante < > 100 g
1g < > m 100
1m < >100 S
1g < > 10000 S
Observaciones:
ag bm cS  ag  bm  cS
3. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O
INTERNACIONAL ( R )
En este sistema, la unidad de medida
es el “UN RADIAN” (1 rad). Un radián
es la medida del Angulo central en una
circunferencia que genera un arco cuya
longitud es igual que la medida del radio
de dicha circunferencia.
Este sistema es el más utilizado en la
matemática, física, ingeniería,
astronomía, etc.
r
A
r
B
r
EQUIVALENCIAS
1 Vuelta <> 2 rad
1 circunferencia <> 4 cuadrantes

1 cuadrante <> rad
2
Para los cálculos se puede considerar
como valor aproximado de 
 = 3,14159265....= 3,1416
o también:
Nota
En el Sistema Internacional
(S.I), los ángulos se miden
en radianes ( rad)
 1 rad < > 57º 17’ 44”
 1 rad > 1º > 1g

  22 ;   10 ;   3  2
7
EQUIVALENCIAS ENTRE LOS TRES
SISTEMAS
1 VUELTA < > 360º < > 400 g < > 2 rad
 180º < > 200 g < >  rad
De esta relación se deduce:
 rad < > 180º
 rad < > 200 g
9º < > 10 g
RELACION NUMÉRICA ENTRE LOS TRES
SISTEMAS
FORMULA DE CONVERSIÓN
Se utiliza solo cuando las medidas del
ángulo estén expresadas en las unidades
principales de medición angular, es decir
grados y radianes.
  Sº Cg  Rrad
En la figura se muestra un ángulo
trigonométrico positivo “ ” m, tal que sus
medidas en los tres sistemas estudiados son
Sº , C g y R rad , los cuales al representar
la medida de un mismo ángulo, resultan ser
equivalentes.
Estos tres valores numéricos verifican la
siguiente relación:
S C R  
360 400 2
.... simplificando:
S C R  
180 200

Para “S” y “C:
S C 
9 10
RELACION SIMPLIFICADA :
1 )
S C R  
180 200

= k

180
S K

200
C K
 
R K
.... o también
2)
S C R  
180 200

= k Dividiendo entre
20, obtendremos:
9

S K
10

C K
K


20
R

RELACION DE ORDEN:
  Sº Cg  Rrad
C  S  R  0
FACTOR DE CONVERSION
Muy usualmente para convertir un ángulo de
un sistema a otro se utilizan Factores de
Conversión (F.D.C), que no son valores que
al ser multiplicados por el ángulo dado dan
como resultado el nuevo valor en el sistema
deseado.
A continuación detallamos los factores de
conversión:
SISTEMA
SISTEMA
F.D.C
INICIAL
FINAL
SEXAGESIMAL CENTESIMAL
10
9
CENTESIMAL SEXAGESIMAL
9
10
SEXAGESIMAL RADIAL

180
CENTESIMAL RADIAL

200
RADIAL SEXAGESIMAL
180

RADIAL CENTESIMAL
200

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Convertir: 36° al sistema centesimal.
Resolución:
Observamos que deseamos convertir un
ángulo del Sistema Sexagesimal al
Sistema Centesimal.
Entonces nuestro F.D.C será:
10
9
10
Aplicamos: 40g
36 
9
3
2. Convertir: rad al Sistema Centesimal
4
Resolución:
Observamos que deseamos convertir un
ángulo del Sistema Radial al Sistema
Centesimal.
Entonces nuestro F.D.C será:
200


3  200

Aplicamos: 150g
4

3. Sabiendo que:
rad AB
´

48
Calcular:
3
A B
5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Resolución:
Convertimos: 
.
48
rad a grados sexag
S R 
180



R rad
48

:
Convertimos
 a sexag x
0,75 min . .( 60)
 
0,75 60 45´
´
rad  A B
  
A y B
3 45´ A B
´
 
3 45
3
5
3
3 
.45 3 :
5
Rpta C
S = 3n + 3
C =4n – 2 , si S y C son lo convencional.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
S C 
9 10
Reemplazando:

48

1
S
180

 3,75

 3  0,75

 
3 45´
 
3 45´
S
S
S
S
Entonces:

48
Reemplazando en:
A B
4. Hallar “n”:
Resolución:
Recordemos:
Reemplazando:

4 2

3 3
n n
10
9

  
30 n 30 36 n
18
8 :
 
n Rpta C
5. Simplificar:
2
S
2
 
6 
C 
S
S 
C
C 
S
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
Resolución:
De la relación simplificada:

9

S k
10
C k
Reemplazando:
 k

2 9

10 9
k k
2
 6

18

9 10

10 9
 6
 
19
 

5 4 3 :
2
Rpta C
k
k
k k
k
k k
k
6. Hallar la medida de un ángulo
expresado en radianes, tal que se
cumpla la siguiente condición:
1
SR CR
 
 
20 8
Siendo S,C y R lo convencional.
a) rad
 c) rad
 b) rad
8
5
3
10
d) rad

 e) rad
6
3
Resolución:


180
S k

200
C k
 
R k
Reemplazando en la condición:
 k  
k   200
k  
k

 

8
 
2 2
9 k 25 k
1
 
3 5 1
1
8
1
180

20
k k

k
Reemplazamos en R:


R k
R
:
1
8
 






R rad Rpta A
8
7. Hallar el ángulo que verifique:
 
18

70
R

C 
S

2 2 2
10
20
10
 

R
R


a) 60º b) 135º c) 72º
d) 18º e) 30º
Resolución:

180
200
S k

C k
 
R k
Reemplazando:


180 18


200 10

k
k
   
 


k
2 2 2
 k


 
 
 k


 
 
70

70



 
 
k
k
k
10 18 70
k
  
14
35
10
18 10
10
20
10 20

 20

 




k
k
k
Como las alternativas están en el
Sistema Sexagesimal, reemplazamos en
“S”
180

S k
S
14
35
 
180
 



72 :
S Rpta C
APLICACIONES
1. Expresar cada medida en los sistemas
señalados que faltan:
SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL
135º
72g
3 /5rad
18º
42g
 /18rad
36°
144g
2. Convertir 30º18´ a grados sexagesimales

3. Convertir 84º45´36´´ a grados
sexagesimales.
sexagesimales
sexagesimales
6. Convertir 10,5125º a grados, minutos y
segundos sexagesimales.
10. Expresar en grados centesimales cada
uno de los ángulos indicados:
36g29m85s

143g06m74s
8g37m6s
27g48m7s
11. Expresar en grados, minutos y
segundos centesimales lo siguiente
ángulos:
 39,4873g
 136,0271g
 12,1647g
 24,0803g
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Reducir:
rad
24º
g

70
5
12

5



rad
E
a) 4 b) 2 c) 3
d) 7 e) 1
2. Hallar:

g rad
3
rad
Q


10
40
 
6

a) 4 b) 2 c) 3
d) 7 e) 1
3. Hallar el valor de la expresión:
 
 5

 rad rad
18 4

  
 
rad

12 10 3
  
25º
E
a) 4 b) 12 c) 3
d) 7 e) 11
4. Determine X en :

 x  rad
4
  
3 3
a) 7 b) 9 c) 14
d) 16 e) 21
5. Del gráfico, hallar x

xg

72º rad
5
a) 80 b) 100 c) 50
d) 20 e) 6
6. Hallar la medida de un ángulo tal que
se cumpla:
S = 2(n+1)
C = 3n-4
a) 36° b) 30° c) 18°
d) 15° e) 60°
7. Si  24º  60 , g x   x  calcular
el valor de X.
a) 400 b) 200 c) 300
d) 700 e) 100
8. Hallar la medida de un ángulo
expresado en radianes, si:
2S - C=16
a)
 b)
10
 c)
5
3
10
d)

6
e)

3
9. Hallar la medida del ángulo en el sistema
radial, si cumple:
14
  S C
6 5
a)
 b)
10

5
c)
3
10
d)
 e)
6

3

C S
10. Simplificar E
6
 

C S
a) -5 b) +5 y -5 c) 3
d) 1 e) 5
NIVEL II
1. Simplificar la expresión:

5 4
3
S C
P

S C

a) 4 b) 5 c) 3
d) 7 e) 1
2. Siendo S y C lo conocido, simplificar:
2
S
2
 
6 
C 
S
S 
C
C 
S
a) 4 b) 5 c) 3
d) 7 e) 1
3. Simplificar:
10
R

C S




2( ) S C
( )
C S
a) 1 b) 5 c) 3
d) 2 e) 4
4. Dada la siguiente equivalencia:
11g aºb'
Calcular: “ b – a “
a) 45 b) 56 c) 49
d) 47 e) 46

3
rad  ab c
5. Si: ' "
32
.
Hallar: b-a-c
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 12

6. Calcular el valor de:
3º
4'
g
1   m
2
P
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 5
7. Los ángulos internos de un cuadrilátero
convexo miden:
100 , (6 10)º ,

Calcular el mayor valor de X de modo
que  sea obtuso.
a) 10 b) 12 c) 50
d) 20 e) 6

rad y
x
g x
2
45
8. Si: S y C son lo convencional y:
56
30
S  x 2
 x

C x x
 2
 
Hallar la medida circular del ángulo, si
es menor que una vuelta.
  
a)
b)
c)
310
5
10
d)

6
e)

3
9. Determinada la medida de un ángulo en
radianes, tal que verifique la siguiente
condición:
9
181
SC
  C 
S
 2 2

S C
a)
 b)
10
 c)
5
3
10
d)
 e)
6

2
10. Halle el ángulo en radianes que cumpla:
2S  3C  4R  6240   
a)
9 b)
20
3 c)
2
7
15
d)
2 e)
3
7
10
NIVEL III
1. Halle
M
3
Siendo S, C y R lo convencional para un
mismo ángulo:
a) 3 b) -3 c) 5
d) -5 e) 2
8
19





C S


S


C


C S
S C
S C
2. Simplificar:
   
3º 6º 9º ..... 60º
   
2g 4g 6g .... 40g
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5
d) 1/6 e) 21
3. Reducir la expresión:
g m
b
(3 b ) (2 b
)
m
 (2 a )º(3 a
)' 
a
E
'
a) 245 b) 242 c) 425
d) 524 e) NA
4. Siendo S y C lo conocido para un
mismo ángulo y además se cumple que:
1  1  2  3  ... S C C C
Hallar la medida de dicho ángulo en
radianes.
a)
9 b)
20
8 c)
15
7
15
d)
 e)
20
5
18
5. Siendo S , C y R lo conocido y se
cumple que :

2
2
2
SC  SCR 
R 3 50
10 9
 
Determinar “R”
4
a)
5
b)
3
5
c)

2
d)
3 e)
2
4
3
6. Se tiene que:
2  2
C S
2
C
x

Calcular el valor de :
  
x S x S
  
x S x S
T

a) 10/9 b) 9/10 c) 3/10
d) 2 e) 1
7. Siendo S y C lo conocido, tal que:
S S  C C
Calcular: 9 S  10C
a) 20/9 b) 9/10 c) 3/10
d) 2 e) 1
8. Determine la medida radial del ángulo
que verifique la igualdad siguiente.
19

C S
9C
 
C S
R
10S
19

C S
10S
 
C S
R
9C



a)
 b)
10
 c)
5

15
d)
 e)
20

25
9. Siendo S y C lo conocido, se cumple:
S C  S  C C  S
Calcule el valor de la expresión:
1  10 C  S
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 20
10. Si S y C son lo conocido para un mismo
ángulo, hallar su medida en
sexagesimales.
S  C  R  S C  R
2 2 2
3 3 3
20

3
27 30
a) 30º b) 45º c) 60º
d) 53º e) 27º
TAREA DOMICILIARIA
1. Expresa cada ángulo en los sistemas
señalados
SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL
310º
85g
5 /18rad
130º
40g
 / 32rad
81
2. Calcular :
g
 º
70 3

rad
E
9

a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
2. Cual de los siguientes ángulos es el
mayor:
a) 50 g b)

rad c) 45º
4
d) 180º/4 e) Todos iguales.

3. En un triangulo rectángulo, uno de los
ángulos agudos mide
3
10
rad. Hallar el
otro ángulo en el sistema sexagesimal.
a) 18º b) 36º c) 54º
d) 72º e) 63º
rad   x y z

4. Si se verifica que : º ' "
64
Calcular el complemento de ( x + y - z)º
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 130º e) 85º
5. En un triángulo las medidas de los
ángulos internos son : x/2 rad , x/6 rad y
x/3 rad . Calcular la medida del ángulo
que forman las bisectrices de los
ángulos menores.
a) 150º b) 115º c) 135º
d) 120º e) 105º
6. Hallar x si se cumple:
   g 7x  5   10 x 1
a) 7 b) 9 c) 3
d) 11 e) 5
7. Calcular la medida radial del ángulo que
verifique la siguiente relación.
1 1 76  
S C SC
a)
2 b)
3
 c)
2

3
d)
 e)
4

5
8. Simplificar:
S C 
C S
C

S

a) 19/9 b) 19/20 c) 20/19
d) 1/10 e) 199/90
SR CR
9. Hallar R si: 8
 
 
5 2
a)

2
b)
 c)
4

5
d)
 e)
8

16
10. Halle la medida radial del ángulo que
cumple con la igualdad:

 

 
R2
16
 2
    

2 ( C S ) ( C S
)
a)
9 b)
20
3 c)
2
7
15
d)
6 e)
25
7
10

SOLUCIONARIO
NIVEL I
1.e 2.a 3.b 4.c 5.a 6.c
7.c 8.a 9.b 10.b
NIVEL II
1.b 2.c 3.c 4.a 5.b 6.e
7.b 8.c 9.e 10.b
NIVEL III
1.a 2.b 3.c 4.d 5.a 6.b
7.a 8.d 9.e 10.e
TAREA DOMICILIARIA
1.c 2.e 3.b 4.e 5.c 6.a
7.e 8.e 9.a 10.b

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