1. Ángulos coterminales
Los ángulos coterminales son ángulos en posición estándar (ángulos con el lado inicial
en el eje positivo de las x) que tienen un lado terminal común. Por ejemplo 30°, –330° y
390° son todos coterminales.
Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede
sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido
en radianes.
Ejemplo 1:
Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°.
55° – 360° = –305°
55° + 360° = 415°
Un ángulo de –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°.
2. Ejemplo 2:
Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de .
Un ángulo de y un ángulo de son coterminales con un ángulo de .
3. CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS
Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario
definir lo que
es la Trigonometría.
* TRIGONOMETRÍA: Es la rama de la Matemática que estudia las
propiedades y medidas
de ángulos y triángulos.
Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber
algunas
unidades de conversión, por ejemplo:
1° = 60 Minutos ( 60 ')
1 ' = 60 Segundos ( 60 '')
¶ Radianes = 180° ( El símbolo de ¶ Pi, utilizado en Matemática, tiene un
valor numérico
de 3.1415927 aproximadamente de 3.1416
En una Calculadora Científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos
ayudarán a la
conversión de las Funciones Trigonométricas, como por ejemplo:
Grados: (D) (DEG)
Radianes: (R) (RAD)
Gradianes: (G) (GRAD)
Ahora veamos un ejemplo.
4. a) Convertir 18.4567 ° a Grados, Minutos y Segundos.
1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos
equivale a 18°.
2. Luego los decimales después del punto es necesario que los pasemos a
minutos, así:
OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos únicamente la que nos interesa,
es decir,
los minutos.
3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos.
0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12''
4. Ahora unimos todas las respuestas quedándonos 18 ° 27' 24'', que se
lee:
18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos
NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversión trabajamos
sólo con los decimales, manteniéndose únicamente el primer número
entero
que corresponde a los Grados.
Veamos otro ejemplo a la inversa.
b) Convertir 18° 27' 24'' a Grados
1. En éste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario,
lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados.
Convertimos los Segundos a Minutos:
5. 2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos éstos 0.4 minutos y lo
convertimos en Grados.
3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 ° +
la cantidad entera 18° quedándonos como respuesta 18.456 ° Grados.
CALCULAR LA LONGITUD DE UN ARCO DE
CIRCUNFERENCIA
Arco, como ya lo sabemos es un trozo, una parte de la
longitud de la circunferencia.
6. El arco es la parte de la longitud de la circunferencia que
corresponde al ángulo central O de 82º.
Compruebas que una circunferencia de radio 3,41cm., cuya
longitud total sería de
Esta longitud corresponde a la longitud total de la
circunferencia, es decir, a los 360º.
Lo que tenemos que calcular ahora es la longitud del trozo de
circunferencia que corresponde a 82º. Para ello, con una regla
de tres podemos conocerla:
Vemos que la longitud del arco es de 4,88 cm.
15.137 Calcula la longitud del arco de una circunferencia
correspondiente a un ángulo de 50º siendo 4 cm., el radio de
la circunferencia.
Respuesta: 3,49 cm.
Solución:
A la longitud total de la circunferencia que es
de:
La regla se tres será:
A 360º (toda la circunferencia) corresponden 25,12
cm.
a 50º corresponderá una longitud
de……… x cm.
de donde,
7. 15.138 ¿Qué longitud de arco corresponden a 30º en una
circunferencia de 8 cm., de radio?
Respuesta: 4,18 cm.
La longitud del arco dependiendo del radio y del
ángulo:
La longitud es mayor, cuanto mayor sea el ángulo central de
la circunferencia y también dependerá de la longitud del radio
de la circunferencia.
Cuanto mayor sea el ángulo central más larga será la longitud
del arco y cuanto mayor sea el radio más larga será la
longitud del arco:
En la figura anterior puedes comprobar que la longitud del
arco es mayor cuanto mayor valor sea el radio, sin variar el
ángulo. Lo puedes comprobar en la figura anterior.
Con el mismo radio y distintos ángulos centrales, la longitud
del arco será mayor cuanto mayor sea el ángulo central:
8. 15. 139 Un arco de circunferencia mide 3,49 m. y el radio 5
m. ¿Cuál es el valor del ángulo?
Respuesta: 40º
Solución:
Si a la longitud de toda la circunferencia corresponden
360º
a una longitud de 3,49
m correspon. xº
de donde
15.140 Un arco mide 2,11 m., y su ángulo central 30º ¿cuál
es el valor del radio?
Respuesta: 4 m.
Solución:
Si a 30º corresponde una longitud de 2,11 m.
A 360º corresponderán………………x .
9. La longitud de toda la circunferencia vale: 25,32, luego
ponemos la fórmula y despejamos el valor del radio:
