2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica contiene letra, números y
signos. La manipulación de expresiones algebraicas
tienes las mismas propiedades que la manipulación de
expresiones numéricas, ya que las letras se comportan
como si fuesen números. un ejemplo de expresiones
algebraicas con una única letra:
3x2+4x-2-x2+7x3x2+4x-2-x2+7x
Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es
simplificarla, utilizando las propiedades de las
expresiones, que son equivalentes a las propiedades de
los números. En el caso del ejemplo, deben agruparse los
términos con las mismas letras. Por un lado, debemos
sumar 3x23x2 y -×2-x2 y, por el otro, se tienen que sumar
4x4x y 7x7x:
3x2-x2=2x23x2-x2=2x2
4x+7x=11x4x+7x=11x
Así pues la expresión de segundo grado
3x2+4x-2-x2+7x3x2+4x-2-x2+7x es igual a
2x2+11x-22x2+11x-2.
El valor numérico de una expresión algebraica se halla
sustituyendo la letra por un número determinado.
Por ejemplo, el valor numérico de 2x2+11x-22x2+11x-2
cuando x=3x=3 es igual a
2•32+11•3-2=18+33-2=49.2•32+11•3-2=18+33-2=49.
El grado de una expresión algebraica con una única letra
es el exponente maximo de esta letra en la expresión. Por
ejemplo, el grado de 2x2+11x-22x2+11x-2 es 22.
3. SUMA
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más
términos, se deben reunir todos los términos semejantes que
existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto de la suma.
Ejercicios resueltos
(3x) + (4x) = 7x
(-3X) + (4x) = x
(3x) + ( 4x) =-x
(-3x) + (-4x) =-7x
(2x) + (2x2) = 2x + 2x2
(-2x) + (2x2) = -2x + 2x2
SUMA DE MONOMIO: Cuando los factores son iguales, por
ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la
es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente).
En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que,
en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 1 ejercicio.
2x+4x=(2+4)x =6x
SUMA DE POLINOMIOS: Un polinomio es una expresión
algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes
términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios,
podemos seguir los siguientes pasos: ejercicio 1.
3a2 + 4a + 6b -5c - 862 con c + 6b2 -3a + 5b
4a +3a2 + 6b - 8b2 -3a + 5b + 6b2 + c
[4a-3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [-862 + 6b2] + c
[4a-3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [-862 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b- 262+c
Ejemplo 2.
P(x)=x2 + x4 - 4x3 + 6x2 + x -7
q(x)=x6+ 2x4+ x2+ 5
P(x) +q(x)=x6 + x5 + 3x4-4x3+ 7x2 + x-2
4. RESTAS
La resta algebraica es una de estas operaciones, que
consiste en establecer la diferencia existente entre dos
elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto
le falta a un elemento para resultar igual al otro.
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso
de la suma algebraica. Lo que permite la resta es
encontrar la cantidad desconocida que, cuando se
suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto
hay que restar), da como resultado el minuendo (el
elemento que disminuye en la operación).
Con la resta algebraica sustraemos el valor de una
expresión algebraica de otra. Por ser expresiones.
RESTA DE MONOMIOS: Restaremos solo los
términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo
mismo que multiplicar por x: Ejercicio 1.
2x - 4x = (2-4)х = -2x
(4) - (-2x) = 4x + 2x = 6х
(4x) - (-2x) = 4x + 2x = 6x (-2x) - (4x) = -2x - 4x = -6х.
(4x) - (3y) = 4x - 3y (a) - (2a2) - (3b) = a - 2a2 - 3b (3m)
- (-6n) = 3m + 6n
(2a) - (-6b2) - (-3a2) - (-4b2) - (7a) - (9a2)= [(2a) - (7a)]
- [(-3a2) - (9a2)] - [(-
6b2) - (-4b2)] = [-5a]-[-12a2]-[-262] =-Sa + 12a2 +262
5. RESTAS DE POLINOMIOS
Está formada por sumas y restas de los
términos con
diferentes
literales
Ejercicio 1.
P(x)=x6+ 2x5- 3x4+ x3 + 4x2 + 4x-4
9(x)=-x6+ 2x5-5x4 + x3+ 2x2+ 3x-8
P(x) - q(x)=p(x) + [-q(x)]=x6+ 2x5-3x4+ x3 +
4x2 + 4x - 4
[-x6 + 2x5- 5x4+ x3+ 2x2+ 3x-87
P(x)-q (x)=2x6+ 2x4 + 2x2 + x+4
Ejemplo 2.
P(x)=3x3+ 7x2- 3x -2
q(x)=5x3+ 5x2+ 5x+ 5
P(x) - q(x) = p(x)+ [-q(x)]= -3x3+ 7x2- 3x- 2-
[5x3+ 5x2+ 5x+ 5]
P(x) - q(x) = -8x3+ 2x2-8x- 7
6. VALOR NUMERICO
El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es
el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y
realizar las operaciones indicadas. Ejercicio 1.
L(r) = 2
r = 5 cm. L(5)= 2• 5 = 10-3 cm
S(1) = 12
1= 5 cm
4(3) = 52 = 25 cm2
/(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de un polinomio es el
resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un mimero cualquiera.
Ejercicio 2.
P(x) = 2x3 + 5x - 3; x = 1
P(1) = 2 • 13 + 5 • 1-3 = 2 + 5-3 =4
0（7）-84-283+82+4-1;8-1
Q(1) = 14 - 2• 13 + 12 + 1 - 1=1 - 2 + 1 +1-1=0
R(x) = x10 - 1024: x = -2
R(-2) = (-2)10 - 1024 = 1024 - 1024 = 0
En el casody comonomio, se resuelve primero el exponente, después el
producto entre la polencia
Ejercicio resuelto 1:
Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica
3x^2
cuando
×=-1
En primer lugar, sustituimos las letras por los valores que nos han indicado,
en este caso, se cambia la x por
un -1
3(-1)^2=
Ahora, simplificamos esta expresión numérica según el orden de las
operaciones combinadas.
Primero hacemos las potencias:
3(+1)=
Y, multiplicando, obtenemos
{+3}
7. MULTIPLICACION
Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe
de aplicar la regla de los signos, los coeficientes se
multiplican y las literales cuando son iguales se escribe la
literal y se suman los exponentes, si las literales son
diferentes se pone cada literal con su correspondiente
exponente.
EJERCICIOS RESUELTOS:
8. DIVISION
LA division de expresiones algebraicas consta de las mismas
partes que la división aritmética, así que si hay 2 expresiones
algebraicas, p(x) sea mayor o igual al 0 siempre hallaremos a 2
expresiones algebraicas dividiendo se.
DIVISION DE MONOMIOS: se dividen los coeficientes y las
literales se restan juntos con sus exponentes.
EJEMPLO 1: 5xm+2y4z/-4m-4xmy3z=5/4x6y
EJEMPLO 2:
1) 16a7b4 : 4a5b2 4a2b2
2) 14a2b5x6.21a2b3 2/3b2x6
3) 64a3x 263:32ax 1b3 202x1
DIVISION DE POLINOMIOS:para dividir un polinomio entre otro
polinomio es necesario seguir los siguientes pasos.
1- se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y
alfabético.
2- se divide el primer término del dividendo entre el primer
término del divisor.
3- se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el
producto obtenido se resta del dividendo, obtenido un nuevo
dividendo,
4- se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de
menor exponente que el dividendo.
EJEMPLO 1.
-15x2+22xy-8y2 / -3x+2y= 5x-4y
EJEMPLO 2.
(3x3y 5xy3 3y4 x4) : (x2 2xy y2) ? Quedaría así:
(3x3y 5xy3 3y4 x4):(x2-2xy+y2)
= +x4+2x3y+x2y2 = -x3y+2x2y2+xy3
= x3y+x2y2-5xy3 = 3x2y2-6xy3+3y4= +3x2y2+6xy3+3y4.
9. PRODUCTO NOTABLE
En matemáticas, un producto corresponde
al resultado que se obtiene al realizar una
multiplicación.
cuyo nombre es el que reciben las
multiplicaciones con expresiones
algebraicas, cuyo resultado se puede
escribir mediante simple inspección, sin
verificar la multiplicación que cumplen
ciertas reglas fijas.
Cada producto notable corresponde a una
forma de factorizacion.
Sabemos que algo es notable cuando nos
lama la atención o destaca entre un grupo
de cosas.
Entonces, los productos notables son
simplemente multiplicaciones especiales
entre expresiones algebraicas, que por sus
características destacan de las demás
multiplicaciones. las caracteristicas que
hacen que un producto sea notable,
10. es que cumplen ciertas reglas, tal
que el resultado puede ser obtenido
mediante una simple inspección, sin la
necesidad de verificar o realizar la
multiplicación pasó a paso.
Los productos notables están íntimamente
relacionados con fórmulas de
factorizacion, por lo que su aprendizaje
facilita y sistematiza la solución de
diversas multiplicaciones, permitiendo
simplificar expresiones algebraicas
complejas.
11. FACTORIZACION
Es descomponer una expresión algebraica
en factores cuyo producto es igual a la
expresión propuesta. La factorizacion se
concidera la operación inversa a la
multiplicación, pues el proposito de esta
ultima es hallar el producto de dos o más
factores; mientras que el la factorizacion,
se buscan los factores de un producto
dado
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS
NOTABLES
Se establecen los principales productos
notables cuyo desarrollo se suelen
identificar con la expresión a factorizar.
Particularmente se trabaja con el trinomio
que puede ser identificado con el desarrollo
del producto.
(x+a)(x+b) con a y b números enteros.
12. EJERCICIOS RESUELTOS
1) x2+2x- 15;
(x + 5)(x-3)
2) 12-28-15;
(у - 5 )(у + 3)
3) ×2 - 4x + 3;
(x- 3)(x- 1);
4) 22+ 22-4
No hay dos números enteros
que multiplicados den - 4 y
sumados 2.
13. BINOMIO AL CUADRADO
Expresando (a+b)2 como un producto:
(a+b)2=(a+b)(a+b)
Por la ley distributiva:
m(n+p)=mn+mp:
(a+b)2=a(a+b)+b(a+b)
de Nuevo la ley distributiva:
a•a+a•b+b•a+b•b
por la ley comunicativa xy=yx
(a+b)2=a2+ab+ab+b2
reduciendo terminos semejantes,
finalmente obtenemos:
(a+b)2=a2+2ab+b2.
14. FACTOR COMUN MONOMIO
Descomponer en factores a 2+2a.
a 2 y 2a contienen el factor común a
escribimos el factor común a como
coeficiente de un paréntesis dentro del
cual escribimos los cocientes obtenidos
de dividir a 2 ÷ a=a y 2a ÷ a =2 y
tendremos:
a2 ÷ 2a=a(a+2)
FACTOR COMUN POLINOMIO
Descomponer x(a+b) +m (a+b)
Estos dos términos tienen como factor comun el
binomio (a+b), por lo que ponemos (a+b) como
coeficiente de un parentesis dentro del cual escribimos
los cocientes de dividir los dos terminos de la expresión
dada entre el factor común (a+b), osea:
x(a+b)=x y m(a+b)=b (a+b) (a+b)
y tendremos:
x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m)
