En este ejercicio vamos a estudiar algunos métodos energéticos para el cálculo de estructuras como el teorema de Castigliano, la energía de deformación etc.

1. ෍ 푑푒ඥ푙 퐼푛푔푒푛푖푒푟표
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Se tiene una carga P aplicada en la mitad de una viga biapoyada con un módulo elástico E, de sección con momento de inercia Ix. Determinar la deflexión máxima de la viga utilizando tres métodos diferentes.
SOLUCIÓN:
1) Mediante la ecuación general de la deflexión.
y′′(x)=M(x)/EI M(x)= Px2 y′′(x).E.I= Px2 y′(x).E.I= Px24+C
Ahora utilizando condiciones de contorno: y′൬x= L2 ൰=0 C=− PL216
Integrando de nuevo: y(x).E.I= Px312− PL2x16+D
Utilizando de nuevo condiciones de contorno: y(x=0)=0→D=0 y(x).E.I=ቆ Px312− PL2x16 ቇ
Y como se ve que la flecha máxima de la viga se encuentra en el punto medio, particularizamos en la ecuación anterior: y(x=L/2)= 1EI ቆ PL396− PL332 ቇ Δ퐥= 퐏퐋ퟑ ퟒퟖ퐄퐈
2) Con la energía de deformación y la ecuación de Clapeyron.
UM=න Mx2.dx2.E.IxL0 2.E.I.UM=2න൬ Px2 ൰ 2dx=2ቈ P2x312 ቉ 0L/2L/20 UM= 2.P2L32.E.I.96
Formula de Clapeyron: W= 12 ෍Piδi= Pδ2
Y ahora igualando el trabajo a la energía de deformación: UM=W→ Pδ2= P2L3E.I.96
ABLL/2P

2. ෍ 푑푒ඥ푙 퐼푛푔푒푛푖푒푟표
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훅=Δ퐥= 퐏퐋ퟑ ퟒퟖ퐄퐈
3) Utilizando el teorema de Castigliano.
El desplazamiento se obtiene directamente integrando la siguiente expresión: δ= δUδP= δδP ቆන Mx2.dx2.E.IxL0 ቇ= =නMδMδPdxEIxL0 0≤x≤L/2 M(x)= Px2 δM(P) δP= x2 L/2≤x≤L M(x)= P(L−x) 2 δM(P) δP= (L−x) 2 =න Px2x2dxE.IxL/20+න P(L−x) 2(L−x) 2dxE.Ix= LL/2 = P4EI ൭ቈ x33 ቉ 0L/2+ቈl2x+ x33−lx2቉ LL/2 ൱= 훅=Δ퐥= 퐏퐋ퟑ ퟒퟖ퐄퐈
Y de esta forma comprobamos que existen varias formas para calcular la flecha máxima de la viga.