La interpolación polinomial es una técnica de interpolación de datos o funciones mediante polinomios. Se trata de encontrar un polinomio que pase por todos los puntos de datos obtenidos por muestreo. Existen diversas fórmulas para calcular el polinomio interpolador, como la de Newton-Gregory, Lagrange o Hermite. Los splines también se usan comúnmente para interpolación, definidos por trozos de polinomios.

3. En análisis numérico, la interpolación
polinomial es una técnica
de interpolación de un conjunto de datos o
de una función por un polinomio. Es decir,
dado cierto número de puntos obtenidos
por muestreo o a partir de un experimento se
pretende encontrar un polinomio que pase
por todos los puntos.
Del mismo modo La interpolación poli
nómica es un método usado para conocer, de
un modo aproximado, los valores que toma
cierta función de la cual sólo se conoce su
imagen en un número finito de abscisas. A
menudo, ni siquiera se conocerá la
expresión de la función y sólo se dispondrá
de los valores que toma para dichas
abscisas. El objetivo será hallar un
polinomio que cumpla lo antes mencionado
y que permita hallar aproximaciones de
otros valores desconocidos para la función
con una precisión deseable fijada. Por ello,
para cada polinomio interpolador se
dispondrá de una fórmula del error de
interpolación que permitirá ajustar la
precisión del polinomio.
Es fácil demostrar, usando el
determinante de Vandermonde, que por n
puntos, con la única condición de que para
cada x haya una sola y, siempre se puede
encontrar un polinomio de grado igual a
(n-1) que pase por los n puntos

4. Dados los valores de una
función desconocida correspondiente
a dichos valores de x, ¿cuál es el
comportamiento de la función?; el
propósito es determinar dicho
comportamiento, con las muestras de
los pares de datos (x,
f(x)); se encontrará un
polinomio que satisfaga un conjunto
de puntos seleccionados (xi, f(xi))
donde los valores que aporten el
Polinomio y la función se comportan
casi de la misma manera, en el
intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un
polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función
desconocida se puede establecer un
sistema de ecuaciones, pero este
proceso es un poco engorroso;
resulta conveniente arreglar los datos
en una tabla con los valores de x en
forma ascendente. Además de las
columnas para x y para f(x) se
deberán tabular las diferencias de los
valores funcionales. Cada una de las
columnas de la derecha de f(x), se
estima o determina calculando las
diferencias entre los valores de la
columna a su izquierda. La siguiente
tabla es una tabla típica de
diferencias.
Ejemplo de tabla de
diferencias divididas

5. Cuando la función ha sido
tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar
al polinomio que se le parece.
Una forma sencilla de escribir un
polinomio que pasa por un
conjunto de puntos
equiespaciados, es la fórmula del
Polinomio Interpelante de
Newton-Gregory (en avance y
retroceso).
La fórmula usa la notación, que es
el número de combinaciones de s
cosas tomadas de n a la vez, lo
que lleva a razones factoriales.
Donde s viene dada por: x es el
valor a interpolar el polinomio
obtenido; Xo viene a ser el punto
de partida para seleccionar los
valores , que serán seleccionados
de la tabla de diferencias,
formando una fila diagonal hacia
abajo en el caso de la fórmula de
avance; en caso de la fórmula de
retroceso los valores forman una
fila diagonal hacia arriba y a la
derecha. Y ha viene a ser la
longitud o distancia entre los
valores de xi
Fórmula de Avance
Fórmula de Retroceso

6. Ejemplo del polinomio de Newton-Gregory
Suponga que se desea interpolar para el
valor de x = 0.73 mediante el polinomio de
Newton-Gregory para los valores mostrados
en la figura. Como primer paso se calculan
todas las diferencias de orden 3 o menor:
Ejemplo

7. Hay una gran variedad de
fórmulas de interpolación además
del Método de Newton-Gregory,
difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; Por ejemplo la fórmula
del Polinomio Interpolante de Gauss
(en
avance y retroceso), donde la
trayectoria es en forma de Zig-Zag,
es decir los valores desde el punto
de partida Xo serán seleccionados
en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de
avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero
hacia abajo, luego hacia arriba,
luego hacia abajo, y así
sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero
hacia arriba, luego hacia abajo,
luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se
tiene las fórmulas de avance y
retroceso del Polinomio Interpolante
de Gauss.

8. Aquí buscamos un
polinomio por pedazos Hn(x)
que sea cúbico en cada
subintervalo, y que interpole
a f(x) y f'(x) en los puntos .
La función Hn(x) queda
determinada en forma única
por estas condiciones y su
cálculo requiere de la
solución de n sistemas
lineales de tamaño 4x4 cada
uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es
que requiere de la
disponibilidad de los lo cual
no es el caso en muchas en
muchas aplicaciones.
Se sabe que H4(x)=4+3(x+1)-
2(x+1)2
(x-1)-(1/2)(x+1)2
(x-1)2
es el
polinomio de interpolación de Hermite
de cierta función f ,basado en los datos:
f(-1), f'(-1), f(1), f'(1) y f"(1).
a) Sin evaluar H4(x) ni sus
derivadas en -1 y 1, completar la tabla
de diferencias divididas
con repetición utilizada en la
construcción de H4(x).
Ejemplo Hermite

9. En el subcampo matemático del análisis
numérico, un spline es una curva
diferenciable definida en porciones mediante
polinomios.
En los problemas de interpolación, se
utiliza a menudo la interpolación mediante
splines porque da lugar a resultados similares
requiriendo solamente el uso de polinomios
de bajo grado, evitando así las oscilaciones,
indeseables en la mayoría de las aplicaciones,
encontradas al interpolar mediante polinomios
de grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se
utilizan para aproximar formas complicadas.
La simplicidad de la representación y la
facilidad de cómputo de los splines los hacen
populares para la representación de curvas en
informática, particularmente en el terreno de
los gráficos por ordenador.
Definición
El término "spline" hace referencia a una
amplia clase de funciones que son utilizadas
en aplicaciones que requieren la interpolación
de datos, o un suavizado de curvas. Los
splines son utilizados para trabajar tanto en
una como en varias dimensiones.
Las funciones para la interpolación por
splines normalmente se determinan como
minimizadores de la aspereza sometidas a una
serie de restricciones.

11. Para construir un
polinomio de grado menor o
igual que n que pase por los
n+1 puntos: , donde se supone
que si i ¹ j. Este Polinomio Pn
es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede
aplicarse independientemente
del espaciamiento de la tabla,
pero tiene el inconveniente de
que no se conoce el grado del
polinomio. Como no se
conoce, se tiene que determinar
iterativamente. Se propone un
grado, se realiza la
interpolación, se propone el
siguiente grado, se vuelve a
interpolar y se compara con
algún criterio de convergencia,
si se cumple terminamos si no,
se repite el procedimiento.

12. Ejemplo
Calcular el polinomio de Lagrange
usando los siguientes datos:
f(x) = -0,0739x3 + 0,3906x2 + 0,624x - 2,978
Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:
Simplificamos, y obtenemos:
Tras realizar las diferentes operaciones la ecuación resultante
quedará de la siguiente forma:
donde

13. http://interpolacion.wikidot.co
m/spline-teoria