1. sukubanyak

Ringkasan Materi dan Soal-soal Kelas XI IPA Semester 2

DEFINISI
Bentuk umum dari sukubanyak ( polinom ) dengan variabel x , adalah :

a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  ...  a 2 x 2  a1 x  a0

Nilai a n disebut koefisien dari x n , dan a 0 dinamakan konstanta ( suku tetap ).
Derajat dari suatu sukubanyak adalah pangkat tertinggi dari sukubanyak tersebut .

3 x 6  4 x 3  x 2  1 , adalah sukubanyak berderajat 6 , Koefisien dari x
x

3

adalah 4 , koefisien dari x

2

6

adalah 3 , koefisien dari

adalah 1 dan kostantanya 1 .

A . NILAI DARI SUATU SUKUBANYAK UNTUK x = k
Cara menentukan nilai dari sukubanyak f ( x )  a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2 
...  a 2 x 2  a1 x  a0 , untuk x = k , yaitu :

1. Cara Substitusi
n
n1
n 2
2
Nilai dari f ( x )  a n x  a n1 x
 a n 2 x
 ...  a 2 x  a1 x  a 0 , untuk x = k ,
dengan cara substitusi adalah :

f ( k )  a n k n  a n 1 k n 1  a n 2 k n 2  ...  a 2 k 2  a1 k  a0

Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

1


Hitunglah nilai dari sukubanyak f ( x )   3 x 6  4 x 5  2 x 4  x 3  5 x 2  x  10 , untuk x = 2 !

Nilai sukubanyak f ( x )   3 x 6  4 x 5  2 x 4  x 3  5 x 2  x  10 , untuk x = 2 adalah

f ( 2 )   3 . 2 6  4 . 2 5  2 . 2 4  2 3  5 . 2 2  2  10
= 3 . 64 + 4 . 32 + 2 . 16  8 + 5 . 4 + 2  10 = 28

2. Cara Skema
Nilai dari f ( x )  a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  ...  a 2 x 2  a1 x  a0 , untuk x = k ,
dengan cara skema adalah :
k

a n 1

a1

….

a n . k n 1  ...  a 2 . k

a n . k  a n 1

an

….

an . k

an

….

an . k

n 1

a0

an . k

 ...  a 2 . k  a1

an . k

n

n

 ...  a 2 . k

 ...  a 2 . k

2

2

 a1 . k

 a1 . k  a0

Hitunglah nilai dari sukubanyak f ( x )   3 x 6  4 x 5  2 x 4  x 3  5 x 2  x  10 , untuk x = 2 !

Nilai sukubanyak f ( x )   3 x 6  4 x 5  2 x 4  x 3  5 x 2  x  10 , untuk x = 2 , adalah
3

1.

4
6

2
4

1
4

5
10

1
10

10
18

3

2

2

2

5

5

9

28

Hitunglah nilai dari sukubanyak berikut dengan cara substitusi :
a. f ( x )  4 x 6  x 3  2 x 2  10 x  16 , untuk x = 1
b.

f ( x )  5 x 10  14 x  5 , untuk x = 3

c.

f ( x )  16 x 3  8 x 2  24 x  10 , untuk x =

d.

f ( x )  3 x 5  14 x 2  6 , untuk x = 4


1
2

2


2.

Hitunglah nilai dari sukubanyak berikut dengan cara skema :
a. f ( x )  2 x 5  3 x 4  16 x 3  x 2  8 x  12 , untuk x = 2
b. f ( x )  5 x 5  12 , untuk x = 1
c.

f ( x )  8 x 4  6 x 3  9 x 2  5 , untuk x =

1
4

f ( x )   7 x 3  12 x 2  4 x  16 , untuk x = 3
Nilai sukubanyak f ( x )  5 x 4  2 x 3  3 x 2  a x  4 , untuk x = 2 samadengan 78.
Hitunglah nilai a !
Nilai sukubanyak f ( x )  2 x 4  4 x 3  m x 2  n x  2 , untuk x = 1 samadengan 11 ,

d.
3.
4.

dan untuk x = 2 samadengan 84 . Hitunglah nilai m dan n ! .

OPERASI-OPERASI PADA SUKUBANYAK
B . OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
Jika sukubanyak f ( x ) berderajat m dijumlahkan atau dikurangkan dengan sukubanyak h ( x
) berderajat n , maka hasilnya adalah sukubanyak dengan derajat nilai terbesar dari m dan n .

Diketahui : f ( x )

=

h(x ) =
Hitunglah : a . f ( x )
b. f (x )

10 x 5  3 x 4  5 x 2  15 x  1
12 x 4  6x 3  7 x 2  9 x  15
+ h(x )
− h(x )

=

, berderajat 5
10 x 5  3 x 4  5 x 2  15 x  1
= 12 x 4  6x 3  7 x 2  9 x  15
, berderajat 4
5  3 x 4  5 x 2  15 x  1 ) + ( 12 x 4  6x 3  7 x 2  9 x  15 )
( 10 x
10 x 5  ( 3  12 ) x 4  6 x 3  (  5  7 ) x 2  ( 15  9 ) x  (  1  15 )

=

10 x 5  15 x 4  6 x 3  2 x 2  6 x  14

Diketahui : f ( x )
h(x )
f (x )+ h(x ) =

f (x ) h(x ) =
=
=

=

, berderajat 5

( 10 x 5  3 x 4  5 x 2  15 x  1 )  ( 12 x 4  6x 3  7 x 2  9 x  15 )
10 x 5  ( 3  12 ) x 4  6 x 3  (  5  7 ) x 2  ( 15  9 ) x  (  1  15 )
, berderajat 5
10 x 5  9 x 4  6 x 3  12 x 2  24 x  16

C . OPERASI PERKALIAN
Jika sukubanyak f ( x ) berderajat m dikalikan dengan sukubanyak g ( x ) berderajat n ,
maka hasil-nya adalah sukubanyak berderajat m + n .


3


Diketahui : f ( x )

=

h(x )
Hitunglah : f ( x )

=
×

2x 6  4x 3  2
5 x 4  3x 3  x  5
h(x )

, berderajat 6
2x 6  4x 3  2
g ( x ) = 5 x 4  3x 3  x  5
, berderajat 4
f ( x ) . g ( x ) = (  2 x 6  4 x 3  2 ) . ( 5 x 4  3x 3  x  5 )
=  2 x 6 . 5 x 4  2 x 6 . 3 x 3  2 x 6 . x  2 x 6 . 5  4 x 3. 5 x 4  4 x 3. 3 x 3  4 x 3. x
Diketahui : f ( x )

=

 4 x 3. 5  2 . 5 x 4  2 . 3 x 3  2 x  2 . 5
=  10 x 64  6 x 63  2 x 61  10 x 6  20 x 34  12 x 33  4 x 31  20 x 3  10 x 4

 6 x 3  2 x  10
=  10 x 10  6 x 9  2 x 7  10 x 6  20 x 7  12 x 6  4 x 4  20 x 3  10 x 4  6 x 3  2 x  10
=
10  6 x 9  ( 2  20 ) x 7  ( 10  12 ) x 6  ( 4  10 ) x 4  (  20  6 )x 3  2 x  10
 10 x
=  10 x 10  6 x 9  18 x 7  2 x 6  14 x 4  26x 3  2 x  10

1.

Diketahui

f (x )

=

 2 x 6  4 x 3  2 , dan

g ( x ) = 2x 4  6x 3  9x 2  x  8
Hitunglah :
a. f ( x ) + g ( x )
c.
b. f ( x )  g ( x )
d.
2.

Diketahui

f (x )
=
g ( x ) = x 2  4x 1
Hitunglah :
a. f ( 3 ) + g ( 2 )
b. f ( 6 )  g (  5 )


f (x ).g (x )
2f (x ) + 5g (x )

 8 x 3  2 , dan

c.
d.

f (8 ).g (4 )
2 f ( 3 ) + 5 g ( 1 )

4


D . OPERASI PEMBAGIAN
Bentuk Umum Pembagian :
Yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

Jika sukubanyak f ( x ) berderajat m , dibagi oleh sukubanyak p ( x ) berderajat n , dengan m
> n , hasilnya adalah sukubanyak H ( x ) dan sisa pembagiannya S ( x ) , jika ditulis dengan
bentuk umum pembagian, bentuknya adalah sbb :
f (x ) = p(x ) × H(x ) + S (x )
Derajat dari S ( x ) maksimal sama dengan n  1 .
Ada dua cara untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian , jika sukubanyak f (x ) dibagi oleh
sukubanyak p ( x ) , yaitu :

1 . Pembagian Bersusun :
Bentuk Umum :

p(x )

f (x )

H (x )

p(x).H(x )
−
S ( x )

= x 5  3 x 3  12 x 2  5 x  6
g ( x ) = x 2  2x  3
Tentukan hasil bagi dan sisa dari f ( x ) : g ( x ) dengan cara pembagian bersusun !
Diketahui :

f (x )

Hasil bagi dan sisa dari f ( x ) : g ( x ) dengan cara pembagian bersusun dapat ditentukan dengan
cara sebagai berikut :
x 2  2x  3

x 5  3 x 3  12 x 2  5 x  6

x 3  2x 2  4x  7

x5  2 x 4  3 x3
2 x 4  12 x 2  5 x  6
2x 4  4x 3  5x 2
4 x 3  15 x 2  5 x  6
4 x 3  8 x 2  12 x

Jadi :
hasil bagi = H ( x ) = x 3  2 x 2  4 x  7
Sisa
= S ( x ) = 21 x  15

 7x 2  7x  6
 7 x 2  14 x  21

21 x  15
Jika f ( x ) dinyatakan dengan bentuk umum pembagian, maka bentuknya adalah sebagai berikut :
x 5  3 x 3  12 x 2  5 x  6 = ( x 2  2 x  3 ) . ( x 3  2 x 2  4 x  7 ) 21 x  15


5


2 . Pembagian Sintetik :
Bentuk pembagian sintetik sama dengan cara menentukan nilai sukubanyak dengan skema .
Pembagian dengan cara ini disebut juga pembagian dengan metode Hörner .
Jika sukubanyak
f ( x )  a n x n  a n 1 x n 1  a n 2 x n 2  ...  a 2 x 2  a1 x  a 0 dibagi
dengan
x  b , caranya sebagai berikut :
b

a n 1

….

a n .b

….

a n .b n 1  ...  a 2 . b

a n .b  a n 1

….

a n .b n 1  ...  a 2 .b  a1

an

an

a1

a0

a n .b n  ...  a 2 .b 2  a1 .b

a n .b n  ...  a 2 .b 2  a1 .b  a0

Koefisien hasil bagi
Jadi :
Pembagi

=

Hasil bagi =

Sisa

x  b

a n x n 1  ( a n .b  a n 1 ) x n 2  ...  ( a n .b n 1  ...  a 2 .b  a1 )

Sisa
= a n .b n  ...  a 2 . b 2  a1 . b  a0
Bentuk umum pembagiannya adalah :
f ( x ) = ( x  b ) [ a n x n 1  ( a n .b  a n 1 ) x n 2  ...  ( a n .b n 1  ...  a 2 .b  a1 ) ] + ( a n .b n  ...

 a 2 . b 2  a1 . b  a0 )

Tentukan hasil bagi dan sisa jika f ( x )  3 x 5  10 x

Hasil bagi dan sisa jika f ( x )  3 x 5  10 x

4

4

 x 3  2 x 2  18 x  5 dibagi oleh x  10 !

 x 3  2 x 2  18 x  5 dibagi oleh x  10 , adalah :

3

10
30

1
400

2
4010

18
40080

5
400620

3

10

20

401

4008

40062

400615

Jadi :
Hasil bagi =
Sisa
=

3 x 4  40 x 3  401 x 2  4008 x  40062
400615

Jika f ( x ) dibagi oleh c x  b , maka bentuk umum pembagiannya adalah :
c x b
b
f (x )(x  )H (x )S (x )  f (x )(
)H (x )S (x )
c
c
H (x )
 f ( x )  (c x b )
S (x )
c


6


Tentukan hasil bagi dan sisa jika f ( x )  6 x 5  x

Hasil bagi dan sisa jika f ( x )  6 x 5  x

1
2

4

4

 5 x 2  20 x  1 dibagi oleh 2 x  1 !

 5 x 2  20 x  1 dibagi oleh 2 x  1 , adalah :

1

5

20

1

2

1

2

9

4

6

0

3

6

2

4

18

10

Jadi :
Hasil bagi =
Sisa

=

1
( 6x
2
10

4

 4x 3  2x

2

 4 x  18 )  3 x

4

 2x 3  x

2

 2x  9

1. Tentukan hasil bagi , sisa , dan bentuk umum pembagian , dari operasi pembagian berikut
dengan cara pembagian bersusun :
a.

( 8 x 5  4 x 4  2 x 3  7 x  6 ) : ( 4 x 3  12 x 2  x  3 )

b.

( 9 x 4  2 x 3  x 2  11 x  5 ) : ( x 2  4 x  12 )

2. Tentukan hasil bagi , sisa , dan bentuk umum pembagian , dari operasi pembagian berikut
dengan cara pembagian Hörner :
a.

( 3 x 4  10 x 3  5 x 2  8 x  2 ) : ( x  5 )

b.

(4 x 3  9 x 2  14 x  1 ) : ( 4 x  1 )

E . TEOREMA SISA
Teorema Sisa :
Jika sukubanyak f ( x ) dibagi oleh x   , maka sisa pembagiannya adalah f (  )

Jika sukubanyak f ( x ) dibagi oleh  x   , maka sisa pembagiannya adalah f (


) .


1 . Hitunglah sisa pembagian jika f ( x )  3 x 5  4 x 3  2 x 2  x  10 dibagi oleh x + 1.
2.

Jika sukubanyak f ( x ) dibagi dengan x – 5 sisanya 5 , sedangkan jika dibagi x + 1 sisanya
3 . Hitunglah sisanya jika f ( x ) dibagi dengan x 2  2 x  3 !


7


1.

Sisa yang diperoleh jika f ( x )  3 x 5  4 x 3  2 x 2  x  10 dibagi oleh x + 1 , adalah :
1

3
2.

0

4

2

1

10

3

3

3

1

3

9

3

1

3

2

8 = f ( 1 ) = sisa

Jika f ( x ) dibagi x 2  2 x  3  ( x  3 ) ( x  1 ) , misal sisanya p x  q , jadi :
f ( x )  ( x  3 ) ( x  1 ) H ( x )  ( p x  q ) , untuk x = 3 , diperoleh :

f ( 3 )  ( 3  3 ) ( 3  1) H ( 3 )  ( p. 3  q )   5  f ( 3 )  3 p  q   5

…….. 1 )

untuk x = 1 , diperoleh :
f (  1 )  (  1  3 ) (  1  1 ) H (  1 )  ( p . (1 )  q )  3  f (  1 )   p  q  3 ……. 2 )
3p  q  5
Dari 1 ) dan 2 ) diperoleh :
p q 3

4p
 8
2 x  1
Jadi sisa pembagiannya adalah

1.



p  2

, q  1

Tentukan hasil bagi dan sisa dari fungsi f ( x ) berikut :
a. f ( x )  10 x 4  3 x 3  2 x 2  6 x  8 dibagi x + 4
b. f ( x )  x 5  4 x 4  8 x 2  9 x  1 dibagi x  11
c.

f ( x )  12 x 6  10 x 4  2 x 3  5 x 2  6 4 x 3  a x 2  21 x  18 dibagi 2 x + 3

f ( x )  6 x 5  8 x 4  2 x 3  4 x 2  x  16 dibagi 4 x  1
Sukubanyak f ( x )  6 x 4  m x 3  8 x 2  n x  1 dibagi x  1 sisanya 33.
Jika f ( x ) dibagi x + 1 sisanya 8 . Hitunglah nilai dari m dan n !
Sukubanyak f ( x ) dibagi x + 5 sisanya 6. Jika f ( x ) dibagi x  3 sisanya 10 .
Hitunglah sisanya jika f ( x ) dibagi x + 5 !
Sukubanyak f ( x ) dibagi x 2  2 x  48 sisanya 3 x + 9 . Jika dibagi x 2  6 x  8 sisanya
d.

2.
3.
4.

 x  3 . Hitunglah sisanya jika f ( x ) dibagi x 2  12 x  32 !


8


F . TEOREMA FAKTOR

x   adalah faktor dari f ( x ) , jika dan hanya jika , f (  ) = 0

2.

Tunjukkan bahwa x + 1 adalah faktor dari x 3  3 x 2  5 x  7
Jika x  3 adalah faktor dari 4 x 3  a x 2  21 x  18 , tentukan nilai a !

1.

Sukubanyak x + 1 adalah faktor dari

1.

1

x 3  3 x 2  5 x  7 sebab :

1

3

5

7

1

1

2

7

2

7

0 =sisa
x 3  3x 2  5x  7 .

Karena sisa = 0 , berarti x + 1 adalah faktor dari
2.

Jika x  3 adalah faktor dari 4 x 3  a x 2  21 x  18 , maka nilai a dapat ditentukan sbb :
f ( 3 ) = 0   3 4  a . 3 2  21. 3  18  0  a   4

Faktorisasi Sukubanyak :
Faktor rasional dari sukubanyak
n
n1
n 2
2
f ( x )  a n x  a n1 x
 a n 2 x
 ...  a 2 x  a1 x  a 0 , adalah x   dengan
p
  , diperoleh jika p adalah faktor-faktor bulat dari a 0 dan q adalah faktor-faktor bulat dari
q

a n , dan f (

p
)0.
q

Catatan :
1. Jika jumlah koefisien-koefisien f ( x ) sama dengan nol , maka x  1 adalah faktor dari f ( x ) .
2. Jika jumlah koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien variabel
berpangkat ganjil , maka x + 1 faktor dari f ( x ) .
3. Jika sukubanyak f ( x ) berderajat n , maka f ( x ) mempunyai maksimal n buah akar rasional.
Akar-akar tersebut mungkin sama atau berbeda.

1.

Faktorkan sukubanyak :

f ( x )  2 x 3  3 x 2  11 x  6

2.

Faktorkan sukubanyak :

f ( x )  3x


5

 7x

4

 21 x

3

 x

2

 18 x  8

9


1. Faktor-faktor dari sukubanyak : f ( x )  2 x 3  3 x 2  11 x  6 , dapat ditentukan dengan cara
sbb:
Faktor-faktor bulat dari 6 = ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 6 .
Faktor-faktor bulat dari 2 = ± 1, ± 2 .
1
3
Nilai  yang mungkin = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ±
, ±
2
2
2

2

3
4

11
14

6
6

2

7

3

0

1

3

6

0

1
2
2

Jadi faktor-faktor dari f ( x ) adalah :

f (x)

(x+2)(x

1
)(2x6)
2

1
(2x1)(2x6)
2
= (x+2) (2x1)(x3)
5
Faktor-faktor dari sukubanyak : f ( x )  3 x  7 x 4  21 x 3  x 2  18 x  8
,
dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Faktor-faktor bulat dari 6 = ± 1, ± 3 .
1
Faktor-faktor bulat dari 6 = ± 1, ± 2 , ± 4 , ± 8 , ±
,
3
1
1
2
4
8
Nilai  yang mungkin = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ±
, ± , ±
,±
, ±
2
3
3
3
3
Karena jumlah koefisien f ( x ) = 3 + 7  21 + 1 + 18  8 = 0 , maka x  1 merupakan faktor .
Jadi :
=

2.

=

1

3

21
10

7
3

(x +2)

1
11

18
10

3
10
11
10
8
Karena 3 + 10  11  10 + 8 = 0 , maka x  1 merupakan faktor
3

10
3

11
13

10
2

13

2

8

0

8
8

3

1

8
8

0

Karena 3 + 2 = 13  8 , maka x + 1 merupakan faktor
1

3

13
3

2
10

8
8

3

10

8

0

Jadi bentuk faktornya :

f (x) =
=
=


( x  1 ) ( x  1 ) ( x  1 ) ( 3 x 2  10 x  8 )
( 3 x 2  12 ) ( 3 x  2 )
3
( x  1) ( x  1 ) ( x  1 ) ( x  4 ) ( 3 x  2 )
( x  1) ( x  1 ) ( x  1 )

10


G . PERSAMAAN SUKU BANYAK
Bentuk umum dari persamaan sukubanyak dengan variabel x adalah :
f ( x )  a n x n  a n1 x n1  a n2 x n2  ...  a 2 x 2  a1 x  a 0  0
p
Akar-akar rasional dari persamaan tersebut adalah
, dengan p adalah faktor bulat dari a 0 dan
q

p
)0.
q

q adalah faktor bulat dari a n , dan f (

Teorema Dasar Aljabar :
Persamaan sukubanyak f ( x ) = 0 yang berderajat n mempunyai n akar bilangan kompleks.

Dari teorema aljabar tersebut dapat disimpulkan bahwa persamaan f ( x ) = 0 yang berderajat n
mempunyai maksimal n buah akar rasional. Akar-akar rasional tersebut mungkin sama atau
berbeda.
Contoh :
Himpunan penyelesaian dari persamaan : f ( x )  2 x 3  15 x 2  22 x  15  0 dapat ditentukan sbb
Faktor-faktor bulat dari 15 =
Faktor-faktor dari 2
=

 1 ,  3 ,  5 ,  15
1,2.

Akar-akar yang mungkin

 1 ,  3 ,  5 ,  15 , 

=

1
3
5
15
,
,
,
2
2
2
2

Untuk x = 3 diperoleh :
3

2

15
6

22
27

15
15

2

9

5

0

Jadi faktor-faktor dari f ( x ) = 0 adalah :

( 2 x  10 ) ( 2 x  1 )
 0  ( x  3 ) ( x  5 ) ( 2 x  1)  0
2
Akar-akar dari persamaan tersebut , adalah :
x3 0
x5 0
2 x 1  0
atau
atau
( x  3) ( 2 x2  9 x  5)  0  ( x  3)

x = 3

Jadi

1.

atau

x = 5

atau

x=

1
1
. HP = { 5 , 3 ,
}
2
2

Jika x + 3 adalah faktor dari sukubanyak f ( x )  x 4  3 x 3  a x 2  11 x  30
a. Hitunglah nilai a
b. Tentukan faktor-faktor yang lain.

2. Jika f ( x )  x 4  p x 3  q x  81 habis dibagi x 2  2 x  3 , hitunglah nilai p dan q ,
kemudian tentukan semua faktornya !
3. Faktorkan sukubanyak berikut :
a.

x3  x2  x  1

e.

8 x 3  26 x 2  23 x  6

b.

x 3  x 2  17 x  15

f.

x4  x3  7 x2  x  6

c.

x 3  9 x 2  26 x  24

g.

4 x 4  8 x 3  9 x 2  71 x  30

d.

2 x3  9 x2  3 x  4


11


4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
a.

6 x 3  29 x 2  21 x  4  0

d. x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  8  0

b.

x 3  4 x 2  7 x  10  0

e. 2 x 4  19 x 3  16 x 2  61 x  24  0

c.

12 x 3  31 x 2  17 x  6  0

H . SIFAT – SIFAT AKAR

PERSAMAAN SUKU

BANYAK

1 . Persamaan Kuadrat
dan a  0

:

,
a x2  b x  c  0
a , b , c R
adalah akar-akar persamaan tersebut , maka :

b
a
c
x1 . x 2 
a

…………………

jumlah akar-akar

…………………

hasil kali akar-akar

Bentuk umum
Jika x1 dan x 2
x1  x 2  

2 . Persamaan Pangkat Tiga
Bentuk umum
Jika x1 , x 2

a x3  b x2  c x  d  0
,
a,b,c, d R
, dan x 3 adalah akar-akar persamaan tersebut , maka :
:

x1  x 2  x3  

b
a

…………………

jumlah akar-akar

…………………

x1 . x 2  x1 . x 3  x 2 . x 3 

x1 . x 2 . x 3  

dan a  0


c
a

d
a

3 . Persamaan Pangkat Empat
Bentuk umum

:

Jika x1 , x 2 , x 3

a , b , c , d , e R
a x 4  b x3  c x 2  d x  e  0
,
dan x 4 adalah akar-akar persamaan tersebut , maka :

x1  x 2  x 3  x 4  

b
a

…………………

x1 . x 2  x1 . x3  x1 . x 4  x 2 . x3  x 2 . x 4  x3 . x 4 
x1 . x 2 . x3  x1 . x3 . x 4  x 2 . x3 . x 4  x1 . x 2 . x 4  
x1 . x 2 . x 3 . x 4 

e
a

dan a  0

jumlah akar-akar

c
a

d
a

…………………


Diketahui persamaan f ( x )  x 3  x 2  8 x  m  0 . Jika f ( x ) mempunyai dua akar yang
sama, tentukan nilai m !

Jika x1 , x 2 , dan x 3 adalah akar-akar persamaan tersebut, maka :

x1  x 2  x3  1  x1 . x 2  x1 . x3  x 2 . x3   8
Misal

x1 = x 2 , maka

:

2 x1  x3  1


……………..

1)

x1 2  2 x1 . x3   8

……………..

2)

x1 . x3   m

……………..

3)

2


12


Dari 1 ) x3  1  2 x1 substitusi ke 2 )

x1 2  2 x1 . ( 1  2 x1 )   8

 ( 3 x1  6 ) ( 3x1  4 )  0

 3 x1 2  2 x1  8  0

diperoleh :

 x1  2 atau x1  

Untuk

x1  2 ,

Untuk

x1  

1.

4
3

x 2  2 , x3  1  2 . 2   3  m   x1 2 . x3   2 2. (  3 )  12

4
4
4
11
, x2  
, x3  1  2 . (  ) 
3
3
3
3

 m   x1 2 . x3  (

16
11
176
).( )  
9
3
27

Hitunglah jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan sukubanyak berikut :
a.

4 x 3  2 x 2  16 x  2  0

c.

8 x 4  12 x 3  6 x 2  x  3  0

b.

 2 x3  6 x 2  4 x  7  0

d.

16 x 4  7 x 3  9 x 2  4 x  1  0

2. Diketahui persamaan x 3  m x 2  7 x  4  0 . Persamaan tersebut mempunyai 2 akar
yang sama . Hitunglah nilai m yang memenuhi dengan syarat m bilangan bulat !


13

1. sukubanyak

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 1. sukubanyak

Similar to 1. sukubanyak (20)

More from Trie Rusdiyono

More from Trie Rusdiyono (8)

1. sukubanyak