Exercícios resolvidos sobre entropia e 2º lei termodinamica

LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, às 4:49 a.m.
Exerc´ıcios Resolvidos de Termodinâmica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica teórica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMO-
DIN ÂMICA 2
22.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
22.2 Exerc´ıcios e Problemas . . . . . . . . . 4
22.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 12
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22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMODIN ÂMICA
22.1 Questões
Q-6.
Explique qualitativamente como as forças de atrito entre duas superf´ıcies aumentam a temperatura destas su-
perf´ıcies. Por que o processo inverso não ocorre?
¡
Quando duas superf´ıcies estão em contato, ocorrem interações de natureza elétrica entre as suas moléculas.
Com o movimento relativo, essas interações são rompidas, a energia cinética das moléculas aumenta, acarretando
um aumento da temperatura das superf´ıcies. No processo inverso, a energia térmica dificultaria a interação entre
as moléculas e as forćas envolvidas seriam localizadas e insuficientes para produzir movimento relativo das su-
perf´ıcies.
Q-7.
Um bloco volta à sua posição inicial, depois de se mover dissipando energia por atrito. Por que este processo não
é termicamente reversível?
¡
Porque a energia térmica produzida no atrito, não pode ser reconvertida em energia mecânica, conforme a se-
gunda lei da termodinâmica.
Q-10.
Podemos calcular o trabalho realizado durante um processo irrevers´ı vel em termos de uma área num diagrama p -
V? Algum trabalho é realizado?
¡
Nos processos irrevers´ıveis há realização de trabalho - sobre o sistema ou pelo sistema sobre o seu ambiente -
mas este trabalho não pode ser obtido pelo cálculo de uma área no diagrama p - V, porque a pressão do sistema
não é definida num processo irrevers´ıvel.
Q-14.
Sob que condições uma máquina térmica ideal seria ¢¤£¥£§¦ eficiente?
¡
A eficiência de uma máquina térmica pode ser expressa por
¨© H C
H
Para o rendimento ser de ¢¤££¦ , C , o calor liberado, teria que ser nulo, mas essa seria então uma máquina perfeita
que, de acordo com a segunda lei, não existe. Considerando a eficiência expressa em termos das temperaturas
extremas,
¨ ©
¢
!
C
!
H
para um rendimento de ¢¤££¦ , a temperatura da fonte fria teria de ser
!$# ©
£ K, o que estaria em desacordo com a
terceira lei da termodinâmica (ver discussão sobre o zero absoluto, por exemplo, na secão ¢¤£

%
do segundo volume
do Curso de F´ısica Básica, do autor H. Moyses Nussenzveig).

Q-18.
Por que um carro faz menos quilômetros por litro de gasolina no inverno do que no verão?
¡
As máquinas térmicas reais não operam ciclos exatamente revers´ıveis e quanto maior for a difernça de tempera-
tura entre a fonte quente e a fonte fria, maior é a quantidade de energia que não se aproveita. Assim, nos dias mais
frios, um motor de automóvel tem a sua eficiência diminu´ıda.
Q-21.
Dê exemplos de processos em que a entropia de um sistema diminui, e explique por que a segunda lei da termo-
dinâmica não é violada.
¡
No processo de congelamento de uma amostra de água, a entropia deste sistema diminui, porque a água precisa
perder calor para congelar. A segunda lei da termodinâmica não é violada porque a entropia do meio, que recebe
o calor cedido pela água, aumenta. Este aumento é maior do que a diminuição, tal que a entropia do sistema +
ambiente aumenta.
Q-23.
Duas amostras de um gás, inicialmente à mesma temperatura e pressão, são comprimidas de volume V para o vo-
lume ('0) , uma isotermicamente e a outra adiabaticamente. Em qual dos casos a pressão final é maior? A entropia
do gás varia durante qualquer um dos processos?
¡
No processo isotérmico a pressão final é: 1
2 2 ©
1

)
1
©
)
1
2

No processo adiabático, a pressão final é: 1
2 432 ©
165

)7
3

1
©
)83
1
2

A pressão final é maior no processo adiabático.
A variação da entropia no processo isotérmico é dada por:
9A@ ©BDC !FE B
2
9A@ ©

BDC !GE B
)

No processo adiabático, a entropia não varia, uma vez que
9
é nulo neste caso.
Q-25.
Ocorre variação da entropia em movimentos puramente mecânicos?
¡
Sim, por causa da energia térmica produzida pelo atrito.
Q-28.
Calor é transferido do Sol para a Terra. Mostre que a entropia do sistema Terra-Sol aumenta durante o processo.

¡
O Sol libera calor à alta temperatura e tem a sua entropia diminu´ıda. Já a Terra absorve o calor à temperatura
bem mais baixa. A entropia da Terra aumenta no processo e este aumento é maior do que a diminuição da do Sol,
tal que a variação da entropia do sistema Terra-Sol é positiva.
22.2 Exerc´ıcios e Problemas
P-4.
Um mol de um gá ideal monoatômico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-18. O processo bc é uma expansão
adiabática;
1IH
©
¢P£

£ atm,
H
©
¢

£¥£AQR¢P£TSIU mU , e IV
©XW

£¥£
H
. Calcule: (a) o calor adicionado ao gás, (b) o
calor cedido pelo gás; (c) o trabalho realizado pelo gás e (d) a eficiência do ciclo.
¡
Para chegar aos resultados pedidos, antes é necessário obter o valor da temperatura e da pressão no final de cada
um dos processos do ciclo. Começando com o processo adiabático que liga os estados b e c, tem-se:
1IH
3
H
©
1
VY43V
1
V
©
1`H 5

H
V§a
3 ©cb
¢P£edfhgFi
5
¢¤£pSIU
W

£AQq¢¤£ SIU aDrts uwv
©
£
Yx
¢ atm ©
xp
¢€yAQq¢¤£0 Pa

As temperaturas nos estados b e c são:
!
H
©
1`H

H
BDC
©
b
¢P£i
b
¢

£p¢Q‚¢P£¥ƒ$„4dTi
b
¢

£AQ‚¢P£TSIU`gFU¤i
b
¢

£i
b…W
Yx
¢€y‡†ˆ'8gG‰
E

i
©
¢P)) K

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V
©
1
VYIV
BDC
©
b
xˆ
¢¤y‘Qq¢¤£ „4dTi
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£AQq¢¤£pSIU`gFU¤i
b
¢

£i
b’W
Yx
¢¤y“†”'gF‰
E

i
©
x
£ K

Na compressão isobárica, tem-se !
V
”V
©
!D•

•

! • © !
V

•
IV
©–b
x
£

i
5

H
W

£—
H
a
©
xˆ
W
K

As transferências de calor e o trabalho realizado em cada processo são calculados com a primeira lei:
˜
ab
©
£

ab
©™Bed“f 9 ! ©–b
¢

£i
b
x
)
i
b’W
Yx
¢¤y“†”'gF‰
E

i
b
¢P))
xp
W
i

©
¢¤y§g8y J

˜
bc
©

9ih
int
©

Bed“f 9 ! ©cb
¢

£i
b
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i
b…W
Yx
¢€y‡†ˆ'8gG‰
E

i
b
¢P)¥)
x
£i

©
¢¥¢¤y§g J

˜
ca
©
1
• b

•
V i
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xˆ
¢€yAQq¢¤£ „4d§i
b
¢

£
W

£i(Q‚¢P£ SÙ g U ©
))0£ J

ca
©jBed(k 9 ! ©lb
¢

£i
b
%
)
i
b’W
Yx
¢¤y“†”'gF‰
E

i
b
xp
W

x
£i

©

%
y
%
J

Então, finalmente,
(a) absorvido
©
ab
©
¢¤y§g8y J.
(b) cedido
©
ca
©

%
y
%
J.
(c)
˜
efetivo
© ˜
bc m
˜
ca
©
¢¥¢€yTg ))0£
©jn
)g J.
(d) ö© p qFp
p r absorvido p
©tswu
v
r

v

©
£
Yv¥x
.

E.7
Para fazer gelo, um freezer extrai y§) kcal de calor de um reservaório a ¢)
2
C em cada ciclo. O coeficiente de
performance do freezer é
%

g . A temperatura do ambiente é )
v
2
C. (a) Quanto calor, por ciclo, é rejeitado para o
ambiente? (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necessária para manter o freezer em funcionamento?
¡
(a) A performance do freezer é dada por:

© C

˜

E o trabalho externo necessário é:
˜ © C

© y)—wTxyd
E
%

g
©
g
Yx
g kcal

H
©

˜
m C

H
©–b
g
Yx
g m y)¥iwwTxyd
E ©
y
n
wx
g kcal

(b)
˜ ©
g
wx
g kcal ©
x
¢ kJ.
E-10.
Num ciclo de Carnot, a expansão isotérmica de um gás ideal acontece a y££ K e a compressão isotérmica a
x
££ K.
Durante a expansão,
%
££ cal de calor são transferidas pelo gás. Calcule (a) o trabalho realizado pelo gás durante
a expansão térmica; (b) o calor rejeitado pelo gás durante a compressão isotérmica e (c) o trabalho realizado pelo
gás durante a compressão isotérmica.
¡
(a) Na expansão isotérmica,
9‘h
int
©
£ e
˜ ©
. Portanto,
˜ © %
£¥£ cal ©
)¥£
n
x
J.
(b) Na compressão isotérmica também
© ˜
, mas o calor é liberado:
C
©
!
C
!
H
H
©
x
£¥£
y£¥£
%
£¥£
©
x
g
%
cal ©
¢
%
g0£ J

(c)
˜

©
x
g
%
cal ©
¢
%
g8£ J.
E-15.
Para o ciclo de Carnot ilustrado na Fig. 22-9, mostre que o trabalho realizado pelo gás durante o processo bc (passo
) ) tem o mesmo valor absoluto que o realizado durante o processo da (passo y ).
¡
O processo bc é a expansão adiabática, a temperatura inicial é
!
H e a final é
!
C e
©
£ . Então, pela primeira
lei,
9‘h
int
©

˜
. 9‘h
int
©Bed
V
9 ! ©jBed
V
b !
C
!
Hi
˜ ©
m
Bed
V
b !
H
!
C i

O processo da é a compressão adiabática, a temperatura inicial é
!
C e a final é
!
H.
9‘h
int
©

˜
e
9‘h
int
©
Bed
V
b !
H
!
C i . O trabalho é
˜ ©

Bed
V
b !
H
!
Ci . Portanto,
˜
bc
©

˜
da .
P-20.
Uma bomba térmica é usada para aquecer um edif´ıcio. Do lado de fora a temperatura é
%e2
C e dentro do edif´ıcio
deve ser mantida a )¥)
2
C. O coeficiente de performance é
xp
W
e a bomba injeta ¢

W
Mcal de calor no edif´ıcio por
hora. A que taxa devemos realizar trabalho para manter a bomba operando?

¡
O calor injetado, expresso em J/s, é:
H
©
b
¢

W
Qq¢¤£
u
i
b
y

¢
W
v
†zi
xv
£¥£|{
©
)¥£
n
x
J/s

O coeficiente de performance da bomba é dada por:

© C

˜

© H
˜

˜

©} H

˜

¢

A taxa de realização de trabalho necessária para operar a bomba vai ser então

˜

f
© H 'f

m ¢
© )¥£
n
x
xˆ
W
m ¢
©
y
x¥v
W

P-24.
(a) Mostre que, quando um ciclo de Carnot é traçado num diagrama temperatura (Kelvin) versus entropia (T - S), o
resultado é um retângulo. Para o ciclo de Carnot mostrado na Fig. 22-19, calcule (b) o calor ganho e (c) o trabalho
realizado pelo sistema.
¡
(a) Os dois processos isotérmicos do ciclo de Carnot vão produzir dois segmentos de reta, perpendiculares ao
eixo T no diagrama (T - S), e os dois processos adiabáticos ocorrem sem trocas de calor, produzindo dois segmentos
perpendiculares ao eixo S.
(b) No diagrama T - S, a área sob o segmento de reta ab fornece H e sob o segmento cd, fornece C:
H
©lb
y£¥£

i
b
£
Yv
£ £

¢¤£i~†”'

©
)¥£¥£ J

(c) Calculando C:
C
©lb
)
%
£

i
b
£

¢ £
Yv
it†ˆ'

©
¢P)
%
J

E, finalmente, o trabalho realizado pelo sistema é:

˜

©
H 8 C
©
)0£¥£ ¢P)
% ©
g
%
J

P-25.
Numa máquina de Carnot de dois estágios, uma quantidade
r
de calor é absorvida à temperatura
!
r
, o trabalho
˜
r
é feito e uma quantidade u é rejeitada à temperatura
!
u pelo primeiro estágio. O segundo estágio absorve
o calor rejeitado pelo primeiro, realiza um trabalho
˜
u , e rejeita uma quantidade de calor U
à temperatura
!
U
.
Prove que a eficiência desta combinação é €0‚ S €ƒ…„
€ ‚
.
¡
Para o primeiro estágio da máquina pode-se escrever, de acordo com a equação (22-11),

r

u
©
!
u
!
r

Para o segundo estágio, igualmente,
U
u
©
!
U!
u
Essas relações permitem vincular
r
e U através de u :
U
©
!
U!
u
!
u
!
r

r


U
©
!
U!
r

r

O rendimento da máquina é então expresso por
¨©
¢
U

r

que é equivalente a
ö©
¢
!
U!
r

ou seja, o rendimento da máquina é função das temperaturas extremas entre as quais opera o ciclo.
P-30.
Um mol de um gás ideal monoatômico é usado para realizar trabalho em uma máquina que opera seguindo o ciclo
mostrado na Fig. 22-21. Suponha que
1
©
)
1
2 ,
©
) 2 ,
1
2 ©
¢

£ˆ¢ Qq¢P£¥ƒ Pa, e 2 ©
£

£)¥)
%
mU . Calcule (a) o
trabalho realizado por ciclo; (b) o calor adicionado por ciclo durante o trecho de expansão abc, e (c) a eficiência da
máquina. (d) Qual a eficiência de Carnot de uma máquina operando entre as temperaturas mais alta e mais baixa
que ocorrem neste ciclo? Compare esta eficiência com aquela calculada em (c).
¡
(a) O trabalho l´ıquido produzido por ciclo é igual à área do diagrama p - V da fig. 22-21. Calculando os trabalhos
correspondentes à expansão e à compressão, vem
˜
bc
©
)
1
2 b
)¥ 2 2 i
©
)
1
2 2 ©
y
%
y
%
J

˜
da
©
1
2 b
2 )¥ 2 i
©

1
2 2 ©
)¥)g0)

%
J
˜
ciclo
©
y
%
y
%
))g¥)

% ©
))g¥)

%
J

(b) No processo ab,
˜ ©
£ e
© 9‘h
int
©cBed
V
9 !
. As temperaturas nos estados inicial e final deste processo
são:
!
a
©
1
2 2
BDC
©
)g
xˆwxx
K

!
b
© )
1
2 2
BDC
© %
y
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g K

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¢

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b
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x
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c
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b i

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c
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b
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¢

£†gF‰
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¢¢
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£ J

H
©
ab m bc
©
x
y£
W

g8£ m ¢¢
xv
)
Yx
£
©
¢€yTg¥gT¢ J

(c) A eficiência da máquina pode ser calculada por
¨©‡
˜

H
© ))g¥)

%
¢¤y§g¥gT¢
©
£

¢
%
y

(d) A eficiência da máquina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas seria:
¨
Carnot
©
¢
!
H
!
C
©
¢
)g
xˆwxx
¢P£
n
xpwx
)
©
£

g
%


Comparado o rendimento da máquina com o da máquina ideal, tem-se
¨
¨
Carnot
© £

¢
%
y
£

g
%
©
£

)¥£
%

O rendimento da máquina é de )0£

%
£§¦ do da máquina ideal.
P-36.
Um inventor afirma ter criado quatro máquinas, todas operando entre y££ K e
x
£¥£ K. As caracter´ısticas de cada
máquina, por ciclo, são as seguintes: máquina (a), H
©
)0£¥£ J, C
©
¢g
%
J,
˜ ©
y£ J; máquina (b), H
© %
££
J, C
©
)¥£¥£ J,
˜ ©
y£¥£ J; máquina (c), H
©
v
£¥£ J, C
©
)0££ J,
˜ ©
y£¥£ J; máquina (d), H
©
¢¤£¥£ J,
C
©

n
£ J,
˜ ©
¢P£ J. Usando a primeira e a segunda leis da termodinâmica, verifique para cada máquina se
alguma destas leis está violada.
¡
(a) Primeira lei da termodinâmica: 9‘h
int
©
ˆ
˜

©
H C
©
)0£¥£ ¢g
% ©
)
%
J
9ih
int
©
)
%
y£
©
¢
%
J

Como
9ih
int ‰
©
£ , está violada a primeira lei. Para verificar a segunda lei, calcula-se o rendimento da máquina para
ser comparado ao rendimento da máquina ideal de Carnot operando entre as mesmas temperaturas:
¨
máq.
©‡
˜

H
© y£
)0£¥£
©
£

)
¨
Carnot
©
!
H
!
C
!
H
© y££
x
£¥£
y£¥£
©
£

)
%
Como ¨
máq. Š
¨
Carnot, a segunda lei não está violada.
(b)

©
H 8 C
©
x
££ J
9‘h
int
©
x
££ y£¥£
©
¢P£¥£ J

Como
9‘h
int ‰
©
£ , esta máquina também viola a primeira lei.
¨
máq.
©‡
˜

H
© y£¥£
%
£¥£
©
£

W
Sendo ¨
máq. ‹
¨
Carnot, também está violada a segunda lei.
(c)

©
H 8 C
©
v
£¥£ )0£¥£
©
y£¥£ J
9ih
int
©
y£¥£ y£¥£
©
£

¨
máq.
©Œ
˜

H
© y£¥£
v
£¥£
©
£
wv
g
Esta máquina está de acordo com a primeira lei, mas viola a segunda, uma vez que ¨
máq. ‹
¨
Carnot.
(d)

©
H 0™ C
©
¢¤££
n
£
©
¢¤£ J
9‘h
int
©
¢¤£ ¢¤£
©
£

¨
máq.
©Œ
˜

H
© ¢¤£
¢¤£¥£
©
£

¢P£

Esta máquina está de acordo com a primeira e a segunda leis.
E-41.
Suponha que a mesma quantidade de calor, por exemplo, )
v
£ J, é transferida por condução de um reservatório a
y££ K para outro a (a) ¢P£¥£ K, (b) )0££ K, (c)
x
££ K e (d)
xv
£ K. Calcule a variação de entropia em cada caso.
¡
(a) Se
!
C
©
¢¤£¥£ K,
9A@
H
© H
!
H
©Ž )
v
£
y£¥£
©
£
Yv
%
J/K

9A@
C
© C
!
C
© )
v
£
¢P£¥£
©
)
wv
J/K

9A@ © 9‘@
H m
9A@
c
©
£
wv
%
m )
Yv
©
¢

n %
J/K

(b)
!
C
©
)0££ K
9A@
C
© C
!
C
© )
v
£
)0£¥£
©
¢
wx
£ J/K
9‘@ ©
£
wv
%
m ¢
wx
£
©
£
wv
%
J/K
(c)
!
C
©
x
££ K
9A@
C
© C
!
c
© )
v
£
x
£¥£
©
£

W
g J/K
9A@ ©
£
wv
%
m £

W
g
©
£

)¥) J/K

(d)
!
C
©
x¥v
£ K
9A@
c
© c
!
C
© )
v
£
x¥v
£
©
£

g0) J/K
9A@ ©
£
wv
%
m £

g0)
©
£

£g J/K

P-44.
Um cubo de gelo de ¢P£ g a ¢¤£
2
C é colocado num lago que está a ¢
%e2
C. Calcule a variação de entropia do
sistema quando o cubo de gelo atingir o equil´ıbrio térmico com o lago. O calor espec´ıfico do gelo é £

%
£ cal/g.
2
C.
( Sugestão: O cubo de gelo afetará a temperatura do lago?)
¡ É claro que o cubo de gelo não afeta a temperatura do lago. O gelo vai absorver calor para derreter e ter sua
temperatura final elevada até ¢
%e2
C. Nessa transferência de calor, a variação de entropia do lago será negativa e a
do gelo, positiva. Começando a calcular as variações de entropia do gelo, tem-se:
9A@
gelo
©
gxe
€0‘
€’”“
!
! ©–b
¢¤£†•Ti
b
£

%
£ex€d
E
'P•

i
E B )g
x
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©
£

¢
n
cal/K

9A@
gelo
© g—– F
!
©
b
¢¤£˜•pi
b…W
£exyd
E
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)g
x
©
)

n
x
cal/K

9A@
água
©
gˆx água
€ ‘
€’ “
!
! ©–b
¢P£˜•Ti
b
¢

£exyd
E
'P•

i
E B )
W¥W
)g
x
©
£

%
y cal/K

O calor cedido pelo lago para levar o gelo ao seu estado final de equil´ıbrio é:
lago
©lb
¢P£˜•Ti€™
b
£

%
£exyd
E
'P•

i
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b
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¢¤££¥£ cal

A variação de entropia do lago vai ser:
9A@
lago
©Ž ¢P£¥££exyd
E
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©

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yTg cal/K


A variação de entropia do sistema é, então,
9‘@
sistema
©
£

¢
n
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n
x
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%
y
©
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cal/K

Já a variação de entropia do {€›œ{¤f
¨
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9A@ ©

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©
£

¢
n
cal/K

P-48.
Um mol de um gás ideal monoatômico evolui de um estado inicial à pressão p e volume V até um estado final à
pressão )
1
e volume )¥ , através de dois diferentes processos. (I) Ele expande isotermicamente até dobrar o vo-
lume e, então, sua pressão aumenta a volume constante até o estado final. (II) Ele é comprimido isotermicamente
até duplicar a pressão e, então, seu volume aumenta isobaricamente até o estado final. Mostre a trajetória de cada
processo num diagrama p-V. Para cada processo calcule, em função de p e de V: (a) o calor absorvido pelo gás
em cada parte do processo; (b) o trabalho realizado pelo gás em cada parte do processo; (c) a variação da energia
interna do gás,
h
int,f
h
int,i e (d) a variação de entropia do gás,
@
f
@
i.
¡
(I) Expansão isotérmica:
9‘h
int
©
£ e
© ˜
;
(a) e (b)
ia
© ˜
ia
©jC !žE B IŸ
ˆ
©
1

E B
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Processo isocórico:
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£ e
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V
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9‘h
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ia m
9A@
af
©lb
¢ m
x
i
C E B
)
©
y
C E B
)

(II) Compressão isotérmica:
9‘h
int
©
£ e
© ˜
,
(a) e (b)
ib
© ˜
ib
©¡C !GE B b

b
©
)
ib
© ˜
ib
©

1

E B
)

Expansão isobárica:
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©jd
P
9 ! ©
%
)
CAb !
f
!
b i

)
1
b
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!
b
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1
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y
!
b


bf
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CAb
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1

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1

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1
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©
x
1

(c)
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int,bf
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1

(d) 9A@
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C E B
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bf
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!
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)
C E B
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(II)
© 9‘@
ib m
9A@
bf
©cb
¢ m
%
i
C E B
)
©
y
C E B
)

Sendo a entropia uma variável de estado, confirma-se que
9A@
(I)
© 9A@
(II).
P-53.
Um mol de um gás monoatômico passa pelo ciclo mostrado na Fig. 22-24. (a) Quanto trabalho é realizado quando
o gás se expande de a até c pelo caminho abc? (b) Quais as variações de energia interna e entropia de b até c? (c)
Quais as variações de energia interna e entropia num ciclo completo? Expresse todas as respostas em termos de1
2 , 2 , R e
!
2 .
¡
(a) No caminho abc só há realização de trabalho no processo isobárico ab.
˜
ab é igual à área do gráfico sob o
segmento de reta ab:
˜
ab
©
1
9

©
x
1
2 2

(b) No processo isocórico bc, as temperaturas, inicial e final, são:
!
a
©
1
2 2
C

!
b
© !
a
y§ 2
2
©
y
!
a

!
c
©
b
y
!
a i
b
)
1
2 i1
2
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a

Para a variação da energia interna vem,
9ih
int,bc
©Bed
V
9 ! ©–b
¢

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b
x
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C
i
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y§i
!
a
©
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C !
a

E para a variação de entropia, tem-se
9A@
bc
©jB4d
V
€ c
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“
!
!
©jB4d
V
E B
!
c
!
b
9A@
bc
©
x
)
C E B
)

(c) A variação da energia interna no ciclo deve ser nula. Pode-se confirmar isso calculando-se as variações asso-
ciadas aos processos ab e ca e somando-as ao já conhecido valor da variação no processo bc:
9‘h
int,ab
©Bed
V
9 ! ©–b
¢

£i
b
x
)
C
i
b
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1
2 2
C
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1
2 2

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int,ca
©Bed
V
9 ! ©–b
¢

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b
x
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C
i
b
¢
W
i
1
2 2
C
©

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)
1
2 2


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© 9‘h
int,ab m
9‘h
int,bc m
9‘h
int,ca
©lb
n
)
m
v

)T¢
)
i…„ 2 2 ©
£

Para calcular a variação de entropia no ciclo, também se precisa calcular a variação correspondente aos processos
ab e ca e somar os resultados ao valor já obtido para o processo bc. Começando pelo processo isobárico ab:
9A@
ab
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€ b
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©–b
¢

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b
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)
C
i
E B
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© % C E B
)

Como o processo ca não é nem a pressão, nem a volume constante, usam-se dois outros processos que levem o
sistema do estado c ao estado a. Considere-se primeiro um processo à pressão constante, )
1
2 , no qual o volume
seja reduzido de y§ 2 a 2 : !
c
c
©
!
d
d
!
d
©
W
1
2 2
C
2
y§ 2
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1
2 2
C

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¢

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b
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C
i
E B ¢
y
©

% C E B
)

Agora, considere-se um processo a volume constante, que leve o sistema do estado intermediário d ao estado a:
9A@
da
©Bed
V
€ a
€ d
“
!
! ©cb
¢

£i
b
x
)
C
i
E B ¢
)
©
x
)
C E B
)

E, finalmente, a variação de entropia no ciclo é:
9A@
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© 9A@
ab m
9A@
bc m
9A@
cd m
9A@
da
©lb %
m x
)

%
x
)
i
C E B
)
©
£

22.3 Problemas Adicionais
P-56.
Um mol de um gás ideal é usado em uma máquina que opera seguindo o ciclo da Fig. 22-26. BC e DA são proces-
sos adiabáticos revers´ıveis. (a) O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? (b) Qual a eficiência da máquina?
¡
(a) Considerando o processo adiabático BC e tomando os valores inicial e final para a pressão e o volume do
gráfico, vem 1
2 b
)¥ 2 i 3
©
1
2
x
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¢
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2 i 3

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¢
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) ƒw¥ 3 „
©
)8Y3

%
m§¦
©
y ¦ e ¦
©
%
x

O gás é, portanto, monoatômico.
(b) Para obter a eficiência do ciclo, é preciso calcular o calor absorvido e o calor liberado. No processo AB tem-se:
AB
©Bed
P
9 !
Para obter a variação da temperatura neste processo, faz-se
!
A
©
1
2 2
C


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B
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C
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A

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1
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No processo CD tem-se:
CD
©™Bed
P
9 !

Calculando as variações de temperatura necessárias,
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B 3 S
r
B
© !
C 3 S
r
C

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1
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c
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C
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1
2 2
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No processo isobárico CD, vem
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C
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D
!
D
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C
D
C
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1
2 2
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C
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1
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y
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E
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C
i
b

1
2 2
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C i
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%
1
2 2
y
A eficiência do ciclo é dada por:
ö© AB 8 CD
AB
¨©
%
'0)
%
'8y
%
'0)
©
£

%

P-57.
Um mol de um gás ideal monoatômico, inicialmente à pressão de
%

££ kN/mu e temperatura de
v
£¥£ K expande a
partir de um volume inicial
©
¢

££ mU até Ÿ
©
)

£¥£ mU . Durante a expansão, a pressão p e o volume do gás
estão relacionados por
1
©cb %

££‘Q‚¢P£ U i
¨

f
’ S
f
„’¨
•

onde p está em kN/mu , e Ÿ estão em mU e d
©
¢

£¥£ mU . Quais são: (a) a pressão final e (b) a temperatura final
do gás? (c) Qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? (d) Qual a variação de entropia do gás durante
a expansão? (Sugestão: use dois processos revers´ıveis simples para achar a variação de entropia.)
¡
(a) Simplesmente substituindo os dados fornecidos na relação dada para a pressão em termos do volume, vem
1
b

©
)

£eg U i
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(b) Para a temperatura final tem-se:
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Ÿ
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££‘Q‚¢P£ U „4dTi
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¢

££†g U i v
££

©
yy) K


Para calcular o trabalho realizado pelo gás, vem:
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1
“

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1
—
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«
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££iQq¢¤£ U i
ª

¨ S
r
m ¢
«
©
xp
¢
v
kJ

(d) Para calcular a variação de entropia, consideram-se dois processos sucessivos pelos quais o sistema passa do
estado inicial ao final. Começando por um processo isotérmico a
! ©
v
£¥£ K, no qual
9‘h
int
©
£ e
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, tem-se

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Considere-se agora um processo isocórico, no qual a pressão e a temperatura chegam aos valores finais:
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A variação de entropia é então
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J/K


Exercícios resolvidos sobre entropia e 2º lei termodinamica

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