1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA ISRAEL FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Diana Chávez Quinto semestre
2. "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos." Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
3. Introducción La TLP es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa deLaplacepara recuperar las soluciones de los problemas originales. Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
4. Características de la TLP Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S. Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.
5. La transformada de Laplace Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: donde s es una variable compleja. Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
6. Se observa que la transformada de Laplace esunaintegral impropia, uno de sus límites es infinito: Notación:
7. Condiciones de existencia de la transformada Definición 1: Una función f(t) es seccionalmente continua en un intervalo cerrado, si este intervalo consta de un conjunto finito de subintervalos en cada uno de los cuales f(t) es continua. Además, tiene límite finito cuando t tiende a uno de los extremos del subintervalo desde el interior del mismo.
8. Definición 2: Una función f(t) es de orden exponencial cuando t tiende al infinito, si existen números α, m, λ, tales que: f(t) < me^α t Cuando t ≥ λ La Transformada de una función f(t) existe si esta función es seccionalmente continua para todos los intervalos finitos en el dominio t ≥ 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende al infinito. Todas las funciones a resolverse cumplen los dos requisitos.
9. Unicidad de la TLP Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL: L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s), entonces el teorema de Lerch garantiza que
10. Tabla de transformadas de Laplace ( ) d t 1 1 1 s 1 t 2 s n ! n t + 1 n s 1 - at e + a s
16. Transformada inversa de Laplace Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante: conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin. Las Transformadas Inversas no son únicas, pero solo difieren en los extremos de los subintervalos.
17. Im(s) γ γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda. Re(s) Con condiciones de existencia:
