En el presente trabajo, “Los fractales en el aula de Matemática”, expongo algunas consideraciones sobre el maravilloso mundo de los fractales, como así también muestro algunas propuestas de actividades de aprendizaje para incluirlas en el desarrollo curricular, particularmente en el aula de Matemática, para alumnos de nivel secundario o superior.

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LOS FRACTALES EN EL AULA
DE MATEMATICA
Stella Maris Soto
e-mail: stellamarissoto50@gmail.com

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Indice
1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Marco Teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2.1. Simple y Complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2.2. Acerca del Caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Geometría Fractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
3. Algo sobre fractales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1. ¿Qué forma tienen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.2. Características de los fractales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1. Dimensión fractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2. Autosimilitud o autosemejanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
4. En el aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
4.1. Una breve introducción a los fractales. Autosemejanza. . . . . . . . . . . .15
4.2. El Triángulo de Pascal y el Triángulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . .18
4.3. El número π dentro del Conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . . .18
4.4. El problema de la longitud de una línea fractal. La dimensión fractal. .20
4.5. La iteración de un número complejo. El Conjunto de Julia. . . . . . . . . .22
4.6. La esponja de Menger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Conclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Lista de Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3. 3
1. Introducción
En el presente trabajo, “Los fractales en el aula de Matemática”, expongo
algunas consideraciones sobre el maravilloso mundo de los fractales, como así
también muestro algunas propuestas de actividades de aprendizaje para
incluirlas en el desarrollo curricular, particularmente en el aula de Matemática,
para alumnos de nivel secundario o superior.
El propósito de este trabajo es resaltar el potencial cognitivo de los modelos
que suministra la Geometría Fractal y que permiten dar estructura cognitiva a
objetos y procesos naturales.
Los objetivos que busco alcanzar con este trabajo son:
- Dar conocimiento de la existencia de una nueva geometría, la Geometría
Fractal.
- Introducir ideas básicas de los objetos de estudio de la Geometría
Fractal y sus características principales.
- Presentar propuestas que muestren la relación entre elementos de la
Geometría Fractal y temas que se tratan en el aula de Matemática.
2. Marco Teórico
Las investigaciones actuales en el campo de la educación indican que las
nuevas teorías pedagógicas ponen de manifiesto que las áreas especializadas
de conocimiento se ven mejoradas cuando se ponen en relación disciplinas
diferentes que anteriormente se consideraban separadas.
En ese sentido, es necesario reconsiderar los modelos educacionales actuales
según la relación entre las artes y las ciencias.
En la actualidad están surgiendo actitudes totalmente diferentes en lo que se
refiere al modo de aprender y como se debe enseñar. Una educación que
emplee un método de aprendizaje holístico logrará que la inteligencia humana
alcance su más alto potencial y a su vez la simbiosis entre ciencia y arte
favorecerán mutuamente el desarrollo de todos los aspectos de ese potencial
humano.
Incorporar el estudio de los fractales en el aula permitirá conjugar la ciencia y el
arte, la tecnología, la literatura, . . . Es bueno que enseñantes y alumnos nos
introduzcamos en este maravilloso mundo, en el cual con estas bellas y

4. 4
extrañas formas se establece una nueva imagen del Universo, encontrando un
cierto orden en el caos aparente de las formas de la naturaleza, además con la
belleza visual de ellos se puede ayudar a los estudiantes a cambiar la creencia
de que la Matemática es árida e inaccesible y motivarlos a realizar
descubrimientos matemáticos en el aula.
Además se refuerza la idea de que los alumnos precisan experimentar la
Matemática por caminos distintos de aquellos que aplican algoritmos con lápiz
y papel en ejercicios rutinarios, pues la Geometría Fractal les permitirá explorar
los conceptos matemáticos de manera diferente.
2.1. Simple y Complejo
La Matemática ha jugado un papel fundamental en la exploración, por parte del
hombre, del Universo y es una poderosa herramienta al servicio del ser
humano. Es una ciencia en continua evolución y una de las misiones
fundamentales ha sido la de hacer simple lo complejo y un paso gigantesco en
esa dirección la dio un día de 1975 el científico y matemático francés Benoit
Mandelbrot, cuando exhibió ante el mundo su maravilloso descubrimiento,
bellas y extrañas formas generadas por un proceso de repetición.
Poco después de su anuncio el desarrollo más espectacular de la Matemática
del siglo XX, en todas las otras ciencias y en nuestra cultura en general, ha
sido originado por la irrupción de las computadoras, resultando ser un
instrumento magnífico para estudiar estas formas complejas que resultaban
inabordables. La era de las grandes computadoras y los cálculos complejos
demostró la utilidad de los fractales para hacer más simples los más complejos
fenómenos.
2.2. Acerca del Caos
El término Caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta
en acontecimientos aparentemente aleatorios.
El primer experimentador del caos fue el meteorólogo Eduardo Lorenzo.
En 1960 trabajaba en el problema de predecir el tiempo y un día de 1961 quiso
ver unos datos de nuevo e introdujo números a su computadora pero sólo con
tres decimales (en lugar de seis según lo hizo anteriormente). Le salieron
resultados totalmente diferentes y según las ideas convencionales, los

5. 5
resultados habrían tenido que ser prácticamente los mismos. Lorenzo
demostró que esa idea era falsa.
Este fenómeno y toda la teoría que de aquí surge se conoce como
dependencia sensitiva de las condiciones iniciales. Al efecto que tienen las
diferencias pequeñas e iniciales se le dio el nombre de “efecto mariposa”.
De esta idea Lorenzo concluyó que era imposible predecir exactamente el
tiempo.
Luego intentó encontrar otro sistema menos complejo que dependiera
sensitivamente de las condiciones iniciales, las ecuaciones del sistema
parecían tener un comportamiento hecho totalmente al azar, pero después de
verlos en una gráfica, sucedió que eran definitivamente ordenados (nunca se
pararon en un punto, ni se repitieron, siguieron un espiral).
Así surge la nueva ciencia, que todavía es muy joven y que no se desarrolló
hasta la era de las computadoras pues para poner en pantalla uno de esos
objetos se necesita seis millones de cálculos (operaciones) que son muchos
para ser calculados en un tiempo razonable.
La capacidad de predecir con certeza y precisión el comportamiento de un
futuro sistema es una de las máximas aspiraciones de la ciencia clásica con
sólo conocer la definición de uno de los dos estados del objeto considerado y la
ley que rige su evolución, en el centro del debate se encuentra la conocida
como Teoría del Caos.
Se presentan en la actualidad una ambigüedad, la denominada Teoría del
Caos resalta de un lado las aproximaciones clásicas y de otro las perspectivas
complejas de investigación.
Para iniciar esta teoría se debe partir de distintas características generales:
- La más mínima diferencia en la descripción del estado del sistema provoca
cambios que hace distintos a sistemas complejos (el efecto mariposa dice que “
. . . si agita hoy, con su aleteo, el aire de Pekín, una mariposa puede modificar
los sistemas climáticos de Nueva York el mes que viene”).
- La no linealidad: para la ciencia clásica, causa y efecto se corresponden
totalmente y se relacionan proporcionalmente. Es decir, que en una teoría lineal
se suman las partes y resulta la totalidad. Pero en una teoría no lineal la suma
de las partes no da la totalidad.

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- Formas complejas: el cambio de escala asociado a la precisión y
posibilidad de relacionar a un objeto con su medida exacta funcionan a la
perfección con las formas regulares (círculos, rectángulos, triángulos, etc.) no
así con las formas irregulares complejas, tales como aquellas que podemos
observar en la naturaleza: costas marítimas, paisajes montañosos, movimiento
de partículas de polvo en el aire o nubes.
De esta tercera característica se derivan dos instrumentos cualitativos: la
llamada Lógica Borrosa o Teoría de Conjuntos Borrosos y la Geometría Fractal.
Estas teorías sostienen que a mayor información sobre el objeto, mayor
imprecisión sobre el mismo. A medida que aumenta la complejidad de un
sistema, la precisión sobre su comportamiento decrece.
2.3. Geometría Fractal
La geometría tradicional, la Euclídea, es la rama de la Matemática que se
encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como
puntos, líneas, planos y volúmenes, también describe los conjuntos formados
por la reunión de los elementos anteriores, cuyas combinaciones forman
figuras o formas específicas.
Sin embargo las formas encontradas en la naturaleza como franjas costeras,
sistemas hidrográficos, hojas, árboles y un sin número de otros objetos no son
fácilmente descriptos por la geometría tradicional.
Las aparentemente complicadas formas de la naturaleza están provistas de
una descripción y una forma de modelo matemático a través de la Geometría
Fractal. Esta se ha convertido en una herramienta imprescindible para la
descripción de objetos irregulares y el análisis de numerosos fenómenos
complejos. Sus objetos de estudio son los fractales.
Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los 70 derivándola
del adjetivo latín fractus. El correspondiente verbo latino frangere significa
romper, crear fragmentos irregulares (si bien los fractales fueron concebidos
aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincaré, más adelante
extendieron sus ideas los matemáticos Gastón Julia y Pierre Faton hacia 1918).
Este campo ha estado en la vanguardia de los matemáticos contemporáneos,
investigadores como el Dr. Robert Devaney de la Universidad de Boston ha
estado explorando esta rama con la ayuda de las computadoras modernas.

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Los fractales están en estrecha relación con la Teoría del Caos, se dice que
ellos son la representación gráfica del caos. Profundizando un poco se puede
decir que esta relación se debe a que los fractales son figuras geométricas con
un cierto patrón que se repite infinitamente y a múltiples escalas y si uno los
observa detenidamente descubre que ese patrón se encuentra en los
componentes y en las partes de sus componentes y así hasta el infinito.
Los fractales representan la forma gráfica en que pueden resolverse las
ecuaciones caóticas, nos muestran en qué puntos de un espacio matemático
determinado caerían las soluciones de nuestra ecuación caótica.
3. Algo sobre fractales
Si consultamos distintas fuentes podemos encontrar varias formas de describir
qué es un fractal, como por ejemplo:
- Los fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la
Teoría del Caos.
- Un fractal es, matemáticamente, una figura geométrica compleja y detallada
en estructura a cualquier nivel de magnificación.
- Un fractal es un objeto matemático de dimensión no entera.
- Un cuerpo fractal es aquel que tiene la dimensión topológica estrictamente
menor que su dimensión de Hausdorf-Besicovitch (aunque excluye algunos
conjuntos que son considerados fractales).
No existe definición de fractal que sea plenamente satisfactoria.
Pero para que no nos queden dudas y conocerlos mejor, debemos
cuestionarnos, entre otras cosas, qué forma tienen, cómo se construyen, qué
características poseen.
Las respuestas no son fáciles, pero todos hemos visto fractales en la vida real.
El primer modelo de fractal y que podemos ver en la naturaleza es el llamado
crecimiento fractal, que se origina en algas, musgos, árboles e incluso en
nuestro cuerpo el sistema de transporte de la sangre por los pulmones es
considerado como un objeto fractal.
3.1. ¿Qué forma tienen?

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La semejanza entre los fractales y ciertos objetos de la naturaleza es tan
grande que no podemos dejar de tenerla en cuenta.
Una nube o una costa, por ejemplo, pueden definirse por un modelo
matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real.
Como vemos la gran mayoría de las formas que se pueden observar en la
naturaleza y aún en nuestro cuerpo son estructuras generadas como resultado
de procesos de crecimiento, sobre un rango de escalas finitas. Todas estas
formas en las cuales las partes se asemejan al todo se llaman fractales
naturales.
Los fractales verdaderos son una idealización, para muchas formas reales es
posible construir un modelo matemático que se puede expresar como el límite
de un proceso geométrico iterativo que se repite indefinidamente. Las
características de la estructura de los fractales matemáticos o conjuntos

9. 9
fractales los hacen adecuados para describir la geometría de una infinidad de
formas y sistemas complejos naturales.
- El Peine de Cantor es una manera de visualizar el famoso Conjunto de
Cantor que está considerado como precursor de los fractales, se trata
de un conjunto que se desvanece progresivamente hasta hacerse
invisible, aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de
segmentos cuya longitud es distinta de cero.
- La Curva de Koch se define como la curva límite de una poligonal Pk cuando
k tiende a infinito partiendo de un segmento unidad (poligonal P0).
- Si el iniciador es un triángulo equilátero y se utiliza como generador la curva
de Koch, se obtiene la Isla de Koch o Copo de Nieve de Koch cuando crece
indefinidamente.

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- Las Aspas de Viscek se logran repitiendo los pasos: descomponer un
cuadrado en nueve subcuadrados iguales, seleccionando sólo los cinco
subcuadrados que se forman en las esquinas y el central y suprimiendo los
cuatro restantes.
- El Triángulo de Sierpinski queda definido conectando los puntos medios de
los tres lados de un triángulo equilátero, seleccionando sólo los tres
subtriángulos que se forman en las esquinas y suprimiendo la cuarta parte
central del mismo. Repitiendo este proceso quitando fragmentos cada vez más
pequeños infinitas veces.
- La Esponja de Karl Menger se construye bajo el mismo principio que el
Triángulo de Sierpinski, pero con un cubo en tres dimensiones (otra forma es
partir de la alfombra de Sierpinski en un plano tridimensional).
- Una de las variantes de la Curva de Hilbert, parte de un segmento y luego
se tienen nueve segmentos de un tercio de longitud cada uno. Si repetimos el
proceso esta curva llenará por completo el plano.

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- Esta imagen creada, con el programa Ultra Fractal, en 2001 por Kerry Mitchell
(profesor en el Dto. de Matemática de la Universidad Tecnológica de
Advancing) corresponde a otra de las muchas variantes de la Curva de Hilbert,
su nombre es Hilbert´s Ghost
- El fractal teselación (generado con el programa Ultra Fractal), creado por un
proceso infinito, consistente en disecciones de cuadrados y triángulos. En este
caso, la descomposición se hace sobre un cuadrado, dentro de él un cuadrado
más pequeño y cuatro triángulos rectángulos (una de las muchas formas de
probar geométricamente el Teorema de Pitágoras) y luego se realiza una
rotación de 20º.
3.2. Características de los fractales
La dimensión fractal es la primera característica de un fractal y la segunda es la
autosimilitud.
3.2.1. Dimensión fractal
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a
introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos

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clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más
pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: cuando se
quiere medir una línea fractal con una unidad, o con un instrumento de medida
determinado siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad
de la regla o el instrumento utilizado y también a medida que aumenta la
sensibilidad del instrumento, aumenta la longitud de la línea.
Como la longitud de la línea fractal depende de la unidad de medida que
tomemos o del instrumento, la noción de longitud carece de sentido, para ello
se ha ideado el concepto de Dimensión Fractal, que nos va a indicar de que
forma o en que medida una línea fractal llena una porción del plano. Y que
además sea una generalización de la dimensión euclidea.
Sabemos que en la geometría clásica un segmento tiene dimensión 1, un
círculo tiene dimensión 2 y una esfera tiene dimensión 3. Para que sea
coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que 2
pues no llena toda la porción del plano.
Por ejemplo el problema de medir la longitud exacta de la costa de España,
supongamos que medimos con una regla común, una porción de costa que
imaginamos “recta”, el problema surge cuando nos acercamos un poco más de
la distancia a la que originalmente hicimos la medición y descubrimos que esa
porción estaba constituida por pequeños granitos de arena todos desordenados
respecto a nuestra rectitud. Y cada vez que nos acercamos al objeto en
cuestión su longitud resultará ser cada vez mayor de lo que era aparentemente.
Esto ocurre por dos razones, primero porque la medida depende de la
sensibilidad del instrumento que ocupemos y segundo porque estamos
intentando medir un cuerpo con dimensiones euclideas, siendo que realmente
se trata de un cuerpo de dimensión fractal.
Recordemos que cuando medimos algo solamente comparamos con otra cosa.
Si intentamos medir longitudes lo estaremos haciendo en una dimensión y
estaremos utilizando conceptos de dimensión euclidea y esta medida no puede
ser euclidea, porque cada vez que nos acercamos tenderá a infinito. Por lo
mismo deducimos que no puede ser un cuerpo unidimensional, pero tampoco
de dos dimensiones porque no deja de ser una línea y si lo vemos de un punto
de vista matemático no cubre el plano completo. Es decir que nos encontramos
frente a una línea del tipo clásico “fractal”.

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Mandelbrot adoptó el término “dimensión fractal” para reemplazar lo que se
conoce como la dimensión de Hausdorf-Besicovitch (dos grandes matemáticos
que introdujeron el concepto).
En Topología todos los cuerpos, incluyendo a los cuerpos euclídeos (rectas,
segmentos, etc.) poseen una dimensión topológica igual que su dimensión de
Hausdorf-Besicovitch.
Por ejemplo,
- El Conjunto de Cantor tiene dimensión fractal 0,6309. . . y dimensión
topológica 0.
- La Curva de Koch tiene dimensión fractal 1,2619. . . y dimensión
topológica 1.
- La Curva de Hlibert tiene dimensión fractal 2 y dimensión topológica 1.
- El Triángulo de Sierpinski tiene dimensión fractal 1,5845. . . y dimensión
topológica 2.
3.2. 2. Autosimilitud o autosemejanza
Otra característica esencial del concepto de fractal es la autosemejanza.
Se puede definir la autosemejanza como simetría dentro de una escala, es
decir, los fractales son recurrentes, pues se aprecia como cada vez que
cambiamos la escala hay un claro parecido con la imagen anterior.
Sistema circulatorio

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Una figura autosemejante es una figura a la cual podemos descomponer en
figuras más pequeñas, cada una de las cuales es semejante a la figura original,
o sea si al ver una de sus partes con lupa reconocemos la forma de toda la
figura de nuevo.
Para ilustrarlo de forma general podemos observar la línea de la costa de
España, dentro de ella hay grandes penínsulas y si reducimos la escala
descubrimos otras pequeñas y así podemos seguir hasta diferenciar entre los
entrantes y salientes, entre los granos de arena de la playa.
Esta autosemejanza no debe confundirse con una absoluta identidad entre
escalas, no se trata de que las penínsulas más pequeñas tengan una forma
exactamente igual a las mayores, lo que lleva implícita esta idea es la
existencia de una complejidad infinita en las figuras fractales, puesto que dada
su recurrencia podemos ir ampliando su imagen una y otra vez hasta el infinito
sin que aparezca una forma totalmente definida.
Conjunto de Mandelbrot Conjunto de Julia
Estos son ejemplos de fractales autosemejantes. No todos los fractales lo son,
como es el caso del fractal plasmático.
Imagen de un fractal plasmático generado con el Fractint

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4. En el aula
La Geometría Fractal, o al menos algunos elementos de ella, deberían
integrarse entre los contenidos de Matemática. Los fractales son una excelente
herramienta para los profesores de Matemática, son un campo de investigación
de la matemática moderna que los alumnos pueden comprender con facilidad.
Las siguientes actividades, para alumnos de distintos niveles, los introducirán al
bello y fascinante mundo de los fractales, explorarán la Geometría Fractal y sus
conexiones con la Matemática.
4.1. Una breve introducción a los fractales. Autosemejanza
I- Para entender lo que es un fractal, vamos a comenzar por un ejemplo
sencillo: el Triángulo de Sierpinski.
Empezamos con un triángulo equilátero (relleno). Tomamos los puntos medios
de sus lados, y trazamos el triángulo formado por ellos. Quitamos este triángulo
de la figura original. La figura queda compuesta ahora por 3 triángulos más
chicos. Hacemos lo mismo en estos tres triángulos. Ahora tenemos 9
triángulos, y podemos hacer lo mismo en cada uno de estos. Si repetimos
este proceso indefinidamente vamos a obtener lo que se conoce como el fractal
Triángulo de Sierpinski.
La principal característica de esta figura es la autosemejanza. Si en la figura
final miramos un “triangulito”, este triángulo es exactamente igual al original,
sólo que más pequeño. Cuando una figura tiene esta característica, decimos
que posee auto-semejanza. Una observación importante es que necesitamos
repetir el proceso infinitas veces para obtener la autosemejanza. Si lo
hiciésemos por ejemplo 10 veces, y miramos uno de los tres triángulos que se
forman en la primera etapa lo que vamos a ver no es exactamente igual a la
figura original porque habría que sacarle todavía unos triangulitos para que
sean iguales.

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Al realizar esta actividad surgen algunas preguntas que se pueden plantear:
1. ¿Cuántos triangulitos quedan formados en la etapa n?
2. ¿Cuantos triangulitos quitamos en la etapa n?
3. Si suponemos que el triángulo original tiene área 1, ¿qué área tendrá la
figura luego de quitar el primer triangulito?
4. ¿Qué área tendrá la figura después de n etapas?
5. ¿Qué área tendrá la figura después de repetir el proceso infinitas veces?
II- Si en lugar de tomar un triángulo equilátero tomamos otro triángulo, por
ejemplo un triángulo rectángulo, podemos hacer lo mismo y obtendríamos algo
como en la figura:
III- ¿Qué podemos hacer en un cuadrado? Hay varias posibilidades, veamos
una.
Comenzamos con un cuadrado. Si tomamos los puntos medios, y quitamos el
cuadrado que forman, no sabemos como seguir, porque no obtenemos
“cuadraditos” más pequeños. Una posibilidad es, entonces, dividir al cuadrado
en nueve cuadraditos y quitar el del centro (es similar al triángulo de
Sierpinski). Luego hacemos lo mismo para cada uno de los 8 cuadraditos que
quedan. Repitiendo este proceso infinitas veces, obtenemos algo como en la
figura.
Si en la figura final, miramos alguno de los 8 cuadraditos que se formaron en la
primera etapa, éstos son exactamente iguales al original, sólo que más
pequeños. Por lo tanto, esta figura también posee autosemejanza.

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Con esta actividad se puede comprender el concepto de autosimilitud fractal y
a la vez reafirmar el concepto de semejanza o similitud de la Geometría
Euclidea.
IV- Un algoritmo muy simple para obtener una figura similar al triángulo de
Sierpinski, pero por un método totalmente distinto (que el resultado sea el
mismo es realmente increíble y es parte de lo que hace que los fractales sean
tan interesantes).
El algoritmo es el siguiente:
1. Tomamos tres vértices de un triángulo.
2. Marcamos un punto cualquiera en el interior del triángulo.
3. Elegimos un vértice del triángulo al azar, y marcamos el punto medio
entre el vértice elegido y el punto marcado.
4. Elegimos otro vértice al azar (puede resultar de nuevo el mismo) y
marcamos el punto medio entre el vértice marcado y el último punto
marcado.
5. Repetimos el punto 4 indefinidamente.
Para poder tener una idea del resultado, necesitamos hacerlo muchas veces.
Por eso, es necesario una computadora o una calculadora. Esta es la
implementación en una calculadora gráfica Casio. Tomamos como vértices del
triángulo los puntos (0;0), (0;1) y (1;0).
Range 0,1,1,0,1,1
0.5 -> I
0.5 -> J
Lbl 1
Int (2Ran#)-> X
Int (2Ran#)-> Y
XY = 1 => Goto 1
2
-1
(I+X)-> I
2
-1
(J+Y)-> J
Plot I,J
Goto 1
La siguiente figura se obtuvo con el mismo algoritmo en QBasic:

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4.2. El Triángulo de Pascal y el Triángulo de Sierpinski
El Triángulo de Pascal se construye así:
La primera fila es el tope del triángulo y es la fila cero, todas las filas restantes
comienzan y terminan con 1 y tienen n +1 elementos, los demás elementos se
obtienen sumando los dos de la fila anterior entre los cuales se encuentra
situado.
Esta figura se utiliza en Matemática y representa, entre otras cosas, los
coeficientes de las series de potencias o Binomios de Newton, también se lo
utiliza en Combinatoria, Probabilidades y Estadística.
Si sombreamos los números impares de Pascal, obtenemos el Triángulo de
Sierpinski, observamos de esta manera que una estructura fractal se encuentra
escondida dentro de una figura de la matemática clásica conocida hace más de
700 años.
Triángulo de Pascal Triángulo de Sierpinski,
4.3. El número π dentro del Conjunto de Mandelbrot
Matemáticos investigando, en Teoría de Números, han estudiado el Conjunto
de Mandelbrot separándolo en dos partes, primero el cuello de la imagen y
luego su parte posterior. Realizando las iteraciones en ambas partes del
conjunto llegaron a estos resultados:

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Iteraciones de los x pertenecientes al cuello del conjunto
x Número de
iteraciones
1.0 3
0.1 33
0.01 315
0.001 3143
0.0001 31417
0.00001 314160
0.000001 3141593
Iteraciones de los x pertenecientes a la parte posterior del conjunto
x Número de
iteraciones
1.0 2
0.1 8
0.01 30
0.001 97
0.0001 312
0.00001 991
0.000001 3140
0.0000001 9933
0.00000001 31414
0.000000001 99344
0.0000000001 314157
Observamos curiosamente algo muy similar al número π en estas estructuras.
Dos de las figuras más representativas de la Matemática en estos días, el
número π y el Conjunto de Mandelbrot, nos muestran patrones de semejanza
entre la teoría de números tradicional y la teoría fractal.

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4.4. El problema de la longitud de una línea fractal. Dimensión fractal
Frecuentemente al tratar el tema, el profesor o los libros, nos dicen que España
tiene 5031,1 Kms. de costa (7695,3 si incluimos los archipiélagos y 59,8 más si
incluimos el Mar Menor). ¿Qué es lo que nos quieren decir?, ¿Qué es lo que
tiene esa longitud?, y sobre todo ¿Cómo la han obtenido?, ¿Cuál ha sido el
método seguido para obtener esta medida?, ¿Se han tenido en cuenta todos
los accidentes geográficos?, ¿Hasta los más mínimos?.
Seguro que sobre estas preguntas los topógrafos, o los técnicos, tendrían
mucho que decir, pero este tema como técnica no nos interesa, solo nos
interesa el planteamiento de la siguiente cuestión: La medida obtenida ¿Es la
misma en todos los casos? , lo mismo si medimos la costa en una fotografía, o
en un mapa a una escala, que si medimos el perfil de la costa con todos los
entrantes y salientes, o en el caso más extremo si medimos los detalles más
mínimos, hasta el perímetro de todas las rocas.
Supongamos que tenemos que medir la longitud de la costa entre los puntos
señalados en la foto:
Que visto esquemáticamente sería:

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Una forma de hacerlo es con una cinta métrica de una longitud dada (50, 100,
500 ó 1000 metros). Nos situaríamos en un punto, y nuestro colaborador en el
punto de la costa que distara de nosotros dicha longitud en línea recta,
después repetiríamos el proceso tantas veces como haga falta (la cinta métrica
podría tener 10, 20 ó 25 metros de larga).
O podríamos hacer el proceso sobre un plano, con un compás o con una regla,
medición que nos daría unos 1,750 Kms.
Sin embargo si la medición la hacemos metro a metro, paso a paso, siguiendo
el perfil de la costa (ejercicio que pueden hacer los alumnos) obtendremos otra
medida, aunque el perfil descrito es el mismo.
El resultado variará sensiblemente del anterior. Una vez que realizamos la
experiencia de andar todo el recorrido nos salieron 2.439 pasos que
multiplicado por 0,80 m. nos dan 1.951,2 m.
Pero si precisamos más el perfil de la costa no es así. Estará formado en la
parte de playa por entrantes y salientes, que además variarán según el oleaje y
las mareas, pero que será una copia miniaturizada del perfil que hemos visto
en la foto y en el plano y en la parte de rocas los entrantes y salientes serán
aún más complicados:

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Imaginemos que tenemos que medir ahora con una escala, o con un
instrumento que mida en centímetros o en milímetros. El proceso sería
notablemente más complicado y el resultado distinto:
A medida que la unidad, la longitud patrón con la que la comparamos,
disminuye aumenta el resultado del proceso de medir. De tal manera que en el
límite, cuando la unidad se aproximara a 0, la longitud se aproximaría a infinito.
Como trabajo práctico, en la zona donde estamos y entre los puntos señalados
en un plano, podemos repetir el procedimiento:
* Calcular la distancia haciendo la medición con pasos. La anotamos.
* Calcular la distancia con la cinta métrica, con una unidad de 10 o de,
preferentemente, 20 metros. Anotamos el resultado.
* Calcular por último la distancia sobre el mapa con una regla y aplicando la
escala del plano, con una unidad de 5 centímetros. Anotamos el resultado.
*Comparar los tres resultados obtenidos y concluir si hay alguna relación entre
los resultados obtenidos y la unidad utilizada.
Con esta actividad se miden magnitudes reales, se puede conocer la variación
de la medida en función del instrumento, de la escala y de la situación, entre
otros conceptos matemáticos, como requisito para comprender el concepto de
dimensión fractal.
4.5. La iteración de un número complejo. El Conjunto de Julia
¿Es necesario comprender los números complejos para disfrutar de los
fractales?
La verdad es que no, porque el gozo visual que sentimos al observar ciertos
fractales surge en nuestra mente aún sin saber las cuatro reglas elementales

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de cálculo, pero para entender el porqué de esa belleza, lo que se esconde en
su interior y los secretos que nos aguardan al sumergirnos en ella necesitamos
recurrir a los números complejos, pues los fractales son “hijos” de los
complejos, viven, existen y se comprenden sólo gracias a estos números tan
especiales. Algunos fractales pueden generarse por medio de funciones, cuyo
dominio son los números complejos.
De hecho fractales tan bellos como el Conjunto de Mandelbrot o los Conjuntos
de Julia, por citar los más famosos, se obtienen iterando una simple expresión
compleja hasta el infinito y comprobando que tiene límite la sucesión creada.
Veamos un ejemplo de iteración: Para los Conjuntos Julia tomamos la función
f(z) = z²+c, donde c es un número complejo fijo.
Si c = 1+ i y le aplicamos esta función a z = 2 + i, obtenemos:
f(2 + i ) = (2 + i)² + (1 + i) = 4 + 5i ( representa 1 iteración)
f(4 +5i) = (4 + 5i)² + (1 + i) = -8 + 4i ( representa 2 iteraciones)
f(-8 +4i) = (-8 +4i)² + (1 +i) = 49-63i ( representa 3 iteraciones)
Podemos continuar, hasta que veamos que el punto deja la porción del plano
que se elige para trabajar o que nunca lo deje.
Este criterio es el que permite definir los colores con que se grafica el conjunto.
Todos los puntos que dejan la cuadrícula después de una iteración tendrán el
mismo color, lo mismo ocurre con los que dejan la cuadrícula después de dos
iteraciones.
En general, a los puntos que no abandonan nunca la cuadrícula se los dibuja
de color negro. Después de realizar este proceso con todos los puntos de la
cuadrícula resulta el Conjunto de Julia (para cada c diferente se obtiene un
conjunto diferente).
El más simple se obtiene cuando c = 0, su gráfica es el círculo unitario centrado
en el origen. Otros conjuntos Julia son más difíciles de calcular y tenemos que
usar una computadora para verlos.
c = 0,295+0,55i c = -0,52+0,57i

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Esta actividad nos permitirá operar con los números complejos y representarlos
gráficamente, entre otros temas.
4.6. La Esponja de Menger
El nº de cubos en la n-ésima iteración es simple de calcular, pues en la 1ª
iteración conseguiríamos un cubo de Rubik, es decir 3³=27 cubos iguales.
Agujereando el cubo original por los centros de sus caras eliminaremos 7
cubos, quedándonos con sólo 20. Repitiendo el mismo proceso en la 2ª
iteración obtendremos 20x20 cubos y haciendo extensivo el proceso en
sucesivas iteraciones tenemos
Iteración Número de cubos
0 1=200
1 20=201
2 400=202
3 8000=203
. . . . . .
n 20n
La iteración a aplicar para construir la esponja nos obliga a dividir cada arista
en 3 partes para así, al seccionarlo, conseguir 33
=27 cubos iguales, de los
cuales eliminaremos 7 [6 (los centrales de cada cara)+1(el interno)].
Si partimos de que la arista primitiva toma el valor 1, la longitud de la arista
de los cubos resultantes en la n-ésima iteración será:

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Iteración Longitud de la arista
0 1=(1/3)0
1 1/3=(1/3)1
2 1/9=(1/3)2
3 1/27=(1/3)3
. . . . . .
n (1/3)n
(observemos que este resultado coincide con la longitud del lado para el
cuadrado de Cantor, pues en el proceso de construcción dividimos por 3 el
cuadrado y/o arista del cuadrado y/o cubo).
Para calcular el volumen en la n-ésima iteración, multiplicaremos el nº de
cubos generados en la n-ésima iteración por el volumen de cada uno.
El volumen de cada uno de los cubos es 20/27 de su arista al cubo, con lo cual
si consideramos todos los cubos y partiendo de un lado y/o arista igual a 1
tenemos: 20n
. 20/27 . (1/3)3n
El volumen final será el límite de la expresión anterior:
La superficie en la n-ésima iteración, sin tener en cuenta las caras
coincidentes vendrá expresada por 6 . (1/9)n
.20n
Calculando el límite obtendremos la superficie final
Mediante estos cálculos podemos observar que el volumen es cero y el área es
infinita.
Esta actividad nos permite trabajar con el concepto de área y volumen y a la
vez involucra un tema de un nivel más elevado como es el cálculo de límites.
5. Conclusión
No debemos olvidar que tanto el estudio del caos como el de los fractales se
encuentra en plena evolución y en realidad son conceptos poco conocidos por

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una amplia mayoría, pero creo que es importante conocer su aporte al mundo
de la ciencia, no sólo en conocimientos concretos, sino como una nueva forma
de concebir las cosas y resolver los problemas que se nos plantean.
Mientras que con la mayor parte de los objetos geométricos el proceso de
acercamiento de forma deductiva a un sistema matemático estructurado es
lento y dificultoso o entraña fuertes dificultades cognitivas, en el caso de los
objetos fractales el acercamiento se produce de forma instantánea, casi
mediante un mecanismo analógico simple, a veces sólo mediante la
percepción visual.
De esta forma es muy sencillo para el alumno establecer que, por ejemplo, el
perfil de un charco, el de un lago, el de una porción de costa o el de un mapa
pertenecen a la misma categoría de objetos.
Después de todo lo expuesto concluyo que aunque la Geometría Fractal aún
no se haya entendido completamente, posee aplicaciones realmente útiles en
distintos campos y en sí es sumamente fascinante. Por lo tanto los alumnos
tienen, a través de ella, la oportunidad de ser capaces de investigar tópicos de
Matemática por un nuevo ángulo, de explorarla por caminos no analíticos y
hacer conexiones dentro de la propia Matemática y con el mundo de la
Naturaleza.
6. Lista de Referencias
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[CD-ROOM]. Universidad Nacional de Cuyo. Facultad de Educación
Elemental y Especial.
- Benza, F., Chang, D. y Chauvel, P. (1997-1998). Conjuntos Julia. [en
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Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidos Educador.
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Juego. Chile: Universidad Católica de Chile.
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Matemáticas y en la Informática de Secundaria: ¿Qué son y cómo
pueden los fractales ayudar a representar y a organizar el espacio. [en
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