Series de fourier 22 Ejercicios Resueltos

1. 1
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:
Ejercicios resueltos y propuestos.
Prof. Jorge Inostroza L.
f (x) Sen( 2 )
1.- Hallar el período de la función: x
b
a
S
.
Solución:
S
Si ( 2 ) ( 2S )
Sen Ÿ
Si T es el período
x Sen u Senu Sen u
b a
2 S 2 S S ( ) ( ( )) ( 2 2 S
) ( 2S )
Sen
?
T Sen u
b a
x
b a
x T Sen
b a
x Sen
b a
S
2 2
S
T
b a
a bien T (b a) el período buscado.
( ) (3
S
Por ejemplo si f x Sen )x
y como
5
( ) 2
S f x Sen el período será
10
3
10 .
3
2.- Probar que si f (x) ,tiene período p; f (D x) tiene período
p .
D
Solución:
f (D x) f (D (x T)) f (Dx p)ŸDT p ó
T p .
D
f x tendrá período T pE (Basta cambiar
Del mismo modo entonces ( )
E
D por 1 ).Entonces
E
2S será
el período de x
b a
Sen
T 2 b
a
˜ o sea b-a.
S
S
2

2. 2
Y el período de
S
Cos x
l
2 S
2
S
será l
l
.
3.- Pruebe que la función :
( ) 1 3 1
, es de período 6S
f x Sen x Sen x Sen5x
5
3
Solución.
Sen x , tiene periodo S 1 2k
Sen3x “ “
2 2k S
3
Sen5x “ “
2 3k S
5
haciendo 3 9 15 1 2 3 k k y k cada una será de período 6S .
Y por lo tanto la función dada.
4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: ^1;Cosx; Senx;.....................Coskx; Senkx............... `
Solución:
S
1 $Coskx ³ Coskxdx
0
S
S
³
1$ Senkx Senkxdx
0
S
S
³
Cos nx $ Senmx Cosnx ˜ Senmxdx ........
0
S
S
³ ˜ ....... 0
Cos nx $Cosmx Cos nx Cosmxdx
S
S
³ ˜ ........ 0
Sen nx $ Senmx Sen nx Senmxdx .
S
5.- Si la función : f (t) CosD t CosE t es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n
enteros tal :
m
E
n
D
Solución.

3. 1 , la función lo es.
3
CosD t CosD (t p)ŸD p 2mS
CosE t CosE (t p)ŸEp 2nS . Luego el cuociente
Ÿ m
n
D
E
.
6.- Pruebe que la función f (t) Cos(10t) Cos(10 S )t , no es periódica.
Solución.
Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:
m
10 Ÿ10(m n) S
n
10 S
Ÿ esto no es posible pues el primer miembro es un entero .
7.- Pruebe que la función : f (t) 102Cos 2t , es de período S .
Solución.
)
=50(1 Cos2t) , Como Cos 2t tiene período 2S
f (t) 102 (1 Cos2t
2
2
8.- Encontrar el período de la función:
f (t) Cos t Cos t .
3 4
Solución.
Cos t es de período 6S
3
Cos t es de período 8S , luego ambas lo son de período 24S
4
9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:
0 0
­
°¯
°®
S
x
x
/ 2 0 / 2
S S
d
x
S S
f x
0 / 2
( )

4. 4
Solución.
1 S
/ 2
2
a 1 f (x)dx
0 = ³
Los coeficientes serán: ³
S
S S
S
S
S
dx=……….=
S
.
4
.......... 1
2 2
2
S S
1 ( ) 1 / 2
0
S S
S S
S
Senk
k
a f x Coskxdx Coskxdx k ³ ³
=
)
2
.......... 1
b f x Senkxdx Senkxdx k ³ ³
(1
2
2
S
1 ( ) 1 / 2
0
S S
S S
S
S
Cosk
k
=
­
°°°
®
........
2
1 ...... k
2,6,10,14...
0 ....... 4,8,12,16
°°°
¯
1
k
k
k impar
k
10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función:
¯®­
x x
...... 0
d d
d d
S
S S
x x
f x
..............0
( )
Solución.
Como lo muestra el gráfico es una función par
luego su Serie será :
a a Coskx
¦f
1
0
2
S
a 2 xdx
k , con ³
S
S 0
0
°¯
°®­
S
³ k impar
a xCoskxdx k 2 ....
k
k par
Cosk
k
0........
2 ........ 1 ( 1)
2 S
0 2
S
S Cos k x
2 (2 1)
La S de F será: ¦f
2 1
k
(2 1)2
11.- Si f(x) = Cos (D x ), S d x dS ;D una constante no entera. Probar que a partir de su
Serie de Fourier.
............)
2 ( 1 2 2 2 2 2 2
3
1
2
1
1
1
2
D D D D
D
S
Sen
DS

5. 5
Solución.
1 2
0
a ³Cos xdx Sen
Se trata de una función par ,luego 0 k b y DS
DS
D
S
S
S
S
1 Cos( k)x Cos( k)x dx
a 2 ³ Cos D
x ˜
Cos kxdx = ³

6. k S 0
S
D D
S 0
·
¸¹
S 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )
a Sen k x §
k D
¨©
Sen
k
Sen k
D S
·
¸¹
§
¨©
Sen D
k x
D
k
k
k
k
D S
D
D S
D
S
0
1 ·

7. = ¸¹
a §
Sen Cosk k D
¨©
Sen ˜
Cosk
˜
DS S
k
k
DS S
D
S
·
¸¹
k Sen
S D D
1 DS §
1 1
¨©
k k
2 D
1

8. Sen
DS
.
k
D S
a
k
k 2 2
Luego la representación quedará:
¸¸¹·
§
k k
Sen DS
Coskx
D ; si x = 0
¨¨©
1 2 (
1)
Cos x Sen Sen
D DS
2 (
1)
DS
¦ ¦f
( )
( )
2 2
1
2 k
2 D
k
D
S D
S D
DS
·
¸¸¹
§
2 1 ( 1)
Sen 2 2 k 2
¦ ( )
¨¨©
2
k
D D
D
S
DS
.
12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función
0 0
¯®­
S
S
x x
x
f x
0
( )
Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que: ¦f
1
8 k
1
2
2
(2 1)
S
.
Solución.
Fig.

9. 6
a a Coskx b Senkx
La serie debe ser de la forma: ¦f
1
0
2
k k ; donde :
S S
S 0
a 1 ³ xdx
³
0 2
S
S 0
a 1 xCoskxdx k
0.............. .....
­
°¯
°®
1 ( 1)
k impar
k
k par
Cosk
k 2 ........... ....
2
2
S
S
S
S
S 0
1 1 ( 1)k 1
³
b xSenkxdx . Luego la representación será:
k k
f x 2 Cos (2 k 1)
x
¦
4
(2 1)2
( )
k
S
S
k
2
(1) S
+ Senkx
k
.
En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua Ÿ
2 1
¦f
1
(2 1)2
4
0
S k
S
.
1
(2 1)
8 1
2
2
¦f
Ÿ
k
S
Sin embargo en x S converge al valor promedio de los limites laterales o sea a
S
y el
2
resultado es el mismo.
Fig
13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función
f x .
¯®­
x x
/ 2 / 2
S S
x x
/ 2 3 / 2
( )
S S S
Solución.
Fig.
Aquí el intervalo es (S / 2,3S / 2) por lo que la serie debe tener la fórmula más general
aunque (b-a) = 2S , luego será de la forma.

10. 7
a a Coskx b Senkx
k k ¦ 2
·
§
0 1 ( ) S
³ ³
a xdx x dx = 0
0 , siendo ¸¸¹
¨¨©
/ 2
/ 2
3 / 2
/ 2
S
S
S
S
S
/ 2
³ ³ ³
a xCoskxdx Coskxdx
xCoskxdx ) = 0
k / 2
3 / 2
/ 2
3 / 2
/ 2
1 ( S
S
S
S
S
S
S
S
/ 2
³ ³ ³
b xSenkxdx Senkxdx
xSenkxdx ) =
k / 2
3 / 2
/ 2
3 / 2
/ 2
1 ( S
S
S
S
S
S
S
S
=
0................
¯®­
3 ( 1) 1........
S 2
¯®­
k impar
k k par
k impar
1
k par k
k
k
( 1) .........
2
0................
Luego la serie de Fourier para esta función queda:
2 .
(2 1) ( 1)
4
3( 1)
(2 1)
2 Sen kx
k
Sen k x
k
k k
¦S
Observación.
Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en S / 2 se
transforma en una función par cuya serie no es la misma.
14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:
x x
1/ 2 ................0 1
¯®­
d d
d
3/ 2...............1 2
( )
x x
f x
Fig.
Solución.
a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:
¦a Cos k x b Senk x
a
0 ,
k ki S S
2

11. 8
2
con ³ ³ ³
0 a f (x)dx (1/ 2 x)dx (x 3/ 2)dx 0
0
1
0
2
1
1
³ ³
a (1/ 2 x)Cosk x dx (x 3/ 2)Cos k x dx k S S =………
0
2
1
0...........
­
°¯
°®
k impar
k
k par
4 ....
2S 2
1
³ ³
b (1/ 2 x)Sen k x dx (x 3/ 2)Sen k x dx k S S =………..
0
2
1
0...........
­
k impar
°¯
°®
k
k par
......
3
S
Así la S de F quedará:
¦ ¦
Cos k k x S
4 (2 1)
2 2 k
3 (2
1)
(2 1)
(2 1)
Sen k k x
k
S
S
S
b) La extensión par de la función hace que la Serie sea
a
: 0 a Cos k S
x
k ¦
2 2
con (b-a) = 4
2
a 2 1 f x Cos k xdx k
a 2 1 f x dx 0 y ˜ ³
Donde ˜ ³ ( )
0 0
2
2
( )
0 2
2
S
2
S S S S
a ³ 1 Cos k x dx ³ xCos k x dx ³ xCos k xdx k ³
Cos k xdx 1
2
2 2 2 2
1
1
0
1
3
0 2 2
=
…………………….= 16 . 2,6,10..........(4 2)

12. .
2 2 si k k
k S
Cos (4 k
2)
x
2
16
La Serie: ¦
2 (4 k
2)2
S
S
.(¿)
15.- Sea la función f (x) Senx a) determine el período. b) Pruebe que es par
c) encuentre la S de F. en S / 2,S / 2@.
Fig.

13. 9
Solución.
Sen(x S ) SenxCosS CosxSenS Senx Senx , período S , que el gráfico
también confirma.
b) Sen(x) Senx Senx par.
a
c) La S de F. será : ¦a Cos kx
0 ; pues el intervalo es de magnitud S ,donde
k 2
2
/ 2
S 2 2 1
/ 2
1 2 2 S
S S k
a Senx Cos kxdx k k quedando .
a ˜ Sen xdx 0 ³ ³ S S
0
˜
0 (4 1).
kCos kx
2 2
¦
(4 1)
1
2
k
S S
. Como la serie pedida.
16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período 4l e impar respecto a
la recta x l .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:
x
a Cos n n 2
(2 1)
S ¦f
2 ( ) (2 1)S
con x
l
1
2 1
2 1 2
l
f x Cos n
l
a
l
n ³
0
Fig.
Solución.
0 n b
0 ( ) 1 ( )
1 . Pero ³ ³
³ ³
l l
l
f x dx
l
f x dx
l
a
2
0
2
2
2
l l
f x dx f x dx
2
( ) ( ) ³
0 0
l
l
f x dx
2
( )
l l
f x dx f x dx
0 0
= ³ ³
( ) ( ) 0

14. 10
¿¾½
1 ( ) S S S
³ ³
³ x
¯®­
l
x f x Cos n
l
f x Cos n
l
x
l
f x Cos n
l
a
l
l
l l
n
2
0
2
( )
2
2
0 1 ( )
2
Si x 2l u .
³ ³ S S
n a ( )( )
2
( )
2
1 ( )
0
0
u du
l
x f u Cos n
l
f x Cos n
l
l
l ¯®­
¿¾½
³ ³ ¿¾½
¯®­
0
0
(2 )( )
2
(2 )
2
1 ( )
l
l
n l x dx
l
x f l x Cos n
l
f x Cos n
l
a
S S
; f (2l x) f (x)
¿¾½
S S S S S
³ ³ x dx
¿¾½
¯®­
¯®­
l
lSen n
l
x Sen n
l
lCos n
l
dx f x Cos n
l
f x Cos n
l
a
l l
2
n 2 2
2
2
2
( )
2
1 ( )
0 0
1 ( ) S
+ x
xdx
l
f x Cos n
l
0
³a
l
n
¯®­
2
1 S ³ dx
l
f x Cos n
l
n
2
( 1) ( )
0
¿¾½
n a =
­
°¯
°®
³l
dx si n impar
l
f x Cos n
2 ( )
l
si n par
0 2
0
2 ( ) (2 1)S
S ? dx
2 1 2
l
f x Cos n
l
a
l
n ³
0
a a Coskx b Senkx
17.- Sea ¦f
0 (
)
2
1
k k , la Serie de Fourier de f(x).Si g(x) f (x S ) ,
¦ k
0 a Coskx b Senkx
a
mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es ( 1) ( )
2
k k
Solución.
Fig
Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en S ,entonces:
A
Si ¦A Coskx B Senkx
( ) 0 donde 0x 2S pues S x S S
g x k k 2

15. 11
2
S S
0 A 1 g(x)dx 1 f (x )dx , si hacemos u= x S Ÿ S u S , luego
³ ³
S
S S
0
2
0
S
2
S 0 S 0 A 1 f (u)du a ³ ³
³
S S
A 1 g(x)Coskxdx 1 f (x S
)Coskxdx k
S S
0
2
0
S
A f u Cos u du k ( ) ( ) 1
³
S
S
S
S
1 ( ) ( )
A ³
f u ^Cos u Cos
SenuSen `du k
S
S S
S
S
A f u Cos u Cos du k 1 ( ) ( ) = k
³
S
S
S
S
1 ³(1)k f (u)Cos(u)du (1)k a
S S
.
Igualmente para k B .
18.- Sea t  R y f (x) Cos(tSenx).
a) Probar que f(x) es par y de período S
b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si x0,S @
c) Probar que para ( ) 0 a t se tiene : '' ' 0 0 0 0 ta a ta .
Solución.
a) f (x) par sii f (x) f (x) xS ;S @
f (x) Cos(tSen(x) Cos(tSen(x)) Cos(tSenx) luego es par.
¿ f (x) f (x S )?
f (x S ) Cos(tSen(x S )) Cos(t(Senx)) Cos(tSenx) Cos(tSenx) f (x).
b) ³
S
S 0
S
S 0
0 a 2 Cos(tSenx)dx ³
a 2 Cos(tSenx)Cos2kxdx k
S
S
b Cos tSenx k ³
( )
2
0
Sen2kxdx.

16. S S S
12
S S
S S 0 0
0 0 a (t) 2 Cos(tSenx)dx a' (t) 2 ( Sen(tSenx)) Senxdx
c) Si ³ Ÿ ³ ˜
S
S 0
0 a'' (t) 2 Cos(tSenx) Sen xdx.
³ ˜
2
Luego:
ta'' a' ta 2 ^ tCos(tSenx) Sen2 x Sen(tSenx) Senx tCos(tSenx) `dx
0 0 0 ˜ ˜ ³S
0
S
.
Pero como: Si u Sen(tSenx)Ÿ du Cos(tSenx) ˜ tCosxdx
dv SenxdxŸ v Cosx Entonces:
³ ( ) ˜ ( ) ˜ ³ ( ) ˜ ³ ( ) ˜
Sen tSenx Senxdx Sen tSenx Cosx tCos tSenx Cos 2
xdx tCos tSenx Cos 2 xdx
0 0
0
Reemplazando se cumple.
19.- Si f (x) ex 0 d x d 2 . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de
período 8 tal que g(x) = f(x) en 0 d x d 2.
Solución.
Fig.
Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 0 d x d 4
e x
0 2
0 2 4
¯®­
d d
d
( )
x
f x
x
e
Así g(x) es la extensión par de f (x) e , por lo tanto:
a Cos k x b Sen k x
a
( ) 0 S S ¦ ;
g x k k 2 4 4

17. 13
4
a 1 f ( x ) dx 1
exdx 1
e
Con ³ ³
0
2
0
2
0 ( 1)
2
2
2
­
( 1) 1
2 2
a e Cos k xdx e k
°¯
°®
........... 8
1
³
k k impar
k par
k
k
x
k
4
( 1)
16
2 4
2 2 1
0
S S
S
20.- Probar la relación de Parseval:
2
1 ( ) 2 2
( )
2 0
2
k k
p
p
f x dx a a b
p
³ ¦
.
Solución.
x b Sen k
p
Si f (x) SC p; p@ y ¦ xŸ
p
f x a a Cos k k k
S S
( ) 0
2
x f b Sen k
p
p
( ) ( ) 2 ( ) 0 x f
(1 ) ( ) ( )
2
$ $ k $ $
p
f x f x f x dx a f a Cos k k
p
S S
³ ¦
p
³
Pero 0 1 f f (x)dx pa
f Cos k
x pa f Sen k
p
S S
$ k k x pb
p
p
$ $
¿¾½
( )
k k
°¯
°®­
³ ¦
2 2
2
2 0
2
p
p
f x dx p a a b
21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en 0,2@ y mediante la
relación de Parseval, probar que :
¦f
1
96 k
1
4
2
(2 1)
S
.
Solución.
Haciendo la extensión par de f(x) a 2;2@

18. 14
2
0 a ³
0
xdx 2
­
°¯
°®
1
³ k impar
k
k par
a xCos k xdx k
2 2
2
0
8
0
2 2
S
S
p
16 2
1 ( ) 8
Aplicando Parseval: ³ ³
?
p
f x dx
p
x dx
3
3
2
2
2 y
1
64
4
¦ ¦ ¦
Ÿ
4
2 k
k
4
4 4
2
2
0
(2 1)
(2 1) 96
2
a a
k
S
S
22.- Si k k a y b son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:
a b
lim lim 0
kof k kof k
Solución.
1 2 ( ) 0 2 2 y que la serie es convergente, entonces su
Siendo: ³ ¦
p
p
k k f x dx a a b
p
( )
2
termino general tiende a cero o sea lim( a 2 b 2 ) 0œ a o0 š b
o0.
kof k k k k
Ejercicios propuestos.
1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:
a) f (x) e x S d x dS b) f (x) SenSx 0 x 1
c)
¯®­
x x
S S
x x
d d
S S
f x
0
0
( ) Graficar la extensión periódica d) f (x) ex -1x1
e)
0 0
­
°¯
°®
S
x
x
/ 2 0 / 2
S S
x
S S
f x
0 / 2
( )
f)
0 0
( ) Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0
¯®­
S
S
x x
x
f x
0

19. 15
2.- Si f (x) 1 x 1 d x d 1 ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la
serie numérica: ¦f
1
k
(2 1)2
1
3.- Determinar la Serie de Fourier para la función f (x) x 4 d x d 4 con ello deducir
la convergencia numérica del ejercicio anterior.
4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x
= 0.
5.- Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = x2 0 d x d 2S , y con ello pruebe que
¦ 2
2 1
16 k
S
6.- Dada la función de impulso unitario:
­
°°°
®
°°°
¯
x
1 0
d d
x
d d
S
S
S
S
x
f x
2
1
2
1 0
( )
¿Cuál es el valor de la serie si a) x kS b) x=
2
(2 1)
S
k , k  Z ?

20. 16
CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.
Ejercicios resueltos y propuestos.
1.- Encontrar la integral de Fourier para la función:
­
x
0 0
°¯
°®
x
1/ 2
0
!
0
( )
e x
f x
x
Solución.
f
f (x) 1 A(w)Coswx B(w)Senwx dw
Si la integral converge, escribimos: ³^
`
0
S
donde :
f
³ ³
A(w) f (v)Cos(wv)dv B(w) f (v)Sen(wv)dv
f
f
f
f
A w e Cos wv dv e Coswv wSenwv
( ) ( ) (
) 2
³ w
1 0
0
f
v
1
w
v = 1 2
2
f
B w e Sen wv dv e Senwv wCoswv
( ) ( ) ( )
0
1 2 0 1
w
w
w
v
v
f
³
Luego:
f
f x Coswx wSenwx
( ) 1 dw
³
0
1 w
2
S
f
1
w ³
S
Si x = 0 Ÿ
dw
0
1 2
2
2.- Demostrar que :
1/ 2 0 1
­
°¯
°®
d
x
1/ 4
1
!
f
Senw
³
0 1
1
0 x
x
Coswxdw
w
S
Solución.
La integral corresponde a una función par puesto que B(w) 0 , luego consideremos la
función extendida par:
­
1/ 2 0 1
°¯
°®
d
x
!/ 4 1
0 !
1
( )
x
x
f x
 f
f x senw
A w Coswvdv Senw
( ) 2 1/ 2 ( ) 1 Coswxdw
Así ³ Ÿ
³
0 0
w
w
S

21. 17
3.- Demostrar que:
Senx x
1/ 2
S S
¯®­
!
f
Sen w
³
S
Senwxdw
w
S x
0
1
1
0
2 .
Solución.
B w Sen w
La integral representa a una función impar, pues A(w) 0 y ( )
1
w
2
S
, luego debemos
considerar la extensión impar :
1/ 2
¯®­
Senx x
S S
x
d d
!
S
f ( x )
i 0
f
S
De ese modo ³ ³
A(w) 0 y B(w) f (v)Senwvdv
1/ 2SenvSenwvdv Ÿ
f
S
S S
B(w) SenvSenwvdv 1 Cos w v Cos w v dv
³ ³

22. 0 0
(1 ) (1 )
2
¿¾½
¯®­
(1 ) 1
( )
1
0
(1 )
1
1
1
2
S
Sen w v
w
Sen w v
w
B w
w Sen w w Sen w Senw
^ (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
` 2 1 2
( ) 1
2(1 )
w
w
B w
S
S S
f
f x Senw i
( ) 1 Senwxdw
Así ³
0
S
1 w
2
S
y corresponde con f(x) si x(0,S )
f
1 A(w)Coswxdx
S
4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo ³
0
a la función:
­
°¯
°®
x x
0
1
x x
2 1 2
0 2
!
( )
x
f x
Solución .
Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión
de la función dada. Así
A(w) 2 f (v)Cos(wv)dv 2 vCos(wv)dv (2 v)Cos(wv)dv usando tablas.
¿¾½
f 1
³ ³ ³
¯®­
0
2
0 1

23. 18
A w Cosw Cos w y por lo tanto:
¿¾½
( ) 2 2 2 1
¯®­
2
w
Coswxdw
f x ³ Cosw Cos w
( ) 2 2 2 1
w
f
¿¾½
¯®­
0
2
S
f
f (x) 1 A(w)Coswxdw
5.- Si f(x) es una función par con su integral
³
0
S
.Demostrar
f
x f x A w Cos wx dw donde A w d A w
que: ³
0
2
2
2 ( ) 1 * ( ) ( ) * ( ) ( )
dw
S
Solución.
f
x2 f (x) 1 A* (w)Cos(wx)dw
Como
³
0
S
pues es una función par y como
f f
f (x) 1 Cos(wx)dw con A(w) 2 f (v)Cos(wv)dv
³ ³
0 0
S
Entonces
f f
dA , comparando con
vf v Sen wv dv d A
³ ³
0 0
2
2
2
2 ( ) ( ) 2 v f (v)Cos(wv)dv
dw
dw
f
A*(w)
³
Ÿ A w d A w .
2 v2 f (v)Cos(wv)dv 2
0
2 ( ) *( )
dw
Observación:
Para representar la función:
¯®­
x x
a
!
x a
f x
0
0
( )
2
Consideramos la extensión par de
1 0
( ) y aplicamos lo anterior en que
¯®­
x a
!
x a
f x
0
A(w) 2Senwa
w
f
f (x) 1 B(w)Sen(wx)dw
6.- Sea
³
0
S
. Hallar la integral de Fourier de la función
g(x) f (x)Senx .
Solución.

24. 19
f
I 1 A(w)Cos(wx)dw g S
Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:
³
0
donde
f
2 f (v)SenvCos(wv)dv ³ ^ `
A(w)
2 ³
g(v)Cos(wv)dv ³
0
f
0
f
0
f (v) Sen(1 w)v Sen(1 w)v dv
f f
A(w) ³ f (v)Sen(1 w)vdv ³ f (v)Sen(1 w)vdv 1 ^ B ( w 1) B ( w 1)
`
.Luego
2
0 0
bastaría con conocer el coeficiente B(w).
f
7.- Si f(x) es una función par con integral: f (x)
1 ³
A(w)Cos(wx)dw.
0
S
Entonces
f
xf (x) 1 dA ·
( )
Sen wx dw
dw
§
S
0 ³
¸¹
¨©
.
Solución
f
xf (x) 1 B * (w)Sen(wx)dw
Para
³
0
S
f
donde ³
B * (w)
2 vf (v)Sen(wv)dv .Pero como
0
f
dA 2 ³
vf (v)(Senwvdv
pues ³
0
dw
f
A(w)
2 f (v)Cos(wv)dv Ÿ B *(w)
0
dA .
dw
f
f (x) 1 A(w)Cos(wx) B(w)Sen(wx)dw
8.- Probar que si ³
0
S
. Entonces se cumple:
f f
( ) 1 ( ) ( )

25. .
³ f 2 x dx ³ A2 w B2 w dw
0
f
S
Solución.
f $ f f (x)dx 1 A(w)^Cos(wx) $ f ` B(w)^Sen(wx) $ f `dw
³ 2 ³
0
f
f
f
S
f
1 ^ A (w) B2 (w) `dw
2 ³
S
0
.
9.- Aplicando lo anterior probar que:
2 ( ) .
Sen aw S ³
a
dw
w
f
f
2

26. 20
Solución.
Si tomamos: f (x) S a d x d a , función par
entonces:
S = 2 Sen(wa)
0
a³
( ) 2 ( ) 2 ( )
0
a
Sen wv
w
A w Cos wv dv
S
S
w
2
? A 2 w 4 S
( ) Sen 2 ( wa
)
2
w
a
a
Por otra parte:³ ³
f 2 (x)dx S 2dx
2aS 2
a
a
2 2
a ³ A w dw ³ Sen wa
2 2 1 2 ( ) 1 4 ( )
Luego: dw
2 ( )
a S
³
Sen wa S ? dw
w
f f
0 0
2
S
S S
w
0
2
2
o bién
dw
2 ( ) S
a ³ Sen wa
2
w
f
f
S S S
x 2 Sen(w ) Cos ( w
) ( ) 0
³
10.- Probar que : S
S
¿¾½
¯®­
f
Sen wx dw x
w
w
0
2
Solución.
Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea
°¯°®­
!
S
S
x x
x
f x
0
( )
f
f (x) 1 B(w)Sen(wx)dw
³
?
0
S
donde
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
B w ³vSen wv dv
0
S S
S
Sen w
w
Cos w
w
f
?
f
f (x) x 2 Sen(w ) ( ) ( )
Sen wx dw
Cos w
w
³ 2
w
0
¿¾½
¯®­
S S
S
11.- Utilizar la función: f (x) xex x t 0 , para deducir que
f f
w ( )
Sen wx dw
Cos ( wx ) dw 2
w
w
³ 2 2 ³
w
(1 )
1
(1 )
0
2 2
0
.
Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:
f f
dw .-
³ ³
w dw
0 0
2 2
2
(1 w
2 )2 (1 w )

27. 21
Solución.
f
f (x) 1 A(w)Cos(wx)dw p S
a) Considerando la extensión par de la función dada:
³
0
f f
A w f v Cos wv dv ve vCos wv dv w
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ............ (1 )
con: ³ ³
p Ÿ
0 0
2
2 2
w
(1 )
2
f
f x w p ( )
Cos wx dw
( ) 1 (1
)
w
(1 )
0
2 2
³
S
.
f
f (x) 1 B(w)Sen(wx)dw i S
b) Considerando la extensión impar de la función dada.
³
0
f
B ( w ) 2 ve vSen ( wv ) dv ............. 2
w luego
³
donde ³
0
(1 w
2 )2
f
f x w i S
( ) 1 2 Sen wx dw
0
2 2 ( )
w
(1 )
Entonces ambas funciones coinciden en x0 o sea son iguales las integrales.
f f
Cos wx dw w
w
(1
) Sen wx dw
2
( ) 2
³ ³
0
2 2
0
2 2
( )
(1 )
(1 )
w
w
f
w
1 (1 ) dw
En a) si x = 0 ³
dw
³ ³
S
Ÿ
0
2
2 2
0
w
(1 )
f f
w dw
?
0 0
2 2
2
(1 w
2 )2 (1 w )

28. 22
Ejercicios propuestos.
A w B w w
( ) 0 ( ) 4
1.- Sea: f ( x ) xe x . Pruebe que:
S
(1
w
2 )2
2.- Sea
x
1 1
°¯
°®­
f x Verifique que
0 !
1
( )
x
B w A w Senw
w
S
( ) 0 ( ) 2
f
y que ³
0
Senw
S
2 Cos(wx)dw
w
converge a ½ si x =1 ó x = -1.
3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en
cada punto.
a)
°¯
°®­
( ) b)
!
S
S
x x
x
f x
0
°¯
°®­
k x
0 !
10
10
( )
x
f x
c)
­
1/ 2 5 1
°¯
°®
d
1 1 5
0 5
d d
!
( )
x
x
x
f x d) f x xe x ( )
4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de
Cosenos para:
a)
x x
0 10
f x b)
0 10
¯®­
d d
!
( )
2
x
Cosh x x
( ) 0 5
¯®­!
d d
0 5
( )
x
f x
5.- Para f (x) ekx; x ! 0 , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.
6.-Si f (x) exCosx x t 0 Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y la
de Cosenos.