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Graph Algorithms Part 1
1.
グラフアルゴリズムその1 2017-11-07 宮川 拓
2.
グラフアルゴリズムを勉強しよう 背景
機械学習の部分問題として出てきがち ex.物体検出, 形態素解析, ... 最短経路問題が多そう? 概要 2/57
3.
参考文献 コルメン他 『アルゴリズム・イントロダクショ ン』第3版(2013, 近代科学社) 3/57
4.
アジェンダ グラフに関する用語と概念 グラフの探索
トポロジカルソート 単一始点最短経路問題(次回) 4/57
5.
グラフに関する用語と概念 5/57
6.
グラフの構成 グラフ:= 頂点
(vertex) と、 頂点同士をつなぐ辺 (edge) 、 からなるデータ構造 6/57
7.
グラフの構成 グラフG=(V, E)
ただしV={v0, v1, ... v5}, E={e0, e1, ... e5} v0 v1 v2 v5 v3 v4 e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 7/57
8.
有向グラフと無向グラフ 有向グラフ 無向グラフ 8/57
9.
有向グラフと無向グラフ 無向グラフは有向グラフの特殊な場合 とみなすこともできる つまり、(v0,
v1)がG.Eの元であるとき、 必ず(v1, v0)もG.Eの元であるような有 向グラフ、と考えれば良い 9/57
10.
道 (path) 列‹v0,
v1, ... vk›について、 すべての(v[i], v[i+1])がG.Eの元で あれば、頂点v0からvkへの道 (path)と呼ぶ 10/57
11.
閉路 (cycle) 最初の要素と最後の要素が同じ頂点で あるような道を閉路(cycle)と呼ぶ 11/57
12.
有向非循環グラフ (DAG) 閉路のない有向グラフを有向非循環グ ラフ
(Directed Acyclic Graph)と 呼ぶ 木はDAGの特殊な場合とみなせる ただひとつの頂点(根)から他のすべて の頂点へ道がたどれること 根以外の頂点への根からの道はひとつだ けであること 12/57
13.
プログラム上のグラフの表現 隣接リスト 0 1 2 5 3
4 0 → {2, 3} 1 → {1} 2 → {1, 3, 4} 3 → {} 4 → {2} 5 → {} 省メモリだけど転置グラフが作りづらい 13/57
14.
プログラム上のグラフの表現 隣接行列 0 1 2 5 3
4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 メモリ食いだけど転置グラフが作りやすい 14/57
15.
グラフの探索 15/57
16.
グラフの探索 幅優先探索 コード
辺の重みがすべて等しいときの、 最短経路問題の解法とかんがえられる 深さ優先探索 コード トポロジカルソートなどの解法の一部と して使われる 16/57
17.
グラフの探索 幅優先探索 a b c f d
e Queue = ‹a› 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17/57
18.
グラフの探索 幅優先探索 a b c f d
e Queue = ‹c, d› 0 ∞ 1 1 ∞ ∞ 18/57
19.
グラフの探索 幅優先探索 a b c f d
e Queue = ‹d, b, e› 0 2 1 1 2 ∞ 19/57
20.
グラフの探索 幅優先探索 a b c f d
e Queue = ‹b, e› 0 2 1 1 2 ∞ 20/57
21.
グラフの探索 幅優先探索 a b c f d
e Queue = ‹e› 0 2 1 1 2 ∞ 21/57
22.
グラフの探索 幅優先探索 a b c f d
e Queue = ‹› 0 2 1 1 2 ∞ 22/57
23.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e まずはaの探索を開始 23/57
24.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e aが指している先であるcの探索を開始 24/57
25.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e cが指している先であるbの探索を開始 25/57
26.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e bが指している先(b自身)はすでに探索済み したがってbは探索終了 26/57
27.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e 27/57
28.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e 28/57
29.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e 29/57
30.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e 30/57
31.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e cが指している先に未探索の頂点はない したがってcは探索終了 31/57
32.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e aも探索終了 32/57
33.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e 多くの場合深さ優先探索では全頂点をなめる トポロジカルソート等での使いやすさのため 33/57
34.
グラフの探索 深さ優先探索 a b c f d
e 34/57
35.
トポロジカルソート 35/57
36.
トポロジカルソート トポロジカルソート: DAGの頂点を、前後関係を保って一列 に並べること 36/57
37.
トポロジカルソート ある日の家事のDAG ア サ
リ の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 37/57
38.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 を 取 り 入 れ る 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 蓋 を し て 蒸 す ア イ ロ ン 掛 け る 手順の例 38/57
39.
トポロジカルソート アルゴリズム 全頂点を深さ優先探索する
探索が終わった頂点から順番に、 結果列の先頭に追加する コード 39/57
40.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ∅ 40/57
41.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ∅ 41/57
42.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ∅ 42/57
43.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : 蓋 を し て 蒸 す 43/57
44.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 44/57
45.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 45/57
46.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 46/57
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トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 47/57
48.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 48/57
49.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 49/57
50.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 50/57
51.
トポロジカルソート ア サ リ
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52.
トポロジカルソート ア サ リ
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53.
トポロジカルソート ア サ リ
の 砂 抜 き ア ン チ ョ ビ す り つ ぶ す ニ ン ニ ク み じ ん 切 り ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る 蓋 を し て 蒸 す 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い 洗 濯 物 取 り 入 れ る ア イ ロ ン 掛 け る 結 果 : ア サ リ の 砂 抜 き → 洗 濯 物 取 り 入 れ る → ア イ ロ ン 掛 け る → ア ン チ ョ ビ と ニ ン ニ ク を 炒 め る → ア ン チ ョ ビ つ ま み 食 い → 白 身 魚 と ア サ リ と ト マ ト を 投 入 → 蓋 を し て 蒸 す 53/57
54.
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55.
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