京都大学　電気電子工学科3回生配当のディジタル信号処理の講義中に行ったMATLABの演習です

1. MATLAB演習
• スタート画面から
全てのプログラム→専門ソフト→MATLAB→R2011b→MATLAB R2011b
でMATLABを起動してください
• ディジタル信号処理のホームページ
http://vision.kuee.kyoto-u.ac.jp/lecture/dsp/?menu=top
の講義情報からzipファイルをダウンロードしてください
• zipファイルを解凍しフォルダごとM:¥Documents¥MATLABに入れてください

2. アウトライン
• MATLABの基礎
• コンピュータ上での音，画像の扱い
• 標本化
第4回
• 離散フーリエ変換
第5,6回
• (フィルタリング，畳み込み)
第５回
難しい式がいろいろ出てきたが，MATLABなら関数一つ
で実行可能！！

3. MATLABの起動
起動画面

4. アウトライン
• MATLABの基礎
•
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•
•
•
•
•
•
•
行列の計算
データ操作
関数
グラフのプロット
スクリプト
コンピュータ上での音，画像の扱い
標本化
離散フーリエ変換
(フィルタリング，畳み込み)

5. 行列計算
復習
A=[1,2;3,4]
B=[1,2;3,4]
C=A.’*B
入力行列の
定義
行列計算
1.入力行列の定義
2.行列計算

6. 行列計算
入力行列の定義
直接入力によるデータ定義
>>a=[1 ,2 ,3 ;4 ,5 ,6 ]
a=
123
456
1. 要素全体を[ ]で囲む
2. 各列をスペースまたはカ
ンマで区切る
3. 各行をセミコロンで区切
る
>>b=[1:10]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>>c=[0:2:10]
0 2 4 6 8 10
コロンを用いると等間隔ベ
クトルを定義できる

7. 行列計算
入力行列の定義
関数によるデータの定義
>>e=zeros(2,3)
0 0 0
0 0 0
>>f=ones(3,4)
1111
1111
1111
他にもeye,magic,rand...な
どいろいろある
分からない関数などがあれ
ば
>>help ○○
などでいろいろ出てくる

8. 行列計算
行列計算
算術演算子を用いる
要素ごとの演算をする際
は前にドット(.)をつける
和:+,差:- ,積:*
右除算 : / , 左除算 : ¥
べき乗: ^
複素共役転置 : ’
転置 ： . ’
>>A=[1,4,7;2,5,8;3,6,9]
A=
1
4
7
2
5
8
3
6
9
>>B=A.'
B=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>>C=A*B
C=
66 78 90
78 93 108
90 108 126

9. データの操作
抜き出す，置き換える，結合する
データを抜き出す
データを置き換える
>>a=A(2,3)
a=
8
>>A(1:2,1)=10
A=
10 4 7
10 5 8
369
>>b=A(1,1:2)
b=
14
データを結合する
( , 横結合 : 縦結合)
>>c=A(2,:)
c=
258
>>D=[A,B]
D=
10 4 7 1 2 3
10 5 8 4 5 6

10. 関数
組み込み関数
MATLABでは多くの組み込み関数が用意されており，そのほとんどが
ベクトルや行列のデータに対応している
引数の規則やオプションなどもhelpコマンドでわかる
• sin
• exp
• log
• sqrt
• min
• mean
• sum
• etc...
正弦
指数
対数(底がe)
平方根
最小値
平均値
要素の和

11. グラフの描画
グラフ描画の基本
2次元のグラフはplotで書ける
x=[-5:0.1:5];
y=sin(x);
plot(x,y)
plot関数は第一引数を横軸（ここ
ではx=
[−5.0 − 4.9 − 4.8 ⋯ 4.8 4.9 5.0]）
第二引数を縦軸(ここではy=
[sin( −5.0) sin( −4.9) sin( −4.8)
⋯ sin( 4.8) sin( 4.9) sin( 5.0)])
でグラフを描ける

12. スクリプト
いちいちコマンドをコマンドウインドウでタイプするのは面倒
処理をひとまとめにしてスクリプトとして記述すれば楽
ホームタブの左上の新規スクリプトを開く(スクリプトはメモ帳など好きな
エディタで書いてもよい)
コメントアウトは「%」
保存はCtrl + s
実行：コマンドウィンドウでファイル名を呼ぶ(.mは不要)
パスを通していない場合、カレントディレクトリにある*.mファイルしか
実行出来ない
>> Hogehoge
( Hogehoge.mの例 )
ディレクトリはcdか左のファイルマネージャで移動

13. グラフの描画
講義の課題１８
補間関数𝐶(𝑡)は𝑆𝑎(𝑡)の近似関数である
sin 𝜋𝑡
𝑆𝑎 𝑡 =
𝜋𝑡
1 − 2 𝑡 2 + 𝑡 3 (0 ≤ |𝑡| ≤ 1)
𝐶 𝑡 = 4 − 8 𝑡 + 5 𝑡 2 − 𝑡 3 (1 ≤ |𝑡| ≤ 2)
0(2 ≤ |𝑡|)
(1)関数𝑆𝑎(𝑡)を描画しなさい
(2)関数𝐶(𝑡)を描画しなさい
(3)両者の誤差関数を描きなさい

14. グラフの描画
例:課題１８
（１）
Sa(t)の描画
（２）
C(t)の描画
（３）
誤差関数の
描画
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
•
•
•
•
t= -10:0.1:10;
y1=sin(pi*t)./(pi*t);
subplot(3,1,1);
plot(t,y1);
補間関数𝐶(𝑡)は𝑆𝑎(𝑡)の近似関数である
sin 𝜋𝑡
𝑆𝑎 𝑡 =
𝜋𝑡
1 − 2 𝑡 2 + 𝑡 3 (0 ≤ |𝑡| ≤ 1)
𝐶 𝑡 = 4 − 8 𝑡 + 5 𝑡 2 − 𝑡 3 (1 ≤ |𝑡| ≤ 2)
for ii=1:length(t)
0(2 ≤ |𝑡|)
if 0<=abs(t(ii))&&abs(t(ii))<1
(1)関数𝑆𝑎(𝑡)を描画しなさい
y2(ii)=1-2*abs(t(ii)).^2+abs(t(ii)).^3;
elseif 1<=abs(t(ii))&&abs(t(ii))<2
(2)関数𝐶(𝑡)を描画しなさい
y2(ii)=4-8*abs(t(ii))+5*abs(t(ii)).^2-abs(t(ii)).^3; (3)両者の誤差関数を描きなさい
else
y2(ii)=0;
end
end
subplot(3,1,2);
plot(t,y2);
y3=abs(y1-y2);
subplot(3,1,3);
plot(t,y3);

15. グラフの描画
例:課題１８
•
•
•
•
•
•
%横軸のベクトルを用意
t= -10:0.1:10;
%_/_/_/_/_/_/_/
%Sa(t)の描画
%_/_/_/_/_/_/_/
• %対応する縦軸の値を用意
• y1=sin(pi*t)./(pi*t);
• %subplotは図を並べたいときに使う
• subplot(3,1,1);
• %グラフのプロット
• plot(t,y1);
subplot(3,1,1);ならば
３行１列に図を並べる
１
２
３
3つ目の引数が1ならば
上図の1の部分に図が入
る

16. グラフの描画
例:課題１８
• %_/_/_/_/_/_/_/
• %Sa(t)の描画
• %_/_/_/_/_/_/_/
• %tの値についてifで場合分け
• for ii=1:length(t)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
% 0 ≤ |𝑡| ≤ 1の時
if 0<=abs(t(ii))&&abs(t(ii))<1
y2(ii)=1-2*abs(t(ii)).^2+abs(t(ii)).^3;
%1 ≤ |𝑡| ≤ 2 の時
elseif 1<=abs(t(ii))&&abs(t(ii))<2
y2(ii)=4-8*abs(t(ii))+5*abs(t(ii)).^2-abs(t(ii)).^3;
%その他
else
y2(ii)=0;
end
end
subplot(3,1,2);
plot(t,y2);
tが１行１０列の行列なら
length(t)=10である
abs(t)でtの絶対値をとる

17. グラフの描画
例:課題１８
t= -10:0.1:10;
y1=sinc(t);
subplot(3,1,1);
plot(t,y1);
I = find((0<=abs(t)&abs(t)<1));
J = find(1<=abs(t)&abs(t)<2);
y2=zeros(size(t));
y2(I)=1-2*abs(t(I)).^2+abs(t(I)).^3;
y2(J)=4-8*abs(t(J))+5*abs(t(J)).^2-abs(t(J)).^3;
subplot(3,1,2);
plot(t,y2);
y3=abs(y1-y2);
subplot(3,1,3);
plot(t,y3
このようなスクリプトを
for文なしで書けることも
MATLABの魅力
→計算速度を上げるため
には必須

18. グラフの描画
例:課題１８
𝑆𝑎(𝑡)
𝐶(𝑡)
誤差関数

19. 補足
MATLABの扱うデータ
MATLAB（に限らずコンピュータ上）ではデータは全て離散信
号として扱っている
• MATLABでフーリエ変換はできない(できるのは離散フーリエ
変換)
• plotも離散化したデータをつなげてるだけ
x=0:1/50:4;
y=cos(n*x);
plot(x,y);
nを増やしていくと…?

20. 補足
MATLABの扱うデータ
n = 100πの時に直線に戻った
実際にcos(100𝜋 ∗
sin 100𝜋 ∗
1
50
1
50
∗ 0) = 1 ，cos 100𝜋 ∗
∗ 2 = 1…
となりすべて1となる
→離散特有の性質
1
50
∗ 1 = 1，

21. アウトライン
• MATLABの基礎
• コンピュータ上での音声，画像の扱い
• 音声
• 画像
• 標本化
• 離散フーリエ変換
• (フィルタリング，畳み込み)

22. 音声のデータ配列
ディジタル化された音声も行列で表
すことができる
サンプル数をNとして，モノラルの
場合はNx1，ステレオの場合はNx2
の行列となる
標本化
それぞれの値が行列
の一要素となる
0.0677
0.0775
0.0915
0.1000
-0.1116
0.1263
0.1373
-0.1461
-0.1574
⋮

23. 音声の読み込みと再生
読み込みと再生
音声データの読み込み
（カレントディレクトリに音声ファイルを入れておく）
[y,Fs] = wavread(‘en/aiueo.wav’)
y…音声の行列
Fs…サンプリング周波数(1秒間に何個のサンプルをとるか)
音声データの再生
wavplay(y, Fs);

24. 画像処理
画像も音声と同様に行列で表現できる
• 音声は一次元，画像は二次元
• 白黒画像なら値は輝度値を示す
• 黒:0→→→白:255
231 223 230 215
13
15
20
170
15
10
98
150
20
145 150 147

25. 画像処理
200 180 165 150
235 195 155
70
220 209
98
50
202
85
69
47
131
35
38
40
113
47
50
17
115 110
9
15
120
14
15
14
113
23
30
25
121
34
30
8
150 110
11
12
126
10
17
R
カラー画像なら値は各画素に
R,G,Bの３つの成分を持つ
→３次元配列
G
B
15

26. 画像の読み込みと表示
画像の読み込み
(音声の時と同様，カレントディレクトリに画像ファイルを入
れておく)
img=imread(‘en/lena.jpg’);
画像の表示
imshow(img);

27. アウトライン
• MATLABの基礎
• コンピュータ上での音声，画像の扱い
• 標本化
• 補間
• 離散フーリエ変換
• (フィルタリング，畳み込み)

28. 標本化
∞
𝑥 𝑠 𝑡 = 𝑥(𝑡)
𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
𝑛=−∞
標本化
1/サンプリング周波数
とびとびのデルタ関数で表す
→
間のデータはどうするのか？

29. 講義の課題19
ホームページにある音データに対して、1/2の
downsamplingおよび2倍のupsamplingを行ったものをそ
のまま音として聞くとどのようになるかを調べなさい．
（音再生ソフトは再生する音データのサンプリング周波数が
固定あるいは可変になっている．）

30. 講義の課題19
元波形
アップサンプリング
ダウンサンプリング
間に０を補間する
値を間引く

31. 講義の課題19
clear all
close all
[in,Fs] = wavread(‘sample.wav’)
l_in = length(in);
l_out1 = floor(l_in/2);
out1 = zeros(1,l_out1);
for i= 1:l_out1
out1(i) = in(2*i);
end
wavwrite(out1,Fs/2,'down.wav');
l_out2 = l_in*2;
out2 = zeros(1,l_out2);
for i= 1:l_in
out2(i*2) = in(i);
end
h1=fir1(40,(Fs/2)/Fs,'low');
out2=conv(out2,h1);
out2=out2(1:l_out2);
wavwrite(out2,Fs*2,'up.wav');

32. 講義の課題19
clear all
close all
[in,Fs] = wavread(‘sample.wav’)
l_in = length(in);
%_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
%ダウンサンプリング
%_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
%あらかじめ入力の半分の長さを持った行列を作成する（値は全て0）
l_out1 = floor(l_in/2);
out1 = zeros(1,l_out1);
%入力のサンプルを一個おきに出力に代入する
for i= 1:l_out1
out1(i) = in(2*i);
end
%音声の書き出し サンプリング周波数は２分の１
wavwrite(out1,Fs/2,'down.wav');

33. 講義の課題19
%_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
%アップサンプリング
%_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
%あらかじめ入力の2倍の長さを持った行列を作成する（値は全て0）
l_out2 = l_in*2;
out2 = zeros(1,l_out2);
%入力のサンプルを出力に一個おきに代入する
for i= 1:l_in
out2(i*2) = in(i);
end
%折り返しノイズを拾ったままであるのでLPFをかける
%LPFを用意
h1=fir1(40,(Fs/2)/Fs,'low');
%畳み込み
out2=conv(out2,h1);
out2=out2(1:l_out2);
wavwrite(out2,Fs*2,'up.wav');

34. 講義の課題19
スペクトログラムの違い
元波形
ダウンサンプリング
アップサンプリング

35. 画像における補間
画像を3倍に拡大する→赤い部分の画素値はどうやって決める？

36. 画像における補間
最近傍補間→とりあえず近くの画素値を使う

37. 画像における補間
線形補間,双３次補間→中間値をうまくとっていく

38. 画像の補間
%画像の読み込み
img=imread('en/lenasmall.jpg');
%グレースケール化
img=rgb2gray(img);
%最近傍補間
imgA=imresize(img,3,'nearest');
%線形補間
imgB=imresize(img,3,'bilinear');
%双3次補間
imgC=imresize(img,3,'bicubic');
%画像の表示
subplot(1,3,1);
imshow(imgA);
subplot(1,3,2);
imshow(imgB);
subplot(1,3,3);
imshow(imgC);
imresize(img,3,'nearest');
画像の行列，拡大率，補間方法
を引数に取る
subplot(1,3,1);ならば
1行3列に図を並べる
１
２
３
3つ目の引数が1ならば
上図の1の部分に図が入
る

39. 画像の補間
最近傍補間
線形補間
双三次補間

40. アウトライン
• MATLABの基礎
• コンピュータ上での音声，画像の扱い
• 標本化
• 離散フーリエ変換
• (フィルタリング，畳み込み)

41. 離散フーリエ変換
時間領域の離散信号を周波数領域の離散スペクトルへ変換す
るもの
clear all
close all
[y1,fs]=wavread('en/aiueo.wav');
x1=1:length(y1);
x1=x1/fs;
subplot(2,1,1);
plot(x1,y1);
時間波形
fftsize=2^ceil(log2(length(y1)));
y2=20*log10(abs(fft(y1,fftsize)));
x2=linspace(0,fs,fftsize);
subplot(2,1,2)
plot(x2(1:fftsize/2),y2(1:fftsize/2));
パワースペクトル

42. 離散フーリエ変換
以前までの変数を削除し表示して
ある図を消去する
スクリプトの前に書いておくと意
図しないバグが生じなくてよい
%前処理
clear all
close all
%音声の読み込み
[y1,fs]=wavread('aiueo.wav');
x1=1:length(y1);
x1=x1/fs;
subplot(2,1,1);
plot(x1,y1);
y1が１行１０列の行列なら
length(y1)=10である
このままだと横軸が1,2,…のまま
なので時間に変換する
サンプリング周波数fsは一秒間の
サンプル数であるのでnサンプル
目の時間はn/fsである

43. 離散フーリエ変換
%高速離散フーリエ変換
fftsize=2^ceil(log2(length(y1)));
y2=20*log10(abs(fft(y1,fftsize)));
x2=linspace(0,fs,fftsize);
subplot(2,1,2)
plot(x2(1:fftsize/2),y2(1:fftsize/2));
使える周波数はfs/2である
仮にすべて表示させると左右対称
なグラフが描かれる
• fftは高速フーリエ変換
• fftsizeは変換後のサンプル数(下の行
列のN) fftsizeは2の累乗にすると
最も高速になる
• 結果は複素数で出てくるので絶対値
をとってパワースペクトルとする
• y軸はデシベルで表現することが多
い
サンプルを周波数に変換
x2=linspace(0,fs,fftsize);
は0からfsまでの値をfftsize分割す
るという意味

44. 離散フーリエ変換
音声を細かく分割→それぞれの領域でフーリエ変換すること
により音声の様々な性質がわかる
（短時間フーリエ変換の知識が必要）
→例:スペクトログラム
周波数(kHz)
強い
弱い

45. スペクトログラム
clear all
close all
[x,fs]=wavread('aiueo.wav');
frameMs=30;
periodMs=10;
frame=round(fs*frameMs/1000);
period=round(fs*periodMs/1000);
fftlength=2^ceil(log2(frame));
range=1:period:(length(x)-frame);
spec=zeros(fftlength/2,length(range));
for ii=1:length(range)
temp=20*log10(abs(fft(x([1:frame]+(ii-1)*period).*blackman(frame),fftlength))+eps);
spec(:,ii)=temp(1:fftlength/2+1);
end
xx=linspace(0,length(x)/fs,size(spec,2));
yy=linspace(0,fs/2,size(spec,1));
surface(xx,yy,spec);shading flat;

46. スペクトログラム
• frame…切り出すフレームの大きさ．
ここでは30ms秒分のフレームを切り
出している
clear all
close all
[x,fs]=wavread('aiueo.wav');
frameMs=30;
periodMs=10;
frame=round(fs*frameMs/1000);
period=round(fs*periodMs/1000);
fftlength=2^ceil(log2(frame));
range=1:period:(length(x)-frame);
spec=zeros(fftlength/2,length(range));
• period…for文一回あたりに動かすフ
レーム．ここでは10ms分のフレーム
を動かす
• fftlength…変換後のサンプル数．こ
の時サンプル数は2の累乗が最も高速
である
• range…切り出しの開始フレームのベ
クトル
• spec…出力されたスペクトログラム
を格納するための変数

47. スペクトログラム
• 以上のことを図にすると…
for ii=1:length(range)
temp=20*log10(abs(fft(x([1:frame]+…
(ii-1)*period).*blackman(frame),fftlength))+eps);
spec(:,ii)=temp(1:fftlength/2+1);
end
xx=linspace(0,length(x)/fs,size(spec,2));
yy=linspace(0,fs/2,size(spec,1));
surface(xx,yy,spec);shading flat;
…
30ms
10ms
0 10 20…
range
• 窓関数は今後の講義で（おそらく）出てくる
(ここではblackman windowが使われている)

48. スペクトログラム
調波構造
あ
い う え お
フォルマント
スペクトログラムを見
ると「あいうえお」の
どの音が発声されたの
かが分かる
基本周波数

49. 画像のパワースペクトル
講義でもレンガの横方向の線を消去するというものがあった
が…

50. 画像のパワースペクトル
clear all
close all
img = imread('en/renga.bmp');
img=rgb2gray(img);
subplot(2,2,1);
imshow(img);
%２次元フーリエ変換
im=fft2(img);
%パワースペクトルの表示
[h, w]=size(im);
nw=floor(w/2);
nh=floor(h/2);
imout=[im(nh+1:h,nw+1:w),im(nh+1:h,1:nw);…
[im(1:nh,nw+1:w),im(1:nh,1:nw)]];
subplot(2,2,2);
imshow(20*log10(abs(imout)),[0 255]);
%縦方向の周波数をゼロに置き換える
im_arranged=im;
im_arranged(:,w-5:w)=0;
im_arranged(:,1:5)=0;
im_arranged(1,1)=im(1,1);
%置き換えたものを表示
imout2=[im_arranged(nh+1:h,nw+1:w),…
im_arranged(nh+1:h,1:nw);…
[im_arranged(1:nh,nw+1:w),…
im_arranged(1:nh,1:nw)]];
subplot(2,2,4);
imshow(20*log10(abs(imout2)),[0 255]);
%逆2次元フーリエ変換
img2 = abs(ifft2(im_arranged));
%逆フーリエ変換したものを表示
subplot(2,2,3)
imshow(uint8(img2));

51. 画像のパワースペクトル
clear all
close all
img = imread('en/renga.bmp');
img=rgb2gray(img);
subplot(2,2,1);
imshow(img);
%２次元フーリエ変換
im=fft2(img);
%パワースペクトルの表示
[h, w]=size(im);
nw=floor(w/2);
nh=floor(h/2);
imout=[im(nh+1:h,nw+1:w),im(nh+1:h,1:nw);…
[im(1:nh,nw+1:w),im(1:nh,1:nw)]];
subplot(2,2,2);
imshow(20*log10(abs(imout)),[0 255]);
• fft2で二次元高速フーリエ変換
• fftsizeを特に指定しなければ入力
と出力のサンプル数は同じになる
• パワースペクトルを見やすいものに
するために直流成分を画像中央に
持っていく この時対称性より行列
を図のように入れ替えればよい
• つまりできた画像をA,B,C,Dに分割
し[D,C;B,A]のようにする
元画像
入れ替えた画像
A
B
D
C
C
D
B
A

52. 画像のパワースペクトル
%縦方向の周波数をゼロに置き換える
im_arranged=im;
im_arranged(:,w-5:w)=0;
im_arranged(:,1:5)=0;
im_arranged(1,1)=im(1,1);
%置き換えたものを表示
imout2=[im_arranged(nh+1:h,nw+1:w),…
im_arranged(nh+1:h,1:nw);…
[im_arranged(1:nh,nw+1:w),…
im_arranged(1:nh,1:nw)]];
subplot(2,2,4);
imshow(20*log10(abs(imout2)),[0 255]);
%逆2次元フーリエ変換
img2 = abs(ifft2(im_arranged));
%逆フーリエ変換したものを表示
subplot(2,2,3)
imshow(uint8(img2));
• 再び並べ替え前の画像を用いる
• ここでは横方向の波を消すためにy軸
に近い点を0とする
• ただし直流成分も0にすると画像が全
体的に暗くなるのでその部分は残す
• 逆二次元高速フーリエ変換はifft2

53. パワースペクトル
元画像
パワースペクトル
最終結果
縦方向の周波数をゼロにする

54. アウトライン
•
•
•
•
MATLABの基礎
コンピュータ上での音声，画像の扱い
標本化
離散フーリエ変換
• フィルタリング，畳み込み

55. フィルタリング
x[n]
…0 1
y[n]
2 …
… -1 0
1 …
x[n]とy[n]の離散畳み込みz[n]を計算する
𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦[𝑛]

56. フィルタリング
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 =
d=0の時
𝑛=∞
𝑛=−∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
2/3
z[n]
…0 1 2 …
1
1
1 2
𝑧 0 =0× +1× +1× =
3
3
3 3

57. フィルタリング
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 =
d=1の時
𝑛=∞
𝑛=−∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
…0 1 2 …
1
1
1
𝑧 1 =1× +1× +1× =1
3
3
3

58. フィルタリング
y[n]をdだけ動かした時𝑧 𝑑 =
d=2の時
𝑛=∞
𝑛=−∞
𝑥 𝑛 𝑦[𝑛 − 𝑑]
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
…0 1 2 …
1
1
1
𝑧 1 =1× +1× +1× =1
3
3
3

59. フィルタリング
1
x[n]
…0 1
2 …
1/3
… -1 0
y[n]
1 …
1
z[n]
…0 1
2 …
x[n]にy[n]を畳み込むことによって0と1の境界部分が滑らかに変化するようになる

60. ローパスフィルタ
𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑦 𝑛 ⇔ 𝑍 𝑘 = 𝑋 𝑘 𝑌[𝑘]
×
=
周波数領域では畳み込みは1対1で掛け合わす

61. ローパスフィルタ
• clear all
• xx=linspace(0,fs/1000,length(x));
• close all
•
•
• plot(xx(1:fftlength),in(1:fftlength),'b','linewidth',2);
• [x,fs] = audioread('akstn.wav');
• hold on;
• fftlength=length(x)/2;
• plot(xx(1:fftlength),out1(1:fftlength),'g','linewidth',2);
• filterSize=40;
• plot(xx(1:fftlength),out2(1:fftlength),'r','linewidth',2);
• in=20*log10(abs(fft(x)));
•
• h1=fir1(filterSize,500/(fs/2),'low');
• y1=conv(x,h1);
• y1=y1(1:length(x));
• out1=20*log10(abs(fft(y1)));
•

62. ローパスフィルタ
• clear all
• close all
•
• [x,fs] wavread('aiueo.wav');
• fftlength=length(x)/2;
• filterSize=40;
• in=20*log10(abs(fft(x)));
•
• h1=fir1(filterSize,500/(fs/2),'low');
• y1=conv(x,h1);
• y1=y1(1:length(x));
• out1=20*log10(abs(fft(y1)));
•
• fir1でフィルタ作成
一つ目の引数にフィルタサイズ（40く
らい）
二つ目の引数にカットオフ周波数
ここで設定する周波数は（カットオフ周
波数）/（ナイキスト周波数）であるこ
とに注意（ナイキスト周波数はサンプリ
ング周波数の2分の1）
三つ目の引数にフィルター タイプ
ここでハイパスやローパスを決める
• convで畳み込み

63. ローパスフィルタ
• xx=linspace(0,fs/1000,length(x));
•
• plot(xx(1:fftlength),in(1:fftlength),'b','linewidth',2);
• hold on;
• plot(xx(1:fftlength),out1(1:fftlength),'g','linewidth',2);
• plot(xx(1:fftlength),out2(1:fftlength),'r','linewidth',2);
• plotの後に設定を追加する
ことで色を付けたり実線を
点線にしたりすることがで
きる 詳しくはhelpコマ
ンドなどで
• 一つ目のplotの後にhold
on と打つことによりもと
もと書いてあったグラフに
上書きできる

64. ローパスフィルタ

65. フィルタリング
∗
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
ここを変えることにより
様々な処理ができる
=

66. 平滑化フィルタ
clear all
close all
im=imread('lena.jpg');
im= rgb2gray(im);
subplot(1,2,1);
imshow(im);
%前処理
%画像の読み込み
%グレ－スケール化
%元画像の表示
im=double(im);
%uint8→double型へ
f=[1,1,1;1,1,1;1,1,1]/9; %フィルタの作成
imout=filter2(f,im,'same');%元画像とフィルタの畳み込み
imout=uint8(imout);
%double→uint型へ
subplot(1,2,2);
imshow(imout);
%平滑化した画像の表示

67. フィルタの中身を変えると…?
平滑化フィルタ
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
ソーベルフィルタ
（エッジ抽出）
ラプラシアンフィルタ
（エッジ強調）
1
0
−1
−1
-1
−1
2
0
−2
−1
9
−1
1
0
−1
−1
−1
−1

68. メディアンフィルタ
n×nマスの中で中間の濃度値を出力
10
34
78
10
34
78
13
99
89
13
36
89
45
36
16
45
36
16
5番目の数値をとる
10,13,16,34,36,45,78,89,99

69. メディアンフィルタ
エッジは保存したまま平滑化できる
2
5
200
178
2
5
200
178
4
2
189
211
4
2
189
211
4
8
196 190
4
8
196 190
3
9
203 216
3
9
203 216
2
5
200
178
2
5
200
178
2
5
200
178
2
5
200
178
4
68
189
211
4
5
189
211
4
2
129
211
4
2
189
211
4
8
196 190
4
8
196 190
4
8
196 190
4
8
196 190
3
9
203 216
3
9
203 216
3
9
203 216
3
9
203 216
平滑化フィルタ

70. メディアンフィルタ
平滑化フィルタと違いエッジが残る
元画像
平滑化フィルタ
メディアンフィルタ

71. メディアンフィルタ
孤立点ノイズを消去できる
182
175
200
178
194
2
189
211
204
8
196 190
173
189
203 216
182
画素値の小さい部分
に引っ張られる
175
200
178
182
175
200
178
194
150
189
211
194
189
189
211
204
8
196 190
204
8
196 190
173
189
203 216
173
189
203 216
画素値の小さい部分
に影響しない

72. メディアンフィルタ
ノイズ除去
im=imread('lena.jpg');
im=rgb2gray(im);
subplot(1,2,1);
imshow(im);
元画像
imout=medfilt2(im,[5,5]);
subplot(1,2,2);
imshow(imout);
メディアンフィルタ

73. まとめ
• MATLABの基礎
• 講義でやった部分の実装
講義で出てくる難しい話は基本MATLABの関数を用
いれば簡単に書ける
今回話せなかったことやこれから出てくる内容はホー
ムページを活用して何とかします…
(課題の回答はtwitterでこっそりあげてるよ)