2013 JOI春合宿 二日目講義

1. 2013 年 3 月 20 日 ＠ NTT DATA 駒場研修センター
第 12 回日本情報オリンピオック春季トレーニング合宿
様々な全域木問題
前原 貴憲 (@tmaehara)
国立情報学研究所

2. 自己紹介
• 前原 貴憲（まえはら たかのり）
• Twitter: @tmaehara
• Web: http://www.prefield.com (Spaghetti Source)
• 略歴：
2004 沼津工業高等専門学校卒
2007 東京大学 工学部 計数工学科卒
2012 東京大学大学院 情報理工学系研究科卒
現在 国立情報学研究所
• 専門分野：連続・離散最適化，数値計算
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3. 全域木問題
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4. 木・全域木
• 無向グラフ G = (V, E)，枝重み w : E → R
– V ：頂点集合，E ：枝集合
※基本的に連結なグラフだけ考える
– 木（tree）：閉路のない連結部分グラフ（枝集合）
– 森（forest）：閉路のない部分グラフ（木の集まり）
– 全域木（spanning tree）：すべての頂点を繋ぐ木
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5. 全域木に関する問題はとても多い！
しかも 効率的に解ける問題 がわりと多い
→ 効率的解法のテンプレ
• 全域木存在判定 • 最速全域木
• 最小全域木 • ロバスト最小全域木
• 最小比全域木 • 次数制約付全域木
• 凸最小全域木 • 葉最多全域木
• 逆最小全域木 • 確率的全域木
• 最小直径全域木 • 最小ラベル全域木
• 第 k 最小全域木 • シュタイナー木
.
• 最小全域有向木 .
.
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6. この講義の目標
• マイナーな全域木問題 を題材にして
• 解ける問題 の解法パターンを理解する
題材
• 最小全域木
• 最小直径全域木
• 葉指定最小全域木
• 逆最小全域木
• 最小比全域木
• 最小全域木 ×2
• 第 k 最小全域木
(EASY MEDIUM HARD)
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7. だいぶ難しい内容なので
全部理解できなくても大丈夫！
• 問題の定義・解法の方針が分かれば上出来
• 細かい部分が気になったら調べましょう（see: 参考文献）
【前提知識】
秋葉・岩田・北川：プログラミングコンテストチャレンジブック
Cormen-Leiserson-Rivest-Stein：アルゴリズムイントロダクション
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8. 最小全域木
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9. 最小全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R
• 問題：
重み和が最小の全域木を求めよ
3
1
1 2 3
2
2
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10. 最小全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R
• 問題：
重み和が最小の全域木を求めよ
3
1
1 2 3
2
2
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11. 最小全域木
• 入力：
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R
• 問題：
重み和が最小の全域木を求めよ
• 解答：貪欲法（Kruskal）
1. 枝の軽い順に採用していく
2. ただし，閉路ができる場合は無視
Q. なぜ貪欲で解けるか？ （→ どこまで拡張できるか？）
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12. 最適化問題を考える際の基本
{∑
e∈X w(e) 閉路なし
f (X) :=
+∞ 閉路あり
• 全部の X を調べると O(2m ) 時間
• もし f が 良い不等式 を満たすなら
全部調べなくても，一部だけ調べれば十分！
• 一番扱いやすい不等式：凸不等式（２つの解 ≥ 間の解）
Y f (X) + f (Y )
X
≥ 2f ((X + Y )/2)
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13. 最小全域木問題の凸不等式
{∑
e∈X w(e) 閉路なし
f (X) :=
+∞ 閉路あり
任意の e ∈ X Y に対し，e′ ∈ Y X がとれて
f (X) + f (Y ) ≥ f (X − e + e′ ) + f (Y + e − e′ )
-
Y Y ?
X-
e′ 6
X
e
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14. 凸不等式が成り立つこと（左辺有限 ⇒ 右辺有限）
f (X) + f (Y ) ≥ f (X − e + e′ ) + f (Y + e − e′ )
e
≥
e′
（よくある教科書の証明は，中でこれを示している）
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15. 凸不等式を使った証明
T ∗ 最適解，T 貪欲解について凸不等式を書く
f (T ) + f (T ∗ ) ≥ f (T − e + e′ ) + f (T ∗ + e − e′ )
∴ f (T ) ≥ f (T − e + e′ ) ∴ w(e) ≥ w(e′ )
- で成立：貪欲で e を追加したところに矛盾
- = で成立：T ∗ + e − e′ を T ∗ として繰り返す
→ 最終的に T = T ∗ になって証明完了
☆この証明が動くことが凸のうれしさ
☆一般に，この凸不等式を満たす関数は
貪欲で最小化可能（ → 離散凸 ）
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16. 最小全域木 まとめ
• 最小全域木問題は貪欲で解ける
関数が満たす不等式を考える
特に凸不等式が成り立つとハッピー
凸不等式が成り立てば貪欲で解ける
（「貪欲」１ステップが複雑な場合も；後述）
（例：w(X)2 の最小化など：凸不等式成立なので貪欲）
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17. 葉を指定した最小全域木
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18. 葉を指定した最小全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R+
頂点の部分集合 U ⊆ V
• 問題：
U が葉である 全域木の中で，重み和最小のもの
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19. グラフ問題の大原則：頂点問題 vs 枝問題
• 頂点に対する問題は解きにくい
• 枝に対する問題は解きやすい
頂点に対する問題 枝に対する問題
ハミルトンパス オイラーパス
頂点被覆 枝被覆
.
. .
.
. .
葉を指定した最小全域木：
「U を葉にする」（頂点条件）を 枝条件 で書き換える
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20. 頂点条件を枝条件で書き換える
(1) U 同士を繋ぐ枝を使わない
U を葉にする ⇐⇒ (2) U とそれ以外を繋ぐ枝を
|U | 本以上使わない
(1)：U 同士を繋ぐ枝は先に除去
(2)：全域木は少なくとも |U | 本 (2) 型の枝を使う
⇒ U の枝はできるだけ使わないようにする
∴ Kruskal 法の最初の枝ソートの部分を以下のように修正
(1) U 以外を繋ぐ枝（重み順ソート）
(2) U と U 以外を繋ぐ枝（重み順ソート）
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21. 葉を指定した最小全域木 まとめ
• 頂点条件を枝条件に書き換える
– U を葉にせよ ⇒ U と接続する枝を減らせ
⇒ Kruskal の変形版が適用可能
基本的に「頂点は難しい / 枝は簡単」
⇒ できるだけ枝条件であらわすようにする
（例：最長しりとり：文字列を枝に対応させる（オイラー路）
頂点に容量のある最大流：頂点を増やして枝容量に）
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22. 最小比全域木
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23. 最小比全域木
• 入力：
２種類の重み付きグラフ
G = (V, E), w1 , w2 : E → R0
• 問題：
w1 (T )
重み比 を最小化する全域木を出力
w2 (T ) ∑
wi (X) = e∈X wi (X)
TCO06 Finals (Div.1 Lv.3) PhoneNetwork
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24. パラメタを用いた分数関数の凸化
{
w1 (X)/w2 (X) 閉路なし
f (X) :=
+∞ 閉路あり
そのままでは 凸っぽくない ので・・・
f = t の分母を払った関数 gt （t を止めたら凸）
：
{
w1 (X) − tw2 (X) 閉路なし
gt (X) :=
+∞ 閉路あり
gt (X) ≤ 0 ⇐⇒ f (X) ≤ t
gt (X) ≥ 0 ⇐⇒ f (X) ≥ t
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25. パラメトリックアプローチ
f ：分数関数，g(t) = minT {w1 (T ) − tw2 (T )}
(1) min f (T ) = t∗ ⇐⇒ g(t∗ ) = 0
(2) g(t) は t の単調減少凹関数
（負の傾きの直線の min ）
g(t) 6
∗
-t
0 t
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26. g のゼロ点の計算方法
Find 0 = g(t∗ ), g(t) = minT {w1 (T ) − tw2 (T )}
• 方法１：二分探索
ゼロと大小比較して範囲を絞っていく
• 方法２：Dinkelbach の方法
(1) g(t(k) ) を計算，最小を与える解を T (k+1) とおく
(2) t(k+1) := w1 (T (k+1) )/w2 (T (k+2) ) と設定
（g(t) を支える直線に沿って進む）
☆ Dinkelbach は常に収束，高速（実用的＆理論的）
☆数値精度の問題が発生しづらい
☆実装難度は二分探索と大差なし
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27. 最小比全域木 まとめ
f (T ) := w1 (T )/w2 (T )
⇒ g(t) := min{w1 (T ) − tw2 (T )}
T
• f にパラメタを入れて 凸化
– g(t∗ ) = 0 ⇐⇒ min f (T ) = t∗ .
– g(t) は単調減少凹関数
• 二分探索 or Dinkelbach の方法
「比の最小化」は，ほぼこのパターンで解ける
何かを止めたら凸になるパターンは多い（解けるかは別）
（例：分散最小全域木 = 平均をパラメタにすると凸）
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28. 第 k 最小全域木
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29. 第 k 最小全域木
• 入力：
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R
正整数 k
• 問題：
重み和が k 番目に小さな全域木を出力
（注意：k = 1 のとき最小全域木）
ヒント 1：1 番目，2 番目，…と順番に求める
ヒント 2：同じ計算が多いので前処理する
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30. 簡単のため：第 2 最小全域木
(1) MST を計算
(2) MST の枝を 1 本使用禁止 にして再び MST 計算
MST のすべての枝 n 通りについて実行して min をとる
正当性：
•「2ndMST で使わない 1stMST の枝」が少なくとも 1 本存在
⇒ 「使わない枝」を禁止すると 2ndMST が出る
（どれが「使わない枝」か不明なので全部試す）
これを繰り返すと第 k も求まる！
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31. 第 k 最小全域木：優先度付き探索
Q ← (∅, MST)
while Q ̸= ∅
(banList, spanningTree) ← Q
print (spanningTree)
for each e in spanningTree:
newList ← banList ∪ {e}
newTree ← MST(newList)
Q ← (newList, newTree)
計算量：だいたい O(kmnα(n) + m log n)
同じ計算を何度もしているので，効率化できそう
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32. 前処理 1：絶対使う枝は縮約する
T ：全域木，枝 e ∈ T の 交換可能枝C(e)：
C(e) = {e′ ̸∈ T : T − e + e′ は全域木 }
⇐⇒ e′ の両端をつなぐ T 上の経路に e がある
全域木 T で枝 e を禁止するときの不可避なロス
mine′ ∈C(e) w(e) − w(e′ )
∴ 最小全域木中のロスが小さな k 本以外の枝は絶対使う
→ 先に縮約して k 頂点のグラフにしておく
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33. 前処理 2：絶対使わない枝は捨てる
T ：全域木，枝 e′ ̸∈ T の 交換可能枝C(e′ )：
C(e′ ) = {e ∈ T : T − e + e′ は全域木 }
⇐⇒ e′ の両端をつなぐ T 上の経路の枝
全域木 T で枝 e′ と交換するときの不可避なロス
mine∈C(e′ ) w(e) − w(e′ )
∴ 最小全域木外のロスが小さな k 本以外の枝は使わない
→ 先に捨てて 2k − 1 枝グラフにしておく
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34. 不可避ロスの計算
前処理 1：e ∈ T を禁止するときのロス計算
前処理 2：e′ ̸∈ T を使うときのロス計算
• 最小全域木上で 経路クエリ ができれば OK
前処理 1：e′ の両端経路上の枝について w(e′ ) で更新
前処理 2：e′ の両端経路上の枝について min w(e) を取得
• 木上の経路クエリ：
動的木・heavy-light 分解・etc... O(log n)
「完全制覇・ツリー上でのクエリ処理技法」参照
（2011 年 Competitive Programming Advent Calendar ＠秋葉）
前処理 1,2 のどちらも，O(m log n) で計算可能
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35. 第 k 全域木 まとめ
• 前処理 1 で k 頂点に減らす
• 前処理 2 で 2k − 1 枝に減らす
→ 最小全域木上の経路クエリ
• 優先度付き探索 O(k2 α(k) + n log n)
k-best 問題の基本は 優先度付き探索 + 枝刈り
優先度付き探索 の部分は使いまわせる
枝刈り の部分は問題特有になりがち
（「絶対使わない部分」 「絶対使う部分」に注目）
（最短路：USACO 2006 November Gold Roadblocks,
ICPC 2006 Asia Enjoyable Commutation）
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36. 最小直径全域木
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37. 最小直径全域木
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R+
• 問題：
全域木 T で，直径が最小のもの
（木の直径：二点対間距離の最大値）
ヒント：
「グラフのどまんなか」を探す
⇒ 「どまんなか」からの最短路木 = 最小直径全域木
SPOJ PT07C: The GbAaY Kingdom
SPOJ MDST: Minimum Diameter Spanning Tree
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38. グラフの絶対中心
グラフ G の絶対中心：maxv∈V d(c, v) が最小の点
絶対中心は頂点ではない可能性がある
6
c
絶対中心からの最短路木 = 最小直径全域木
⇒ どの枝の内側に絶対中心があるかを全部試す
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39. 枝の内点からの距離
枝 (u, v) の内点 c から w への距離：d(c, u) = t として
gw (t) = min{t + d(u, w), d(u, v) − t + d(v, w)}
c からの最遠頂点までの距離
g(t) = max gw (t)
w∈V
g(t) の最小値 = (u, v) 間に中心があるとしたときの半径
∴ すべての枝について，g(t) の最小値を計算すればいい！
w
u t v
6
c
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40. gw (t) の形；枝 (u, v) 内点から w への距離
gw (t) = min{t + d(u, w), d(u, v) − t + d(v, w)}
g(t) = max gw (t)
w∈V
傾き 1 と −1 の直線の min
gw (t) 6
d(u, w)
d(v, w)
-t
0 d(u, v)
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41. min g(t) の計算；枝 (u, v) 内からの最小径
gw (t) = min{t + d(u, w), d(u, v) − t + d(v, w)}
g(t) = max gw (t)
w∈V
∧ 型の端点を計算（切片でソート）
→ 上包絡線の一番低い点を出力 O(n log n)
g(t) 6
-t
0 d(u, v)
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42. 最小直径全域木 まとめ
• 最小直径全域木 = 絶対中心 からの最短路木
• 絶対中心の探索：∧ 型の端点（一次関数の交差）
計算量：
• 前処理：全点対間最短路 O(n3 ) （Floyd Warshall）
• 端点計算： O(mn)
（切片のソートは最短路計算のときに一緒に行える）
やや珍しいパターン
（例：施設配置問題；グラフの絶対中央値）
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43. 逆最小全域木
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44. 問題：逆最小全域木
• 入力：
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R
全域木 T
• 問題：
T が最小全域木になるような最小重み修正：
- T は重み w + p のときの最小全域木，
∑
- e |p(e)| 最小化
ヒント 1：T が MST であるための必要十分条件
ヒント 2：最低限必要な修正量を計算
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45. 最小全域木の必要十分条件（最適性基準）
{∑
e∈X w(e) 閉路なし
f (X) :=
+∞ 閉路あり
全域木 T が MST ⇐⇒ 任意の e ∈ T, e′ ̸∈ T について
f (T − e + e′ ) ≥ f (T )
=⇒ w(e)≤ w(e′ ) (e, e′ : 交換可能)
（どの交換可能枝を交換しても得しない）
- 得したら最小でないのは当然
⇒ 得する分だけは 最低限修正が必要
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46. 最低限必要な修正量
最低限必要な修正量は２部グラフマッチングでわかる
２部グラフ B = ({T, E T }, A)：
e, e′ 間に辺がある
⇐⇒ e, e′ は交換可能
（重み = 交換したときの得）
T ET マッチング = その対を同時に交換
最大重みマッチングの分だけは，絶対修正が必要
（負の辺 = 交換して損する辺は除いておく）
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47. 逆全域木問題の最大最小定理
min 重み変更量 = max マッチング
≥ は簡単（前ページ）
≤ は難しい；当面そういうものと覚えてもよい
e, e′ 間に辺がある
⇐⇒ e, e′ は交換可能
（重み = 交換したときの得）
T ET マッチング = その対を同時に交換
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48. 最大最小定理証明のアウトライン
(1) w + p に関する最適性基準を書き下す
∑
min e |p(e)| s.t. w + p の最適性基準
(2) T の枝は軽く・E T の枝は重くするはず，と考えて
絶対値を外しつつ，変数変換して形を整える
∑
min e q(e) s.t. q に関する条件
(3) 線形計画の双対定理を使って式をじっと眺める
→ マッチングの LP 表現になっている
最小費用流主双対アルゴリズムを使って得られる
ポテンシャルの性質を観察することでも証明可能
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49. 逆最小全域木 まとめ
• 最適性基準：どの枝を交換しても得しない
• 交換可能枝の間の二部グラフを作る
必要な修正量 ≥ マッチング
• 必要な修正量 = 最大マッチング 定理
⇒ 二部グラフ最大重みマッチング で解ける
既知のうまく解ける逆問題は，だいたいフローに帰着
（例：逆二部マッチング，逆最小カット，逆最短路＠ DAG）
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50. 最小全域木 ×2
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51. 最小全域木 ×2
• 入力
重み付きグラフ G = (V, E), w : E → R
• 問題
辺を共有しない（辺素な）全域木を２つ取り
重み和が最小になるようにせよ
ヒント 1：目的関数が凸になるように作る → 貪欲
ヒント 2：貪欲の 1 ステップごとに探索が発生
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52. うまくいかない関数定義
{
w(X) + w(Y ) 閉路なし・辺共有しない
g(X, Y ) =
+∞ それ以外
「辺共有しない」という条件のせいで凸にならない
（貪欲するときに X と Y のどちらに足すべきかが不明）
※ダメ解法：Kruskal で UnionFind×2 = この関数で貪欲
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53. 凸になる関数の定義
{
w(X) 閉路なし（森）
f (X) =
+∞ 閉路あり
{
w(X) X をうまく配分すると森 × 2
g(X) =
+∞ それ以外
g(X) + g(Y ) ≥ g(X − e + e′ ) + g(Y + e − e′ )
※ f と g の関係：畳み込み
g(X) = min {f (T ) + f (X T )} = f ∗ f
T ⊆X
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54. 凸なので貪欲で解ける（Kruskal と同じ）
{
w(X) X をうまく配分すると森 × 2
g(X) =
+∞ それ以外
for e ∈ E: 軽い順
if X ∪ {e}: 森 ×2
X = X ∪ {e}
必要なサブルーチン
X が森 ×2 に配分できるとき，
X ∪ {e} が森 ×2 に配分できるかの判定
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55. X ：森 ×2 に e を追加できるか
• X = {F1 , F2 }：森 ×2 の形を常に保持
• e を追加できるかどうか：交換手順を探索
(1) e が F1 に追加できれば終了
(2) できなかったら e の交換可能枝を列挙
それぞれについて F2 に追加を試みる 二部マッチング
(3) F1 , F2 交互に繰り返す 増加道探索と類似
• 最短手数の交換だけ探す：幅優先探索
(a) 同じ枝は何度もチェックしない
→ 探索中に 木を動的変更しなくてよい
交換枝の列挙：動的木を使えば全体で O(n2 )
☆ 列挙の順番を工夫すると動的木なしで O(n)
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56. {F1 , F2 } に枝 (u, v) を追加できるかの判定
前処理：(1) F1 , F2 を u が根になるように向き付ける
(2) 木の u 以外の頂点を白く塗り，u を黒く塗る
（黒：w より根に近い枝は全部探索済み，の意味）
L1 := [(u, v)] 根に近い側からテスト
for i = 1, 2, 1, 2, . . .: → 同じ枝を二回見ない
if Li = ∅: return false
Li+1 = ∅
for (x, y) ∈ Li :
if (x, y) が Fi に追加可能: return true
if x は白: swap(x,y) /* 一方は絶対黒 */
while y は白:
Li+1 .push front((y, p[y]))
y を黒く塗る，y ← p[y]
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57. 最小全域木 ×2 まとめ
{
w(X) X をうまく配分すると森 × 2
g(X) =
+∞ それ以外
• 凸なので貪欲で解ける
（※ただし貪欲の 1 ステップが複雑）
• 効率的に貪欲するには：
– X = {F1 , F2 } の形で保持
– 交換経路を探索
枝列挙順序を工夫して O(n)
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58. まとめ
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59. まとめ
• 最小全域木
• 最小直径全域木
• 葉指定最小全域木
• 逆最小全域木
• 最小比全域木
• 最小全域木 ×2
• 第 k 最小全域木
• 問題の定義・解答の方針
⇒ 興味の湧いた問題は調べてみましょう
（ここで述べた内容はだいたい「マトロイド」に拡張可）
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61. 演習問題 / 発展課題
• 分散最小全域木 [Katoh 1990]
∑
全域木の平均重みを µ(T ) = w(e)/(n − 1) とする．
∑
重みの分散，すなわち v(T ) = (w(e) − µ(T ))2 が
最小となる全域木を求めよ．
• 逆最小全域木（min-max 型）[Sokkalingam et al. 1996]
max |pi | が最小の修正を求めるアルゴリズムを与えよ．
• カラフル全域木 [Schrijver 2003]
枝に重みとラベル {1, 2, . . . n − 1} がついているとき
同じラベルが丁度 1 回ずつ現れる全域木のうち
最小重みのものを求めるアルゴリズムを与えよ．
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62. 演習問題 / 発展課題
• 次数制約付き最小全域木 [Garey-Johnson 1976]
各頂点の次数が b 以下となる全域木を求める問題は
NP-hard である．
• 葉最多全域木 [Garey-Johnson 1979]
葉の数が最多の全域木を求める問題は NP-Hard である．
• 全距離最小木 [Garey-Johnson 1979]
全頂点対の木距離の和が最小になる全域木を求める
問題は，すべての重みが 1 であっても NP-hard である．
• 全域木 + 木 [Bernath-Kiraly 2011]
全域木と全域とは限らない木を辺素に取れるかどうかを
判定する問題は NP-hard である．
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63. 演習問題 / 発展課題
• ランダムグラフの最小全域木 [Frieze 1985]
n 頂点からなる完全グラフで，各枝の重みが独立に
[0, 1] の一様分布に従うとき，最小全域木の重み期待値は
n → ∞ で ζ(3) = 1 + 1/23 + 1/33 + · · · に収束する．
※各 n に対する一般式は 2013 年 3 月現在未知．
• 全域木ゲーム [Lehman 1964]
2 人のプレイヤーが交互に次の操作を行う：
(P1) グラフの枝を取り除く
(P2) グラフの枝を固定する（以後取り除かれない）
操作ができなくなったときの残りのグラフが全域木のとき
P2 の勝利とする．辺素な全域木が 2 つとれることと P2 に
必勝法が存在することは同値である．
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64. 参考文献：最小全域木
• T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein (2009):
Introduction to Algorithms. 3rd eds., MIT Press.
• R. L. Graham and P. Hell (1985): On the history of the minimum
spanning tree problem. Annals of the History of Computing, vol.7,
pp.43-57.
• K. Murota (2003): Discrete Convex Analysis. SIAM Monographs
on Discrete Mathematics and Applications, vol.10, SIAM,
Philadelphia.
• J. Oxley (2003): What is a matroid? Cubo, vol.5, pp.179-218.
• A. Schrijver (2003): Combinatorial Optimization. Springer.
• 秋葉拓哉, 岩田陽一, 北川宜稔 (2012): プログラミングコンテストチャ
レンジブック. 2nd eds, マイナビ.
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65. 参考文献：最小比全域木
• R. Chandrasekaran (1977): Minimum ratio spanning trees.
Networks, vol.7, pp.335-342.
• W. Dinkelbach (1967): On nonlinear fractional programming.
Management Science, vol.13, pp.492-498.
• T. Radzik (1992): Newton’s Method for Fractional Combinatorial
Optimization. Proceedings of 33rd Annual Symposium of
Foundation of Computer Science, pp. 659-669.
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66. 参考文献：第 k 最小全域木
• D. Eppstein (1990): Finding the k-smallest spanning trees. 2nd
Scandinavian Workshop on Algorithm Theory, Bergen, Norway,
Lecture Notes in Computer Science, vol.447, pp.38-47.
• R. E. Tarjan (1979): Applications of path compression on balanced
trees. Journal of ACM, vol.26, pp.690-715.
• 秋葉拓哉 (2011): 完全制覇・ツリー上でのクエリ処理技法.
Competitive Programming Advent Calendar 2011-12-05,
http://topcoder.g.hatena.ne.jp/iwiwi/20111205/1323099376
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67. 参考文献：最小直径全域木
• R. A. Cunninghame-Green (1975): The absolute center of a graph,
Discrete Applied Mathematics,. vol.7, pp.275-283.
• R. Hassin and A. Tamir (1995): On the minimum diameter
spanning tree problem, Information Processing Letters, vol.53,
pp.109-111.
• J. Halpern (1979): A simple elimination criterion in a search for the
center of a graph, Management Science, vol.7, pp.287-293.
• O. Kariv and S. L. Hakimi (1979): An algorithmic approach to
network location problem I: the p centers, SIAM Journal on Applied
Mathematics, vol.37, no.513-518.
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68. 参考文献：逆最小全域木
• R. Ahuja and J. Orlin (2001): Inverse optimization, Operations
Research, vol. 49 pp.771-783.
• M. Cai and Y. Li (1997): Inverse matroid intersection problem ZOR
Mathematical Methods of Operations Research, vol.45 pp.235-243.
• C. Heuberger (2004): Inverse combinatorial optimization: A survey
on problems, methods, and results. Journal of Combinatorial
Optimization, vol.8, pp.329-361.
• P. T. Sokkalingam, R. K. Ahuja, and J. B. Orlin (1996): Solving
inverse spanning tree problems though network flow techniques.
Operations Research, vol.47, no.2.
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69. 参考文献：最小全域木 ×2
• J. Edmonds (1970): Submodular functions, matroids, and certain
polyhedra. Proceedings of the Calgary Conerence on Conbinatorial
Combinatorial Structures and Their Ppplications, pp.69-87.
• A. Frank (1981): A weighted matroid intersection algorithm.
Journal of Algorithms, vol.2, no.4, pp.328-336.
• H. N. Gabow and R. E. Tarjan, Robert (1984), Efficient algorithms
for a family of matroid intersection problems. Journal of
Algorithms, vol.5, no.1, pp.80-131.
• J. Roskind and R. E. Tarjan (1985): A note on finding
minimum-cost edge-disjoint spanning trees. Mathematics of
Operations Research, vol.10, pp.701-708.
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70. 参考文献：演習問題 / 発展課題
• N. Katoh (1990): An ϵ-approximation scheme for minimum
variance problems. Journal of the Operations Research Society of
Japan, vol.33, no.1 46-65.
• M. R. Garey and D. S. Johnson (1979): Computers and
Intracctability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H.
Freeman, New York.
• H. Fernau, J. Kneis, D. Kratsch, A. Langer (2011), M. Liedloff, D.
Raible, and P. Rossmanith: An exact algorithm for the maximum
leaf spanning tree problem. Journal Theoretical Computer Science,
vol.412, no.45, pp.6290-6302.
• A. Bernath and Z. Kiraly (2011): On the tractability of some
natural packing, covering and partitioning problems. Technical
Report.
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71. • A. M. Frieze (1985): On the value of a random minimum spanning
tree problem. Discrete Applied Mathematics, vol.10, pp.47-56.
• A. Frieze, M. Ruszink, and L. Thoma (2000): A note on random
minimum length spanning trees, The Electronic Journal of
Combinatorics, vol.7, R41.
• A. Lehman (1964): A solution to Shannon’s switching game.
Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics,
vol.12, pp.687-725.
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