1.
المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا قسم الاتصالات –
هندسة كثافة المرور الهاتفي
TeleTraffic Engineering
حلقة بحث لمقرر الاتصالات النقالة
تقديم: محمد الشريف
إشراف: د.أيمن السواح
28/03/2013

2.
تمهيد:
شهد العالم منذ نهاية القرن العشرين توسعاً متنامياً ومستمراً في أنظمة الاتصال النقالة وبرزت حاجة المشغلين إلى تخفيض الضغط على شبكة الاتصال
كعامل هام لتحسين جودة الخدمة. تأخذ هندسة كثافة المرور الهاتفي teletraffic engineering على عاتقها تطبيق نظرية هندسة كثافة المرور في مجال
الاتصالات. حيث يوظف العاملون في هذا المجال معرفتهم بالإحصاء ونظرية الأرتال queuing theory والنماذج العملية التي بين أيديهم لتخطيط
شبكات الاتصال كشبكات الاتصال الخليوية.
وترجع أصول نظرية كثافة المرور إلى عام 9191 م حين أجرى المهندس الدانمركي إيرلنج Agner Krarup Erlang تجاربه على مشكلة كثرة
المكالمات التليفونية وتعرض طالبو هذه المكالمات إلى التأخير لعدم قدرة عاملات التليفون على تنفيذ الطلبات الواردة بنفس السرعة التي تصل بها، وقد
عالج إيرلنج المشكلة بحساب التأخير بالنسبة لعاملة واحدة في ذلك الحين. وفي عام 9191 م تكرر البحث في تلك المشكلة ولكن بالنسبة لأكثر من عاملة
واحدة، ونشأت بذلك نظرية صفوف الانتظار وامتد استخدامها لحل العديد من المشكلات الإدارية المشابهة. وتستخدم الآن هذه النظرية على نطاق واسع
في جميع المنشآت الإنتاجية والخدمية كوسيلة رياضية لخدمة الادارة في اتخاذ أنسب القرارات حول هذه النوعية من المشكلات.
وبوجه عام تنشأ مشكلات صفوف الانتظار في حالتين:
.9 إذا كان معدل وصول العملاء طالبي الخدمة سريعاَ بدرجة تفوق معدل أداء الخدمة من جانب من يعمل بوحدة تأدية الخدمة.
.2 إذا كان معدل أداء الخدمة أسرع من معدل وصول العملاء، بمعنى وجود وحدات لتأدية الخدمة عاطلة بدون عمل.
هدف النظرية هو علاج المشكلة بشقيها للوصول إلى الموقف الأمثل الذي يحقق خفضاَ في وقت الانتظار لكل من العملاء ووحدات تأدية الخدمة بحيث
تصبح مدة الانتظار لكلاهما معاَ أقل ما يمكن.
وتجعل نظرية كثافة المرور الهاتفي teletraffic theory مفهوم الازدحام مقداراً قابلاً للقياس من خلال واحدات فيزيائية ونماذج رياضية واشتقاق
العلاقات مابين سوية الخدمة GoS و سعة النظام. وبالتالي فإن مهمة نظرية المرور الهاتفي هي تصميم أنظمة بتكاليف مخفضة قدر الإمكان تحقق سوية
خدمة مفروضة على النظام وذلك بالإعتماد على متطلبات الإزدحام المستقبلية وإمكانيات النظام. ليس هذا فحسب فإن من مهام هندسة المرور الهاتفي
تحديد الأساليب للتحكم بنظام الاتصال بحيث يحافظ على سوية الخدمة المطلوبة و تحديد التدابير العاجلة الواجب اتباعها للتعامل مع حالات الطوارئ
الناتجة عن الازدحام الكثيف في النظام أو عند حدوث أخطاء فنية. وهذا يتطلب:
 أساليب للتنبؤ بكثافة الازدحام
 أساليب لحساب إمكانيات النظام الاستيعابية
 مواصفات ومعايير كمية لتحديد مستوى الخدمة
يبنى النموذج على المشاهدات observation التي تتمثل بعدد المكالمات على الشبكة وهذا العدد يختلف حسب لحظات بدء وانتهاء المكالمات. وعلى
الرغم من ذلك فإن هناك عادات مشتركة لدى المستخدمين ينتج عنها نموذج متوقع لتغيرات الازدحام الهاتفي على مدار اليوم، إلا أنه من المستحيل توقع
لحظة طلب الاتصال أو مدة مكالمة. ولذلك نلجأ إلى استخدام أساليب إحصائية لتوصيف حالة الشبكة. ويبدو من الطبيعي أن نفصل كثافة المرور الهاتفي
إلى سيرورتين عشوائيتين:
 سيرورة لحظات طلب الاتصال arrival times
 سيرورة مدة المكالمة holding times
نفترض دائما أن هاتين السيرورتين مستقلتان عن بعضهما بمعنى أن مدة المكالمة مستقلة عن زمن طلب الاتصال. وبالتالي تتبع لحظات طلب الاتصال
توزع احتمالي مستقل عن التوزع الاحتمالي الذي تتبعه الأزمنة التي تستغرقها المكالمات. يبين الشكل ) 1 ( أهم المصطلحات المستخدمة في مجال كثافة
المرور الهاتفي:
الشكل ) 9 )

3.
طريقة توليد كثافة المرور وردور الفعل بين المشتركين:
تخزن المعلومات حول المشتركين ضمن قاعدة معطيات database ، إما أن يكون المشترك متاح على الشبكة available أوغير متاح non-available
وذلك فيما إذا كان هاتفه مشغلا أم لا. وفي حال كان المشترك متاحاً فهو إما أن يكون خاملاً Idle أو أن يكون متصلاً active . عندما يشغل المشترك هاتفه
فإنه يرتبط بشكل تلقائي مع قناة تحكم Control Channel وهي قناة راديوية تستخدمها المحطة القاعدية للتحكم أما بقية القنوات فهي قنوات المرور
Traffic Channels . تستخدم قناة التحكم للتعرف على المشترك وتسجيل دخوله إلى الشبكة و تستخدم كذلك في طور إنشاء الاتصال ليتم إحالة المشترك
من قناة التحكم إلى أحد قنوات المرور.
إذا كان المشترك A يريد الاتصال بالمشترك B فإنه قد ينتج عن ذلك إما مكالمة ناجحة أو محاولة اتصال فاشلة، في الحالة الأخيرة قد يلجأ المشترك A إلى
معاودة محاولة الاتصال وهذا سوف يولد سلسلة من محاولات الاتصال التي قد تكون فاشلة. يبين الشكل ) 2( أن نجاح محاولة إنشاء المكالمة يتعلق بعدة
احتمالات أخرى فيمكن أن تفشل المحاولة بسبب وجود خطأ في جهة المتصل A باحتمال Pe ، ويمكن أن تتعرض محاولة الاتصال إلى خطأ فني بشبكة
الاتصال أو خطأ ناتج عن احتقان شبكة الاتصال باحتمال Ps ، وفي حال وصلت محاولة الاتصال إلى وجهتها B فإنها تكون أمام ثلاث حالات: الأولى أن
يرفض المشترك B الرد على المكالمة واحتمال هذه الحالة هو Pn ، والثانية أن يكون المشترك B مشغول باتصال آخر مع مشترك آخر C واحتمال حدوث
هذه الحالة هو Pb ، والثالثة أن يرد المشترك B على محاولة الاتصال القادمة من المشترك A وفي هذه الحالة فقط تكون محاولة الاتصال ناجحة واحتمالها
هو Pa .
يبين الجدول ) 9( مثالين عن الاحتمالات الإحصائية لمنطقتين I و D :
ومن الشكل السابق نستنتج العلاقات:
باستخدام الأرقام الموجودة في الجدول السابق نجد أن احتمال نجاح محاولة الاتصال P{B-answer} هو 60% في المنطقة I و 20% في المنطقة D .
الشكل ) 2 )
الجدول ) 9 )

4.
تعاريف ومفاهيم في كثافة المرور الهاتفي:
كثافة المرور Traffic intensity هي عدد الموارد المحجوزة في لحظة زمنية معينة. ويمكن حساب المعاملات الإحصائية لكثافة المرور كالمتوسط
mean والتشتت variance خلال مدة محددة من الزمن T. فمثلا يمكن حساب متوسط كثافة المرور خلال زمن T من العلاقة:
حيث n(t) هي كثافة المرور اللحظية أي عدد الموارد المحجوزة في اللحظة t :) كما هو موضح في الشكل ) 3
تستخدم واحدة الإيرلنغ Erlang للتعبير عن كثافة المرور في أنظمة الاتصال بشكل عددي ويرمز لها بـ E . تم اعتماد هذا الإسم كواحدة لقياس كثافة
المرور عام 1946 م نسبةً إلى العالم الرياضياتي الدنماركي ايرلنغ A. K. Erlang ( 1878-1929 ( الذي يعتبر مؤسس نظرية المرور في الاتصالات. هذه
الواحدة ليست ذات أبعاد فيزيائية dimensionless . وتسمى كثافة المرور الإجمالية خلال زمن T بحجم المرور ويعبر عنه عادة بالايرلنغ الساعي
Erlang-hour(Eh) . إن الهدف من واحدة الايرلنغ هو مساعدة مصممي شبكات الاتصال الهاتفي على فهم نموذج الازدحام في شبكاتهم الهاتفية الذي يدلهم
على مدى كفاية الموارد على تغطية هذا الازدحام.
كثافة المرور المحملة AC ( Carried Traffic (: هي كثافة المرور التي تحددها سعة النظام أي هي كثافة المرور المحملة ضمن قنوات نظام الاتصال ولا
يمكن لكثافة المرور المتاحة أن تتجاوز عدد القنوات التي يملكها النظام. ويمكن للقناة الواحدة أن تحمل إيرلنغ واحد على الأكثر.
كثافة المرور المقدمة (offered traffic) A : تستخدم النماذج الرياضية هذا المفهوم وهو يعبر عن كثافة المرور اللحظية المقدمة من قبل المشتركين
بغض النظر عن السعة المرورية للنظام. أي أنها عدد المكالمات التي تسري في لحظة معينة في حال كان عدد القنوات لانهائي اً، وبالتالي كثافة المرور
وهو معدل عدد المكالمات المقدمة من قبل المشتركين في واحدة λ : المقدمة هو مقدار نظري لايمكن قياسه ولكن يمكن فقط تقديره من خلال المعاملين
الزمن والمعامل s متوسط مدة المكالمة.
وبالتالي فإن كثافة المرور المقدمة هي: .s λ A = وتوضح هذه العلاقة أن واحدة كثافة المرور عديمة البعد. ومن الجدير بالذكر أن كثافة المرور المقدمة هو
مقدار مستقل عن النظام الفعلي.على سبيل المثال إذا كانت كثافة المكالمات 5 call/minute ومتوسط مدة المكالمة λ= s=3 minutes فإن كثافة المرور
المقدمة تعادل 15Erlang . وحجم المرور المقدم خلال 8 ساعات هو 120 Erlang-hours .
يميز في بعض المراجع بين كثافة المرور المقدمة الكلية A وكثافة المرور المقدمة من قبل المستخدم Au=A/U وكثافة المرور المقدمة إلى القناة Ac=A/n
حيث U عدد المستخدمين في النظام و n عدد القنوات التي تمثل سعة النظام.
كثافة المرور الضائعة AL (Lost or rejected traffic) : هي الفرق بين كثافة المرور المقدمة وكثافة المرور المحملة وهي تمثل عدد المكالمات
المرفوضة بسبب انشغال كافة قنوات النظام، ويمكن تقليص كثافة المرور المرفوضة من خلال زيادة السعة المرورية للنظام.
إن كثافة المرور المقدمة هو معامل نظري يستخدم فقط في النماذج الرياضية وونماذج المحاكاة والمعامل الذي يمكن قياسه في الواقع هو كثافة المرور
المحملة التي تتعلق بخصائص نظام الاتصال المستخدم.
ومن الجدير بالذكر أنه في أنظمة تبادل المعطيات data transmission systems لا يتم الحديث عن مدة الخدمة لأنه لاوجود لمفهوم المكالمة في هذه
الأنظمة وإنما يكون التركيز حول بارامترات أخرى كحجم المعطيات المرسلة s والتي تمثل سرعة التراسل وتقدر φ مقدرة بالبايت أو البت، وسعة النظام
بواحدة البت في الثانية bits/sec φ . بالتالي فإن مدة الخدمة لمثل هذه الأنظمة هو النسبة s/ وتقدر النتيجة بالثانية. فإذا كان متوسط عدد التراسلات في
φ : فإن كثافة المرور المحملة هي λ الثانية هو s/ λ. = ϱ
الشكل ) 3 )

5.
إن كثافة المرور العظمى لا تحدث في نفس التوقيت في كل يوم لذلك نستخدم مفهوم ساعة الذروة الوسطي (time consistent busy hour) TCBH
وهي الساعة من النهار التي تكون فيها كثافة المرور عظمى مأخوذة كمعدل خلال فترة طويلة. في بعض الأيام قد تكون كثافة المرور العظمى أعلى من
كثافة المرور في ساعة الذروة ولكن كمعدل على مدار عدة أيام تكون كثافة المرور في ساعة الذروة هي الأعلى.
من القواعد التقريبية المفيدة والمستخدمة عملي اً اعتبار أن كثافة المرور خلال يوم ما تساوي إلى ثمانية أضعاف كثافة المرور في ساعة الذروة لهذا اليوم.
بمعنى أن ثلث سعة النظام الهاتفي فقط تستخدم خارج ساعة الذروة وهذا هو السبب في قيام بعض المشغلين بتخفيض الأسعار خارج ساعة الذروة. ويعرف
مفهوم سوية الخدمة GoS بأنه احتمال أن يكون المشترك قادراً على الاتصال في ساعة الذروة.
مفهوم رفض المكالمة والاحتقان:
لا تصمم أنظمة الاتصال بحيث يمكن لجميع المشتركين الاتصال في نفس الوقت. وبشكل عام تصمم أنظمة الاتصال بحيث تستوعب 5-8% من المشتركين
لإجراء المكالمات في نفس الوقت ضمن ساعة الذروة. ينبغي أن يشعر المشترك أنه غير مقيد في استخدام موارد نظام الاتصال حتى ولو كان يتشارك بها
مع العديد من المشتركين. إن معدات وموارد نظام الاتصال تكون محدودة لأسباب اقتصادية، ولذلك فإنه من الممكن ألا يتمكن أحد المشتركين من إنشاء
المكالمة وإنما عليه الانتظار أوإعادة المحاولة حتى يتم قبوله وبالتالي نميز نوعين من الأنظمة الهاتفية حسب طريقة تعاملها مع المكالمات المرفوضة وهي:
.9 أنظمة تتجاهل الاتصال المرفوض كلياً وعندها يقوم المشترك بإعادة محاولة الاتصال وتسمى مثل أنظمة النموذج Erlang-B أو أنظمة الفقد ايرلنغ.
.2 أنظمة تضع الاتصال المرفوض على لائحة الانتظار ريثما يخرج النظام من حالة الاحتقان تسمى بأنظمة النموذج Erlang-C أوأنظمة التأخير ايرلنغ.
عند انشغال نظام الاتصال بشكل تام بحيث لايكون قادر على إنشاء أي مكالمة إضافية نقول أن النظام في حالة احتقان. يعبر عن الاحتقان بثلاث طرق:
 Call congestion (B) وهو عدد محاولات إنشاء الاتصال التي يتم رفضها بسبب احتقان شبكة الاتصال.
 Time congestion (E) زمن الاحتقان: وهو المدة الزمنية التي يكون فيها النظام في حالة احتقان.
 Traffic congestion (C) كثافة الاحتقان: وهو الجزء من كثافة المرور المقدمة الغير محملة على الشبكة.
نموذج ايرلنغ بي Erlang-B Model :
تقوم أنظمة ايرلنغ بي على النموذج الموصف بثلاث عناصر هي البنية Structure :) والاسترتيجية و كثافة المرور المبينة في الشكل ) 4
I . البنية Structure : حيثر اعتبر ايرلنغ أن النظام مؤلف من n قناة متماثلة )حصص ترددية trunks ، حصص زمنية slots ، ومخدمات servers )
التي تعمل مع بعضها على التوازي.
II . الاسترتيجية Strategy : يقبل النظام تخديم الزبون القادم )طلب المكالمة( إذا كان لديه على الأقل قناة واحدة فارغة، حيث أن كل مكالمة تحتاج إلى
قناة واحدة فقط. يكون النظام مشغولا إذا كانت جميع قنوات النظام ممتلئة ونقول أن النظام محتقن Congested وعندها تكون جميع محاولات
الاتصال مرفوضة )محجوبة( blocked . محاولات الاتصال المرفوضة يمكن أن يتم قبولها لاحقا إذا قام المشترك بإعادة المحاولة وكانت إحدى
قنوات النظام فارغة. هذه الاسترتيجية مازالت مطبقة منذ سنين في أنظمة الاتصال وتسمى بنموذج ضياع ايرلنغ Erlang's Loss Model . هناك
ثلاث طرق للبحث عن القناة الفارغة:
 التصيد العشوائي Random hunting : يتم اختيار قناة بشكل عشوائي من بين القنوات الفارغة. بحيث يكون لكل قنوات النظام نفس
معدل كثافة المرور.
 التصيد الخطي ordered hunting : ترقم القنوات 1,2,…..n ويتم البحث عن القناة الفارغة وفق هذا الترقيم حيث يتم البدأ بالقناة ذات
الرقم واحد وصولا إلى القناة رقم n .
 التصيد الحلقي cyclic hunting : شبيه بالتصيد الخطي لكن لا يتم البدأ من القناة ذات الرقم واحد وإنما تكون بداية البحث اعتبارا من رقم
القناة الفارغة التي تم ايجادها في عملية البحث السابقة.ويكون لكل قنوات النظام نفس معدل كثافة المرور.
الشكل ) 4 )

6.
III . كثافة المرور traffic : اعتبر ايرلنج الفرضيات التالية:
 طلب في واحدة الزمن. λ تصل طلبات الاتصال إلى النظام وفقا لسيرورة بواسون وبمعدل
 مدة المكالمة holding times μ متوسط مدة المكالمة هو ( μ تتبع توزع أسي بمعدل 1/ .)
يسمى هذا النوع من كثافة المرور بـ Pure Chance Traffic type One, PCT-I وتكون كثافة المرور المقدمة في هذه الحالة هي معدل عدد
طلبات الاتصال خلال مدة المكالمة الوسطي أي:
يمكننا من خلال العلاقة A=λ/μ تعريف الايرلنغ كما يلي:
λ
وبالتالي فإن الايرلنغ هو كثافة المرور في نظام يكون فيه معدل الوصول يساوي معدل التخديم، أي هو كثافة المرور في نظام اتصال يكون الزمن الوسطي
الفاصل بين طلبي اتصال يساوي المدة الوسطية للمكالمة ، ويعبر الايرلنغ عن استخدام مستمر لقناة صوتية واحدة،
فإذا كانت كثافة المرور أكبر من ايرلنغ واحد:
λ
وبالتالي معدل الوصول أكبر من معدل التخديم أي أن الزمن الفاصل بين طلبي اتصال متتاليين أقل من مدة المكالمة وبالتالي هناك احتمال حدوث احتقان
في النظام.
أما إذا كانت كثافة المرور أقل من ايرلنغ واحد فتحدث الحالة المعاكسة أي يكون معدل الوصول أقل من معدل التخديم أي أن الزمن الفاصل بين اتصالين
متتاليين أكبر من مدة المكالمة وبالتالي هناك هدر في الموارد في مثل هكذا أنظمة.
وعلى سبيل المثال إذا كان لدينا نظام اتصال تجري فيه 30 مكالمة في الساعة و المدة الوسطية للمكالمة 5 دقائق إن واحدة الايرلنغ عديمة البعد وبالتالي
يجب توحيد واحدة الزمن:
λ λ
نفترض أن عدد قنوات الاتصال هو n، ونعرف حالة النظام i بأنها عدد القنوات المشغولة i ( i= 0,1,……n ( يبين الشكل ) 5 ( مخطط انتقال الحالة في نظام
اتصال ذو النموذج PCT-I :
ومن الواضح أن السيرورة بسيطة حيث أن الانتقالات تتم فقط إلى الحالتين المجاورتين فإذا كانت السيرورة في الحالة [i] فإنها ستقفز إلى الحالة [i+1]
مرة في واحدة الزمن وستقفز إلى الحالة λ بمعدل [i-1] μ بمعدل i. مرة في واحدة الزمن. حيث أنه إذا كان لدينا i قناة مشغولة فإن كل قناة منها سوف
μ تصبح فارغة بعد زمن وسطي 1/ μ( أي أن معدل إنهاء المكالمة هو (i. مكالمة في واحدة الزمن. فمثلا إذا كانت المدة الوسيطية للمكالمة 100 ثانية
وكان النظام في الحالة [i=1000] أي لدينا ألف قناة مشغولة فيكون معدل إنهاء المكالمة هو 1000/100 أي لدينا عشرة قنوات فارغة في الثانية.
حتى يكون النظام متوازنا يجب أن يكون معدل وصول النظام إلى الحالة [i] يساوي معدل مغادرته لها، وبالتالي تكون معادلة التوازن من أجل الحالة [0] :
حيث p(i) هو احتمال كون النظام في الحالة [i] ، وبالتالي .p(0) هو عدد مرات مغادرة النظام من الحالة λ [0] في واحدة الزمن، و .p(1) هو عدد μ
مرات وصول النظام إلى الحالة [0] في واحدة الزمن.
الشكل ) 5 )

7.
وبنفس الطريقة نجد أن معادلة التوازن من أجل الحالة [i] هي :
تسمى هذه المعادلة بمعادلة توازن العقدة، هناك نمط آخر لمعادلة التوازن يعتمد على كون معدل طلبات إنشاء الاتصال في واحدة الزمن يساوي معدل إنهاء
المكالمة في واحدة الزمن، أي أن عدد الانتقالات من الحالة [i] إلى الحالة [i-1] في واحدة الزمن يساوي عدد الانتقالات من الحالة [i-1] إلى الحالة [i] :
تسمى هذه المعادلة بمعادلة توازن القطعة cut balance equation حيث يقصد بالقطعة السهمين المتعاكسين بين عقدتين متجاورتين.
إن عدد القنوات المشغولة i هو متحول عشوائي ويبرهن في حال كان عدد قنوات النظام لانهائياً على أنه يخضع لتوزع بواسون ويعطى بدلالة كثافة
المرور المقدمة A=λ/μ بالعلاقة:
بمتوسط يساوي التشتت ويساوي كثافة المرور المقدمة m=흈2=A . إذا التوزع البواسوني يحكم أزمنة وصول طلبات الاتصال ويحكم عدد القنوات
المشغولة ولذلك نقول أن توزع بواسون محقق في الزمان والمكان.
أما في حال كان عدد قنوات النظام محدوداً بـ n قناة وهي الحالة الواقعية فإن عدد القنوات المشغولة تتبع مايسمى بتوزع بواسون المقتطع truncated Poisson distribution والذي يعطى بالعلاقة:
وبالتالي:
[ ]
صيغة ايرلنغ بي Erlang 's B-formula :
)9 زمن الاحتقان: إن احتمال أن تكون كافة قنوات النظام التي عددها n قناة مشغولة في لحظة زمنية عشوائية يمكن حسابه من علاقة p(i) بجعل i=n :
تسمى هذه العلاقة بصيغة إيرلنغ باء الشهيرة بـ Erlang 's B-formula ومن الواضح أنها صيغة لحساب احتمال احتقان النظام أو بعبارة أخرى احتمال
رفض المكالمة أو سوية الخدمة GoS .
)2 المكالمات المرفوضة خلال فترة الاحتقان Call congestion : احتمال أن تفشل محاولة اتصال عشوائية تساوي إلى النسبة بين معدل عدد
المكالمات المرفوضة في واحدة الزمن إلى معدل عدد محاولات الاتصال المقبولة في واحدة الزمن ويساوي إلى احتمال انشغال كافة قنوات النظام
أي:
)3 كثافة المرور المحملة: إذا استخدمنا معادلة توازن القطعة بين الحالتين [i] و [i-1] ثم جمعنا المعادلات الناتجة من أجل i=0,1,…n يكون لدينا:
كثافة المرور المحملة ستكون أقل من عدد القنوات الأعظمي n وأقل من كثافة المرور المقدمة A .
)4 كثافة المرور الضائعة: وهي الفرق بين كثافة المرور المقدمة وكثافة المرور المحملة:
)5 كثافة الاحتقان: وهي النسبة بين كثافة المرور الضائعة إلى كثافة المرور المقدمة:

8.
وبالتالي لدينا En=Bn=Cn لأن معدل وصول طلبات الاتصال λ لايتعلق بحالة النظام تسمى هذه الأنظمة بالأنظمة من النمط PASTA . يبين الشكل ) 6 )
احتمال رفض إنشاء الاتصال P(n) كتابع لكثافة المرور المقدمة A وذلك من أجل حالات مختلفة لسعة النظام n .
ونلاحظ من الشكل أن احتمال رفض المكالمة يتناسب طرداً مع كثافة المرور المقدمة إلى النظام و عكساً مع سعة النظام. في الحقيقة نهتم عملياً باحتمال
رفض المكالمة الأقل من 10% حيث نعتبر أن نظام الاتصال مرفوضاً إذا زاد احتمال رفض المكالمة عن هذا الحد. يبين الشكل ) 7 ( المخطط الذي يربط
احتمال رفض المكالمة بسعة النظام وكثافة المرور في النظام والذي يسمى مخطط ايرلنغ:
الشكل ) 6 )
الشكل ) 7 )

9.
فإذا كان لدينا نظام بسعة n=5 قنوات فللحصول على احتمال رفض مكالمة GoS=0.005 باستخدام مخطط ايرلنغ يجب ألا تتعدى كثافة المرور المقدمة
للنظام A=1.2Erlang . فإذا كانت كثافة المرور المقدمة من قبل المستخدم الواحد هي Au=0.1 فيكون باستطاعة النظام أن يستوعب U=A/Au=12
متصل في نفس الوقت.
لنحسب الآن كثافة المرور في كل قناة من قنوات النظام أي لنحسب كثافة المرور في القناة i تسمى هذه الكثافة بازدحام القناة utilization ، في الحقيقة
تعتمد كثافة المرور التي تتحملها كل قناة على طريقة المتبعة في البحث عن القناة الفارغة )التصيد hunting ( وهناك كما ذكرنا سابقا ثلاث طرق وهي:
التصيد العشوائي والتصيد الخطي والتصيد الحلقي.
في حالة التصيد العشوائي والتصيد الحلقي تحمل كل القنوات نفس كثافة المرور وبالتالي يكون الازدحام من كل قناة هو:
أما في حالة البحث بالتصيد الخطي تكون كثافة المرور المحملة في القناة i تساوي الفرق بين كثافة المرور الضائعة من القناة الـ i-1 وكثافة المرور
الضائعة من القناة i أي:
تابع التحسن imeovement function :
يدل هذا التابع على مقدار الزيادة في كثافة المرور التي يمكن حملها من قبل النظام في حال زدنا عدد قنوات النظام بمقدار واحد أي من n إلى n+1 :
مدة البقاء في الحالة [i] : إن مدة البقاء في الحالة i تتبع التوزع الأسي λ+i.μ بحيث يكون تابع الكثافة الاحتمالية لها هو:
لصيغة ايرلنغ الثانية صيغة أخرى تستخدم في الحسابات اليدوية تسمى بالصيغة العودية :
مثال عملي حول استخدام صيغة ايرلنغ باء:
لنعتبر نظام الاتصال الذي يحقق نموذج ضياع ايرلنغ Erlang's Loss Model الذي يملك n=6 قناة وبمعدل وصول طلب اتصال λ C second
وبمعدل إنهاء المكالمة μ=1 Call/second وبالتالي تكون كثافة المرور المقدمة للنظام A = λ/μ = 2 Erlang . باستخدام صيغة ايرلنغ باء نحسب
الاحتمالات q(i) وهي احتمالات انشغال i قناة من النظام ثم نحسب الاحتمال المقـيَّس p(i) الموافق لكل منها كما هو موضح في الجدول ) 2 :)
وتكون لدينا خواص الاحتقان التالية:
الجدول ) 2 )

10.
إذن احتمال رفض المكالمة هو 1.21% ونلاحظ أن E=C=B وهذا يعود إلى كون النظام يتمتع بخواص النمط PASTA . ويمكن الحصول على النتيجة
نفسها باستخدام صيغة ايرلنج العودية:
صيغة ايرلنغ الثانية الموسعة Extended Erlang B-formula :
في التطبيقات العملية يستخدم تعميم لصيغة ايرلنغ الثانية يأخذ بعين الاعتبار أن قنوات النظام غير معدودة بمعنى أنها عدد حقيقي x بما في ذلك القيم
السالبة، وهو ما يطلق عليه اسم صيغة ايرلنغ الموسعة:
حيث تابع غاما هو:
ويبقى الشكل العودي محققا في صيغة ايرلنغ الموسعة حيث:
إذاً صيغة ايرلنغ تابعة فقط لكثافة المرور المقدمة A وعدد القنوات في النظام الذي يمكن في الحالة العامة أن يكون عدد حقيقي سالب. ويمكن البرهان
رياضياً على أن مشتق صيغة ايرلنغ الثانية بالنسبة لـ A هو:
أما المشتق بالنسبة لعدد القنوات n فيعطى بالعلاقة التالية:
يمكن تقريب صيغة ايرلنغ الثانية من خلال الصيغة التقريبية التالية:

11.
نموذج ايرلنغ سي Erlang-C model :
إن نموذج إيرلنغ سي شبيه بنموذج ايرلنغ بي ويختلف عنه فقط في طريقة تعامله مع طلبات الاتصال أثناء الاحتقان، فعند وصول طلب اتصال إلى النظام
وهو في حالة احتقان فإنه يضع الطلب في رتل انتظار غير منتهي نظرياً ريثما يخرج النظام من وضع الاحتقان، و بالتالي فإن طلبات اتصال يتم قبوله
وفقاً لتسلسل وصولها FCFS(First come First Served) . وكما هو الحال في نموذج ايرنغ بي، نتفترض أن أزمنة الوصول تتبع توزع بواسون و تتبع
مدة المكالمة توزع أسي. تسمى مثل هذه الأنظمة بـأنظمة تأخير ايرلنغ Erlang's delay system .
تختلف أنظمة تأخير ايرلنغ عن أنظمة ضياع ايرلنغ في محددات سوية الخدمة، ففي أنظمة التأخير يختفي مفهوم احتمال رفض طلب الاتصال blocking ،
وتستخدم مفاهيم أخرى مثل: احتمال التأخير، متوسط طول الرتل و متوسط زمن الانتظار.
لنعتبر لدينا نظام تأخير ايرلنغ ذو الرتل M/M/n بسيرورة وصول بواسونية (M) وسيرورة تخديم أسية (M) و عدد القنوات التي يملكها النظام n قناة
وعدد أماكن الانتظار لانهائي. نعرف حالة النظام بأنها عدد الزبائن على الخط سواء كانوا قيد الاتصال أو قيد الانتظار وبالتالي يمكن لحالة النظام أن تكون
لانهائية كما هو موضح بالشكل (8) التالي:
وبنفس الإجرائية التي أجريناها في نموذج ايرلنغ بي، نستنتج العلاقة التدريجية لمعادلة توازن القطعة للنظام:
وبالأخذ بعين الاعتبار أن A=λ/μ هي كثافة المرور المقدمة نحصل على علاقة احتمالات الحالة المستقرة للنموذج:
الشكل ) 8 )

12.
ونحصل على قيمة P(0) بتطبيق التقييس التالي:
أي:
إن القوس الداخلي في العلاقة السابقة يحوي بداخله متتالية هندسية أساسها هو النسبة A/n ، حتى يكون النظام متوازناً يجب أن تكون كثافة المرور المقدمة
لشبكة الاتصال أقل من عدد القنوات المتاحة من قبل النظام أي A<n ، وإلا فإن الرتل سوف يتابع الزيادة إلى اللانهاية وعندها سيكون زمن الانتظار
الوسطي لانهائي اً وبالتالي فشل الخدمة.
إذن نعتبر A<n وبالتالي:
صيغة ايرلنغ سي Erlang-C formula :
إن سيرور الوصول البواسونية مستقلة عن حالة النظام، وبالتالي فإن احتمال أن ينتظر مشترك قادم في لحظة ما في رتل الانتظار يساوي إلى احتمال - -
انشغال جميع القنوات المتاحة من قبل النظام. إن زمن الانتظار هو متحول عشوائي W ، ويكون لدينا:
وهكذا نرى أن صيغة ايرلنغ سي تعبر عن احتمال التأخير )احتمال الانتظار( والذي يعتمد على n عدد القنوات المتاحة في نظام الاتصال والنسبة
A=λ/μ ، وتسمى هذه الصيغة بعدة أسماء أشهرها صيغة ايرلنغ سي، أوصيغة ايرلنغ الثانية أو صيغة صغة ايرلنغ لأنظمة الانتظار وتكتب بعدة طرق:
ويكون احتمال أن يخدم المشترك فوراً دون إي انتظار هو:

13.
أما كثافة المرور المحملة Y فهي تساوي كثافة المرور المقدمة A ويمكن استنتاج ذلك كالتالي:
إن طول الرتل هو أيضاً متحول عشوائي L ، احتمال أن يكون لدينا زبائن في الرتل في لحظة زمنية معينة هو:
التحقيق الرقمي لصيغة ايرلنغ سي:
كما رأينا فإن صيغة ايرلنغ سي شبيهة بصيغة ايرلنغ بي باستثناء المعامل n/(n-A) الذي تنتج صيغة ايرلنغ سي عن صيغة ايرلنغ بي بضربه بها. وقد
أوجدنا سابقا العلاقة العودية الدقيقة لصيغة ايرلنغ بي وبالتالي نستنتج منها العلاقة العودية لصيغة ايرلنغ سي:
حيث y هي كثافة المرور المحمولة على قناة واحدة في نظام الفقد ايرلنغ التي رأيناها سابقا:
ونستنتج من ذلك أن:
أما في حالة A>n أي إذا كانت كثافة المرور أكبر من عدد القنوات المتاحة فيكون عندها احتمال التأخير يساوي الواحد أي أن جميع الزبائن يتعرضون
للتأخير أي:
ومن الجدير بالذكر أن هناك علاقة عودية شهيرة بين صيغة ايرلنغ سي وصيغة ايرلنغ بي هي:

14.
يبين الشكل التالي مخطط ايرلنغ سي الذي يمكن من خلاله تحديد الثلاثية )احتمال التأخير، سعة النظام، كثافة المرور المقدمة(:
من المعاملات الهامة في أنظمة تأخير ايرلنغ هي الطول الوسطي للرتل أو ما يسمى أيضا الطول الافتراضي للرتل ويحسب كمايلي:

15.
ويكون الزمن الوسطي للانتظار هو:
أما تابع التحسن فيعبر عنه بعدة عبارات منها انخفاض كثافة المرور المحمولة عند زيادة سعة النظام من n قناة إلى n+1 قناة:
أو انخفاض الطول الوسطي للرتل بإضافة قناة واحدة إلى النظام:
أو انخفاض الزمن الوسطي للانتظار عند إضافة قناة واحدة إلى النظام:
المراجع:
Villy B. Iversen: TELETRAFFIC ENGINEERING and NETWORK PLANNING. Technical University of Denmark. May 2010
مدخل إلى نظرية الأرتال، د.علي أبو عمشة، تموز 2007