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Materiales de dibujo técnico                              Gomas de borrar:
                                                                                                                                          La goma de borrar lápiz ha de ser blanda, flexible y de color claro. Hay que borrar con suavidad y
                                                                                                                                          despacio, siempre en el sentido del trazo, y no con movimientos de vaivén para no producir
                                                                                                                                          arrugas en el papel.
                                                                                                                                          La goma de borrar tinta es más dura y se le ha incorporado un abrasivo que, al frotar quita una
                                                                      Lápices de grafito:                                                 capa fina de papel y, con ella, el trazo de tinta.
                                                                      Los lápices de grafito tienen una mina protegida por una cubierta   Existen otro tipo de gomas de tinta (indicadas para papel vegetal) que tienen, en lugar del abrasi-
                                                                      de madera. También se puede usar la mina dentro de un portami-      vo, un disolvente con el que consiguen eliminarla.
                                                                      nas. O en barra, que nos permite hacer trazos muy gruesos.          Actualmente se pueden encontrar en el mercado portagomas. Poseen un mecanismo similar a
                                                                      La mina es un compuesto de carbón y arcilla mezclados a altas       los portaminas por lo que se puede sacar y meter la goma lo necesario. Se suelen emplear para
                                                                      temperaturas. Las minas que poseen más arcilla son más duras        borrar trazos pequeños. Su misma función se puede conseguir utilizando una cuña de goma
                                                                      y manchan menos. Por el contrario, cuanta menos arcilla lleven      con
                                                                      son más blandas y el negro que producen es más intenso (dibujo      seg
                                                                      artístico), y por tanto más difíciles de borrar. Por eso, para el   uid
                                                                      dibujo técnico se usan minas duras y que manchan menos.
                                                                      La dureza de las minas suele indicarse con números o con siglas,
                                                                      formadas por letras y números. la escala numérica está gradua-
                                                                      da desde 00, 0, 1, hasta 9, aunque lo normal es que sólo encon-
                                                                      tremos una graduación del 1 al 4. La escala alfanumérica
                                                                                                                                                                                           a mediante el corte con una cuchilla. portagomas
                                                                                                                                                                                                          portagomas y goma de
                                                                      comienza en 6B (la más blanda) y llega hasta 9H (la más dura)
                                                                      pasando por durezas intermedias como 2B, B, HB, F, H, 2H.
                                                                      El significado de las siglas es el siguiente:
                                                                                B = Black = Negro
                                                                                F = Firm = Fijo                                                                                                                                         0.7 - HB
                                                                                H = Hard = Duro
                                                                                                                                                                                                                                        0.5 - 2H
                                                                                HB = Hard-black = Semiduro
                                                                      La equivalencia entre las dos escalas , al menos en lo que
                                                                      podemos encontrar normalmente en el mercado escolar es : 1 =                 portaminas                                                                           0.3 - 3H
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      B, 2 = HB, 3 = H, 4 =2H.
                                                                                                                                                                                                      diferentes recambios de minas,
                                                                      Portaminas:                                                                                                                              por su grosor y dureza
                                                                      Existen portaminas de diferentes grosores: 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 y 2
                                                                      mm. El de 0.5 mm es el más utilizado en dibujo técnico. El de 2
                                                                      mm es el más versátil porque permite trazar líneas de distinto
                                                                      espesor e intensidad.
                                                                      Tanto el lápiz como el portaminas hay que manejarlos con                                                          adaptador universal
                                                                                                                                                                                y adaptador para estilógrafo
                                                                      suavidad y soltura. El trazo producido sobre el papel se debe
                                                                      poder suprimir con la goma de borrar cuando no sea necesario o
                                                                      nos hayamos equivocado. Si al dibujar la línea se aprieta dema-
                                                                      siado se produce un pequeño surco que resulta imposible de
                                                                      quitar con la goma.
                                                                      Durante el trazado de las líneas en dibujo técnico es conveniente
                                                                      girar lentamente el lápiz o portaminas entre los dedos, de
                                                                                                                                          Compás:
                                                                      manera que la mina se gaste uniformemente y el trazo sea igual
                                                                                                                                          Es un instrumento que se emplea para trazar arcos y circunfe-
                                                                      en toda su longitud.
Materiales de dibujo técnico

                                                                                                                                                                                                                        borde recto

                                                                      rencias, y para transportar medidas. Está compuesto por dos                                                                                       borde con bisel
                                                                      brazos articulados por un extremo, y, abrazando a dicha articula-
                                                                      ción, una pieza sobre la que se acopla una pieza cilíndrica
                                                                      estriada.                                                                                                                                         borde con escalón
                                                                                                                                                                      brazos del compás
                                                                      En un extremo de uno de los brazos hay una aguja de acero. El
                                                                      otro brazo tiene, algo más abajo de su mitad, un tornillo de
                                                                      presión que permite acoplar y desacoplar el soporte de la mina y                                            8 a 10 mm          Secciones de bordes de plantillas
                                                                      otros piezas diferentes como puede ser el adaptador.
                                                                      La mina del compás debe estar afilada en forma de cuña y se         misma longitud
                                                                      colocará en el compás de manera que la parte más fina quede lo
                                                                      más interior posible.
                                                                      Los brazos del compás deben quedar con la misma longitud. Si
                                                                      no fuese así, quedaría cojo y no nos permitiría dibujar circunfe-
                                                                      rencias de radio pequeño.
                                                                      Tanto la aguja como la mina deben sobresalir, al menos, 5 mm
                                                                      de los extremos de los brazos., siendo recomendable entre 8 y 10                                                         60º
                                                                      mm.                                                                                                   45º
                                                                      El manejo del compás se hará con una sola mano, tomándolo por
                                                                      la parte cilíndrica estriada con los dedos pulgar e índice. El           135º                   90º                                 90º                      120º
                                                                      trazado de circunferencias o arcos se llevará a cabo siguiendo el
                                                                      giro de las manecillas del reloj para los diestros, y en sentido
                                                                      contrario para los zurdos.                                                           escuadra                                                  cartabón
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      Regla:
                                                                      Su longitud oscila normalmente entre los 30 y los 60 cm y suele
                                                                      llevar una graduación en milímetros y centímetros.                      ÁNGULOS CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN                                               75º
                                                                      Se emplea para trazar rectas y para transportar o medir segmen-
                                                                      tos.
                                                                      Si se desea transportar sobre una recta unas dimensiones
                                                                      dispuestas de manera consecutiva se debe ha cer sin mover la                                                            105º
                                                                      regla para cada nueva medida. No se debe usar el compás para
                                                                      tomar directamente las dimensiones sobre la regla, puesto que la
                                                                      deterioraremos y cometeremos imprecisiones.

                                                                      Escuadra y cartabón:
                                                                                                                                                  15º                                                                165º
                                                                      Son plantillas de forma triangular y pueden llevar adosada una
                                                                      graduación en centímetros y milímetros. Las hay con bordes
                                                                      biselados o con un pequeño escalón para facilitar el trabajo a
Materiales de dibujo técnico


                                                                      tinta, pero son más aconsejables las de borde recto. Aquellas,
                                                                      cuando se usan juntos la escuadra y cartabón, suelen encajarse
                                                                      dificultando su manejo.
                                                                      La escuadra tiene forma de triángulo rectángulo isósceles. sus
                                                                      ángulos son por tanto: dos de 45º y uno de 90º.                                  paralelas a una dirección
                                                                      El cartabón es un triángulo rectángulo escaleno con ángulos de         1. apoyar la hipotenusa de la escuadra en la dirección
                                                                      90º, 60º y 30º.                                                        2. fijar el cartabón
                                                                                                                                             3. desplazar la escuadra y trazar paralelas
                                                                      Ángulos con la escuadra y el cartabón:
                                                                      Los ángulos que se pueden formar directamente con la escuadra
                                                                      son de 45º, 90º y 135º. Con el cartabón son de 30º, 60º, 90º, 120º
                                                                      y 150º. Si combinamos la escuadra y el cartabón podremos
                                                                      conseguir ángulos de 15º y 165º, 75º y 105º.

                                                                      Manejo de la escuadra y el cartabón:
                                                                      Hay que manejar la escuadra y cartabón con soltura y suavidad,
                                                                      sin ejercer sobre ellas una excesiva presión, pero sí la necesaria
                                                                      para evitar todo movimiento.
                                                                      Para trazar paralelas a una dirección debemos proceder de la
                                                                      siguiente manera:
                                                                      1. Se coloca la hipotenusa (lado más largo) de la escuadra
                                                                      coincidiendo con la recta a la que queremos trazar paralelas.
                                                                      2. Se apoya en un cateto de la escuadra la hipotenusa del
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      cartabón.
                                                                      3. Se fija el cartabón y se desplaza la escuadra, trazando por su
                                                                      hipotenusa las paralelas deseadas.
                                                                      Si queremos trazar perpendiculares a una dirección tendremos                  perpendiculares a una dirección
                                                                      que dar los dos primeros pasos del caso anterior y, a continua-
                                                                      ción:                                                                   1. apoyar la hipotenusa de la escuadra en la dirección
                                                                                                                                              2. fijar el cartabón
                                                                      1. Fijando el cartabón, se gira la escuadra sin levantarla del papel    3. girar la escuadra 90º
                                                                      hasta que apoyemos el otro cateto sobre el cartabón.                    4. desplazar la escuadra y trazar perpendiculares
                                                                      2. Trazar la perpendicular por la hipotenusa de la escuadra.
Elementos geométricos fundamentales                                                                                                                             línea
                                                                                                                                                                                                                                                     curv
                                                                                                                                                    A            B            C                D                                                          a

                                                                                                                                                        representación del punto


                                                                      Punto: es la intersección de dos rectas. Se nombran por letras
                                                                      mayúsculas: A, B, C...                                                                                          r       recta
                                                                      Línea recta: Es la sucesión infinita de puntos en una misma
                                                                                                                                                                                                                           qu
                                                                      dirección. No tiene ni principio ni fin. Se nombran con letras                                                                                         eb




                                                                                                                                                                                                                     ea
                                                                                                                                            A                                 s               semirrecta                       rad




                                                                                                                                                                                                                    lín
                                                                      minúsculas: r, s, t...                                                                                                                                      a
                                                                      Semirrecta: es una recta limitada por un punto.
                                                                                                                                            A                             B                   segmento
                                                                      Segmento: es la parte de recta comprendida entre dos puntos.
                                                                      Se nombra con una letra mayúscula en cada uno de sus extre-
                                                                      mos.
                                                                      Línea curva: es la linea cuyos puntos van variando de dirección.
                                                                      Linea quebrada: es la que está compuesta por segmentos en
                                                                      distintas direcciones unidos por sus extremos.
                                                                                                                                                                                                b
                                                                                                                                                    b                    c
                                                                      Ángulo: Es la porción de plano comprendido entre dos semirrec-
                                                                      tas, llamadas lados, que parten de un mismo punto, denominado
                                                                      vértice.                                                                                                                                      A                  Â +Ê = 90º
                                                                                                                                            O                a               O            a
                                                                      Tipos de ángulos según su valor:                                                                                                                  E
                                                                                                                                                Ángulo                  Ángulos consecutivos
                                                                        Ángulo recto: mide 90º                                                                                                                          ángulos complementarios
                                                                        Ángulo agudo: mide menos de 90º
                                                                        Ángulo obtuso: mide mas de 90º                                                                            b
                                                                        Ángulo llano: Mide 180º
                                                                      Otros tipos de ángulos:
                                                                        Ángulos consecutivos: Tienen el mismo vértice y un lado
                                                                        común.                                                                                                                                                                   Â + Ê = 180º
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                                                                                                         c            O         a                                           A E
                                                                        Ángulos adyacentes: Son ángulos consecutivos cuyos lados
                                                                        no comunes están en línea recta.                                                     Ángulos adyacentes                                           ángulos suplementarios
                                                                        Ángulos complementarios: Son todas aquellas parejas de
                                                                        ángulos cuya suma vale 90º.
                                                                        Ángulos suplementarios: Son todas aquellas parejas de
                                                                                                                                                                   co                                                                                                lo
                                                                        ángulos cuya suma vale 180º.                                                             Ar                       B
                                                                                                                                                                                                                                                            cír
                                                                                                                                                                                                                                                               cu
                                                                                                                                                                                                                                                        i                         te
                                                                                                                                                                     flecha                                                                      s   em                        ran
                                                                                                                                                                                                             círculo                                                        ad
                                                                      Circunferencia: es el conjunto de puntos del plano que equidis-                                                                                                                                     cu
                                                                      tan de un punto fijo O llamado centro.                                                                a
                                                                                                                                                                        erd                                                                            te
                                                                                                                                                                     cu                                D                                        ran
                                                                      Elementos de la circunferencia:                                                                       etro                                                         ua
                                                                                                                                                                                                                                            d
                                                                      Radio: distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro.                            diám        Ra
                                                                                                                                                                                                                                        c
                                                                                                                                                    A                       O      dio
                                                                      Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.                                                                                                                    c   u l ar
                                                                                                                                                    C                                                                                                cir




                                                                                                                                                                                                                            lú
                                                                      Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunfe-




                                                                                                                                                                                                                            nu




                                                                                                                                                                                                                                            corona
                                                                                                                                                                                                   E




                                                                                                                                                                                                                                 la
                                                                      rencia.
                                                                      Flecha: es la altura de un arco, medida perpendicularmente a la                                                                      lúnula
                                                                      cuerda y pasando por el centro.
                                                                      Círculo: es la porción de plano limitada por la circunferencia.
Elementos geométricos fundamentales
                                                                                        (Trazados elementales)

                                                                                                                                              A              B
                                                                      Suma de segmentos:                                                      B                    C                                     A                                                 B
                                                                      1. Dibujar una semirrecta con origen en A’                              C        D                                                 C             D
                                                                      2. Transportar los segmentos dados, uno a continuación de otro,
                                                                      con ayuda del compás.                                                                                                          s                                                          s
                                                                                                                                              A’                                                         A’
                                                                      3. El segmento resultante es el A’D’                                                  B’                       C’         D’                                               C’        B’

                                                                      Resta de ángulos:
                                                                      1. Dibujar una semirrecta con origen en A’
                                                                      2. Transportar el segmento AB       B’
                                                                      3. Transportar el segmento CD sobre el A’B’ desde B’       C’
                                                                      4. El segmento resultante es el A’C’
                                                                                                                                                           TEOREMA DE THALES
                                                                      Teorema de Thales: Si dos rectas coplanarias (que están en el
                                                                      mismo plano) son cortadas por una haz (conjunto) de paralelas ,
                                                                      los segmentos determinados sobre una de las rectas son                                                  C’
                                                                      proporcionales a los determinados sobre la otra.                                                  B’                                         1            2            3         4
                                                                                                                                                                                                         A                                                          B
                                                                      División de un segmento en partes iguales:
                                                                                                                                                                 A’
                                                                      0. Aplicaremos el teorema de Thales para la división.                                                                                       1’
                                                                      1. Dibujar una semirrecta cualquiera con origen en A                                                                                                 2’
                                                                      2. Sobre la semirrecta, y a partir de A, transportar n veces una                 O                                                                            3’
                                                                      magnitud arbitraria, pero siempre la misma         puntos 1’, 2’, 3’,                            A              B     C
                                                                      ..., N’.                                                                                                                                                                        N’
                                                                      3. Unir el último punto (N’) con B                                                    OA
                                                                                                                                                                   =
                                                                                                                                                                       AB
                                                                                                                                                                                 =
                                                                                                                                                                                     BC
                                                                      4. Trazar paralelas por los puntos 1’, 2’, 3’, etc. a la recta BN’                    O’A’       A’B’          B’C’
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      hasta que corten al segmento AB       puntos 1, 2 ,3, …

                                                                      Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular al seg-
                                                                      mento que pasa por su punto medio.
                                                                      Trazar la mediatriz a un segmento:
                                                                      1. Dibujar un arco con centro en A y radio mayor que la mitad del                                      C
                                                                                                                                                                                                                                    P
                                                                      segmento.
                                                                      2. Dibujar otro arco con centro en B y el mismo radio anterior
                                                                      CyD
                                                                      3. Mediatriz CD                                                              A                                                 B
                                                                                                                                                                                                              r
                                                                      Dada la recta r y un punto P, exterior a la recta, trazar una                                                                               A                                        B
                                                                      perpendicular a esa recta por dicho punto:
                                                                      1.Trazar un arco con centro en P que corte a la recta r
                                                                                                                                                                           D                                                             C
                                                                      2. Arcos con centros en A y B y radio arbitrario   C
                                                                      3. Perpendicular PC
Elementos geométricos fundamentales
                                                                                       (Trazados elementales)

                                                                                                                                                                 C                         4
                                                                      Dada la recta r y un punto P de la misma, trazar una perpendi-
                                                                      cular por ese punto a dicha recta:
                                                                      1. Seguir los mismos pasos que en el ejercicio anterior.                                                         3
                                                                                                                                                                                                  2
                                                                                                                                                                          r
                                                                      Dibujar la circunferencia que pasa por tres puntos, A, B y C,        A                 P                     B                       1                               s
                                                                                                                                                                                           A
                                                                      no alineados:
                                                                      1. Trazar la mediatriz a los segmentos AB y BC       O
                                                                      2. Circunferencia de centro O y radio OA

                                                                      Transportar un ángulo con el compás (procedimiento de arco y
                                                                      cuerda):
                                                                      1. Dibujar una semirrecta con origen en O’
                                                                      2. Dibujar un arco con centro en O y radio arbitrario    AyB
                                                                      3. Arco con centro en O y el mismo radio anterior     A’                                                                                     B
                                                                                                                                                                 C
                                                                      4. Arco con centro en A’ y radio AB    B’
                                                                      5. Unir O’ con B’
                                                                                                                                                                                                       O                 A
                                                                      Suma de dos ángulos:
                                                                      1. Dibujar una semirrecta con origen en O                                              O
                                                                      2. Dibujar arcos con centros en O y radio arbitrario    A y B,                                               B
                                                                      yCyD                                                                                                                                         B’
                                                                      3. Arco con centro en O’ y el mismo radio anterior     A’            A
                                                                      4. Arco con centro en A’ y radio AB    B’
                                                                      5. Arco con centro en B’ y radio CD     D’                                                                                  O’                     A’
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      6. Unir O’ con D’.

                                                                      Resta de ángulos:
                                                                      1. Seguir los mismos pasos del ejercicio anterior.
                                                                      Hay que fijarse en que al transportar el segundo ángulo se                                     D
                                                                      hace sobre el primero, y no a continuación como en el caso de                 B                                  B                                           D
                                                                      la suma de ángulos.

                                                                                                                                       O                A    O                     C       O                   A         O             C




                                                                                                                                                                                                                    D’
                                                                                                                                               D’                    C’                        B’-C’
                                                                                                                                                                     B’


                                                                                                                                                        O’                    A’                           O’                 A’
Elementos geométricos fundamentales
                                                                                       (Trazados elementales)
                                                                                                                                                                               s


                                                                                                                                                     C                 N
                                                                      Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en       B
                                                                                                                                                                                                 B       C
                                                                      dos ángulos iguales.                                                                                     B
                                                                      Trazar la bisectriz a un ángulo:
                                                                                                                                                                                                             D
                                                                      1. Dibujar un arco con centro en O y radio arbitrario    AyB                                 A
                                                                      2. Arcos con centros en A y B y radio arbitrario (puede ser                                                  r
                                                                      distinto del anterior)     C                                                                         M                     O           A
                                                                                                                                         O       A
                                                                      3. Bisectriz OC

                                                                      Dibujar la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y s que
                                                                      se cortan fuera del papel:
                                                                      1. Dibujar una recta cualquiera que corte a r y s en los puntos
                                                                      MyN
                                                                      2.Trazar las bisectrices de los ángulos formados por la recta                  CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS
                                                                      MN y las rectas r y s      AyB
                                                                      3. Bisectriz AB
                                                                                                                                                                                             A
                                                                      División de un ángulo recto en tres partes iguales:
                                                                      1. Trazar un arco con centro en O y radio arbitrario       AyB
                                                                      2. Arco con centro en A y el mismo radio anterior      C                                                                       B
                                                                                                                                                                                       O
                                                                      3. Arco de centro en B y el mismo radio      D                             Ángulo de 90º                             Ángulo de 60º
                                                                      4. Unir O con C y D.

                                                                      Construcción de ángulos con el compás:
                                                                      Cada construcción es válida también para conseguir el ángulo
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      suplementario al indicado. Así, por ejemplo, podemos conse-
                                                                      guir el ángulo de 105º con los mismos pasos que se darían
                                                                      para obtener el ángulo de 75º.
                                                                      El ángulo de 90º se consigue siguiendo el mismo trazado que
                                                                                                                                                 Ángulo de 45º                             Ángulo de 30º
                                                                      se hace al trazar la perpendicular a una recta por un punto de
                                                                      la misma.
                                                                      Para dibujar el ángulo de 60º basta con trazar dos arcos de
                                                                      igual radio de centros en O y A que se cortan en el punto B.
                                                                      Si se quiere dibujar cualquiera de los demás ángulos basta
                                                                      con trazar bisectrices a los ángulos de 90º ó 60º, o a una
                                                                      combinación de ambos, como en el caso del ángulo de 75º.


                                                                                                                                                 Ángulo de 75º                             Ángulo de 15º
Tiángulos
                                                                                                                                                                          Según sus lados
                                                                                                                                                     C
                                                                      TLos triángulos son figuras planas limitadas por tres rectas
                                                                      que se cortan dos a dos. También puede definirse como
                                                                      polígono de tres lados.                                                    b               a
                                                                      Los vértices se designan por letras mayúsculas (A, B y C), y
                                                                      los lados opuestos a los vértices mediante las mismas letras
                                                                      pero en minúsculas.                                                            c
                                                                                                                                             A                       B
                                                                      Propiedades fundamentales de los triángulos:                               EQUILÁTERO                   ISÓSCELES                   ESCALENO
                                                                      1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º
                                                                      2. Un lado debe ser siempre menor que la suma de los otros
                                                                      dos y mayor que su diferencia.                                                                     Según sus ángulos
                                                                      3. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo.

                                                                      Clasificación y características de los triángulos:
                                                                              Según sus lados:
                                                                      Equilátero: los tres lados iguales.
                                                                      Isósceles: dos lados iguales y uno desigual.
                                                                      Escaleno: los tres lados desiguales.
                                                                              Según sus ángulos:
                                                                      Acutángulo: los tres ángulos son agudos.                                   ACUTÁNGULO                  RECTÁNGULO             OBTUSÁNGULO
                                                                      Rectángulo: tiene un ángulo recto. Los lados que lo forman se
                                                                      llaman catetos y el opuesto hipotenusa.
                                                                      Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      Construcción de triángulos:
                                                                                                                                                         l                                          ld
                                                                                                                                                                                            A                     B
                                                                      Dibujar un triángulo equilátero conociendo el lado:                                                                                li
                                                                                                                                                                                            A                         C
                                                                      1. Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado      C                   C
                                                                      2. Triángulo ABC
                                                                                                                                                                                                              C

                                                                      Dibujar un triángulo isósceles conociendo el lado igual y el
                                                                      lado desigual:
                                                                      1.Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado igual
                                                                          C
                                                                      2. Triángulo ABC



                                                                                                                                                             l
                                                                                                                                         A                               B                      A                     B
Triángulos                               B                    C               A                   C
                                                                                                                                      A                            C       A                       B
                                                                                                                                      A                                B



                                                                      Dibujar un triángulo escaleno conociendo los tres lados:                                             A
                                                                      1. Dibujar un arco con centro en A y radio AC                                    C                               C
                                                                      2. Arco con centro en B y radio BC      C
                                                                      3. Triángulo ABC

                                                                      Dibujar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo
                                                                      comprendido:
                                                                      1. Transportar el ángulo de vértice A                                        l
                                                                      2. Transportar el lado AC sobre el lado del ángulo    C         A                                B   A                       B
                                                                      3. Triángulo ABC

                                                                      Dibujar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto   B                        C           A                       B
                                                                      a uno de ellos:                                                 A                                B
                                                                      1. Transportar el ángulo de vértice A
                                                                      2. Arco con centro en B y radio BC     C y C’
                                                                      3. Triángulos ABC y ABC’
                                                                                                                                                       C                   A               B
                                                                                                                                      A
                                                                      Dibujar un triángulo conociendo un lado y los ángulos                                                    C
                                                                      adyacentes:
                                                                      1. Transportar el ángulo de vértice A
                                                                                                                                              C’
                                                                      2. Transportar el ángulo de vértice B    C
                                                                      3. Triángulo ABC

                                                                      Dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      hipotenusa (primer procedimiento):                              A                                B   A                       B
                                                                      1. Levantar la perpendicular sobre el extremo A
                                                                      2. Arco con centro en B y radio BC (hipotenusa)     C
                                                                      3. Triángulo ABC                                                                                     A           C
                                                                                                                                          A            B                   A                       B
                                                                      Dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la           B                            C
                                                                      hipotenusa (segundo procedimiento):                             C                                            C
                                                                      1. Mediatriz de AB (hipotenusa)      M
                                                                      2. Arco centro en M y radio MA
                                                                      3. Arco centro en A y radio AC (cateto)   C
                                                                      4. Triángulo ABC
                                                                                                                                                                                       M
                                                                                                                                                                           A                       B




                                                                                                                                      A                B
B
                                                                                              Triángulos                                   A
                                                                                                                                                                                      A                 B

                                                                                                                                           A
                                                                                                                                                         C
                                                                                                                                                                                      A
                                                                                                                                                                                                   C
                                                                      Dibujar un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un
                                                                      ángulo:
                                                                      1. Mediatriz de AB (hipotenusa)      M
                                                                      2. Transportar el ángulo de vértice A   C                                    M
                                                                      3. Triángulo ABC                                                     A                          B
                                                                                                                                                                                                                M

                                                                      Dibujar un triángulo isósceles conociendo el ángulo y el lado
                                                                      desigual:                                                                                                       A            N    B
                                                                      1. Prolongar el lado AB
                                                                      2. Transportar el ángulo de vértice C de manera que uno de
                                                                      los lados sea la prolongación anterior     M
                                                                      3. Trazar la bisectriz del ángulo MBN
                                                                      Transportar, con vértice en A, el ángulo que resulta al dibujar la                              RECTAS Y PUNTOS NOTABLES
                                                                      bisectriz anterior     C
                                                                      4. Triángulo ABC
                                                                                                                                                        Medianas                           Alturas
                                                                      Rectas y puntos notables de los triángulos:                                        C                                 C
                                                                      Medianas: Son las rectas que unen cada vértice con el punto
                                                                      medio del ado opuesto. El punto donde se cortan las tres
                                                                      medianas se llama baricentro, que resulta ser el centro de                   Mb                 Ma
                                                                      gravedad del triángulo.                                                                G
                                                                                                                                                                                            H
                                                                      Alturas: Son las distancias de cada vértice a su lado opuesto.
                                                                      También podemos decir que son cada una de las perpendicu-
                                                                      lares trazadas desde cada vértice al lado opuesto. Las tres
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                                                                                               A             Mc             B     A                         B
                                                                      alturas se cortan en el ortocentro (puede caer fuera del
                                                                      triángulo o, incluso, en uno de sus vértices).
                                                                      Bisectrices: Son las rectas que dividen cada ángulo del                           Mediatrices                       Bisectrices
                                                                      triángulo en dos ángulos iguales. Se cortan en el incentro:, que                   C                                 C
                                                                      es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tan-
                                                                      gente a los tres lados).
                                                                      Mediatrices: Son las rectas perpendiculares a cada lado
                                                                                                                                                                                               I
                                                                      trazadas por su punto medio. Se cortan en el circuncentro
                                                                      (puede caer fuera del triángulo), que es el centro de la circun-                            O
                                                                      ferencia circunscrita.
                                                                                                                                               A                            B     A                         B
Cuadriláteros

                                                                                                                                                                              CUADRILÁTEROS
                                                                      Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Tienen cuatro
                                                                      lados, cuatro vértices, cuatro ángulos y dos diagonales.
                                                                      Las diagonales son los segmentos que unen pares de vértices                                             PARALELOGRAMOS
                                                                      que no están situados en el mismo lado.

                                                                      Propiedad de los cuadriláteros:
                                                                      La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero es
                                                                      igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos en que
                                                                      queda dividido al trazar una diagonal. Es decir: 2 x 180º = 360º
                                                                                                                                           Cuadrado           Rectángulo                Rombo                   romboide
                                                                      Clasificación:
                                                                      Paralelogramos:
                                                                              Cuadrado
                                                                              Rectángulo
                                                                              Rombo                                                                                 TRAPECIOS                                    TRAPEZOIDE
                                                                              Romboide
                                                                      Trapecios:
                                                                              Rectángulo
                                                                              Isósceles
                                                                              Escaleno
                                                                      Trapezoide
                                                                                                                                            Rectángulo            Isósceles              Escaleno
                                                                      Características:
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen los lados
                                                                      opuestos iguales y paralelos dos a dos.
                                                                      Cuadrado: Es el paralelogramo que tiene los lados iguales y
                                                                      los ángulos rectos. Sus diagonales son iguales, perpendicula-
                                                                      res y se cortan en el punto medio.                                 Trapecio rectángulo: Es el trapecio que tiene dos ángulos rectos.
                                                                      Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene los lados adyacen-       Trapecio isósceles: Es el trapecio que tiene los lados no paralelos iguales. Sus diagonales
                                                                      tes desiguales y los ángulos rectos. Sus diagonales son            son iguales.
                                                                      iguales y se cortan en el punto medio.                             Trapecio escaleno: No posee ninguna característica de los dos .
                                                                      Rombo: Es el paralelogramo que tiene los lados iguales y los       Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a otro.
                                                                      ángulos opuestos iguales dos a dos. las diagonales son
                                                                      desiguales, perpendiculares y se cortan en el punto medio.
                                                                      Romboide: Es el paralelogramo que tiene los lados adyacentes
                                                                      desiguales y los ángulos opuestos iguales dos a dos. Sus
                                                                      diagonales son distintas y se cortan en el punto medio.
                                                                      Trapecios: Son los cuadriláteros que tienen dos lados parale-
                                                                      los (bases) y otros dos no. La altura de un trapecio es la
                                                                      distancia entre las bases.
d
                                                                                           Cuadriláteros                                            l

                                                                                                                                        C                           D                                     C




                                                                      Construcción de cuadriláteros:

                                                                      Dibujar un cuadrado conociendo el lado:                                                               A
                                                                                                                                                                                                                   d
                                                                                                                                                                                                                               B
                                                                      1. Levantar una perpendicular por A                                                                                        O
                                                                      2. Dibujar un arco con centro en A y radio el lado (AB)       C
                                                                      3. Arcos con centros en B y C y radio el lado      D
                                                                      4. Cuadrado ABDC

                                                                      Dibujar un cuadrado conociendo la diagonal:                       A                               B                                 D
                                                                      1. Trazar la mediatriz de AB (diagonal)      O
                                                                      2. Dibujar la circunferencia de centro O y radio OA       CyD
                                                                      3. Cuadrado ACBD                                                                                                  l
                                                                                                                                                                                                         d
                                                                      Dibujar un rectángulo conociendo los dos lados:                   A                   C
                                                                      1. Levantar una perpendicular por A                               A                           B                   C
                                                                      2. Arco con centro en A y radio AC    C                           C                           D
                                                                      3. Arco con centro en B y radio AC
                                                                      4. Arco con centro en C y radio AB    D                                                                       l
                                                                      5. Rectángulo ABCD
                                                                                                                                                                                                                   d
                                                                                                                                                                            A                                                  B
                                                                      Dibujar un rectángulo conociendo la diagonal y un lado:                                                                    O
                                                                      1. Trazar la mediatriz de AB (diagonal d)      O                                                                                                     l
                                                                      2. Dibujar la circunferencia con centro en O y radio OA           A                               B
                                                                      3. Arcos con centros en A y B y radio el lado l    CyD
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      4. Rectángulo ABDC                                                                                                                               D

                                                                      Dibujar un rombo conociendo el lado y un ángulo:                                                                      d2
                                                                      1. Transportar el ángulo                                                                                                       d1
                                                                      2. Dibujar un arco con centro en A y radio AB   C
                                                                      3. Arcos con centros en B y C y radio el lado  D                                                                                   C
                                                                      4. Rombo ABDC
                                                                                                                                                                l
                                                                                                                                        A
                                                                      Dibujar un rombo conociendo las dos diagonales:
                                                                      1. Mediatriz de AB (d2)    O                                              C                   D
                                                                      2. Arcos con centro en O y radio la mitad de la diagonal d1                                                                             d2
                                                                      CyD                                                                                                       A                                          B
                                                                                                                                                                                                 O
                                                                      3. Rombo ACBD

                                                                                                                                            l
                                                                                                                                        A               B


                                                                                                                                                                                                         D
Cuadriláteros
                                                                                                                                                    A                                   B   A            B
                                                                                                                                                                   A                    C   A       D
                                                                                                                                                                                                     d
                                                                                                                                                                                            A                    C
                                                                                                                                       A
                                                                      Dibujar un romboide conociendo los lados y un ángulo:
                                                                      1. Transportar el ángulo
                                                                      2. Transportar el lado AC sobre el lado del ángulo     C                      C                                   D                    C
                                                                                                                                                                                                D
                                                                      3. Dibujar un arco con centro en B y radio el lado menor AC
                                                                      4. Arco con centro en C y radio el lado mayor AB      D                                                                        d
                                                                      5. Romboide ABDC

                                                                                                                                       A                                                    A            B
                                                                      Dibujar un romboide conociendo los dos lados y una diagonal:                                          B
                                                                      1. Dibujar un arco con centro en A y radio la diagonal d
                                                                      2. Arco con centro en B y radio el lado menor AD       C
                                                                      3. Arco con centro en A y radio el lado menor AD
                                                                      4. Arco con centro en C y radio el lado mayor AB      D
                                                                      5. Romboide ABCD                                                 C            D
                                                                                                                                       A                                        B
                                                                      Dibujar un trapecio escaleno conociendolas dos bases y las                    d1
                                                                                                                                       A                               C
                                                                                                                                                         d2
                                                                      dos diagonales:                                                  B                                    D
                                                                      1. Prolongar la base mayor AB
                                                                      2. Sumar la base menor CD a la base mayor a partir de B
                                                                                                                                           D
                                                                      E                                                                                       C
                                                                      3. Dibujar un arco con centro en A y radio la diagonal AC (d1)
                                                                      4. Arco con centro en E y radio la diagonal BD (d2)     C                d1             d2           d2
                                                                      5. Arco con centro en C y radio la base menor CD
                                                                      6. Arco con centro en B y radio la diagonal BD.(d2)     D
                                                                      7. Trapecio ABCD                                                 A                                        B   E
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
Polígonos


                                                                      Se entiende por polígono a la porción de plano comprendida
                                                                      por líneas rectas que se cortan. De otra manera, también
                                                                      podemos decir que se trata de toda figura cerrada y limitada
                                                                      por segmentos, denominados lados.
                                                                      Cuado el polígono tiene todos sus lados iguales se le llama
                                                                      equilátero, y si tiene todos sus ángulos iguales se le llama
                                                                      equiángulo.
                                                                      Polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados         POLÍGONO REGULAR      POÍGONO INSCRITO   POLIGONO CIRCUNSCRITO
                                                                      y ángulos iguales, es decir, son equiláteros y equiángulos.
                                                                      Polígonos irregulares son aquellos en los que no son iguales
                                                                      todos sus lados y todos sus ángulos.
                                                                      Polígono inscrito es el que tiene todos sus vértices sobre una
                                                                      circunferencia.
                                                                      Polígono circunscrito es el que tiene todos sus lados
                                                                      tangentes a una circunferencia.
                                                                      Según su número de lados, los polígonos se llaman: triángulo
                                                                      (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágo-
                                                                      no (6), heptágono (7), octógono (8), eneánogono (9), decágo-
                                                                      no (10), undecágono (11), dodecágono (12), y polígonos de n
                                                                      lados.
                                                                      Polígonos cóncavos son aquellos que tienen, al menos, un
                                                                      ángulo interior mayor de 180º.
                                                                                                                                        HEPTÁGONO ESTRELLADO 1 HPTÁGONO ESTRELLADO 2 OCTÓGONO ESTRELLADO
Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)




                                                                      Polígonos convexos son los que tienen todos sus ángulos
                                                                      interiores menores de 180º.
                                                                      Poligonos estrellados son aquellos que resultan al unir de
                                                                      dos en dos, de tres en tres, etc. los vértices de un polígono
                                                                      convexo. Partiendo de estos polígonos se pueden conseguir
                                                                      diseños decorativos con forma de estrella.




                                                                                                                                                                                             l
                                                                                                                                                                                          na
                                                                      Se llaman diagonales de un polígono a aquellos segmentos




                                                                                                                                                                                       go
                                                                                                                                                                                                           l
                                                                      que unen vértices no consecutivos.                                                                                                ona




                                                                                                                                                                                      dia
                                                                                                                                                                                                    g
                                                                                                                                                                                                 dia       O
                                                                      La apotema de un polígono regular es la distancia que hay
                                                                                                                                                                                                               ap
                                                                      desde el centro del polígono hasta cualquiera de sus lados.                                                                                   ot
                                                                                                                                                                                                                       e   m
                                                                                                                                                                                                                            a
                                                                      Los polígonos se pueden construir conociendo la circunferen-
                                                                      cia que los inscriben o a partir del lado del polígono. Para
                                                                      dibujarlos a partir de la circunferencia tendremos primero que
                                                                      dividirla en partes iguales y luego unir cada una de estas
                                                                      divisiones.                                                        POLÍGONO CÓNCAVO      POLÍGONO COVEXO
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  • 1. Materiales de dibujo técnico Gomas de borrar: La goma de borrar lápiz ha de ser blanda, flexible y de color claro. Hay que borrar con suavidad y despacio, siempre en el sentido del trazo, y no con movimientos de vaivén para no producir arrugas en el papel. La goma de borrar tinta es más dura y se le ha incorporado un abrasivo que, al frotar quita una Lápices de grafito: capa fina de papel y, con ella, el trazo de tinta. Los lápices de grafito tienen una mina protegida por una cubierta Existen otro tipo de gomas de tinta (indicadas para papel vegetal) que tienen, en lugar del abrasi- de madera. También se puede usar la mina dentro de un portami- vo, un disolvente con el que consiguen eliminarla. nas. O en barra, que nos permite hacer trazos muy gruesos. Actualmente se pueden encontrar en el mercado portagomas. Poseen un mecanismo similar a La mina es un compuesto de carbón y arcilla mezclados a altas los portaminas por lo que se puede sacar y meter la goma lo necesario. Se suelen emplear para temperaturas. Las minas que poseen más arcilla son más duras borrar trazos pequeños. Su misma función se puede conseguir utilizando una cuña de goma y manchan menos. Por el contrario, cuanta menos arcilla lleven con son más blandas y el negro que producen es más intenso (dibujo seg artístico), y por tanto más difíciles de borrar. Por eso, para el uid dibujo técnico se usan minas duras y que manchan menos. La dureza de las minas suele indicarse con números o con siglas, formadas por letras y números. la escala numérica está gradua- da desde 00, 0, 1, hasta 9, aunque lo normal es que sólo encon- tremos una graduación del 1 al 4. La escala alfanumérica a mediante el corte con una cuchilla. portagomas portagomas y goma de comienza en 6B (la más blanda) y llega hasta 9H (la más dura) pasando por durezas intermedias como 2B, B, HB, F, H, 2H. El significado de las siglas es el siguiente: B = Black = Negro F = Firm = Fijo 0.7 - HB H = Hard = Duro 0.5 - 2H HB = Hard-black = Semiduro La equivalencia entre las dos escalas , al menos en lo que podemos encontrar normalmente en el mercado escolar es : 1 = portaminas 0.3 - 3H Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) B, 2 = HB, 3 = H, 4 =2H. diferentes recambios de minas, Portaminas: por su grosor y dureza Existen portaminas de diferentes grosores: 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 y 2 mm. El de 0.5 mm es el más utilizado en dibujo técnico. El de 2 mm es el más versátil porque permite trazar líneas de distinto espesor e intensidad. Tanto el lápiz como el portaminas hay que manejarlos con adaptador universal y adaptador para estilógrafo suavidad y soltura. El trazo producido sobre el papel se debe poder suprimir con la goma de borrar cuando no sea necesario o nos hayamos equivocado. Si al dibujar la línea se aprieta dema- siado se produce un pequeño surco que resulta imposible de quitar con la goma. Durante el trazado de las líneas en dibujo técnico es conveniente girar lentamente el lápiz o portaminas entre los dedos, de Compás: manera que la mina se gaste uniformemente y el trazo sea igual Es un instrumento que se emplea para trazar arcos y circunfe- en toda su longitud.
  • 2. Materiales de dibujo técnico borde recto rencias, y para transportar medidas. Está compuesto por dos borde con bisel brazos articulados por un extremo, y, abrazando a dicha articula- ción, una pieza sobre la que se acopla una pieza cilíndrica estriada. borde con escalón brazos del compás En un extremo de uno de los brazos hay una aguja de acero. El otro brazo tiene, algo más abajo de su mitad, un tornillo de presión que permite acoplar y desacoplar el soporte de la mina y 8 a 10 mm Secciones de bordes de plantillas otros piezas diferentes como puede ser el adaptador. La mina del compás debe estar afilada en forma de cuña y se misma longitud colocará en el compás de manera que la parte más fina quede lo más interior posible. Los brazos del compás deben quedar con la misma longitud. Si no fuese así, quedaría cojo y no nos permitiría dibujar circunfe- rencias de radio pequeño. Tanto la aguja como la mina deben sobresalir, al menos, 5 mm de los extremos de los brazos., siendo recomendable entre 8 y 10 60º mm. 45º El manejo del compás se hará con una sola mano, tomándolo por la parte cilíndrica estriada con los dedos pulgar e índice. El 135º 90º 90º 120º trazado de circunferencias o arcos se llevará a cabo siguiendo el giro de las manecillas del reloj para los diestros, y en sentido contrario para los zurdos. escuadra cartabón Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) Regla: Su longitud oscila normalmente entre los 30 y los 60 cm y suele llevar una graduación en milímetros y centímetros. ÁNGULOS CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN 75º Se emplea para trazar rectas y para transportar o medir segmen- tos. Si se desea transportar sobre una recta unas dimensiones dispuestas de manera consecutiva se debe ha cer sin mover la 105º regla para cada nueva medida. No se debe usar el compás para tomar directamente las dimensiones sobre la regla, puesto que la deterioraremos y cometeremos imprecisiones. Escuadra y cartabón: 15º 165º Son plantillas de forma triangular y pueden llevar adosada una graduación en centímetros y milímetros. Las hay con bordes biselados o con un pequeño escalón para facilitar el trabajo a
  • 3. Materiales de dibujo técnico tinta, pero son más aconsejables las de borde recto. Aquellas, cuando se usan juntos la escuadra y cartabón, suelen encajarse dificultando su manejo. La escuadra tiene forma de triángulo rectángulo isósceles. sus ángulos son por tanto: dos de 45º y uno de 90º. paralelas a una dirección El cartabón es un triángulo rectángulo escaleno con ángulos de 1. apoyar la hipotenusa de la escuadra en la dirección 90º, 60º y 30º. 2. fijar el cartabón 3. desplazar la escuadra y trazar paralelas Ángulos con la escuadra y el cartabón: Los ángulos que se pueden formar directamente con la escuadra son de 45º, 90º y 135º. Con el cartabón son de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º. Si combinamos la escuadra y el cartabón podremos conseguir ángulos de 15º y 165º, 75º y 105º. Manejo de la escuadra y el cartabón: Hay que manejar la escuadra y cartabón con soltura y suavidad, sin ejercer sobre ellas una excesiva presión, pero sí la necesaria para evitar todo movimiento. Para trazar paralelas a una dirección debemos proceder de la siguiente manera: 1. Se coloca la hipotenusa (lado más largo) de la escuadra coincidiendo con la recta a la que queremos trazar paralelas. 2. Se apoya en un cateto de la escuadra la hipotenusa del Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) cartabón. 3. Se fija el cartabón y se desplaza la escuadra, trazando por su hipotenusa las paralelas deseadas. Si queremos trazar perpendiculares a una dirección tendremos perpendiculares a una dirección que dar los dos primeros pasos del caso anterior y, a continua- ción: 1. apoyar la hipotenusa de la escuadra en la dirección 2. fijar el cartabón 1. Fijando el cartabón, se gira la escuadra sin levantarla del papel 3. girar la escuadra 90º hasta que apoyemos el otro cateto sobre el cartabón. 4. desplazar la escuadra y trazar perpendiculares 2. Trazar la perpendicular por la hipotenusa de la escuadra.
  • 4. Elementos geométricos fundamentales línea curv A B C D a representación del punto Punto: es la intersección de dos rectas. Se nombran por letras mayúsculas: A, B, C... r recta Línea recta: Es la sucesión infinita de puntos en una misma qu dirección. No tiene ni principio ni fin. Se nombran con letras eb ea A s semirrecta rad lín minúsculas: r, s, t... a Semirrecta: es una recta limitada por un punto. A B segmento Segmento: es la parte de recta comprendida entre dos puntos. Se nombra con una letra mayúscula en cada uno de sus extre- mos. Línea curva: es la linea cuyos puntos van variando de dirección. Linea quebrada: es la que está compuesta por segmentos en distintas direcciones unidos por sus extremos. b b c Ángulo: Es la porción de plano comprendido entre dos semirrec- tas, llamadas lados, que parten de un mismo punto, denominado vértice. A Â +Ê = 90º O a O a Tipos de ángulos según su valor: E Ángulo Ángulos consecutivos Ángulo recto: mide 90º ángulos complementarios Ángulo agudo: mide menos de 90º Ángulo obtuso: mide mas de 90º b Ángulo llano: Mide 180º Otros tipos de ángulos: Ángulos consecutivos: Tienen el mismo vértice y un lado común. Â + Ê = 180º Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) c O a A E Ángulos adyacentes: Son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en línea recta. Ángulos adyacentes ángulos suplementarios Ángulos complementarios: Son todas aquellas parejas de ángulos cuya suma vale 90º. Ángulos suplementarios: Son todas aquellas parejas de co lo ángulos cuya suma vale 180º. Ar B cír cu i te flecha s em ran círculo ad Circunferencia: es el conjunto de puntos del plano que equidis- cu tan de un punto fijo O llamado centro. a erd te cu D ran Elementos de la circunferencia: etro ua d Radio: distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro. diám Ra c A O dio Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. c u l ar C cir lú Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la circunfe- nu corona E la rencia. Flecha: es la altura de un arco, medida perpendicularmente a la lúnula cuerda y pasando por el centro. Círculo: es la porción de plano limitada por la circunferencia.
  • 5. Elementos geométricos fundamentales (Trazados elementales) A B Suma de segmentos: B C A B 1. Dibujar una semirrecta con origen en A’ C D C D 2. Transportar los segmentos dados, uno a continuación de otro, con ayuda del compás. s s A’ A’ 3. El segmento resultante es el A’D’ B’ C’ D’ C’ B’ Resta de ángulos: 1. Dibujar una semirrecta con origen en A’ 2. Transportar el segmento AB B’ 3. Transportar el segmento CD sobre el A’B’ desde B’ C’ 4. El segmento resultante es el A’C’ TEOREMA DE THALES Teorema de Thales: Si dos rectas coplanarias (que están en el mismo plano) son cortadas por una haz (conjunto) de paralelas , los segmentos determinados sobre una de las rectas son C’ proporcionales a los determinados sobre la otra. B’ 1 2 3 4 A B División de un segmento en partes iguales: A’ 0. Aplicaremos el teorema de Thales para la división. 1’ 1. Dibujar una semirrecta cualquiera con origen en A 2’ 2. Sobre la semirrecta, y a partir de A, transportar n veces una O 3’ magnitud arbitraria, pero siempre la misma puntos 1’, 2’, 3’, A B C ..., N’. N’ 3. Unir el último punto (N’) con B OA = AB = BC 4. Trazar paralelas por los puntos 1’, 2’, 3’, etc. a la recta BN’ O’A’ A’B’ B’C’ Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) hasta que corten al segmento AB puntos 1, 2 ,3, … Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular al seg- mento que pasa por su punto medio. Trazar la mediatriz a un segmento: 1. Dibujar un arco con centro en A y radio mayor que la mitad del C P segmento. 2. Dibujar otro arco con centro en B y el mismo radio anterior CyD 3. Mediatriz CD A B r Dada la recta r y un punto P, exterior a la recta, trazar una A B perpendicular a esa recta por dicho punto: 1.Trazar un arco con centro en P que corte a la recta r D C 2. Arcos con centros en A y B y radio arbitrario C 3. Perpendicular PC
  • 6. Elementos geométricos fundamentales (Trazados elementales) C 4 Dada la recta r y un punto P de la misma, trazar una perpendi- cular por ese punto a dicha recta: 1. Seguir los mismos pasos que en el ejercicio anterior. 3 2 r Dibujar la circunferencia que pasa por tres puntos, A, B y C, A P B 1 s A no alineados: 1. Trazar la mediatriz a los segmentos AB y BC O 2. Circunferencia de centro O y radio OA Transportar un ángulo con el compás (procedimiento de arco y cuerda): 1. Dibujar una semirrecta con origen en O’ 2. Dibujar un arco con centro en O y radio arbitrario AyB 3. Arco con centro en O y el mismo radio anterior A’ B C 4. Arco con centro en A’ y radio AB B’ 5. Unir O’ con B’ O A Suma de dos ángulos: 1. Dibujar una semirrecta con origen en O O 2. Dibujar arcos con centros en O y radio arbitrario A y B, B yCyD B’ 3. Arco con centro en O’ y el mismo radio anterior A’ A 4. Arco con centro en A’ y radio AB B’ 5. Arco con centro en B’ y radio CD D’ O’ A’ Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) 6. Unir O’ con D’. Resta de ángulos: 1. Seguir los mismos pasos del ejercicio anterior. Hay que fijarse en que al transportar el segundo ángulo se D hace sobre el primero, y no a continuación como en el caso de B B D la suma de ángulos. O A O C O A O C D’ D’ C’ B’-C’ B’ O’ A’ O’ A’
  • 7. Elementos geométricos fundamentales (Trazados elementales) s C N Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en B B C dos ángulos iguales. B Trazar la bisectriz a un ángulo: D 1. Dibujar un arco con centro en O y radio arbitrario AyB A 2. Arcos con centros en A y B y radio arbitrario (puede ser r distinto del anterior) C M O A O A 3. Bisectriz OC Dibujar la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y s que se cortan fuera del papel: 1. Dibujar una recta cualquiera que corte a r y s en los puntos MyN 2.Trazar las bisectrices de los ángulos formados por la recta CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS MN y las rectas r y s AyB 3. Bisectriz AB A División de un ángulo recto en tres partes iguales: 1. Trazar un arco con centro en O y radio arbitrario AyB 2. Arco con centro en A y el mismo radio anterior C B O 3. Arco de centro en B y el mismo radio D Ángulo de 90º Ángulo de 60º 4. Unir O con C y D. Construcción de ángulos con el compás: Cada construcción es válida también para conseguir el ángulo Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) suplementario al indicado. Así, por ejemplo, podemos conse- guir el ángulo de 105º con los mismos pasos que se darían para obtener el ángulo de 75º. El ángulo de 90º se consigue siguiendo el mismo trazado que Ángulo de 45º Ángulo de 30º se hace al trazar la perpendicular a una recta por un punto de la misma. Para dibujar el ángulo de 60º basta con trazar dos arcos de igual radio de centros en O y A que se cortan en el punto B. Si se quiere dibujar cualquiera de los demás ángulos basta con trazar bisectrices a los ángulos de 90º ó 60º, o a una combinación de ambos, como en el caso del ángulo de 75º. Ángulo de 75º Ángulo de 15º
  • 8. Tiángulos Según sus lados C TLos triángulos son figuras planas limitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. También puede definirse como polígono de tres lados. b a Los vértices se designan por letras mayúsculas (A, B y C), y los lados opuestos a los vértices mediante las mismas letras pero en minúsculas. c A B Propiedades fundamentales de los triángulos: EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º 2. Un lado debe ser siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Según sus ángulos 3. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. Clasificación y características de los triángulos: Según sus lados: Equilátero: los tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales y uno desigual. Escaleno: los tres lados desiguales. Según sus ángulos: Acutángulo: los tres ángulos son agudos. ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Rectángulo: tiene un ángulo recto. Los lados que lo forman se llaman catetos y el opuesto hipotenusa. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) Construcción de triángulos: l ld A B Dibujar un triángulo equilátero conociendo el lado: li A C 1. Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado C C 2. Triángulo ABC C Dibujar un triángulo isósceles conociendo el lado igual y el lado desigual: 1.Dibujar dos arcos con centros en A y B y radio el lado igual C 2. Triángulo ABC l A B A B
  • 9. Triángulos B C A C A C A B A B Dibujar un triángulo escaleno conociendo los tres lados: A 1. Dibujar un arco con centro en A y radio AC C C 2. Arco con centro en B y radio BC C 3. Triángulo ABC Dibujar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido: 1. Transportar el ángulo de vértice A l 2. Transportar el lado AC sobre el lado del ángulo C A B A B 3. Triángulo ABC Dibujar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto B C A B a uno de ellos: A B 1. Transportar el ángulo de vértice A 2. Arco con centro en B y radio BC C y C’ 3. Triángulos ABC y ABC’ C A B A Dibujar un triángulo conociendo un lado y los ángulos C adyacentes: 1. Transportar el ángulo de vértice A C’ 2. Transportar el ángulo de vértice B C 3. Triángulo ABC Dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) hipotenusa (primer procedimiento): A B A B 1. Levantar la perpendicular sobre el extremo A 2. Arco con centro en B y radio BC (hipotenusa) C 3. Triángulo ABC A C A B A B Dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la B C hipotenusa (segundo procedimiento): C C 1. Mediatriz de AB (hipotenusa) M 2. Arco centro en M y radio MA 3. Arco centro en A y radio AC (cateto) C 4. Triángulo ABC M A B A B
  • 10. B Triángulos A A B A C A C Dibujar un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un ángulo: 1. Mediatriz de AB (hipotenusa) M 2. Transportar el ángulo de vértice A C M 3. Triángulo ABC A B M Dibujar un triángulo isósceles conociendo el ángulo y el lado desigual: A N B 1. Prolongar el lado AB 2. Transportar el ángulo de vértice C de manera que uno de los lados sea la prolongación anterior M 3. Trazar la bisectriz del ángulo MBN Transportar, con vértice en A, el ángulo que resulta al dibujar la RECTAS Y PUNTOS NOTABLES bisectriz anterior C 4. Triángulo ABC Medianas Alturas Rectas y puntos notables de los triángulos: C C Medianas: Son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del ado opuesto. El punto donde se cortan las tres medianas se llama baricentro, que resulta ser el centro de Mb Ma gravedad del triángulo. G H Alturas: Son las distancias de cada vértice a su lado opuesto. También podemos decir que son cada una de las perpendicu- lares trazadas desde cada vértice al lado opuesto. Las tres Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) A Mc B A B alturas se cortan en el ortocentro (puede caer fuera del triángulo o, incluso, en uno de sus vértices). Bisectrices: Son las rectas que dividen cada ángulo del Mediatrices Bisectrices triángulo en dos ángulos iguales. Se cortan en el incentro:, que C C es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tan- gente a los tres lados). Mediatrices: Son las rectas perpendiculares a cada lado I trazadas por su punto medio. Se cortan en el circuncentro (puede caer fuera del triángulo), que es el centro de la circun- O ferencia circunscrita. A B A B
  • 11. Cuadriláteros CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Tienen cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos y dos diagonales. Las diagonales son los segmentos que unen pares de vértices PARALELOGRAMOS que no están situados en el mismo lado. Propiedad de los cuadriláteros: La suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos de los dos triángulos en que queda dividido al trazar una diagonal. Es decir: 2 x 180º = 360º Cuadrado Rectángulo Rombo romboide Clasificación: Paralelogramos: Cuadrado Rectángulo Rombo TRAPECIOS TRAPEZOIDE Romboide Trapecios: Rectángulo Isósceles Escaleno Trapezoide Rectángulo Isósceles Escaleno Características: Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales y paralelos dos a dos. Cuadrado: Es el paralelogramo que tiene los lados iguales y los ángulos rectos. Sus diagonales son iguales, perpendicula- res y se cortan en el punto medio. Trapecio rectángulo: Es el trapecio que tiene dos ángulos rectos. Rectángulo: Es el paralelogramo que tiene los lados adyacen- Trapecio isósceles: Es el trapecio que tiene los lados no paralelos iguales. Sus diagonales tes desiguales y los ángulos rectos. Sus diagonales son son iguales. iguales y se cortan en el punto medio. Trapecio escaleno: No posee ninguna característica de los dos . Rombo: Es el paralelogramo que tiene los lados iguales y los Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a otro. ángulos opuestos iguales dos a dos. las diagonales son desiguales, perpendiculares y se cortan en el punto medio. Romboide: Es el paralelogramo que tiene los lados adyacentes desiguales y los ángulos opuestos iguales dos a dos. Sus diagonales son distintas y se cortan en el punto medio. Trapecios: Son los cuadriláteros que tienen dos lados parale- los (bases) y otros dos no. La altura de un trapecio es la distancia entre las bases.
  • 12. d Cuadriláteros l C D C Construcción de cuadriláteros: Dibujar un cuadrado conociendo el lado: A d B 1. Levantar una perpendicular por A O 2. Dibujar un arco con centro en A y radio el lado (AB) C 3. Arcos con centros en B y C y radio el lado D 4. Cuadrado ABDC Dibujar un cuadrado conociendo la diagonal: A B D 1. Trazar la mediatriz de AB (diagonal) O 2. Dibujar la circunferencia de centro O y radio OA CyD 3. Cuadrado ACBD l d Dibujar un rectángulo conociendo los dos lados: A C 1. Levantar una perpendicular por A A B C 2. Arco con centro en A y radio AC C C D 3. Arco con centro en B y radio AC 4. Arco con centro en C y radio AB D l 5. Rectángulo ABCD d A B Dibujar un rectángulo conociendo la diagonal y un lado: O 1. Trazar la mediatriz de AB (diagonal d) O l 2. Dibujar la circunferencia con centro en O y radio OA A B 3. Arcos con centros en A y B y radio el lado l CyD Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) 4. Rectángulo ABDC D Dibujar un rombo conociendo el lado y un ángulo: d2 1. Transportar el ángulo d1 2. Dibujar un arco con centro en A y radio AB C 3. Arcos con centros en B y C y radio el lado D C 4. Rombo ABDC l A Dibujar un rombo conociendo las dos diagonales: 1. Mediatriz de AB (d2) O C D 2. Arcos con centro en O y radio la mitad de la diagonal d1 d2 CyD A B O 3. Rombo ACBD l A B D
  • 13. Cuadriláteros A B A B A C A D d A C A Dibujar un romboide conociendo los lados y un ángulo: 1. Transportar el ángulo 2. Transportar el lado AC sobre el lado del ángulo C C D C D 3. Dibujar un arco con centro en B y radio el lado menor AC 4. Arco con centro en C y radio el lado mayor AB D d 5. Romboide ABDC A A B Dibujar un romboide conociendo los dos lados y una diagonal: B 1. Dibujar un arco con centro en A y radio la diagonal d 2. Arco con centro en B y radio el lado menor AD C 3. Arco con centro en A y radio el lado menor AD 4. Arco con centro en C y radio el lado mayor AB D 5. Romboide ABCD C D A B Dibujar un trapecio escaleno conociendolas dos bases y las d1 A C d2 dos diagonales: B D 1. Prolongar la base mayor AB 2. Sumar la base menor CD a la base mayor a partir de B D E C 3. Dibujar un arco con centro en A y radio la diagonal AC (d1) 4. Arco con centro en E y radio la diagonal BD (d2) C d1 d2 d2 5. Arco con centro en C y radio la base menor CD 6. Arco con centro en B y radio la diagonal BD.(d2) D 7. Trapecio ABCD A B E Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada)
  • 14. Polígonos Se entiende por polígono a la porción de plano comprendida por líneas rectas que se cortan. De otra manera, también podemos decir que se trata de toda figura cerrada y limitada por segmentos, denominados lados. Cuado el polígono tiene todos sus lados iguales se le llama equilátero, y si tiene todos sus ángulos iguales se le llama equiángulo. Polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados POLÍGONO REGULAR POÍGONO INSCRITO POLIGONO CIRCUNSCRITO y ángulos iguales, es decir, son equiláteros y equiángulos. Polígonos irregulares son aquellos en los que no son iguales todos sus lados y todos sus ángulos. Polígono inscrito es el que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia. Polígono circunscrito es el que tiene todos sus lados tangentes a una circunferencia. Según su número de lados, los polígonos se llaman: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágo- no (6), heptágono (7), octógono (8), eneánogono (9), decágo- no (10), undecágono (11), dodecágono (12), y polígonos de n lados. Polígonos cóncavos son aquellos que tienen, al menos, un ángulo interior mayor de 180º. HEPTÁGONO ESTRELLADO 1 HPTÁGONO ESTRELLADO 2 OCTÓGONO ESTRELLADO Fernando Jiménez Tejada - IES “Los Cahorros” - Monachil - (Granada) Polígonos convexos son los que tienen todos sus ángulos interiores menores de 180º. Poligonos estrellados son aquellos que resultan al unir de dos en dos, de tres en tres, etc. los vértices de un polígono convexo. Partiendo de estos polígonos se pueden conseguir diseños decorativos con forma de estrella. l na Se llaman diagonales de un polígono a aquellos segmentos go l que unen vértices no consecutivos. ona dia g dia O La apotema de un polígono regular es la distancia que hay ap desde el centro del polígono hasta cualquiera de sus lados. ot e m a Los polígonos se pueden construir conociendo la circunferen- cia que los inscriben o a partir del lado del polígono. Para dibujarlos a partir de la circunferencia tendremos primero que dividirla en partes iguales y luego unir cada una de estas divisiones. POLÍGONO CÓNCAVO POLÍGONO COVEXO