「リア充」で学ぶ線形計画問題(ver0.5.3)

線形計画問題等式標準形実行可能基底解単体法双対性学習ガイド

「リア充」で学ぶ線形計画問題

長江剛志1

February 15, 2013(ver0.5.3)

1
東北大学大学院工学研究科技術社会システム専攻 (nagae@m.tohoku.ac.jp)


Outline

1 線形計画問題

2 等式標準形

3 実行可能基底解

4 単体法

5 双対性

6 学習ガイド


1 線形計画問題

2 等式標準形

3 実行可能基底解

4 単体法

5 双対性

6 学習ガイド


「リア充」問題

A くんには自由な時間が 1 日あたり 8 時間あり，彼女ができ
たばかり．
自由な時間の使い途としてバイトとデートを考える．
バイトすると 1 時間あたり 700 円の収入になる．
デートすると 1 時間あたり 350 円の支出になる．
A くんの仕送りから家賃・食費などの生活費を除くとリア充
資金として 1 日あたり 700 円を充当できる．
A くんはバイトしてもデートしても充実感が得られるが，で
きたばかりの彼女と過ごす時間の方が，バイトの時間よりも
充実感を味わえる．そこで，1 時間あたりの充実感の比率を
バイト:デート = 1:5 とする．
リア充資金とバイト給料でデート代を賄いつつ，充実した生
活を送るには 1 日あたりバイトとデートを何時間づつすれば
よいだろう？


線形計画問題としての定式化 I

未知変数 (制御変数) の定義
バイトにあてる時間を x1 , デートにあてる時間を x2 で表す．
時間制約
バイトの時間とデートの時間の合計が 8 時間を超えてはいけ
ない：
x1 + x2 ≤ 8 (1)
予算制約
「バイトの収入とリア充資金の合計」が「デートへの支出」
以上でなければいけない：

700x1 + 700 ≥ 350x2

両辺を 350 で割れば，

2x1 + 2 ≥ x2 (2)


線形計画問題としての定式化 II
目的関数
バイト 1 時間あたりの充実度 1 に対して，デート 1 時間あた
りの充実度が 5 だから，その合計を「リア充度」とする：

Z(x1 , x2 ) x1 + 5x2 (3)

線形計画問題として表現されたリア充問題
max x1 + 5x2
x1 ,x2
s.t. x1 + x2 ≤ 8
2x1 + 2 ≥ x2
x1 , x2 ≥ 0

s.t. は subject to ... (. . . の制約の下で) の略．


許容領域 (9,15)

9
制約条件を満足する (許容
8
(0, 8)
される) バイト時間とデー
7
ト時間の組 (x1 , x2 ) は，4
6
本の不等式：
5 x1
+
x1 + x2 ≤ 8
4 x2
=
8
3

2

1
(8, 0)
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 で囲まれた領域
-1


許容領域 (9,15)

9
8
(0, 8)
7
6 (2, 6)
本の不等式：
5 x1
+
x1 + x2 ≤ 8
x2

4 x2
= 2x1 + 2 ≥ x2
=

8
+2

3
1
2x

2

1
(−2, 0) (8, 0)
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 で囲まれた領域
-1


許容領域 (9,15)

9
8
(0, 8)
7
6 (2, 6)
本の不等式：
5 x1 x1 + x2 ≤ 8
x2

+
x1 = 0

x2
=

4
= 2x1 + 2 ≥ x2
+2

8
3
1
2x

2
x1 ≥ 0
(0, 2)
1
(−2, 0) (8, 0)
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 で囲まれた領域
-1


許容領域 (9,15)

9
8
(0, 8)
7
6 (2, 6)
本の不等式：
5 x1 x1 + x2 ≤ 8
x2

+
x1 = 0

x2
=

4
= 2x1 + 2 ≥ x2
+2

8
3
1
2x

2
x1 ≥ 0
(0, 2)
1 x2 ≥ 0
(−2, 0) (0, 0) x2 = 0 (8, 0)
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 で囲まれた領域
-1


目的関数の等高線と最適解
[ ]
1
目的関数 Z(x1 , x2 ) x1 + 5x2 の等高線は，を法線ベクトルと
5
する平行線．

9
許容領域の中で，原点か
8
ら最も遠い (ie. 最も値の
7
高い) 等高線が通る点
6 (2, 6) Z (x1 , x )
2 = 32 (2, 6) が最適解で，最適
5 Z (x1 , x )
2 = 30 値は 32.
4
Z (x1 , x )
2 = 25
Z (x1 , x )
3 2 = 20
2 [ ]
1
1 5 Z (x1 , x )
2 = 10

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 Z (x1 , x )
2 =0


脱線 (1): 彼女が実家暮らしの場合

彼女の門限が厳しく，一緒に居られるのは 4 時間まで→
以下の制約によって許容領域が狭められる：
x2 ≤ 4
9
あたらしい制約によって
8
最適解は (4, 4), 最適値は
7
24 となる．
6

5
(4, 4) x2 = 4
4
Z (x1 , x )
Z (x1 , x ) 2 = 24
3 2 = 20

2 [ ]
1
1 5 Z (x1 , x )
2 = 10

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 Z (x1 , x )
2 =0


脱線 (2): 彼女とケンカした場合

バイトに精を出す方が彼女と一緒に居るより充実感を得られる→
目的関数が以下の式で表されるとする：
1
Z ′ (x1 , x2 ) x1 + x2
2 [ ]
9 1
目的関数の等高線は
8 0.5
7 を法線とする平行線．
6 最適解は (8, 0), 最適値は
Z(
′ x1
Z(
′ x1

5
8.
, x2
, x2
Z(
′ x1

)=

4
)=

8
, x2

7

3
)=

2 [ ]
4

1
1 0.5
(8, 0)
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 -1


脱線 (3): 彼女と仲直りした場合

彼女と一緒にいても充実できるが，付き合い始めた頃ほど情熱的
にもなれない→目的関数が以下の式で表されるとする：
Z ′′ (x1 , x2 ) x1 + x2
[ ]
9 1
目的関数の等高線は
8 1
7 を法線とする平行線．
6 (2, 6) (2, 6) と (8, 0) を結ぶ線分
Z ′′
5
(x 上の任意の点が最適解
Z ′′ 1,
4 x2
(x )= で，最適値は 8.
Z ′′ 1, 8
3 x2
(x )=
[ ] 1,
2 1 x2 6
)=
1 1 4
(8, 0)
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 -1


最適解の特徴

最適解は許容領域の端点 (ごく稀に辺 ) に限られる．
9 9

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 -1

9 9

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2 -1 -2 -1

つまり，端点を順に探していけば必ず最適解が見つかる．
許容領域の端点をシステマティックに表現・探索する方法は？


等式標準形

N 個の未知変数 x1 , x2 , · · · , xN を用いて，M 本の等式制約条件を
満足しながら，目的関数を最小化する．
等式標準形の線形計画問題
min c1 x1 + c2 x2 + ··· + cN xN
x1 ,x2 ,··· ,xN
s.t. a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2N xN = b2
.
. .
. .. .
. .
.
. . . . .
aM1 x1 + aM2 x2 + · · · + aMN xN = bM
x1 , x2 , ··· xN ≥ 0

任意の線形計画問題を同一の形式で記述できる
許容領域の端点をシステマティックに表現できる


等式標準形への変換方法 I

最大化問題は，目的関数の全ての係数に −1 を乗じる：

max x1 + 5x2 → min −x1 − 5x2
x1 ,x2 x1 ,x2

不等式制約は，まず，(x1 , x2 , · · · についての線形式) ≤ (定数)
の形に整理する：

2x1 + 2 ≥ x2 → −2x1 + x2 ≤ 2
非負の人工的な変数 (スラック変数) を導入することで，不等
式制約を等式に書き換える：

x1 +x2 ≤ 8 x1 +x2 +x3 = 8
−2x1 +x2 ≤ 2 −2x1 +x2 +x4 = 2
→
x2 ≤ 4 x2 +x5 = 4
x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0


等式標準形への変換方法 II
【補足】非負制約のない変数は，2 つの人工的な非負変数を
導入し，その差として表現する．

+ −
min − x1 + 2x2 , min − x1 + 2(x2 − x2 ),
+ −
x1 ,x2 x1 ,x2 ,x2

s.t. x1 + x2 = 1, + −
⇒ s.t. x1 + (x2 − x2 ) = 1,
x1 ≥ 0, x1 ≥ 0,
x2 は正でも負でも 0 でもよい + −
x2 , x2 ≥ 0


リア充問題 (彼女が実家暮らしの場合) の等式標準形とし
ての表現

min −x1 −5x2 +0 · x3 +0 · x4 +0 · x5
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5
s.t. x1 +x2 +x3 = 8
−2x1 +x2 +x4 = 2
+x2 +x5 = 4
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
行列とベクトルを使えば，もっとスッキリ記述できる．


目的関数をベクトルで表現

2 つの N 次元列ベクトル：
[ ]⊤ [ ]⊤
x = x1 x2 · · · xN , c = c1 c2 · · · cN

を用いて目的関数を書き直す (⊤ は行列の転置を表す記号)．

min c1 x1 + c2 x2 + ··· + cN xN
x1 ,x2 ,··· ,xN
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2N xN = b2
.
. .
. .. .
. .
.
. . . . .
aM1 x1 + aM2 x2 + · · · + aMN xN = bM
x1 , x2 , ··· xN ≥ 0


目的関数をベクトルで表現

2 つの N 次元列ベクトル：
[ ]⊤ [ ]⊤
x = x1 x2 · · · xN , c = c1 c2 · · · cN

を用いて目的関数を書き直す (⊤ は行列の転置を表す記号)．

min c⊤ x
x
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2N xN = b2
.
. .
. .. .
. .
.
. . . . .
aM1 x1 + aM2 x2 + · · · + aMN xN = bM
x1 , x2 , ··· xN ≥ 0


制約条件を行列とベクトルで表現

min c⊤ x
x
s.t. a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2N xN = b2
.
. .
. .. .
. .
.
. . . . .
aM1 x1 + aM2 x2 + · · · + aMN xN = bM
x1 , x2 , ··· xN ≥ 0



min c⊤ x
x
     
 a11 a12 · · · a1N   x1   b1 

     
 21 a22 · · · a2N   x2   b2 
 a


    
    
    
    

     
s.t.  .

 . . .. .   .  =  . 
.   .   . 
    
 .


.
. . .   .   . 
    
    
    
     
aM1 aM2 · · · aMN xN bM
x≥0



min c⊤ x
x
s.t. Ax = b
x≥0
   
 a11 a12 · · · a1N 

 
  b1 
 
 
 21 a22 · · · a2N 
a
 
  
 


 .
A=
 .  , b =  b2 

  
 
 . 
 . .
. .. . 
.   . 
 
 . 


 . . . 
  
 
 
   
aM1 aM2 · · · aMN bM
より簡潔に { }
min c⊤ x|Ax = b, x ≥ 0
x

と記述することもある．


等式標準形リア充問題のベクトル・行列表現

等式標準形リア充問題
min −x1 −5x2 +0 · x3 +0 · x4 +0 · x5
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5
s.t. x1 +x2 +x3 = 8
−2x1 +x2 +x4 = 2
x2 +x5 = 4
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

ベクトル・行列表現
{ }
min c⊤ x|Ax = b, x ≥ 0
x
[ ]⊤ [ ]⊤
x x1 x2 x3 x4 x5 , c −1 −5 0 0 0 ,
   
 1 1 1 0 0

 
 8
 
 

−2 1 0 1 0 ,   
A 

 

 b 2 
 
 
   
0 1 0 0 1 4


リア充問題の例
9

0
8

=
x4
7
x1 = 0

6
x1 +x2 +x3 = 8
−2x1 +x2 +x4 = 2
5

4
x5 = 0
3
x3
= x2 +x5 = 4
2
0
1
x2 = 0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1


9

0
8

=
基底変数/非基底変数:

x4
7

(xB |xN ) = (x1 , x2 , x3 |x4 , x5 )
x1 = 0

6

5

x5 = 0 x1 +x2 +x3 = 8
4
t

3
xN = (x4 , x5 )
x3
=
−2x1 +x2 +x4 = 2

2
0 x2 +x5 = 4

1       

x2 = 0  1 1 1  x1  0 0 [ ] 8

   
    x
 4  
 
−2 1 0  x2 +1 0
      
 x = 2
-2

-1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
      


   
  
    5
  
 
 
0 1 0 x3 0 1 4
AB AN

xN = (x4 , x5 ) = 0 として
AB xB = b を解けば，
(x1 , x2 , x3 ) = (1, 4, 3)
x が全て非負→実行可能


9

0
8

=

x4
7
x1 = 0

6
(xB |xN ) = (x3 , x4 , x5 |x1 , x2 )
5

4
x5 = 0 x3 +x1 +x2 = 8
x3
3 =
0 x4 −2x1 +x2 = 2
2
x5 +x2 = 4
1
txN = (x1 , x2 ) x2 = 0       
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0  x3   1 1 [ ] 8

   
    x
 1  
 
   
0 1 0  x4 +−2 1  
 x = 2
-1


   
  
   
 2  
 
 
      
0 0 1 x5 0 1 4
AB AN

xN = (x1 , x2 ) = 0 として
(x3 , x4 , x5 ) = (8, 2, 4)


9

0
8

=

x4
7

x1 = 0

6

(xB |xN ) = (x2 , x3 , x5 |x1 , x4 )
5

x5 = 0
4
x2 +x3 +x1 = 8
x3
3
= x2 −2x1 +x4 = 2
tx
2
N = (x1 , x4 )
0

x2 +x5 = 4
1

x2 = 0       

-1 1 1 0   x 2   1

    0 [ ] 8
 x  
1 0 0  x3 +−2  1  
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
   
     


   
  
   1 x = 2

 4  
 
 
      
1 0 1 x5 0 0 4
AB AN

xN = (x1 , x4 ) = 0 として
(x2 , x3 , x5 ) = (2, 6, 2)


9

0
8

=

x4
7

x1 = 0

6

(xB |xN ) = (x1 , x3 , x5 |x2 , x4 )
5

x5 = 0
4
x1 +x3 +x2 = 8
x3

3 = −2x1 +x2 +x4 = 2
2

0

x5 +x2 = 4
1
t

x2 = 0       

-1  1 1 0   x 1  1

    0 [ ] 8
 x  
−2 0 0  x3 +1  2  
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
   
     
xN = (x2 , x4 ) 

   
  
   1 x = 2

 4  
 
 
      
0 0 1 x5 1 0 4
AB AN

xN = (x2 , x4 ) = 0 として
xB = (x1 , x3 , x5 ) = (−1, 9, 4)
x1 が負→実行不可能


9 xN = (x1 , x3 )
8 t

0
Z Z

=
Z 基底変数/非基底変数:

x4
7
Z
x1 = 0

6
Z (xB |xN ) = (x2 , x4 , x5 |x1 , x3 )
5
Z x5 = 0
4 Z x2 +x1 +x3 = 8
Z x3
3
Z= 0 x2 +x4 −2x1 = 2
Z
2
Z x2 +x5 = 4
1
x2 = 0 Z       
Z 9 1 0 0   x 2   1 1 [ ] 8
Z 
     x  
1 1 0  x4 +−2  1  
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
   
     
0 x = 2
-1


   
  
   
 3  
 
 
      
1 0 1 x5 0 0 4
AB AN

xN = (x1 , x3 ) = 0 として
(x2 , x4 , x5 ) = (8, −6, −4)
x4 , x5 が負→実行不可能


9

0
Z
8
Z

=

x4
Zt
N = (x3 , x4 )
7
x1 = 0

6

x
Z (xB |xN ) = (x1 , x2 , x5 |x3 , x4 )
5

Z x5 = 0
4
Z x1 +x2 +x3 = 8

Z x3
3
Z= 0 −2x1 +x2 +x4 = 2
2
Z

Z x2 +x5 = 4

1
x2 = 0 Z       
Z 9  1 1 0  x1  1 0 [ ] 8
-2

-1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
Z 

   
  
    x
 3
  
 
 
−2 1 0  x2 +0 1

   
    x = 2
  
 

   
    4
  
 
0 1 1 x5 0 0 4
AB AN

xN = (x3 , x4 ) = 0 として
(x1 , x2 , x5 ) = (2, 6, −2)
x5 が負→実行不可能


9

0
Z
8
Z

=

x4
7
Z
x1 = 0

6
Z (xB |xN ) = (x1 , x2 , x4 |x3 , x5 )
5
Z xN = (x3 , x5 ) x = 0
4 Zt 5
x1 +x2 +x3 = 8
Z x3
3
Z 0= −2x1 +x2 +x4 = 2
Z
2
Z x2 +x5 = 4
1
x2 = 0 Z       
Z 9  1 1 0  x1  1 0 [ ] 8
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
Z 

   
  
    x
 3
  
 
 
-1
−2 1 1  x2 +0 0

   
    x = 2
  
 

   
    5
  
 
0 1 0 x4 0 1 4
AB AN

xN = (x3 , x5 ) = 0 として
(x1 , x2 , x4 ) = (4, 4, 6)


9

0
Z
8
Z

=

x4
7
Z
x1 = 0

6
Z (xB |xN ) = (x1 , x4 , x5 |x2 , x3 )
5
Z x5 = 0
4 Z x1 +x2 +x3 = 8
Z x3
3
Z= 0 −2x1 +x4 +x2 = 2
Z
2
Z x5 +x2 = 4
1
x2 = 0 Z t       
Z 9  1 0 0   x 1  1 1 [ ] 8
Z 
     x  
−2 1 0  x4 +1  2  
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
   
     
xN = (x2 , x3 ) 0 x = 2
-1


   
  
   
 3  
 
 
      
0 0 1 x5 1 0 4
AB AN

xN = (x2 , x3 ) = 0 として
(x1 , x2 , x5 ) = (8, 18, 4)


9 xN = (x1 , x3 )
t

0
8
特に，xN = 0 とした解：

=
x4
7
txN = (x3 , x4 ) [ ] [ −1 ]
x1 = 0

6
x AB b
5
xN = (x3 , x5 )
x= B =
4
t t x5 = 0 xN 0
xN = (x4 , x5 ) x3
3 =
t
2 x N = (x1 , x4 )
0 は基底解と呼ばれ，許容領域
1
を構成する直線の「交点」に
t txN = (x1 , x2 ) x2 = 0 t 対応する．
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xN = (x2 , x4 )-1
xN = (x2 , x3 ) 基底解の中で，x ≥ 0 を満足す
るものは実行可能基底解と呼
変数を基底変数 xB ，非基底変数 xN ばれ，許容領域の「端点」に
に分解すれば，等式制約 Ax = b を満対応する．
たす解は
[ ] [ −1 ] 端点は表現できた．次は，
xB AB (b − AN xN )
x= = ある端点が最適解か否か
xN xN
を判定する方法
と xN のみを用いて表せる．最適解でなかったときに，
次の端点を探索する方法


リア充問題の実行可能基底解と最適性

たとえば，非基底変数を基底解 (xB |xN ) = (8, 2, 4|0, 0) は
xN = (x1 , x2 ) とする．実行可能で，端点 (0, 0) に相当．
目的関数および等式制約は 9

0
8

=
x4
Z(x) = −x1 −5x2 7

x1 = 0
s.t. x3 +x1 +x2 = 8 6

x4 −2x1 +x2 = 2 5
x5 = 0
x5 +x2 = 4 4
x3
3 =
0
非基底変数 xN のみで表せば 2

1
t x2 = 0
Z = −x1 − 5x2 , -2 -1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9

 x  8  1 
1 [ x ]
 3   
 x  2 −2
     
 4 =   − 
     1 1 .

 x2
基底解における目的関数は Z = 0.
x5 4 0 1 目的関数の xN に関する係数は
(−1, −5) でどちらも負なので， x1
や x2 を増やせば目的関数は減少


基底変数の入れ替えと次の実行可能基底解
x1 = 0 のまま x2 を増やす．ここで，
 x  8 1 ゼロとなった基底変数 x4
 3    
     
xB =  x4  = 2 − 1 x2
     
      非負となった非基底変数 x2
x5 4 1 を入れ替えれば，新しい実行可
能基底解
xB ≥ 0 であるためには，
 (xB |xN ) = (x2 , x3 , x5 |x1 , x4 )
 x3 = 8 − x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 8,



 x4 = 2 − x2 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 2,
 = (2, 6, 2|0, 0)
x = 4 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
 5 2 2
が得られる．この入れ替えをピ
このうち，目的関数を最も小さボット操作と呼ぶ．
くするのは，この基底解における目的関数は

x2 = min {8, 2, 4} = 2 Z = −x1 − 5x2 = −10

と選んだときで，このときで，入れ替え前の目的関数
(x3 , x4 , x5 ) = (6, 0, 2) となる． Z = 0 よりも小さい．


ピボット操作：より目的関数の小さい隣合う端点へ

9
xB xN
8 0 Z
=
x3 x4 x5 x1 x2
x4

7
x1 = 0

6 8 2 4 0 0 0
5
x5 = 0  
 x2 = 0  x2 = 2
4

3
x3
= 
 

0 
x = 2 →
x = 0
2
 4  4
1
txN = (x1 , x2 ) x2 = 0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1


ピボット操作：より目的関数の小さい隣合う端点へ

9
xB xN
8 0 Z
=
x3 x4 x5 x1 x2
x4

7
x1 = 0

6 8 2 4 0 0 0
5
x5 = 0  
 x2 = 0  x2 = 2
4

3
x3
= 
 

txN = (x1 , x4 ) 0 
x = 2 →
x = 0
2
6
 4  4
1
d x2 = 0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 xB xN
Z
x2 x3 x5 x1 x4
2 6 2 0 0 -10
1 組の基底変数と非基底変数の入れ
替えは，「ある端点」から「より目的
関数の小さい隣の端点」への移動に
相当．


2 回目の挑戦 (最適性のチェック)
基底変数を非基底変数 xN のみ
9 0 で表せば
8
=

1 1 0  x  8  1 0 [ ]
x4

7

1 0 0  x2  2 −2 1 x1
     
x1 = 0

6 

   3  =  − 
    
     
 x
 4
5
x5 = 0
1 0 1 x5 4 0 0
4

3
x3
=
[ ]
110
2
txN = (x1 , x4 ) 0 AB = 100 の逆行列を用いて
101
1
x2 = 0
 x  1 1 0−1 8  1 0 [ ]
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 2 
 x  1 0 0 2 −2 1 x1 
    
 3 =     −   x 
 
-1
  
      
     

非基底変数 xN = (x1 , x4 ) x5 1 0 1 4 0 0 4
目的関数および等式制約： 2 −2 1  [ ]
  
    x

= 6 −  3 −1 x1
  
   

Z(x) = −5x2 −x1 2 2 −1 4
s.t. x2 +x3 x1 =8
x2 −2x1 +x4 = 2
x2 +x5 =4


9
0 で表せば
8
=
 x  2 −2 1  [ ]
x4

7
 2   
 x  6  3 −1 x1

x1 = 0

6  3 =   − 
    
     

 x
5
x5 = 0
x5 2 2 −1 4
4
x3
3 = x2 = 2 + 2x1 − x4 を目的関数に
2
txN = (x1 , x4 ) 0
1
代入すれば，
x2 = 0
2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 Z = −x1 − x2 = −x1 − 2 − 2x1 + x4
非基底変数 xN = (x1 , x4 ) = −3x1 + x4 − 2.
目的関数および等式制約：
非基底変数 xN = (x1 , x4 ) に関
Z(x) = −5x2 −x1
s.t. x2 +x3 x1 =8 する係数は (−3, 1) なので，
x2 −2x1 +x4 = 2 x1 を増やせば目的関数は減少．
x2 +x5 =4


2 回目の挑戦 (基底変数の入れ替え)
 x  2 −2 ゼロとなった基底変数 x5
 2    
     
xB =  x3  = 6 −  3  x1
     
      非負となった非基底変数 x1
x5 2 2
を入れ替えることで，新しい実
xB ≥ 0 であるためには，行可能基底解

 x2 = 2 + 2x1 ≥ 0 ⇒ x1 ≥ 0 なら OK
 (xB |xN ) = (x1 , x2 , x3 |x4 , x5 )


 x3 = 6 − 3x1 ≥ 0 ⇒ x1 ≤ 2

 = (1, 4, 3|0, 0)
x5 = 2 − 2x1 ≥ 0 ⇒ x1 ≤ 1
が得られる．
このうち，目的関数を最も小さ
この基底解における目的関数は
くするのは，
Z = −x1 − 5x2 = −21
x1 = min {2, 1} = 1
で，入れ替え前の目的関数
と選んだときで，このとき
Z = −10 よりも小さい．
(x2 , x3 , x5 ) = (4, 3, 0) となる．


2 回目の挑戦 (端点から端点へ)
xB xN
Z
9
x3 x4 x5 x1 x2
8 0
=
8 2 4 0 0 0
x4

7
x1 = 0

6

5
基底変数 x4 ↔ 非基底変数 x2
x5 = 0
4
x3 xB xN
3 = Z
2
txN = (x1 , x4 ) 0 x2 x3 x5 x1 x4
1
6 2 6 2 0 0 -10
dxN = (x1 , x2 ) x2 = 0
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1


xB xN
Z
9
x3 x4 x5 x1 x2
8 0
=
8 2 4 0 0 0
x4

7
x1 = 0

6

5
t x5 = 0
4

xB xN
3
xN = (x4 , x5 ) x3 = Z

d
2 x N = (x1 , x4 )
0 x2 x3 x5 x1 x4
1
6 2 6 2 0 0 -10
dxN = (x1 , x2 ) x2 = 0
-2 -1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
xB xN
Z
x1 x2 x3 x4 x5
1 4 3 0 0 -21


9 0 で表せば
8
=

 1 1 1  x  8 0 0 [ ]
x4

7

−2 1 0  x1  2 1 0 x4
     
x1 = 0

6 

   2  =  − 
    
     
 x
 5
5
x5 = 0
0 1 0 x3 4 0 1
4
t
3
xN = (x4 , x5 ) x3
=
[ ]
1 11
2
0 AB = −2 1 0 の逆行列を用
0 10
1
x2 = 0 いて
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
 x   1 1 1−1 8 0 0 [ ]
 x  −2 1 0 2 1 0 x4 
 1      
非基底変数 xN = (x4 , x5 )  2 = 
  
      − 
   
     x 

 


目的関数および等式制約： x3 0 1 0 4 0 1 5
1 −0.5 0.5  [ ]
  
   

Z(x) = −x1 −5x2 = 4 −  0
  
   1  x4
 x

s.t. x1 +x2 +x3 =8 3 0.5 −1.5 5
−2x1 +x2 +x4 =2
x2 +x5 = 4


9
0
で表せば
8
=
 x  1 −0.5 0.5  [ ]
x4

7
 1   
 2 =   − 
 x  4  0 

x1 = 0

6
    
     1  x4

 x
5
x5 = 0
x3 3 0.5 −1.5 5
4
t
xN = (x4 , x5 ) x3
=
[
[ x1 ] ]
= 1+0.5x4 −0.5x5 を目的関数
3

2
0 x2 4−x5
1 に代入すれば，
x2 = 0
2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
Z = −1 − 0.5x4 + 0.5x5 − 20 + 5x5
非基底変数 xN = (x4 , x5 )
= −21 − 0.5x4 + 5.5x5 .
目的関数および等式制約：
非基底変数 xN = (x4 , x5 ) に関
Z(x) = −x1 −5x2
s.t. x1 +x2 +x3 =8 する係数は (−0.5, 5.5) なので，
−2x1 +x2 +x4 =2 x4 を増やせば目的関数は減少．
x2 +x5 = 4


3 回目の挑戦 (基底変数の入れ替え)
 x  1 −0.5 ゼロとなった基底変数 x3
 1   
     

xB =  x2  = 4 −  0  x4
    
     
 非負となった非基底変数 x4
x3 3 0.5
入れ替えれば，新しい実行可能
xB ≥ 0 であるためには，基底解

 x1 = 1 + 0.5x4 ≥ 0 ⇒ x1 ≥ 0 なら OK
 (xB |xN ) = (x1 , x2 , x4 |x3 , x5 )


 x2 = 4 ≥ 0


⇒ x1 とは無関係 = (4, 4, 6|0, 0)
x3 = 3 − 0.5x4 ≥ 0 ⇒ x4 ≤ 6
が得られる．
従って，目的関数を最も小さく
この基底解における目的関数は
するのは，
Z = −x1 − 5x2 = −24
x4 = 6
で，入れ替え前の目的関数
と選んだときで，このとき
Z = −24 よりも小さい．
(x1 , x2 , x3 ) = (4, 4, 0) となる．


xB xN
Z
x3 x4 x5 x1 x2
9

8 0 8 2 4 0 0 0
=
x4

7
x1 = 0

6

5 xB xN
t x5 = 0 Z
4 x2 x3 x5 x1 x4
3

xN = (x4 , x5 ) x3 =

d
2 x N = (x1 , x4 )
0 2 6 2 0 0 -10
6
1
dxN = (x1 , x2 ) x2 = 0 基底変数 x5 ↔ 非基底変数 x1
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 xB xN
Z
x1 x2 x3 x4 x5
1 4 3 0 0 -21


xB xN
Z
x3 x4 x5 x1 x2
9

8 0 8 2 4 0 0 0
=
x4

7
x1 = 0

6

5 xB xN
4
d -xN = (x3 , x5 ) x5 = 0
t x2 x3 x5 x1 x4
Z
3

xN = (x4 , x5 ) x3 =

d
2 x N = (x1 , x4 )
0 2 6 2 0 0 -10
6
1
dxN = (x1 , x2 ) x2 = 0 基底変数 x5 ↔ 非基底変数 x1
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1 xB xN
Z
x1 x2 x3 x4 x5
1 4 3 0 0 -21
xB xN
Z
x1 x2 x4 x3 x5
4 4 6 0 0 -24

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