Clase introductoria sobre tasas de interés

1. Matemáticas financieras:
Tasa de Interés
Ing. Narciso Arméstar Bruno
2012

2. Interés Simple
• Es una tasa directamente proporcional al tiempo.
• Si el interés es 10% al año y me prestan S/. 1,000
– En un año acumulo por interés S/.100
– En dos años acumulo S/. 200
– En tres años acumulo S/. 300, etc. etc.

3. Interés Sinple
Representamos una operación financiera
en el siguiente esquema de tiempo:
VF
i = interés por periodo
N periodos
VA

4. Interés Simple
Entonces para un interés simple usamos la siguiente
Relación, para hallar el valor futuro :
VF = VA + VA x i x N
El VF de S/. 1000 en tres años al 10 % anual será:
VF = 1000 + 1000 x 0.10 x 3
VF = 1000 + 300
VF = 1300

5. INTERÉS SIMPLE
Valor
Futuro
1,300
1,100
1,000
1 3
Periodos

6. INTERES COMPUESTO
• Se llama interés compuesto, aquel que al final del periodo
capitaliza los intereses devengados en el periodo
inmediatamente anterior.
• Se habla de intereses sobre intereses porque los intereses
obtenidos en un periodo ganan intereses en el periodo
siguiente.

7. INTERES COMPUESTO
• Se deposita S/. 50,000 por 4 periodos al 6% por periodo
Periodo Intereses Total
0 0 50,000.0
1 50,000 (0.06)=3000 53,000.0
2 53,000 (0.06)=3180 56,180.0
3 56,180 (0.06)=3370.8 59,550.8
4 59,550.8 (0.06)=3573 63,123.8

8. INTERES COMPUESTO
• Obtenemos el mismo resultado si aplicamos la siguiente
fórmula:
VF = VA x ( 1+ i )N
VF = 50,000 x ( 1+ 0.06 )4
VF = 63,123.8

9. INTERES NOMINAL
• Es la tasa que expresada anualmente puede capitalizar
varias veces en el año
• Siempre se especifica cómo capitaliza
• Ejemplo:
– 21 % anual nominal capitalizable trimestral
– 21 % capitalizable trimestral
– 21 % anual trimestre vencido

10. INTERES EFECTIVO
• Es la tasa que realmente se aplica en el periodo de capitalización
sobre el capital para calcular los intereses
• Ejemplo:
– 9 % trimestral
– 25 % efectiva anual
– 9 % trimestre vencido
• Todas las operaciones financieras se calculan al interés efectivo

11. INTERES EFECTIVO
• Formula usada es la siguiente:
1 + TEA = ( 1 + TNA / m ) n
Donde “m” es el número de periodos en que
se divide el año y “n” es el número de periodos
que se quiere capitalizar

12. INTERES EFECTIVO
• Cuando menor es el periodo de capitalización, mayor es la tasa
efectiva anual
TNA : 10%
Capitalización TEA
semestral 10.25%
cuatrimestral 10.34%
trimestral 10.38%
bimestral 10.43%
mensual 10.47%
diario 10.52%

13. INTERES EFECTIVO
TEA
ei-1
Capitalización

14. TASA VENCIDA
Cuando el periodo de pago o cobro de los intereses coincide con
el periodo de capitalización
1,100
Interés: 10 % anual vencido
1 año
1,000

15. TASA ADELANTADA
Cuando el periodo de pago o cobro de los intereses se anticipa
al periodo de capitalización
1,000
Interés: 10 % anual adelantado
100
1 año
1,000

16. TASA ADELANTADA
El flujo de efectivo queda así :
Interés: 10 % anual adelantado
1,000
El interés efectivo queda como:
( 1000 / 900 ) –1 = 0.1111 ó 11.11 %
1 año
900

17. TASA ADELANTADA
La formula para el interés adelantado es la siguiente:
Interés efectivo Interés vencido
Adelantado = --------------------------
1 – Interés vencido
Repitiendo el cálculo anterior
IEA = 0.10 / ( 1 – 0.10 ) = 0.10 / 0.90 = 0.1111

18. TASA ADELANTADA vs VENCIDA
TEA
Interés adelantado
ei-1
Interés vencido
Capitalizació

19. TASA EQUIVALENTE
• Se dice que dos tasas son equivalentes cuando ambas,
operando en condiciones diferentes dan el mismo resultado
efectivo
• Ejemplo : ¿Qué tasa trimestral es equivalente a 3 %
mensual?
TET = ( 1+ 0.03 ) 3 - 1 = 0.0927
TET = 9.27%

20. TASA EQUIVALENTE
• Ejemplo : ¿Qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente
es equivalente al 18% efectivo semestral ?
TES = ( 1+ TNA / 4 ) 2 - 1
0.18 = ( 1 + TNA/ 4 )2 –1
1.18 = ( 1 + TNA/ 4 )2
1.18 ½ = ( 1 + TNA / 4 )
1.0863 = ( 1 + TNA / 4 )
0.0863 = TNA / 4
8.63 % = TNA / 4 TNA = 34.51 %

21. TASA EQUIVALENTE
• Ejemplo : ¿Qué tasa mensual es equivalente a al 34 % nominal
semestral?
TES = ( 1+ TNA / 12 ) 6 - 1
0.17 = ( 1 + TNA / 12 )6 –1
1.17 = ( 1 + TNA / 12 )6
1.17 1/6 = ( 1 + TNA / 12 )
1.0265 = ( 1 + TNA /12 )
0.0265 = TNA / 12
2.65 % = TNA / 12 TM = 2.65 %

22. TASA EQUIVALENTE
• Ejemplo : ¿Qué tasa nominal trimestral es equivalente al 33 %
nominal mensual ?
( 1+ TNA/12)12 = ( 1 + TNA/4)4
( 1+ 0.33/12)12 = ( 1 + TNA/4)4
( 1+ 0.0275)3 = ( 1 + TNA/4)
1.0847895 = ( 1 + TNA/4)
0.0847895 = TNA/4
0.3391 = TNA TNA = 33.91 %

23. TASA REAL
TASA CORRIENTE - INFLACION
TASA REAL = ------------------------------------
1 + INFLACION

24. TASA DE DEVALUACIÓN
• Es la medida de la perdida de valor de la unidad monetaria nacional
frente a otra moneda extranjera
• Se tiene en cuenta cuando queremos saber el costo en moneda
nacional de un crédito en moneda extranjera
Interés Soles = ( 1+ Interés Dólares) x ( 1+Devaluación) -1

25. ¿Cómo calculamos la devaluación?
Enero 3.43
• Supongamos el siguiente
Febrero 3.45 comportamiento del tipo de cambio:
Marzo 3.48
Abril 3.51
Mayo 3.515
Junio 3.50
Julio 3.47
Agosto 3.46
Setiembre 3.455
Octubre 3.45
Noviembre 3.44
Diciembre 3.49

26. 3.52 • Para saber el nivel de devaluación
necesitamos saber solamente el
3.5
valor final y el inicial del tiempo
3.48 en análisis.
3.46 • D.A = (3.49/3.43) –1
Tipo
3.44 Cambio • D.A = 1.75 %
3.42
3.4
3.38
ene may set

27. MATEMATICAS FINANCIERAS :
FACTORES
27

28. ¿Qué es un factor?
• Este tema surge de la idea de
equivalencia del valor del
dinero en el tiempo.
• ¿A que es equivalente 1,000
soles de hoy en diciembre de
este año?

29. ¿Qué puede determinar la equivalencia?
S/.1,000 ?
Hoy
Noviembre 2011 Noviembre 2012

30. ¿Qué puede determinar la equivalencia?
• ¿Será la Inflación?
– Supongamos que la inflación es cero
• ¿Será la Devaluación?
– Suponemos que el tipo de cambio no varía en el año
• ¿Será la oportunidad que tengo hoy de ganar algo con ese
dinero?
– Parece ser una razón sustentable

31. ¿Qué oportunidades tengo hoy con el dinero?
• Invertir en Bolsa
• Comprar un bien
• Depositar en Ahorros
• Comprar dólares
• etc. etc. etc.

32. Recuperar la oportunidad perdida hace la equivalencia
• Esa oportunidad perdida está representada en una tasa
de interés.
• Si la oportunidad perdida fuera de 10%
• Los S/. 1,000 de hoy equivalen
a S/. 1,100 en diciembre 2004

33. Hay dos formas de equivalencia
• Si se busca una equivalencia hacia el futuro se dice que el factor es
de CAPITALIZACIÓN
• Si se busca una equivalencia hacia el pasado se dice que el factor es
de ACTUALIZACION
• Se estudiará distintos factores dependiendo del flujo de dinero que
se analice

34. Convención de fin de Periodo
Ingreso ( + )
5 8
Se supone que todo ocurre
Egreso ( - ) al fin del periodo

35. Factor de actualización de un Pago Simple
Dado como dato “F”, “n”, y
el interés por periodo “i” se F
pide hallar el equivalente en el “i” por periodo
presente “P”
n
F
P = -------------
( 1 + I )n P=?
1
( P/F , i , n ) = --------------
( 1+ I )n

36. Factor de capitalización de un Pago Simple
Dado como dato “F”, “n”, y
el interés por periodo “i” se F =??
pide hallar el equivalente en el
presente “P”
I periodo
n
F = P ( 1 + I )n
P
( F/P , i , n ) = ( 1+ I )n

37. Factor de actualización de una serie de Pagos Uniformes
(1+I)n - 1 F
A
P = A -----------
(1+I)n x I
n
I periodo
1+I)n - 1 P= ??
( P/A , i , n ) = --------------
(1+I)n x I

38. Factor de capitalización de una serie de Pagos Uniformes
F =?? (1+I)n - 1
A
F = A -----------
n I
P I periodo
(1+I)n - 1
( F/A , i , n ) = --------------
I

39. Serie de pagos en crecimiento Aritmético
G 2G 3G 4G 5G …………… (N-1)G
A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 ………. N

40. Factor de Actualización de una Serie de pagos en
crecimiento Aritmético
0 1 2 3 4 5 6 ........................... n
G 2G 3G 4G 5G …………… ( N-1 ) G
P = ??

41. Dado el valor del gradiente aritmético “G”, la tasa de interés I y
número de periodos N, hallamos su equivalente en el presente
(1 + i )N – 1 N 1
P= G ------------------- - --------------- x -------
( 1 + i )N i (1+i)N i

42. Factor de Capitalización de una Serie de pagos en
crecimiento Aritmético
F = ???
(N – 1)G
5G
4G
3G
2G
G
0 1 2 3 4 5 6 ........................... n
P

43. Dado el valor del gradiente aritmético “G”, la tasa de interés I y
número de periodos N, hallamos su equivalente en el presente
(1 + I)N – 1 1
F= G ------------------- - N x -------
I I

44. Transformar un Flujo de pagos Uniformes en pagos crecientes.
1 N
A=G ------- - -----------
I (1+I)N -1

45. A
G
0 N 0 N
1 N
A=G ------- - -----------
i (1+i)N -1

46. Ejemplos Diversos

47. EJERCICIOS DE MATEMATICAS
FINANCIERAS : FACTORES
47

48. Encontrar “P” en la gráfica :
40
30
1 2 3 4 5
P
Si la tasa de interes por periodo es 10%

49. Solución 1
P = 30 ( P/F,10%,4) + 40 ( P/F,10%,5)
30 40
P = --------------- + -----------------
( 1 + 0.1 )4 ( 1 + 0.1 )5
P = 45.32

50. Solución 2: llevar todo al periodo 3 y de allí toda al
periodo cero
P = 30 ( P/F,10%,1) + 40 ( P/F,10%,2) (P/F,10%,3)
P = 45.32

51. Solución 3: llevar todo al periodo 5 y de allí todo al
periodo cero
P = 30 ( F/P,10%,1) + 40 (P/F,10%,5)
P = 45.32

52. Calcular “B” en el siguiente flujo, si i= 8%
B 30 30 30 40 40 40 B
B
Respuesta : B = - 190

53. Solución :
B = 30(F/A,8%,3)(F/P,8%,1) + 40(P/A,8%,3) +
B(F/P,8%,4) + B(P/F,8%,3)
B = 30(3.506112) + 40(2.577097) + 1.360489 B +
0.7350298 B
B = 208.2673 + 2.0955 B
- 1.09552 B = 208.2673 => B = - 190.108

54. Calcular “C” si i=12%
4C
3C
2C
C C
1 2 3 4 5
500
Respuesta: C = 68.6

55. Solución
500 = C (P/F,12%,1) + C (P/G,12%,5)
500 = 0.892857 C + 6.397016 C
500 = 7.289873 C
68.588 = C

56. Resolver:
Durante 11 años se hicieron depósitos cada fin de año de US
$ 750, menos el año 5, es decir se hacen 10 pagos
efectivos. Si la tasa de interés involucrada en esta
operación es de 5%. ¿Cuál es el valor presente de esta
serie de pagos?

57. Solución 1
P = 750 (P/A,5%,11) – 750 (P/F,5%,5)
P = 750 (8.306414) – 750 (0.78352617)
P = 5642.17

58. Solución 2
P = 750 (P/A,5%,4) +
750 (P/A,5%,6)(P/F,5%,5)
P = 750 (3.5459505) – 750 (5.07569207) (0.78352617)
P = 2659.46 + 2982.70
P = 5642.17

59. Resolver:
El exclusivo club deportivo FALSASO, ofrece dos
opciones a quien quiere ser socio: un solo pago de
US$10,000 que le da derecho a una membresía por 10
años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer
pago se abonará US$1200 y se aumentara cada año 100.
A un interés del 12%.¿QUÉ CONVIENE?

60. Solución:
2100
G = 100
1200
-2 -1 0 9
P

61. Solución :
Vamos a hallar el presente de los pagos anuales:
P = 100 (P/G, 12%,10) (F/P, 12%, 1)
+ 1200 (P/A,12%,10) (F/P,12%,1)
P = 100 ( 20.2540889 ) ( 1.12 )
+ 1200 ( 5.65022303) ( 1.12 )
P = 2268.45795 + 7593.89975
P = 9862.3577
Se ahorra entonces : 10,000 -9862.3577 = 137.64

62. Resolver :
Una persona compró un TV en US$ 750 y acordó pagarlo en 24
mensualidades iguales, comenzando un mes después de la
compra. El Contrato también estipula que el comprador deberá
pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades
equivalentes a 3 pagos mensuales. Si el televisor lo compró el 1
de enero de 2004, deberá pagar en diciembre de 2004 y
diciembre de 2005 cuatro mensualidades, una normal y 3
extras. Si el interés mensual es de 1 %. ¿cuánto es la cuota
mensual?

63. Solución:
750 = A (P/A,1%,24) + 3A (P/F,1%,12) +
3A (P/F,1%,24)
750 = A (21.2433873)+ 3A (0.88744923) +
3A (0.78756613 )
750 = 21.2433873 A + 2.66234768 A +
2.36269838 A
750 = 26.2684333 A
28.55 = A

64. Resolver:
En el mismo problema anterior se decide pagar además de
las cuotas uniformes, un solo pago de US$ 200 en
diciembre de 2004. Es decir en el mes 12 sólo se paga los
US$200. ¿A cuanto asciende las mensualidades si el interés
mensual es el mismo?

65. Solución:
750 = A (P/A,1%,11) + 200 (P/F,1%,12)
+ A (P/A,1%,12) (P/F,1%,12)
750 = 10.3676282 A + 200 (0.88744923)
+ (11.2550775)(0.88744923) A
750 = 20.355938 A + 177.489845
572.510155 = 20.355938 A
28.12 = A

66. Resolver:
Se depositan US$12,222 en un banco que paga un
interés del 15% anual capitalizado cada mes. Si se
estima que será necesario retirar US$1,800 cada tres
meses, ¿cuántos retiros de 1,800 se podrán hacer hasta
extinguir totalmente el depósito?
Respuesta : 8 retiros

67. Solución:
Cada periodo es de tres meses, por lo que necesitamos la tasa efectiva trimestral:
Imes = 15%/12 = 1.25%
I trimestre = ( 1.0125 ) 3 –1 = 3.797%
1.03797 n -1
12,222 = 1800 ( -------------------------- )
1.03797 n 0.03797
6.79 (1.03797n) 0.03797 = 1.03797 n –1
1.34738399 = 1.03797 n
log (1.34738399) = n log(1.03797)
0.12949138 = 0.0161851 n
8.00 = n

68. Resolver:
Si un usurero presta US$ 1,000 a cambio de recibir US$
1,100 al cabo de una semana y se supone que esta practica
la realiza en forma continua durante todo un año. ¿cuál es
la tasa efectiva de interés anual que habrá ganado?
Respuesta : 14,299 %

69. El interés por 7 días es 10%
El interés por un año será:
(365/7)
( 1.10 ) - 1 = 14,299%

70. Resolver :
Se depositan US$2500 en un banco que paga un interés del 14%
anual capitalizado cada semana. Seis meses después del primer
depósito se retiran US$1,000. Al cabo de un año del depósito inicial,
vuelven a depositarse los US$1,000. Si en lo sucesivo ya no hay
movimientos de dinero, ¿cuánto se tendrá acumulado después de
18.5 meses de haber iniciado las operaciones?
Respuesta : 3,016.85

71. Solución:
1,000
6 12 18.5
1,000
2,500
El interés semanal es 14% /52 = 0.2692 %
El interés mensual es (1.002692)^(30/7) –1 = 1.1588%
Llevando todo al periodo 18.5

72. Solución :
F (18.5) = 2500 (1.011588)18.5
– 1000 (1.011588)12.5
+ 1000 (1.011588) 6.5
F (18.5 ) = 3,016.85

73. ¿Preguntas?
73