Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to Η Χρυσή τομή
More from Natasa Liri
More from Natasa Liri (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (10)
Η Χρυσή τομή
- 1. Η Χρυσή Τομή & Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου (1490) Λεονάρντο Ντα Βίντσι
- 2. Βιτρούβιος (Marco Vitruvio Pollione) Ρωμαίος συγγραφέας, αρχιτέκτονας & μηχανικός. Είναι κυρίως γνωστός για την μελέτη του περί Αρχιτεκτονικής: «Δέκα βιβλία αρχιτεκτονικής» Οι πηγές τους: Κείμενα Ελλήνων Αρχιτεκτόνων
- 3. Ο Βιτρούβιος ήταν ο πρώτος που έγραψε τα κάτωθι για το ανθρώπινο σώμα: •Το ύψος ενός ανθρώπου είναι τέσσερις πήχεις (και άρα 24 παλάμες) •Το μήκος των χεριών ενός άντρα σε διάταση είναι ίσο με το ύψος του •Η απόσταση από το αγκώνα ως την άκρη του χεριού είναι το ένα-πέμπτο του ύψους του άνδρα •Η απόσταση από τον αγκώνα ως την μασχάλη είναι το ένα-όγδοο του ύψους του άνδρα
- 4. Ποια είναι η θέση του ανθρώπου σε σχέση με τον κύκλο; Παρατηρήστε την στάση του: Τα πόδια του βρίσκονται σε διάσταση και τα χέρια του είναι ελαφρώς υψωμένα Εφάπτεται στον κύκλο
- 5. •Το κεφάλι και τα πόδια του ακουμπάνε στις πλευρές του τετραγώνου, όπως και τα ακροδάχτυλα των χεριών του. Άρα •Το ύψος του είναι ίσο με την απόσταση των ακροδαχτύλων των χεριών του Ποια είναι η θέση του ανθρώπου σε σχέση με το τετράγωνο;
- 6. Ο λόγος της απόστασης του ώμου από τις άκρες των δακτύλων προς την απόσταση του αγκώνα από τις άκρες των δακτύλων είναι ίσος με φ. Ο λόγος της απόστασης της λεκάνης από το πάτωμα προς την απόσταση του γονάτου από το πάτωμα είναι ίσος με φ.
- 7. «O Χρυσός Αριθμός φ» Ο λόγος της απόστασης της κορυφής του κεφαλιού από το πάτωμα προς την απόσταση του αφαλού από το πάτωμα είναι ίσος με “φ”. φ=1,618
- 8. Ο Χρυσός αριθμός φ φ=1,618 Θεωρούταν από τους Αρχαίους Έλληνες ως η ΘΕΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ όπου η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα και κατασκευές οδηγούσε σε «άριστα» και «ωραία» αποτελέσματα.
- 9. Η Χρυσή τομή Η χρυσή τομή είναι η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος, έτσι ώστε να προκύπτει η αναλογία:
- 10. Η Χρυσή αναλογία b b Το σύνολο προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με το μεγαλύτερο τμήμα προς το μικρότερο. Συμβολίζεται με το γράμμα «φ» προς τιμήν του Φειδία
- 11. Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη Χρυσής τομής • Κατασκευάζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, μήκους 1 • Κατασκευάζουμε κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ=ΑΒ/2 • Σχηματίζεται έτσι, ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Γράφουμε κύκλο (Γ, ΒΓ), ο οποίος τέμνει την ΑΓ στο Δ • Γράφουμε κύκλο (Α, ΑΔ), ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο Ε EB AE AE EBAE
- 12. Ο Πυθαγόρας & Ο Χρυσός Λόγος Πυθαγόρας ο Σάμιος (585-500π.Χ.) Ίδρυσε Φιλοσοφική Σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας Ένα από τα κύρια σύμβολα της Σχολής των Πυθαγορείων είναι :Το Πεντάγραμμο Ή Πεντάλφα
- 13. Η Χρυσή τομή στο σύμβολο των Πυθαγορείων I
- 14. Ο Παρθενώνας Ένα ιδιαίτερα γνωστό κτίσμα της αρχαιότητας φημισμένο για την αρμονία των αναλογιών του.
- 15. Αιγύπτιοι-Χρυσή Πυραμίδα • Οι πυραμίδες της Αιγύπτου καθώς και οι μαθηματικές κανονικές πυραμίδες που μοιάζουν με αυτές μπορούν να αναλυθούν σε σχέση με την χρυσή αναλογία. a =φb
- 16. Ο Fibonacci & Ο Αριθμός φ • Ο Fibonacci (~ 1170-1250). (Λεονάρντο της Πίζας ή Λεονάρντο Πιζάνο) Έμεινε στην ιστορία για την • Ακολουθία Fibonacci • Εισαγωγή στην Ευρώπη του Αραβικού δεκαδικού συστήματος
- 17. Ακολουθία Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 22, 35, 57, 92, 149,…….. ►Κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Δηλαδή: 0+1=1 Με όρους Άλγεβρας: 2+1=3 2+3=5 5+3=8 13+8=22 22+13=35…… αν = αν-1 + αν-2
- 18. Ακολουθία Fibonacci Ας υπολογίσουμε τους λόγους δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας, από τον πέμπτο όρο και μετά: 8 1,6 5 13 1.625 8 21 1,61538 13 34 1.6190476190476 21 55 1,6176470588235 34 Παρατηρούμε, ότι: Το όριο του λόγου δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci είναι ο αριθμός φ=1,618033989……≈1,62
- 19. Χρυσό Ορθογώνιο οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται το χρυσό ορθογώνιο, ως πιο όμορφο και αρμονικό σχήμα από οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο α b b
- 21. Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη Χρυσού ορθογωνίου •Κατασκευάζουμε τετράγωνο, πλευράς 1 •Διαιρούμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια Παραλληλόγραμμα, φέρνοντας ευθεία παράλληλη προς τη μία βάση από το μέσο της μιας πλευράς του. •Φέρνουμε την διαγώνιο του ενός ορθογωνίου •Σχεδιάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μιας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα την διαγώνιο. •Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου, όπου βρίσκεται το κέντρο του κύκλου μέχρι το σημείο τομής με τον κύκλο
- 22. Το Χρυσό Ορθογώνιο στον Παρθενώνα H βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή.
- 24. Κατασκευή της χρυσής σπείρας •Κατασκευάζουμε ένα χρυσό ορθογώνιο και το διαιρούμε σε ένα τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο •Το χρυσό ορθογώνιο που προκύπτει το διαιρούμε και αυτό σε ένα τετράγωνο και σε ένα μικρότερο ορθογώνιο. •Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία. •Διαγράφουμε τεταρτοκύκλια μέσα σε κάθε τετράγωνο.
- 25. Χρυσά τρίγωνα1 Ισοσκελές Αμβλυγώνιο με Α=108ο β α α
- 26. Χρυσά τρίγωνα2 Ισοσκελές Οξυγώνιο με Α=36ο α α β
- 27. H Ακολουθία Fibonacci Στη Φύση «Οι αριθμοί Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας». Stan Grist
- 28. Η χρυσή σπείρα
- 29. Η ακολουθία Fibonacci στη φύση • 13 σπείρες αριστερόστροφες • 8 δεξιόστροφες • 8, 13 διαδοχικοί όροι της ακολουθίας fibonaci ΠΗΓΗ: http://www.papadakismanolis.gr
- 30. 21 σπείρες αριστερόστροφες 34 σπείρες δεξιόστροφες 21, 34 : διαδοχικοί όροι Ακολουθίας Φιμπονάτσι ΠΗΓΗ: http://www.papadakismanolis.gr
- 31. Τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Υπάρχει μια ομάδα από 5 ροδοπέταλα, που ξεφυτρώνουν από την ίδια περιοχή
- 32. Leonardo Da Vinci (1451-1519) Ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο Η χρυσή αναλογία στη ζωγραφική
- 33. και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.
- 34. Η κατασκευή της σύνθεσης της εικόνας βασίζεται σε δύο χρυσά τρίγωνα
- 35. Leonardo Da Vinci Ο Άγιος Ιερώνυμος
- 37. Raphael(1483-1530) Η Σταύρωση Το Χρυσό τρίγωνο Η Χρυσή πεντάλφα
- 38. «Πάταξη των βρεφών» 1509-1510 Rafael
- 40. Salvador Dali (1904-1989) Ο Μυστικός Δείπνος Πλαίσιο: Χρυσό Ορθογώνιο Θέση κάθε φιγούρας: με χρυσές αναλογίες Θόλος: Χρυσό Δωδεκάεδρο
- 41. Σάντρο Μποτιτσέλι (1445-1510) Η Γέννηση της Αφροδίτης Στο έργο αυτό, το σώμα της θεάς παρουσιάζει χρυσές αναλογίες. Φιλοτεχνήθηκε περίπου το 1485–1486. Ουφίτσι, Φλωρεντία.
- 42. Η χρυσή αναλογία στη γλυπτική1 Καρυάτιδες-Ερεχθείο
- 43. Η χρυσή αναλογία στη γλυπτική2 Michelangelo Δαβίδ
- 44. Η Χρυσή αναλογία στα κέρινα ομοιώματα Μουσείο Βρέλλη Ιωάννινα
- 45. Η Χρυσή σπείρα στο Ναυτίλο
- 46. Η χρυσή σπείρα στην αρχιτεκτονική Αρχαίο κιονόκρανο
- 47. Η χρυσή αναλογία στην δυτική πρόσοψη της Παναγίας των Παρισίων
- 49. Η Χρυσή αναλογία στη κατασκευή των Μουσικών οργάνων
- 50. Η Χρυσή τομή στη Μουσική (John F. Putz, Καθηγητής Μαθηματικών στο Κολλέγιο Alma « Η μουσική φόρμα της σονάτας αποτελείτε από δύο μέρη: την Έκθεση, όπου το μουσικό θέμα εισάγεται, και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση όπου το κύριο θέμα αναπτύσσεται και επαναλαμβάνεται.. Ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία: Στο πρώτο μέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε π.χ. η Έκθεση αποτελείται από 38 μέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 μέτρα, 62:38=1,63..»
- 51. Η χρυσή σπείρα στο ανθρώπινο σώμα
- 52. Η χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο σώμα
- 53. Η χρυσή αναλογία στην έλικα του DNA Αποτελείται από δύο αλληλένδετες έλικες. Το μήκος της καμπύλης σε κάθε μία από τις έλικες είναι 34 angstroms και το πλάτος 21 angstroms ( 1angstrom=1010 m ). 21 και 34 είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci και ο λόγος τους είναι: 1,6190476
- 54. Η χρυσή σπείρα στους γαλαξίες Στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών (τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια)
- 55. Πηγές • http://noexcus.blogspot.gr/ • http://el.wikipedia.org • http://filosofia-erevna.blogspot.gr • http://www.papadakismanolis.gr/ • http://www.hellas-now.com/ • http://grmath4.phpnet.us/ • http://mathmosxos.blogspot.gr/ • http://acstec.wordpress.com • http://www.asxetos.gr/ • http://www.astrikiprovoli.com • http://www.nikosonline.gr/
Editor's Notes
- Τα μαθηματικά στην ευρεία έννοια τους περιλαμβάνουν πολλές φορές αρμονίες και συμμετρίες, το αξιοσημείωτο είναι ότι αυτές οι αρμονίες υπάρχουν και στην φύση, στον άνθρωπο αλλά ακόμα και σε έννοιες που πολλές φορές δεν ξέρουμε ότι έχουνε την οποιαδήποτε σχέση με τα μαθηματικά.
- Απεικονίζει μία γυμνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλεπικαλυπτόμενες θέσεις με τα μέλη του ανεπτυγμένα και συγχρόνως εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Το σχέδιο και το κείμενο συχνά ονομάζονται Κανόνας των Αναλογιών.
- Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη.
- Ένα πολύ ενδιαφέρον φαινόμενο που παρατηρείται στον χώρο αυτόν είναι η Χρυσή Τομή. Πολλοί μπορεί να την έχετε ακούσει σαν έκφραση, άλλοι ίσως την είδατε σε κάποιο μάθημα καλλιτεχνικών ή ιστορίας. Οι περισσότεροι κάνουν το συχνό λάθος να νομίζουν πως η χρυσή τομή είναι το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος, επειδή έτσι χωρίζουμε το τμήμα στη μέση και έχουμε το ίδιο και από τις δυο μεριές. Αυτό όμως είναι λάθος. Στην πραγματικότητα, η Χρυσή Τομή Φ δηλώνει μία αναλογία. Η αναλογία αυτή είναι περίπου ίση 1,618 και θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες. Αναλογίες δηλαδή που το μάτι μας, σαν να ήταν προγραμματισμένο εξαρχής έτσι, θεωρεί αρμονικές και όμορφες.
- Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα Φ προς τιμήν του Φειδία, ίσως τον γνωστότερο γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και τον σημαντικότερο της κλασικής περιόδου.
- Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (-585 έως -500) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Από τότε έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγορείους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού.
- Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ακόμη και σήμερα χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.
- Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα ήταν Ιταλός μαθηματικός που έμεινε στην ιστορία για την περίφημη ακολουθία Φιμπονάτσι και για την εισαγωγή στην Ευρώπη του αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης καθώς και άλλων μαθηματικών καινοτομιών σε μια σκοτεινή εποχή για τις επιστήμες στην Ευρώπη.
- Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989.Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο 0.618033989 δηλαδή 1/φ=φ+1.
- —ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι η χρυσή τομή—
- Ξεκινώντας από το κέντρο, υπάρχει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν από την ίδια περιοχή, η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης ) 8 ροδοπέταλα συνολικά, η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα ( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει συνολικά 13, η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα. Τα ροδοπέταλα διατάσσονται έτσι ώστε οι αριθμοί που προκύπτουν να είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci.
- Στο σχέδιο της προπαρασκευαστικής ο Ραφαήλ είναι να σχεδιάσει την ομαλή ποικίλη γραμμή που περιλαμβάνει όλη την εικόνα. Η γραμμή ξεκινά στο σημασιολογικό κέντρο της σύνθεσης, δηλαδή, στο σημείο όπου τα δάχτυλα του στρατιώτη κλείνουν γύρω από τον αστράγαλο του παιδιού, και περαιτέρω η γραμμή πηγαίνει στη φιγούρα του παιδιού, της γυναίκας, του στρατιώτη με το σπαθί και στη συνέχεια, κατά μήκος των στοιχείων της ίδιας ομάδας στο δεξί μέρος του σχεδίου. Εάν συνδέσουμε στη φυσική κατάσταση όλα αυτά τα κομμάτια της καμπύλης από την διακεκομμένη γραμμή, μπορούμε να πάρουμε την "χρυσή" σπείρα!
- . Ο Μυστικός Δείπνος του Salvador Dali (1904-1989) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο. Χρυσοί λόγοι χρησιμοποιήθηκαν για να καθορίσουν την θέση κάθε φιγούρας ενώ ο θόλος του δωματίου σχηματίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που όπως είδαμε είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άμεσα με την χρυσή τομή.