1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
KHOA CƠ KHÍ
BỘ MÔN: CHẾ TẠO MÁY
BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN
(LƯU HÀNH NỘI BỘ)
Theo chương trình 150 TC hay 180 TC hoặc tương đương
Sử dụng cho năm học 2008 - 2009
Tên bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động
Số tín chỉ: 3
Thái Nguyên, năm 2008

2. Tên các tác giả:

3. BÀI GIẢNG PHÁT CHO SINH VIÊN
(LƯU HÀNH NỘI BỘ)
Theo chương trình 150 TC hay 180 TC hoặc tương đương
Sử dụng cho năm học: 2008 - 2009
Tên bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động
Số tín chỉ: 3
Thái Nguyên, ngày….…tháng …… năm 200
Trưởng bộ môn Trưởng khoa
(ký và ghi rõ họ tên) (ký và ghi rõ họ tên)

4. MỤC LỤC
I. Phần 1: Phần lý thuyết
Chương 1. CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
1.1 Các nội dung cơ bản
1.2 Mô hình diễn tả hệ thống điều khiển
1.3 Mô tả toán học các phần tử điều khiển cơ bản
1.4 Phân loại hệ thống điều khiển
1.4.1. Hệ thống điều khiển hở và hệ thống điều khiển kín.
1.4.2. Hệ thống điều khiển liên tục và gián đoạn
1.5 Tuyến tính hóa các hệ thống phi tuyến
1.6 Ứng dụng MatLab
Chương 2. HÀM TRUYỀN ĐẠT
2.1 Hàm truyền đạt
2.2 Sơ đồ khối - Đại số sơ đồ khối
2.3 Graph tín hiệu và qui tắc Mason
2.4. Các hệ thống lấy mẫu dữ liệu
2.5 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc
2.6 Ứng dụng MatLab
Chương 3. KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI.
3.1 Các mô hình không gian trạng thái.
3.2 Mô hình không gian trạng thái và các phương trình vi phân
3.3 Xác định biến trạng thái từ hàm truyền
3.4 Xác định hàm đáp ứng từ phương trình trạng thái
3.5 Ứng dụng MatLab
Chương 4. ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH.
4.1 Khái niệm chung
4.2 Khái niệm ổn định và các định nghĩa chính
4.3 Trị riêng và tính ổn định của hệ thống
4.4 Các tiêu chuẩn ổn định
4.5 Ứng dụng MatLab
Chương 5. TÍNH ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN.

5. 5.1 Tính điều khiển được của các hệ thống liên tục.
5.2 Tính quan sát được của các hệ thống liên tục.
5.3 Tính điều khiển được của các hệ thống gián đoạn.
5.4 Tính quan sát được của các hệ thống gián đoạn.
5.5 Ứng dụng MATLAB.
Chương 6. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN.
6.1 Mở đầu.
6.2 Các khâu động học của hệ thống điều khiển.
Chương 7. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN BẰNG THUỶ LỰC.
7.1. Các phần tử cơ bản
7.1.1. Bơm dầu.
7.1.2. Van tràn, van an toàn.
7.1.3. Van giảm áp
7.1.4. Bộ điều chỉnh và ổn định tốc độ.
7.1.5. Van điều khiển.
7.1.6. Cơ cấu chấp hành.

6. I. Phần 1: Phần lý thuyết
I.1. Yêu cầu đối với sinh viên
- Mục tiêu: Nội dung cơ bản của hệ thống điều khiển tự động, Phân tích và tổng hợp
được một hệ thống điều khiển.
- Nhiệm vụ của sinh viên:
Dự học lý thuyết: đầy đủ
Thảo luận: đầy đủ.
- Đánh giá: Chấm điểm Thảo luận : 20%
Kiểm tra giữa kỳ: 20%
Thi kết thúc học phần : 60%
I.2. Các nội dung cụ thể
Chương 1

7. CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN TỰ ĐỘNG
1.1- Các nội dung cơ bản của hệ thống điều khiển.
* Điều khiển: Là tác động lên đối tượng để đối tượng làm việc theo một
mục đích nào đó.
* Hệ thống điều khiển: Là một tập hợp các thành phần vật lý có liên hệ tác
động qua lại với nhau để chỉ huy hoặc hiệu chỉnh bản thân đối tượng hay một hệ
thống khác.
* Xung quanh ta có rất nhiều hệ thống điều khiển nhưng có thể phân chia
thành 3 dạng hệ thống điều khiển cơ bản.
- Hệ thống điều khiển nhân tạo.
- Hệ thống điều khiển tự nhiên (bao gồm điều khiển sinh vật).
- Hệ thống điều khiển tự nhiên và nhân tạo.
Trong các hệ thống đó đối tượng điều khiển có thể là hệ thống vật lý, thiết bị
kỹ thuật, cơ chế sinh vật, hệ thống kinh tế, quá trình v.v... đối tượng nghiên cứu là
các thiết bị kỹ thuật gọi là điều khiển học kỹ thuật.
Mỗi hệ thống (hoặc phần tử của hệ thống) kỹ thuật, đều chịu tác động của
bên ngoài và cho ta các đáp ứng. Gọi tác động vào là đầu vào, tác động ra là đầu ra
( hoặc tín hiệu vào, tín hiệu ra).
Các tác động vào Các đáp ứng
Hệ thống (hoặc
phần tử của
hệ thống)
Hình 1-1
* Nhiệm vụ của lý thuyết điều khiển tự động
Lý thuyết điều khiển tự động giải quyết 2 nhiệm vụ chính:
- Phân tích hệ thống
- Tổng hợp hệ thống
Phân tích hệ thống:
Nhiệm vụ này nhằm xác định đặc tính đầu ra của hệ sau đó đem so sánh với những
chỉ tiêu yêu cầu để đánh giá chất lượng điều khiển của hệ thống đó.
Muốn phân tích hệ thống điều khiển tự động người ta dùng phương pháp trực tiếp
hoặc gián tiếp để giải quyết 2 vấn đề cơ bản.
- Tính ổn định của hệ thống
- Chất lượng của quá trình điều khiển- quá trình xác lập trạng thái tĩnh và
trạng thái động (trạng thái quá độ).

8. Để giải quyết vấn đề trên dùng mô hình toán học, tức là các phần tử của hệ thống
điều khiển đều được đặc trưng bằng mô hình toán của các phần tử sẽ cho mô hình
toán của toàn bộ hệ thống.
Có thể xác định đặc tính ổn định của hệ thống qua mô hình toán của hệ thống với
việc sử dụng lý thuyết ổn định trong toán học.
Tổng hợp hệ thống:
Tổng hợp hệ thống là xác định thông số và cấu trúc của thiết bị điều khiển. Giải bài
toán này, thực ra là thiết kế hệ thống điều khiển. Trong quá trình tổng hợp này
thường kèm theo bài toán phân tích.
Đối với các hệ thống điều khiển tối ưu và thích nghi, nhiệm vụ tổng hợp thiết bị
điều khiển giữ vai trò rất quan trọng. Trong các hệ thống đó, muốn tổng hợp được
hệ thống phải xác định Algorit điều khiển tức là xác định luật điều khiển Đ(t). Hệ
thống điều khiển yêu cầu chất lượng cao thì việc tổng hợp càng trở nên phức tạp.
Trong một số trường hợp cần đơn giản hoá một số yêu cầu và tìm phương pháp tổng
hợp thích hợp để thực hiện.
1.2- Các mô hình diễn tả hệ thống điều khiển.
Để tiện việc nghiên cứu về các vấn đề điều khiển cần sử dụng các sơ đồ (mô
hình) diễn tả các thành phần của hệ thống sao cho rõ ràng mọi mối quan hệ bên
trong và ngoài hệ thống để dễ dàng phân tích, thiết kế và đánh giá hệ thống.
Thực tế sử dụng các mô hình sau là phổ biến và thuận tiện:
1) Hệ thống các phương trình vi phân
2) Sơ đồ khối.
3) Graph tín hiệu.
4) Hàm truyền đạt
5) Không gian trạng thái
(Sơ đồ khối và Graph tín hiệu là cách biểu diễn bằng đồ hoạ để diễn tả một
hệ thống vật lý hoặc một hệ phương trình toán đặc trưng cho các phần tử của hệ
thống - Diễn tả một cách trực quan hơn).
* Về mặt lý thuyết mỗi hệ thống điều khiển đều có thể diễn tả bằng các
phương trình toán. Giải các phương trình này và nghiệm của chúng sẽ diễn tả
trạng thái của hệ thống. Tuy nhiên việc giải phương trình thường khó tìm nghiệm
(có trường hợp không tìm được) lúc đó cần đặt các giả thiết để đơn giản hoá nhằm
dẫn tới các phương trình vi phân tuyến tính thường – Hệ điều khiển tuyến tính liên
tục.

9. * Phần lớn kỹ thuật điều khiển hiện đại, là sự phát triển của các mô hình
toán học cho các hiện tượng vật lý. Sau đó dựa vào các mô hình toán học để nghiên
cứu các tính chất của hệ thống điều khiển.
1.2.1. Phương trình vi phân
Các hệ thống vật lý (hoặc các quá trình) cần được diễn tả chính xác mọi quan hệ
giữa những đại lượng biến động bên trong của chúng. Từ đó ta dễ dàng nghiên cứu
được các hiện tượng diễn biến của hệ thống; các định luật cơ bản của vật lý có thể
giúp ta giải quyết vấn đề đó. Các quan hệ của các đại lượng cơ bản nói chung có thể
biểu diễn bằng các phương trình vi phân ( gọi là mô hình toán của hệ thống).
Ví dụ: Phương trình của định luật II Newton F = m.a
Trong phương trình đại số giá trị các đại lượng không thay đổi theo thời gian, vì
thế nó chỉ diễn tả trạng thái ổn định của hệ. Nhưng trong thực tế hệ không tĩnh.
Đầu ra thường biến động đối với các thay đổi của đầu vào, thêm vào đó tác động
của nhiễu cũng thay đổi theo thời gian, nên hệ không ổn định tức là đầu ra dao
động. Vì thế cần phải phân tích hệ trong các điều kiện động lực hoặc gọi là trong
trạng thái quá độ, lúc này các biến số không cố định mà thay đổi theo thời gian.
Phương trình vi phân mô tả hệ ở trạng thái động lực không chỉ chứa bản thân các
biến số mà còn chứa tốc độ thay đổi hoặc gọi là đạo hàm của các biến số đó.
* Các nội dung cơ bản của phương trình vi phân:
Phương trình dạng:
dn y d n− 1 y dy
dt n dt n− 1 dt
an. + an-1. + ... + a1. + a0. y = x(t) (1.1)
x(t) và y(t) là các biến phụ thuộc, t là biến độc lập.
* Các tính chất của phương trình vi phân:
Mọi hệ là tuyến tính nếu quan hệ vào- ra của nó có thể biểu thị bằng phương trình vi
phân tuyến tính:
n
diy dix
∑a . dt
i =0
i i
= ∑bi .
dt i
Hoặc một hệ là tuyến tính nếu quan hệ vào ra của nó có thể biểu thị bằng tích phân:
∞
y(t) = ∫ ¦ W (t ,τ ) x(τ )dτ
−∞
Trong đó W(t, ) là hàm thể hiện các tính chất bên trong của hệ, y(t) là đầu ra và
τ
x(t) là đầu vào. Hàm 2 biến W(t, ) là hàm trọng lượng của hệ.
τ

10. - Đáp ứng y(t) của một hệ tuyến tính do nhiều đầu vào x 1(t), x2(t), ...., xn(t) tác động
đồng thời lên hệ bằng tổng các đáp ứng của mỗi đầu vào tác động riêng biệt
(nguyên lý chồng chất)
n
y(t) = ∑ y (t )
i= 0
i
Ví dụ:
Phương trình vi phân thuần nhất:
d 2 y (t ) dy (t )
A. dt 2
+ B.
dt
+ C.y(t) = 0
Có hai nghiệm y1(t), y2(t). theo nguyên lý chồng chất thì y 1(t) + y2(t) cũng là một
nghiệm của phương trình đó.
- Toán tử vi phân và phương trình đặc trưng:
Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng cấp n
dny d n− 1 y dy
dt n dt n− 1 dt
an + an-1. + ... + a1. + a0. y = x(t)
d dn
Gọi toán tử vi phân D = dt
,D n
= dt n
Phương trình trên có thể viết thành:
D n
y + an-1 D n− 1
y + ... + a1Dy + a0y = x
(D n
+ an-1 D n− 1
+ ... + a1D + a0 )y = x
(1.2)
Đa thức D n
+ an-1 D n− 1
+ ... + a1D + a0 gọi là đa thức đặc trưng.
Phương trình D n
+ an-1 D n− 1
+ ... + a1D + a0 = 0 là phương trình đặc trưng.
Nghiệm của phương trình đặc trưng rất có ý nghĩa khi xét tính ổn định của hệ
thống.
1.2.2- Sơ đồ khối.
* Sơ đồ khối được biểu thị bằng các khối liên kết với nhau để diễn tả mối
quan hệ đầu vào và đầu ra của một hệ thống vật lý.
* Sơ đồ khối thuận tiện để diễn tả mối quan hệ giữa các phần tử của hệ thống
điều khiển.
Ví dụ:
Vào Phần tử Ra A G1 B G2 C
A G B
a) d y= b)
x
dt

11. c)
Hình 1-2
* Các khối có thể là một thiết bị hoặc dụng cụ và có thể là một hàm (chức
năng) xảy ra trong hệ thống.
Khối: Ký hiệu thuật toán phải thực hiện đầu vào để tạo đầu ra.
Đường nối: Đường nối giữa các khối biểu thị đại lượng hoặc biến số
trong hệ thống.
Mũi tên: Chỉ tiêu của dòng thông tin hoặc tín hiệu “Các khối nối tiếp
nhau thì đầu ra của khối trước là đầu vào của khối sau”
Điểm tụ: Biểu hiện thuật toán cộng hoặc trừ ký hiệu bằng một vòng tròn đầu ra của
điểm tụ là tổng đại số của các đầu vào.
x + (x+y) x + (x-y) u
+ - x + - (x+y-u)
+
y y
y
Hình 1-3
* Điểm tán: Cùng một tín hiệu hoặc một biến số phân ra nhiều nhánh tại
điểm đó gọi là điểm tán, tức là tại đó đầu ra áp lên nhiều khối khác “ký hiệu là một
nốt tròn đen”. x
x C C
x
x
C
Hình 1-4
Cấu trúc sơ đồ khối của hệ thống điều khiển kín
u
V GV R + E G1 M G2 C
-
B
H
Hình 1-5
Hình (1-5) diễn tả một hệ thống điều khiển kín bằng sơ đồ khối. Các khối mô
tả các phần tử trong hệ được nối với nhau theo quan hệ bên trong của hệ thống.
* Các biến số của hệ:
(1) Giá trị vào V: tín hiệu ngoài áp vào hệ.
(2) Tín hiệu vào chuẩn R: rút từ giá trị vào V là tín hiệu ngoài hệ áp lên hệ
điều khiển như một lệnh xác định cấp cho đối tượng. R biểu thị cho một đầu vào lý
tưởng dùng làm chuẩn để so sánh với tín hiệu phản hồi B.

12. (3) Biến số điều khiển M (tín hiệu điều chỉnh): là đại lượng hoặc trạng thái
mà phần tử điều khiển G1 áp lên phần từ (đối tượng) điều khiển G 2 (quá trình được
điều khiển).
(4) Biến số ra C (tín hiệu ra): là đại lượng hoặc trạng thái của đối tượng
(hoặc quá trình) đã được điều khiển.
(5) Tín hiệu phản hồi B: là một hàm của tín hiệu ra C được cộng đại số với
vào chuẩn R để được tín hiệu tác động E.
(6) Tín hiệu tác động E (cũng gọi là sai lệch hoặc tác động điều khiển) là
tổng đại số (thường là trừ) giữa đầu vào là R với phần tử B là tín hiệu áp lên phần tử
điều khiển.
(7) Nhiễu u: là tín hiệu vào không mong muốn ảnh hưởng tới tín hiệu ra C.
Có thể vào đối tượng theo M hoặc một điểm trung gian nào đó (mong muốn đáp
ứng của hệ đối với nhiễu là nhỏ nhất).
* Các phần tử của hệ:
(1) Phần tử vào chuẩn GV: chuyển đổi giá trị vào V thành tín hiệu vào chuẩn
R (thường là một thiết bị chuyển đổi).
(2) Phần tử điều khiển G1: là thành phần tác động đối với tín hiệu E tạo ra tín
hiệu điều khiển M áp lên đối tượng điều khiển G2 (hoặc quá trình).
(3) Đối tượng điều khiển G 2 là vật thể, thiết bị, quá trình mà bộ phận hoặc
trạng thái của nó được điều khiển.
(4) Phần tử phản hồi H: là thành phần để xác định quan hệ (hàm) giữa tín
hiệu phản hồi B và tín hiệu ra C đã được điều khiển (đo hoặc cảm thụ trị số ra C để
chuyển thành tín hiệu ra B (phản hồi).
(5) Kích thích: là các tín hiệu vào từ bên ngoài ảnh hưởng tới tín hiệu ra C.
Ví dụ tín hiệu vào chuẩn R và nhiều u là các kích thích.
(6) Phản hồi âm: điểm tụ là một phép trừ E = R - B
(7) Phản hồi dương: ở điểm tụ là phép cộng: E = R + B
(Điều khiển kín gồm hai tuyến: Tuyến thuận truyền tín hiệu từ tác động E
đến tín hiệu ra C. Các phần tử trên tuyến thuận ký hiệu G (G 1 , G2, ...) tuyến phản
hồi truyền từ tín hiệu ra C đến phản hồi B các phần tử ký hiệu là H (H1 , H2 , ...).
1.2.3. Hàm truyền đạt:
Hàm truyền đạt của hệ thống.
* Hàm truyền đạt của hệ thống đối với hệ thống điều khiển liên tục một đầu
vào và một đầu ra được định nghĩa:

13. - Là tỷ số của biến đổi Laplace của đầu ra với biến đổi Laplace của đầu
vào với giả thiết toàn bộ các điều kiện đầu đồng nhất bằng không (điều kiện
dừng).
b m S m + b m −1 .S m −1 + ... + b1s + b o
G(s) = S n + a n −1 .S n −1 + ... + a 1 .S + a o
(1.3)
Đối với hệ thống vật lý thực các chỉ số trong hàm truyền n ≥ m.
* Trong lĩnh vực thời gian gián đoạn (điều khiển rời rạc) việc biến đổi Z
đóng vai trò của biến đổi Laplace:
Hàm truyền có dạng sau:
b m z m + b m −1 .z m −1 + ... + b1z + b o
G(z) = z n + a n −1 .z n −1 + ... + a 1 .z + a o
(1.4)
* Đối với hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra với r đầu vào, p đầu ra, các
hàm truyền là các phần tử của ma trận cấp p×r phần tử , với chỉ số i của phần tử thứ
i của đầu vào, chỉ số thứ j của phần tử thứ j đầu ra.
G11(s) G12(s) ..... G1r(s)
G21(s) G22(s) ..... G2r(s)
G(s) = ..... ..... Gji(s) ..... (1.5)
..... ..... ..... .....
GP1(s) ..... ..... GPr(s)
Yj (s)
Ở đây: Gji(s) = u i ( s)
; các đầu vào khác ui(s) đều coi là bằng không.
(Nguyên lý độc lập tác dụng).
* Một cách tương tự với hệ thống điều khiển gián đoạn ta có hàm truyền của
hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra.
G11(z) G12(z) ..... G1r(z) p×r
G21(z) G22(z) ..... G2r(z)
G(z) = ..... ..... Gji(z) ..... (1.6)
..... ..... ..... .....
GP1(z) ..... ..... GPr(z)
Ở đây: s - số phức - biến Laplace.
z = eS.T - biến của phép biến đổi z.
1.2.4. Không gian trạng thái

14. Khi phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển tuyến tính thường sử dụng một
trong hai hình thức sau:
+ Đối với lĩnh vực thời gian sử dụng hàm trạng thái .
+ Trong lĩnh vực tần số dùng hàm truyền đạt.
Như ở trên, ta xét hệ phương trình vi phân, sai phân đạo hàm đến bậc n (hệ
thống bậc n) ; n thực chất là trạng thái của các biến. Các trạng thái của biến được
mô tả như là vectơ x. Các phương trình trạng thái được mô tả dưới dạng sau (hệ
thống tuyến tính).
.
x (t) = A.x(t) + B.u(t) ; x(o) = xo
y(t) = C.x(t) + D. u(t) (1.7)
và x(k+1) = A. x(k) + B.u(k) ; x(o) = xo
y(k) = C.x(k) + D. u(k) (1.8)
Ở đây: A, B, C, D là các ma trận hệ số hằng có kích thước.
An×n , Bn×r , CP×n , DP×r
Các hệ phương trình viết dạng (1-11); (1-12) các phương trình trạng thái của
hệ thống điều khiển.
* Không gian trạng thái:
Một hệ thống có r tín hiệu vào u1(t), u2(t), u3(t) ... ur(t)
m tín hiệu ra: y1(t), y2(t), y3(t).... ym(t)
Xác định n biến trạng thái: x1(t), x2(t)..... xn(t)
Vậy hệ thống được mô tả bởi phương trình không gian trạng thái như sau:
f1(x1, x2,..., xn; u1, u2,..., ur; t)
.
x 1 (t) =
...
.
x n (t ) = fn(x1, x2,..., xn; u1, u2,..., ur; t)
Đại lượng ra:
y1(t) = g1(x1, x2,..., xn; u1, u2,..., ur; t)
...
ym(t) = gm(x1, x2,..., xn; u1, u2,..., ur; t)

15. . 
 x 1 (t) 
. 
 x 2 (t) f 1 (x 1 , x 2 ,...,x n ; u1 , u 2 ,...,u r ; t) 
.  f (x , x ,...,x ; u , u ,...,u ; t) 
.
f(x, u, t) = 2 1 2 n 1 2 r  (1.9)
x(t) =   ... 
.   
.  f n (x 1 , x 2 ,...,x n ; u1 , u 2 ,...,u r ; t)
 
. 
 x n (t)
Phương trình trạng thái:
f(x, u, t)
.
x (t ) =
y(t) = g(x, u, t)
Hoặc dưới dạng ma trận:
A(t). x(t) + B(t). u(t)
.
x (t ) =
y(t) = C(t). x(t) + D(t). u(t)
Sơ đồ khối:
D(t)
.
u(t) + x(t) x(t) + y(t)
B(t) dt C(t)
+ +
A(t)
Hình 1-6
1.3. Mô tả toán học của các phần tử điều khiển
a. Phần Ltử di động thẳng:
P
L0
PL
L
K = PL PV= PL
1/k
R=X
X
H× nh 1 -8 . S¬ ®å khèi
O X L
H× nh 1 -7 . §¦ êng ®Æc tÝnh
Tác dụng vào lò xo có chiều dài L0 để lò xo di động một lượng X thì cần một lực:
PL = k .X (k: là độ cứng lò xo hay là hằng số lò xo)
∆ PL
k= ∆X

16. Đối với lò xo thông thường tín hiệu vào là lực PV = PL,
tín hiệu ra là lượng di động R = X.
Vậy mô hình toán đặc trưng và sơ đồ khối biểu diễn chức năng như hình 1-8
b. Bộ giảm chấn bằng không khí hoặc bằng dầu ép:
R
PV PV R
1/C.s
H× nh 1 -1 0
H× nh 1 -9
Để di động piston với vận tốc V, cần tác dụng lực PV có giá trị:
dR
PV = C.V= C. dt
d
áp dụng toán tử Laplace: s = dt
dR
PV = C.V= C. dt
= C.s.R
Lực PV coi là tín hiệu vào
Tín hiệu ra: Lượng di động R.
Từ các yếu tố trên thành lập sơ đồ khối thể hiện mô hình toán của bộ giảm chấn.
c. Trọng khối
Theo định luật II Newton tổng các lực P ở bên ngoài tác dụng vào một trọng khối
sẽ có biểu thức:
d 2R
∑P = M.A = M. dt 2
d
Dùng toán tử Laplace: s = dt
nên ∑
P = M. S2.R
1
R= ∑
P. M .S 2
Sơ đồ khối thể hiện mô hình toán như sau:
P R
1/M.S2
d. Phần tử quay H× nh 1 -1 1
Định luật II Newton: Đối với chuyển động quay gia tốc góc của vật thể quay tỷ lệ
thuận với tổng mô men tác dụng lên nó.
Dạng toán học của định luật:

17. d 2ϕ ∑M dt 2
= ⇒ θ= .∑ M
dt 2 θ d 2ϕ
Trong đó: ϕ
là góc quay
θ
là momen quán tính của vật thể
M là momen bên ngoài tác dụng vào vật thể.
Momen bên ngoài được tạo ra từ động cơ, do tải trọng tác dụng lò xo hoặc giảm
chấn.
Xét một đĩa quay trong chất lỏng và nối với một bánh đà như hình vẽ:
ϕ
Mx
Mx ϕ
M1 1(θ 2+ C.S + kx)
.S
Mm
ω
H× nh 1 -1 3
H× nh 1 -1 2
-Phân tích để xây dựng mô hình toán:
Quay đĩa được phải tác dụng một momen xoắn Mx, trục quay đi một góc là j
tạo mo men của lò xo: M1 = kx. j (1.10)
Trục có đường kính D, chiều dài l, hệ số lò xo xoắn là:
π .D 4 .G
kx = 32l
(G: Mô đun đàn hồi)
Momen cần thiết để thắng lực ma sát của chất lỏng:
dϕ
Mm = C.w = C. dt
= C. p. j (1.11)
w: là vận tốc góc
C: hệ số ma sát của chất lỏng
Nếu quay đĩa với momen xoắn Mx (momen xoắn của trục lò xo) và momen ma sát
sẽ ngăn cản sự quay của đĩa do đó có thể viết thành:
d 2ϕ
∑
M = Mx – M1 – Mm = θ.
dt 2
= q. s2. j
Thay các trị số (1.10) và (1.11) ta có:
Mx = q. s2. j + kx. j + C. s. j = (q. s2 + kx + C.s). j
Từ phương trình trên ta có sơ đồ khối của hệ thống như hình vẽ.
e. Các phần tử điện
Các phần tử cơ bản của các mạch điện

18. uR u
L u C
+ − + − + −
R L C
u R 1 I u L 1 I uC 1 I
R Lp Cp
H× nh 1 -1 4
1
uR = R. I ⇒
I= R
.uR
dI dI d
uL= L. dt
= LP. I ⇒
dt
= p. I = dt
.I
1 1
uC= C
. ∫ I.dt = CP .I
f.Các phần tử thuỷ khí
Xét phần tử dầu ép:
-Nếu van trượt được đẩy lên phía trên , dầu có áp suất P 0 sẽ vào buồng trên của xi
lanh 3 và dầu của buồng dưới sẽ qua van trượt về bể dầu.
- Nếu van trượt được đưa xuống phía dưới , dầu sẽ qua buồng dưới của xilanh 1 và
dầu ở buồng trên sẽ chảy về bể dầu. Với hiệu áp không đổi được hình thành ở cửa
van, tức là tỷ lệ thuận với lượng di động x.
Gọi q là lượng dầu chảy vào xilanh, ta có: q = C1.x
q đồng thời cũng là sự thay đổi thể tích của xilanh: q = A.Py
M
3
2
P0
x =V C1 y= R
y A.P
b)
x
1
H× nh 1 -1 5
(A là diện tích bề mặt của xilanh)
⇒
A.Py = C1.x

19. C1
⇒
y= A.P
.x
Từ phương trình trên tín hiệu vào là x ( lượng di động của xilanh 1) và tín hiệu ra y
lượng di động của xilanh 2.
g.Phần tử phi tuyến
Ta xét một phần tử phi tuyến và trên cơ sở đó tiến hành tuyến tính hoá mô hình
toán học đặc trưng cho chức năng của cơ cấu.
Xét cơ cấu nâng vuông góc bằng cơ khí:
X
α β
B C
O
Y K
H× nh 1 -1 6
0
Thanh nâng vuông góc tại điểm A (a + b = 90 ) và có thể chuyển động cưỡng bức
trong rãnh thẳng đứng. Một nhánh của thanh nâng có thể trượt trên con trượt ở điểm
B , con trượt này di động cưỡng bức theo phương ngang. Nhánh kia của thanh nâng
có thể di động trong bạc của khớp nối cố định ở điểm C.
- Phân tích:
Y X X2
Tam giác AOB luôn đồng dạng tam giác AOC nên: =
X K
⇒
Y=
K
( K = const)
Nếu tín hiệu vào là X, thì vị trí của điểm B là tín hiệu ra Y tỷ lệ với bình phương
của X. Còn tín hiệu vào là Y và tín hiệu ra là X sẽ tỷ lệ với căn bậc hai của Y:
X= K.Y
Để viết phương trình toán và xây dựng mô hình toán học ta cần tuyến tính hoá các
phương trình phi tuyến trên. Phương pháp như sau.
1.4- Phân loại hệ thống điều khiển.
* Việc phân loại hệ thống điều khiển (Controller System) có rất nhiều hình
thức tuỳ theo góc độ nhìn nhận đánh giá: phân loại theo tín hiệu vào, theo các lớp
phương trình vi phân mô tả quá trình động lực học của hệ thống. Theo số vòng kín
trong hệ, v.v... Tuy nhiên đây chỉ là tương đối. Xét về tính chất làm việc và nội
dung cơ bản của điều khiển thì hệ thống điều khiển có 2 loại làm cơ sở trong phân
tích tính năng (Phân biệt tác động vào hệ và đáp ứng ra):
Hệ thống kín
Hệ thống hở.

20. *Theo đặc điểm mô tả toán học thì có các hệ thống sau:
Hệ thống liên tục
Hệ thống gián đoạn
Hệ thống tuyến tính
Hệ thống phi tuyến
Hệ thống tuyến tính hoá
* Theo dạng năng lượng tiêu thụ:
Hệ thống điều khiển bằng điện
Hệ thống điều khiển bằng dầu
Hệ thống điều khiển bằng khí ép
....
1.4.1. Các hệ thống điều khiển hở và hệ thống kín
a. Hệ thống điều khiển hở (Open- Loop Control Systems)
*Khái niệm: Hệ thống điều khiển hở là hệ thống mà tác động điều khiển độc lập với
đầu ra (Hoặc đầu ra không được đo và không được phản hồi so với đầu vào)
Ví dụ:
Quá trình hoạt động của máy giặt hoàn toàn tự động mà chúng ta chỉ cần tác động
trước khi máy hoạt động là đóng điện và nhấn công tắc sau khi máy hoàn thành
công việc thì chúng ta lấy sản phẩm ra. Trong máy có diễn ra các quá trình như sau:
quá trình làm ướt quần áo (Soaking), quá trình giặt (Washing), quá trình vắt khô
(Rinsing) đều làm việc với một thời gian tổng chuẩn (time basic) Và các quá trình
này không được đo kết quả (Tức là không được kiểm tra là đã làm sạch quần áo hay
chưa)
Sơ đồ khối của hệ thống (Control System in Washing Machine)
Turn on Finish
Soaking Washing Rinsing
Cleanliness
H× nh 1 -1 7
t = ts + tW + tR = const
Từ ví dụ trên ta thấy hệ thống điều khiển hở có dáp ứng ra không so sánh đáp ứng
vào. Mỗi tác động vào có trạng thái (hoạt động) ổn định, kết quả của hệ thống có độ
chính xác phụ thuộc hệ thống chia độ (hệ thống đo). Trong quá trình có nhiễu, hệ
thống không thực hiện nhiệm vụ yêu cầu.
* Đặc tính của hệ thống điều khiển hở:
- Độ chính xác của hệ quyết định bởi điều chỉnh (căn) và có duy trì độ chính xác đó
được lâu hay không.

21. - Nhạy cảm với các biến đổi xung quanh như: nhiệt độ, dao động, xung lực, điện
thế, phụ tải...
- Đáp ứng chậm khi tín hiệu vào thay đổi.
* Ưu điểm:
- Đơn giản
- Giá thành thấp (Độ chính xác vừa phải)
- Vấn đề mất ổn định không nghiêm trọng.
b. Hệ thống điều khiển kín
Khái niệm:
Hệ thống điều khiển kín là hệ thống mà tác động điều khiển phụ thuộc đáp ứng ra.
còn gọi là hệ thống điều khiển phản hồi.
R + E G1 G2
C
-
E: Sai lệch điều khiển B
E=R–B H
R: Tín hiệu vào H× nh 1 -1 8
B: Tín hiệu phản hồi.
Trong hệ thống điều khiển kín sai lệch điều khiển là sự chênh lệch giữa tín hiệu vào
và tín hiệu phản hồi. Quá trình điều khiển nhằm giảm sai lệch và đáp ứng ra đạt giá
trị mong muốn.
Ví dụ:
Hệ thống điều khiển nhiệt độ trong lò là một hệ thống điều khiển kín.
A/D Programming
Lß ®iÖn Interface Computer
Converter input
(E.Furnace)
Relay Amplifier Interface
H× nh 1 -1 9 .
Nhiệt độ trong lò điện được đo bởi nhiệt kế ( là thiết bị Analog(tương tự)) Nhiệt độ
dưới dạng tín hiệu tương tự được biến đổi thành tín hiệu nhiệt độ dạng số bởi bộ
A/D. Tín hiệu nhiệt độ được chuyển về máy tính trung tâm qua Interface. và nhiệt
độ được so sánh với tín hiệu nhiệt độ mà chương trình của máy tính đã lập, nếu có
bất kỳ sai số nào (discrepancy: sự chênh lệch, sự khác nhau) thì máy tính trung tâm
có tín hiệu qua Interface và tín hiệu này được khuếch đại nhờ thiết bị Amplifier và
tác động lên Relay làm cho nhiệt độ trong lò tăng hay giảm tuỳ theo yêu cầu của
chương trình đã lập.

22. Ví dụ 2: Để điều khiển một bình nước sao cho mực nước trong bình luôn là hằng số
không đổi thì độ cao cột nước trong bình sẽ là một trong những thông số kỹ thuật
cần quan tâm của hệ thống. Giá trị về độ cao cột nước tại thời điểm t được đo cảm
biến và được biểu diễn thành một đại lượng điện áp dưới dạng hàm số phụ thuộc
thời gian u(t) có đơn vị Volt. Đại lượng vật lý ở đây là điện áp đã được sử dụng để
truyền tải hàm thời gian u(t) mang thông tin về độ cao cột nước. ( Phần mô hình
toán học)
* Đặc tính của hệ thống điều khiển kín( hệ thống phản hồi)
Đặc trưng của hệ thống điều khiển kín là phản hồi.
- Nâng cao độ chính xác có khả năng tạo lại đầu ra
- Tốc độ đáp ứng nhanh
- Độ chính xác phụ thuộc các điều kiện làm việc
- Giảm tính chất phi tuyến và nhiễu
- Giảm độ nhạy cảm của tỷ số đầu ra và đầu vào đối với sự thay đổi tính chất của
hệ.
- Tăng bề rộng dải tần (dãy tần số của đầu vào)
- Có khuynh hướng dao động hoặc không ổn định.
- Điều khiển mềm .
1.4.2.- Các hệ thống điều khiển liên tục và gián đoạn.
Các hệ thống thực được mô tả ở trạng thái tĩnh hoặc động lực học. Các hệ
thống tĩnh thường được diễn tả bởi hệ thống các phương trình đại số. Trong điều
khiển kỹ thuật các hệ thống tĩnh không diễn tả đầy đủ trạng thái của hệ thống. Vì
vậy người ta dùng các phương trình vi phân/sai phân mô tả trạng thái động lực học
của hệ thống (được biết như là các hệ thống với các tham số cục bộ hoặc tập trung)
hoặc các phương trình vi phân đạo hàm riêng (như là các hệ thống có các tham số
phân tán).
Trong nội dung giáo trình ta nghiên cứu các hệ thống được mô tả bởi hệ các
phương trình vi phân/sai phân tuyến tính, nghĩa là các tham số của hệ thống độc lập
tuyến tính.
Ví dụ hệ thống động lực học được mô tả dưới dạng các phương trình vi
phân/sai phân vô hướng:
x
(t) = fc(x(t)) , x(to) = xo (1.12)
x(k +1) = fd (x(k)) , x (ko) = xo (1.13)
Ở đây: t : biến thời gian liên tục.
k : biến thời gian gián đoạn.
Chỉ số e: (continuous- Time) - thời gian liên tục.

23. d: (discrete - Time) - thời gian gián đoạn.
Nếu hệ thống chịu tác động của ngoại lực, hay các tác động vật lý khác. Ta
nói nó chịu tải động điều khiển và phương trình vi phân/sai phân mô tả trạng thái
động lực của hệ thống.
x
(t) = fc (x(t), u(t)) ; x(to) = xo (1.14)
x(k+1) = fd (x(k), u(k)) ; x(ko) = xo (1.15)
Ở đây: u(t) ; u(k) đóng vai trò biến điều khiển. Với mục đích của điều
khiển ta thay đổi biến điều khiển nhận được các đáp ứng của hệ thống kỹ thuật theo
yêu cầu như vậy, nhìn chung vấn đề chính của điều khiển có thể mô hình hoá theo
dạng sau: tìm biến điều khiển bằng cách giải hệ thống phương trình vi phân đặc
trưng của hệ.
Nếu các hệ phương trình vi phân (1.12) ÷ (1.15) là tuyến tính ta gọi hệ thống
là tuyến tính. Nếu là phi tuyến ta gọi là hệ thống phi tuyến. Việc nghiên cứu hệ
thống phi tuyến tương đối khó. Trong thực tế, người ta tìm cách tuyến tính hoá.
Trong phạm vi giáo trình này, chúng ta chỉ nghiên cứu hệ thống điều khiển tuyến
tính.
1.5- Tuyến tính hoá hệ thống phi tuyến.
Trong thực tế không có một hệ thống vật lý nào có thể mô tả tuyệt đối chính
xác bằng phương trình vi phân hệ số hằng tuy nhiên nhiều hệ phi tuyến có thể xấp
xỉ hoặc coi như tuyến tính trong từng đoạn làm việc. Có nhiều phương pháp được
áp dụng cho việc tuyến tính hoá hệ thống phi tuyến. Phương pháp trung bình gần
điểm làm việc. Phương pháp tuyến tính hoá điều hoà và phương pháp sai lệch nhỏ.
1.5.1- Phương pháp trung bình gần điểm làm việc.
Đây là phương pháp đơn giản được dùng trong thiết kế các hệ thống khi đặc
tính trên không thể xấp xỉ hoá được bằng các hàm giải tích.
Phương pháp này áp dụng cho các hệ có những phần tử chỉ phi tuyến ở trạng
thái tĩnh, quan hệ giữa đầu ra y với đầu vào u là ở trạng thái xác lập (ổn định).
Giả thiết trong đoạn: - uM < u < um đặc tính phi tuyến có thể xấp xỉ hoá bằng
đường thẳng.
ym
Trong đó: y=K.u; k= = tgα ; α là độ dốc.
um
1.5.2- Phương pháp tuyến tính hoá điều hoà.
Phương pháp này được dùng khi hệ có một phần tử tuyến tính nối sau một phần tử
phi tuyến làm việc ở chế độ tự dao động. Các tín hiệu trong hệ là làm tuần hoàn
theo thời gian.

24. Phương pháp này dựa trên cơ sở khai triển hàm sóng thành chuỗi hàm dạng
sin (chuỗi Fonricr) điều hoà có tần số là ω, 2ω, 3ω, ... có biên độ và góc pha khác
nhau. Giả thiết các hàm điều hoà bậc cao khác (2ω, 3ω, ...) có biên độ nhỏ bỏ qua
chỉ giữ lại thành phần điều hoà bậc nhất (ω) (giả thiết lọc) nghĩa là:
Nonlinear Element
u(t) y(t)
System Linearization
Hình 1-20
Trong đó: u(t) = Um . sin (ωt + ψ)
y(t) = Ym1 . sin (ωt + ϕ)
Trong đó Um = Ym1 và ϕ - ψ = π được gọi là điều kiện cân bằng điều hoà.
1.5.3- Phương pháp sai lệch nhỏ.
Theo phương pháp này việc tuyến tính hoá được thực hiện bằng cách khai
triển hàm phi tuyến thành chuỗi Taylor tại vùng lân cận điểm ổn định (tương ứng
với chế độ xác lập). Chỉ khảo sát các sai lệch bậc nhất trong chuỗi đó. Sai lệch so
với trạng thái ổn định càng nhỏ thì việc đánh giá các quá trình của phần tử phi
tuyến có sai số càng bé sau khi biến đổi tuyến tính.
a) Hệ thống (bậc nhất) phi tuyến.
x
(t) = f(x(t) , u(t) ) (1.16)
Giả thiết rằng hệ thống làm việc ở trạng thái xác lập với quĩ đạo x n(t) khi nó
được điều khiển bởi tín hiệu vào u n(t). Chúng ta gọi xn(t) và un(t) là quĩ đạo danh
nghĩa và đầu vào danh nghĩa theo phương trình (1.16) ta có:
x
n (t) = f(xn(t) , un(t) ) (1.17)
Bây giờ ta giả thiết rằng thay đổi của hệ phi tuyến (1.16) lân cận quĩ đạo
danh định một lượng nhỏ (vô cùng bé).
x(t) = xn(t) + ∆x(t) (1.18)
Lượng biến đổi vô cùng bé này là do thay đổi đầu vào:
u(t) = un(t) + ∆u(t) (1.19)
Từ các phương trình (1.16), (1.18), (1.19) ta có:
x
n(t) + ∆ x
(t) = f(xn(t) + ∆x(t), un(t) + ∆u(t)) (1.20)
Sử dụng khai triển Taylor với các đại lượng ∆x(t), ∆u(t) ta sẽ có:
∂f
x
n(t) + ∆ x
(t) = f(xn(t), un(t)) + (xn , un) ∆x(t) +
∂x
∂f
+ (xn , un) ∆u(t) + các thành phần bậc cao. (1.21)
∂u

25. (Các thành phần bậc cao là các đại lượng vô cùng bé ∆x2 , ∆u2, ∆x.∆u, ∆x3...)
được bỏ qua, từ đây ta có:
∂f ∂f
∆ x
(t) = (xn , un) ∆x(t) + (xn , un) ∆u(t)
∂x ∂u
(1.22)
Như vậy bằng việc trình bày xấp xỉ với ∆x(t) ta đã tiến hành tuyến tính hoá
theo sai lệch bậc nhất để được phương trình xấp xỉ bậc nhất (1.22).
∂f ∂f
Đặt: ao = - ∂x
(xn , un); bo = ∂u
(xn , un) (1.23)
Ta có phương trình mô tả hệ thống tuyến tính:
∆ x
(t) + ao(t)∆x(t) = bo(t). ∆u(t) (1.24)
Điều kiện đầu của hệ thống được tuyến tính hoá được xác định.
∆x(to) = x(to) - xn(to) (1.25)
b) Hệ phi tuyến bậc 2:
x
= f( x, x
, u, u ) (1.26)
Với giả thiết rằng:
x(t) = xn(t) + ∆x(t); x
(t) = x
n (t) + ∆ x
(t)
u(t) = un(t) + ∆u(t); u (t) = u
n (t) + ∆ u (t)
(1.27)
Tương tự ta có:
x
n +∆ x
= f (xn + ∆x, x
n +∆ x
, un + ∆u, u
n +∆ u ) (1.40)
Áp dụng khai triển Taylor lân cận các điểm danh nghĩa: x n , x
n , un , u
n
và ta có:
∆ x
(t) + a1∆ x
(t) + ao∆x(t) = b1∆ u (t) + bo∆u(t) (1.28)
Các hệ số xác định theo:
∂f ∂f
a1 = - (xn , x
n , un , u
n ), ao = - (xn , x
n , un , u
n )
∂ x ∂x
∂f ∂f
b1 = (xn , x
n , un , u
n ), bo = (xn , x
n , un , u
n )
∂ u ∂u
(1.29)
Các điều kiện đầu được xác định.
∆x(to) = x(to) - xn(to) ; ∆ x
(to) = x
(to) - x
n (to)
Ví dụ: Cho hệ thống phi tuyến.
θ = Sinθ - u.cosθ = f(θ, u)
Trong đó: θ = θ(t) ; u = u(t)

26. Đây là mô hình toán của thanh thẳng đứng cân bằng, u: lực ngang; θ là góc
lệch khỏi phương thẳng đứng.
Đây là hệ thống động lực học bậc 2. Trạng thái danh định của nó:
θ n(t) = θn(t) = 0 ; un(t) = 0 ; sử dụng (1-42) ta có:
∂f  ∂f 
a1 = -  = 0, ao = -  ∂ θ  = - (Cosθ + Usinθ) = -1
θ∂  n θ n ( t )= 0
U n ( t )= 0
 ∂f   ∂f 
b1 =   = 0 ; bo =   = - Cosθ = -1
 ∂u  n
θ n ( t )= 0
 ∂u

Vậy phương trình tuyến tính hoá:
θ
(t) - θ(t) = - u(t) (1.30)
Ở dây: ∆θ(t) = θ(t) , ∆u(t) = u(t)
Đồng thời θn(t) = 0, un(t) = 0

27. CHƯƠNG II
HÀM TRUYỀN ĐẠT
Trước tiên ôn tập lại kiến thức về số phức và hàm phức.
*Biến phức:
s = σ + jw
σ: Phần thực (Real part)
ω: Phần ảo (Imaginary part)
Nếu σ, ω là các số thực thì ta gọi là số phức, còn thay đổi s là biến phức.
Biểu diễn biến phức s trên đồ thị như sau:
jω
jω S
σ
O σ
Hình 2.1
* Hàm phức: Là hàm của biến phức S
G(s) = Gx + j Gy
Cũng bao gồm phần thực và phần ảo.
Độ lớn của G (s ) = Gx + G y
2 2
Góc q = tan-1(Gx/Gy), Chiều dương theo chiều kim đồng hồ tính từ trục thực
-Biểu diễn trên đồ thị: jω
G(s)
Gy
θ σ
O Gx

28. Hình 2.2
Hàm liên hợp của hàm G(s) là: G(s) = Gx - j Gy
Một hàm phức, có biến là s = σ + jω . Biến phức S phụ thuộc vào 2 đại lượng độc
lập: là phần thực và phần ảo của s. Để biểu diễn hàm G(s) cần có 2 đồ thị, mỗi đồ
thị có 2 chiều:
- Đồ thị của jω ứng với s gọi là phẳng S
- Đồ thị của phần ảo G(S) (ImG) ứng với phần thực của G(S) (ReG) gọi là
phẳng G(S).
Sự tương ứng giữa các điểm trong hai phẳng đó gọi là một ánh xạ hay biến đổi .
Các điểm trong phẳng S được ánh xạ vào các điểm trong phẳng G(S) bằng hàm G.
Ví dụ:
Hàm phức G(S) = S2 + 1. Điểm S0 = 2 +j 4 được ánh xạ vào điểm G(S0) như sau
(S0) = G(2 + j 4) = -11 + j 16
ImG
jω ¹G
¸ nh x G(S0)
16
j4 S0
σ ReG
O 2 -11 O
Ph¼ G(S)
ng
Ph¼ S
ng
Hình 2.3
* Phẳng S (mặt phẳng phức)
Nếu G(S) là hàm hữu tỉ như sau:
m
bm ∑ ( S + z i )
i =1
G(S) = n
∑ (S + p )
i =1
i
- Các giá trị của biến phức S = -zi làm cho G(s) = 0 được gọi là các không của
G(s) (Zeros)
- Các giá trị s = - pi làm cho G(s) → ∞
được gọi là các cực của G(s) ( Poles)
Các cực và các không được xác định bởi: một đại diện phần thực và một đại diện
phần ảo của số phức.
Biểu diễn các điểm đó trên mặt phẳng phức ( phẳng S) gọi là ánh xạ cực – không
của G(s)

29. Ví dụ:
2S 2 − 2S − 4 2( S +1)( S − 2)
G(s) = S + 5S + 8S + 6
3 2
=
( S + 3)( S +1 − j )( S +1 − j )
G(s) có các không: s = -1 ; s = 2
và các cực: s = -3; s = -1 – j ; s = -1 +j jω
j
σ
-3 -1 2
Pole
Zero
-j
Ph¼ S
ng
Hình 2.4
*Phẳng G(s): Được biểu diễn trong mặt phẳng với 2 thành phần. Một là phần thực
của G(s) – ReG, và một là phần ảo của G(s)- ImG. ánh xạ từ các điểm s 0 sang phẳng
G(s) là các điểm G(s0).
jω
¸ nh x¹ G ImG
S2 S1
S3
G(S1) G(S2)
S4 σ G(S4) ReG
Ph¼ S
ng
G(S3)
Ph¼ G(S)
ng
Hình 2.5
* Nhận xét: Mối quan hệ giữa phẳng S ( ánh xạ cực – không)
*Phép biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace là cơ sở của một phương pháp giải tích để tìm cả đáp ứng ổn
định và đáp ứng quá độ mà các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi.
Nên phép biến đổi Laplace chỉ dùng biến đổi cho phương trình vi phân tuyến tính.
Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi phân thành các phương trình đại số nên
tìm nghiệm của phương trình đại số đơn giản hơn và từ nghiệm của phương trình
đại số tìm được nghiệm của phương trình vi phân.
Một ưu điểm là phương pháp này có thể xử lý trực tiếp các điều kiện đầu của hệ
thống như một phần của đáp ứng.
- Bản chất của phép biến đổi Laplace:

30. Là các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được chuyển thành các phép toán đại số
thông thường đối với các ảnh, miền xác định rộng.
- Hàm gốc:
Gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
1. Hàm f(t) liên tục trên từng đoạn thuộc miền xác định mà t ≥
0.
Giải thích:
Lấy [a; b] trên t 0, luôn chi được trong [a; b] một số hữu hạn khoảng nhỏ [e; x]
≥
sao cho trong mỗi khoảng đó f(t) liên tục và tại các mút của mỗi khoảng nhỏ thì f(t)
có giới hạn một phía:
lim f (t ) < ∞
t →ξ
2. Khi t →∞
+
hàm f(t) không tăng nhanh hơn một hàm mũ. Tồn tại M > 0;
a >0 sao cho: f (t ) ≤ e α.t ; mọi t >0
a gọi là chỉ số tăng của f(t).
3.f(t) = 0 khi t < 0.
Điều kiện này được đưa ra vì trong ứng dụng biến số t thường là thời gian, hàm f(t)
biểu diễn một quá trình nào đó mà ta chỉ khảo sát lúc t > 0.
Một số ví dụ:
a) Hàm h(t) = 0 khi t < 0
1 khi t > 0
Là một hàm gốc : η (t ) ≤ 1 thoả mãn điều kiện hàm f(t) không tăng nhanh hơn
một hàm mũ.
lim η(t ) = 1
t ≥0
ta lấy t thuộc trong [-1; 1] thì t →+1 ( thoả mãn điều kiện 1)
h(t) = 0 khi t < 0 (thoả mãn điều kiện 3) η(t)
O t
Hình 2.6
b) Hàm f(t) = h(t). sint = 0 khi t < 0
sint khi t > 0
η(t).sint
η t ). sin t ≤1 =M .e α
( t
( M = 1; a = 0)
η(t ). sin t liên tục trên t ≥
0
O t
η(t ). sin t = 0 khi t <0

31. Hình 2.7
c) Hàm f(t) = h(t).t2 = 0 khi t < 0
t2 khi t > 0
η(t ).t 2 ≤ 2.e t ( M = 2; a = 1)
η(t).t 2
O t
Hình 2.8
- Toán tử Laplace:
Nếu f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là a thì yêu cầu của f(t) để chuyển đổi được
là:
∞
− σ .t dt < ∞
∫ f (t ) .e (a<s< ∞
) tích phân hội tụ tuyệt đối.
0
Biến đổi Laplace là kết quả của một thuật toán chuyển đổi với một hàm thời gian
f(t) để cho ta hàm G(s) của biến phức s.
T ∞
F(s) = L {f(t)} = lim ∫ f (t ).e − st dt = ∫ f (t ).e − st dt (0<e<T)
T → ∞ε
0+
Biến đổi ngược để tìm gốc f(t):
1 σ + j∞
f(t) = ∫ F ( s ).e − st .ds
2πj σ − j∞
Một số hàm biến đổi Laplace sử dụng phổ biến:
Important Laplace Transform Pairs
f(t) F(s)
Hàm bậc thang h(t) 1
S
Hàm xung đơn vị d(t) = 0 nếu t < 0 1
1 nếu 0 ≤
t ≤
t1
0 nếu t > t1
t 1
S2
tn n!
Sn+ 1

32. e-at 1
S+ a
t n−1 .e− at 1
(n − 1)! (S + a)n
1 1
.(1 − e − at )
a S(S+ a)
sinwt ω
S2 + ω2
coswt S
S2 + ω2
e-at.f(t) F(s + a)
dk f(t) skF(s) – sk-1f(0-) – sk-2f’(0-) - ... – f(k-1)(0-)
f(k)(t) = dtk
t 0
F(s) 1
∫
−∞
f(t)dt
s
+
s −∞ ∫
f(t)dt
* Lưu ý:
d
Biến s được coi như phép vi phân: s ≡
dt
1≡ tdt
Và trong tích phân: s0
∫
* ứng dụng của toán tử Laplace:
- Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số không đổi
- Tìm hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển tuyến tính.
2.1. Hàm truyền đạt
* Định nghĩa: Hàm truyền đạt (The Transfer function) của một hệ thống tuyến tính
được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của biếu ra ( đại lượng đáp ứng ra
của hệ thống) so với biến đổi Laplace của biến vào ( đại lượng tác động vào hệ
thống), Với điều kiện đầu đồng nhất bằng không. Hàm truyền đạt của hệ thống
( phần tử) đặc trưng cho mô tả động lực học của hệ thống.
- Một hàm truyền đạt chỉ có thể xác định cho hệ thống tuyến tính, hệ thống bền
vững ( tham số không đổi). Một hệ thống không bền vững thường gọi là hệ thống
biến thời gian thay đổi, có một hay nhiều tham số thay đổi, và phép biến đổi
Laplace không được áp dụng đối với hệ thống này.
- Hàm truyền đạt thể hiện tác động vào và đáp ứng ra của trạng thái hệ thống.
- Tuy nhiên, hàm truyền đạt không diễn tả thông tin về cấu trúc bên trong của hệ
thống và trạng thái hoạt động của hệ thống.

33. l {y(t)} Output Y(s)
G(s) = l {u(t)} = Input = U(s)
Để hiểu về cách xây dựng hàm truyền đạt ta có các ví dụ sau:
Ví dụ 1:
Cho một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân sau:
d2 y dy
+4 + 3y = 2r(t)
dt 2 dt
dy
Điều kiện đầu là: y(0) = 1, dt
(0) = 0 , và r(t) = 1, t ≥
0
Biến đổi Laplace:
[ s2Y(s) – s y(0) ] + 4[ s Y(s) – y(0) ] + 3 Y(s) = 2 R(s)
1
Thay R(s) = s
và y(0) = 1 ta được:
2
s2Y(s) – s + 4 s Y(s) – 4 + 3 Y(s) = s
2 s+ 4
Y(s) = + 2
s(s + 4s + 3) (s + 4s+ 3)
2
Trong đó: q(s) = s2 +4s + 3 = ( s + 1)(s +3) = 0 là phương trình đặc trưng và d(s) = s
3/2 −1/2 −1 1/3 2/3
Y(s) = [ + ] +[ + ]+ = Y1(s) + Y2(s) + Y3(s)
(s +1) (s + 3) (s +1) (s + 3) s
Biến đổi Laplace ngược:
3 1 1 2
y(t) = [ .e − .e ] +[ −
−t
1.e + .e ] +
−3t −t −3t
2 2 3 3
2
Trạng thái ổn định là: lim y(t) =
t →∞
3
Ví dụ 2: Hệ thống cơ khí như hình vẽ ( được mô hình hoá)
friction f 2 K
M2
V 2(t)
friction f 1
M1
V 1(t)
Force r(t)
Hình 2.9

34. Trong hình vẽ:
K: Độ cứng lò xo ( hằng số lò xo)
f1, f2: là các hệ số ma sát
V1(t), V2(t): Vận tốc di chuyển của các trọng khối M1 và M2.
M1sV1(s) + (f1 + f2)V1(s) – f2V2(s) = R(s)
V2 (s)
M2sV2(s) + f1(V2(s) – V1(s)) + K s
=0
Tương đương với:
(M1(s) + (f1 + f2)) V1(s) + (- f1)V2(s) = R(s)
K
(-f1)V1(s) + (M2(s) + f1 + s
) V2(s) = 0
Hoặc dưới dạng ma trận sau:
(M 1 (s) + f 1 + f 2 ........( f 1 )
− 
 V1 (s) R(s)
K . =
.........( f 1 )......(M2 (s) + f 1 + ) V2 (s) 0 
−   
 s 
Vận tốc di chuyển của M1 chính là đại lượng ra, việc tìm V1(s) bởi ma trận nghịch
đảo hoặc nguyên tắc Cramer là:
(M 2 s + f 1 + (K/s)).R(s )
V1(s) = (M 1s + f 1 + f 2 ).(M 2 s + f 1 + (K/s)) − f 12
Hàm truyền đạt của hệ thống:
V1 (s) (M 2 s + f 1 + (K/s))
G(s) = R(s)
=
(M 1s + f 1 + f 2 ).(M 2 s + f 1 + (K/s)) − f 12 =
(M 2 s2 + f 1 s + K).R(s)
(M 1s + f 1 + f 2 ).(M 2 s2 + f 1 s + K) − f 12 s
Tại một thời điểm nào đó mà xác định x1(t), thì hàm truyền đạt là:
X (s) V1 (s) G(s)
= =
R(s) sR(s) s
Ví dụ 3: Hàm truyền đạt của động cơ dc
Động cơ dc là thiết bị phát động mà chuyển từ dạng năng lượng điện sang chuyển
động quay. Armature
Ra
Rf La
+
Lf
Inertia = J
- Friction = f
i f (t) Load
Field

35. Hình 2.10
Ví dụ 4: Cho hệ cơ học gồm một lò xo có hệ số c, một vật với khối lượng m và bộ
giảm chấn có hệ số d được nối với nhau như hình vẽ. Xác định hàm truyền đạt cho
hệ cơ đó nếu tín hiệu đầu vào u(t) được định nghĩa là lực bên ngoài tác động lên vật
và tín hiệu ra y(t) là quãng đường mà vật đi được.
Gọi Fc, Fm, Fd là những lực của lò xo, vật và bộ giảm chấn sinh ra khi vật di chuyển
nhằm cản sự dịch chuyển đó thì:
Fc = c. y(t)
d2 y(t)
Fm = m. dt 2 Fc Fm c
dy(t)
u(t)
Fd = d . dt m
Theo tiên đề về cân bằng lực ta được: y(t) Fd
d2 y(t) dy(t) d
u(t) = Fc + Fm + Fd = c . y(t) + m. dt 2
+d. dt
Biến đổi Laplace: U(s) = ( c + ds + ms2 ). Y(s)
Hình 2.11
Hàm truyền đạt của hệ thống là:
Y(s) 1
G(s) = U(s) = ms2 + ds+ c
Gọi g(t) là hàm gốc của hàm truyền đạt G(s), tức là:
g(t) = L-1{G(s)}
Theo tính chất của toán tử Laplace ta có:
Y(s) = G(s). U(s)
+∞ +∞
⇔
y(t) = g(t). u(t) = ∫ g(τ ).u(t − τ )dτ = ∫ g(t - τ ).u(τ )dτ
−∞ −∞
Hàm g(t) được gọi là hàm trọng lượng của hệ thống. Với u(t) = δ (t )
Do U(s) = 1 nên ta có y(t) = g(t)
* Hàm truyền đạt trong lĩnh vực Laplace
Trên đây mới chỉ giới thiệu hàm truyền đạt giới hạn trong quan hệ tỷ lệ vào – ra đơn
giản, đó là một hình thức để mô tả đặc trưng của phần tử hoặc hệ thống. Tuy nhiên
có nhiều phần tử có đáp ứng thay đổi theo thời gian. Trong lĩnh vực thời gian đặc
tính đó được mô tả bằng phương trình vi phân, phương trình này không trực tiếp
dùng làm hàm truyền đạt được.
Nếu dùng một hàm truyền đạt với biến số Laplace S, diễn tả được đặc tính động lực
của phần tử hoặc hệ thống và phương pháp phân tích trong lĩnh vực thời gian ( tức

36. là quá trình quá độ)sẽ tương đối đơn giản giúp ta xác định đáp ứng của phần tử hoặc
hệ thống đối với một tín hiệu vào xác định.
Đặc trưng của một hệ thống điều khiển, ta có phương trình vi phân tổng quát sau
đây:
(pn + bn-1pn-1 + ... + b1p + b0). y(t) = ( ampm + am-1pm-1 + ... + a1p + a0 ). x(t) (2.11)
am p m + am−1 p m −1 + ... + a1 p + a0 L (p)
y(t) = .x(t) = m .x(t)
p n + b n −1 p n−1 + ... + b1 p + b 0 L n (p)
Trong đó: a0, ..., am và b0, ..., bn là những hằng số
x(t) hàm kích thích, nó là tín hiệu tác động vào làm kích thích hệ thống
y(t) hàm phản ứng. Nó là hàm chuyển tiếp (tín hiệu ra) dưới tác động của tín hiệu
vào x(t).
Ln(p) = pn + bn-1pn-1 + ... + b1p + b0
Lm(p) = ampm + am-1pm-1 + ... + a1p + a0
Biến đổi Laplace từng số hạng của phương trình (2.11) ta có
L[pn y(t)] = sn Y(s) – I(s)n
bn-1 L[pn-1 y(t)] =bn-1. sn-1 Y(s) – I(s)n-1
...
am L[pm x(t)] = am sm X(s) – I(s)m
am-1 L[pm-1 x(t)] =am-1 sm-1 Y(s) – I(s)m-1
Với I(s)n,...là những điều kiện ban đầu tương ứng với các biến đổi.
Thay vào phương trình:
(am sm + am −1sm −1 +... + a1s + a0 ).X(s) + I(s) L m (s).X(s)+ I(s)
Y(s) = =
sn + b n −1sn −1 +... + b1s + b 0 L n (s)
I(s) = I(s)n + I(s)n-1 + ... - I(s)m - I(s)m-1 là tổng những điều kiện đầu.
Từ phương trình trên thấy rằng:
- các đa thức Lm (s); Ln(s) ở trong miền biến đổi s vẫn giữ nguyên như trong miền
toán tử p.
- Tử số của chúng cũng có dạng giống nhau, chỉ khác là ở miền s có các điều kiện
đầu I(s).
- Nếu các điều kiện đầu bằng 0 thì ta có thể biến đổi Laplace của phương trình vi
phân bằng cách thay s vào vị trí p, thay Y(s) vào vị trí y(t) và X(s) vào vị trí x(t).
Tức là:
L m (s)
Y(s) = L n (s)
.X ( s)
L m (s)
Và hàm truyền đạt là G(s) = L n (s)

37. Vậy có mối quan hệ trong hệ thống điều khiển:
“Hàm phản ứng = Hàm truyền đạt x Hàm kích thích”
Nếu cho mẫu số của hàm truyền đạt bằng 0 ta sẽ có phương trình đặc trưng:
s n + bn-1sn-1 + ... + b1s + b0 = 0 trên cơ sở phương trình đặc trưng ta suy ra
các đặc tính chuyển tiếp của hệ thống.
- Hàm phản ứng (hàm chuyển tiếp) y(t) có thể xác định với việc biến đổi ngược hàm
Y(s)
L m (s).X(s)+ I(s)
y(t) = L-1[ Y(s)] = L-1 [ L n (s) ]
Tìm y(t) theo 2 cách:
1) Dùng bảng để xác định các hàm thời gian tương ứng
2) Phân tích hàm đã biến đổi thành tổng những hàm đơn giản hơn và sau đó dùng
bảng để biến đổi ngược từng số hạng.
Thường dùng phương pháp 2 vì ít khi gặp các hàm đơn giản. Vậy ta tìm hiểu
phương pháp 2 như sau:
L m (s).X(s)+ I(s)
Y(s) = L n (s)
Hàm kích thích X(s) hay tín hiệu vào có thể viết dưới dạng sau đây:
Nx
X(s) = Dx
L m (s).Nx + I(s).Dx A( s )
Y(s) = =
L n (s).Dx B(s)
ở đây A(s) và B(s) là những đa thức của s.
Để có thể chia Y(s) thành các phân thức, ta phân tích mẫu số B(s). Giả sử các
nghiệm của B(s) là r1, r2, ..., rn. Các nghiệm này có thể là nghiệm đơn, nghiệm bội
hay là số phức.
- Nghiệm đơn:
A(s) C1 C2 Cn
Y(s) = = + + ... +
B(s) s − r1 s − r2 s − rn
Xác định C1, C2, ..., Cn ta dùng phương pháp sau
lim [(s − r1 ).Y(s)]
C1 = s→1
r
lim [(s − r2 ).Y(s)]
C2 = s→ 2
r
...
lim [(s − rn ).Y(s)]
Cn = s→ n
r
Biết được C1, C2, ..., Cn tìm được biến đổi Laplace ngược trong bảng: