2. 목차 점근 공식 (Asymptotic Formula) 알고리즘 성능 분석 단방향 상등 (One-Way Equality) O(Big-O), Ω(Big-Omega), Θ(Big-Theta) 표기법 0 보다 큰 정수 n 0 에 가까운 복소변수z 일부 무한급수
3. 점근 공식 (Asymptotic Formula) ‘어떠한 수량을 다른 것과 비교하기 위해, 그 수량을 정확하게 측정하는 것이 아니라 근사적으로 알고 싶은 경우’에 사용하는 방법이다. 간략화를 통해서 세부적인 정보를 숨기고 근사를 다룰 때 도움이 된다. 정확히 알려지지 않은 수량을 나타낸다.
4. 알고리즘 성능 분석 시간 복잡도 분석 (수행 시간 분석) 알고리즘의 연산의 횟수(입력의 개수 (𝑛 ) 의 함수)를 측정하여 비교 점근적 표현, 점근적 복잡도 연산의 횟수를𝑛 이라고 하고 시간 복잡도를 표현할 때𝑛 이 무한히 큰 경우로 국한시킨다. 입력 크기(𝑛 )을 무한히 크다고 가정한 후함수 값을 비교해 보면log𝑛<𝑛<𝑛log𝑛<𝑛2<𝑛3 이다. 따라서log𝑛의 복잡도를 가진 알고리즘이다른 알고리즘에 비해 효율성이 좋다고할 수 있다.
5. 단방향 상등 (One-Way Equality) 항상 등식의 우변이 좌변보다 더 자세한 정보를 제공하지 않는다 즉, 우변은 항상 좌변보다 조악한 버전이다. 12𝑛2+𝑛=𝑂𝑛2 은가능하나 𝑂𝑛2= 12𝑛2+𝑛 은 절대로 불가능하다.
6. O(Big-O), Ω(Big-Omega), Θ(Big-Theta) 표기법 O(Big-O)표기법 상한선 표기법 𝑔𝑛≥𝑂𝑓𝑛 (0<𝑛 정수) 𝑂(𝑓𝑛)이 나타내는 수를 𝑥𝑛이라고 할 때, 모든 정수 𝑛0≤𝑛에대해서 𝑥𝑛≤𝑀𝑓𝑛 을 만족하는 양의 정수 𝑀과 𝑛0이 존재한다. Ω(Big-Omega) 표기법 하한선 표기법 𝑔𝑛≤Ω𝑓𝑛 (0<𝑛 정수) Ω(𝑓𝑛)이 나타내는 수를 𝑥𝑛이라고 할 때, 모든 정수 𝑛0≤𝑛에대해서 𝐿𝑓𝑛≤𝑥𝑛을 만족하는 양의 정수 𝐿과 𝑛0이 존재한다. Θ(Big-Theta) 표기법 𝑔𝑛=Θ𝑓𝑛⇔𝑔𝑛=𝑂𝑓𝑛 이고 𝑔𝑛=Ω𝑓𝑛 (0<𝑛 정수)
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8. 연습문제 13 다음을 증명 또는 반증하라.오직 𝑓𝑛=𝑂𝑔𝑛 일 때에만 𝑔𝑛=Ω𝑓𝑛 이다. 𝑓𝑛=𝑂𝑔𝑛 0<𝑛 정수,모든 정수 𝑛0≤𝑛일 때𝑓𝑛≤𝑀𝑔𝑛을 만족하는 양의 정수 𝑀과 𝑛0이 존재한다. 𝑔𝑛=Ω𝑓𝑛0<𝑛 정수,모든 정수 𝑛0≤𝑛일 때𝐿𝑓𝑛≤𝑔𝑛을 만족하는 양의 정수 𝐿과 𝑛0이 존재한다. 위의 정의를 통해서 𝑓𝑛≤𝑀𝑔𝑛 , 𝐿𝑓𝑛≤𝑔𝑛 를 통해서 𝐿=1𝑀 인 관계를알 수 있다.
9. 예를 들어양의 정수 𝑛->∞, 𝑔𝑛=𝑛 이면 2𝑛=𝑂𝑔𝑛 이 되고 𝑛2=Ω𝑔𝑛 이 된다. 이 때 𝐿=1𝑀 관계에서는 𝑓𝑛=𝑂𝑔𝑛 인 경우에 𝑔𝑛=Ω𝑓𝑛 가 항상 참이 된다.
10. 위의 식을 통해서 다음과 같은 사실을 도출해 낼 수 있다. O(Big-O)표기법은 상한선에 대해서는 항상 참이다. 즉, 12+22+⋯+𝑛2=𝑂(𝑛2) 은 상한선이 아니기 때문에 거짓이다. 0 보다 큰 정수 n
12. O표기법을 사용할 때 가능한 연산들 O표기법은 n의 차수가 가장 큰 항이 가장 큰 영향을 미친다.
13. 0 에 가까운 복소변수z 복소변수 𝑧 의 함수들에서, 𝑧 가 0 에 가까울 때는 자주 쓰인다. 𝑂𝑓𝑧는 𝑧<𝑟일때𝑔(𝑧)≤𝑀𝑓(𝑧)를 만족하는 임의의 수량을 나타낸다. 작은 복소변수𝑧의함수를 가리킨다. 𝑀, 𝑟(실수) 은미지정된 상수이다. 𝑧=𝑧0에 수렴하는 무한 멱급수 함수에서𝑧<𝑧0일때에는𝑘≥0𝑎𝑘𝑧𝑘도 항상 수렴한다. 𝑧0≠0이면 이다. O표기법에서는 상한은 항상 참이므로 𝑂𝑧𝑚+1=𝑎𝑚+1+𝑎𝑚+2𝑧+⋯𝑧𝑚+1으로 생각할 수 있다. 𝑧≤𝑟<𝑧0 이면 그 상계가 𝑎𝑚+1+𝑎𝑚+2𝑟+𝑎𝑚+3𝑟2+⋯ 이다.
