Estrategias para la construcción del sistema de numeración decimal

1. Estrategias para la construcción
del Sistema de Numeración
Decimal (SND)
CÓMO GENERAR APRENDIZAJES
EN MATEMÁTICA A TRAVÉS
DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Matemática
Módulo 1

3. Introducción
Durante estos últimos diez años, investigaciones, estudios y experiencias
realizadas acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas afirman que:
• “La actividad matemática es una actividad humana más”…1
, por lo
que se considera que “saber matemáticas” es “hacer matemáticas”, lo
cual implica, entre otros aspectos, la resolución de problemas de la vida
cotidiana. Se trata, entonces, de presentar problemas donde “el contexto
debe ser considerado por sí mismo y constituir un mensaje y las matemáticas
un medio para decodificarlo”2
.
• Para conseguir una actividad matemática significativa hay que partir de la
experiencia real de los estudiantes, de situaciones extraídas de lo que viven,
de aquello que está ligado a sus intereses, sus juegos, sus imaginaciones,
sueños y deseos. Ya sean situaciones espontáneas o provocadas, hay que
explotarlas con vivencias colectivas o individuales en el ambiente del aula.
• El desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos niveles,
donde los contextos y las ideas matemáticas poseen un papel relevante,
y ese desarrollo se lleva a cabo en un proceso didáctico que implica, por
parte del docente, transformar ese saber adulto que tiene de los conceptos
matemáticos en un saber que hay que enseñar a estudiantes que proceden
de diferentes contextos familiares y poseen diversas historias de crianza y
estimulaciones previas de sus aprendizajes.
• Según Bruno D´Amore, el aprendizaje de la matemática no comprende
solo la construcción de conceptos, sino que “consta de (al menos) 5
tipologías diversas de aprendizaje: aprendizaje conceptual (noética),
aprendizaje algorítmico (calcular, operar…), aprendizaje de estrategias
(resolver, conjeturar…), aprendizaje comunicativo (argumentar, demostrar),
aprendizaje y gestión de las transformaciones, de tratamiento y conversión
de representaciones, del lenguaje común oral y escrito, de gráficos, diseños,
de esquemas no verbales”3
.
1 Vicenç Font, refiriéndose a los trabajos de Freudenthal.
2 Bressan. Página 3 del artículo Principios de la educación matemática realista citando a Freudenthal,
matemático y educador (1905 – 1990), quien fundó el Instituto Freudenthal para la Ciencia y la Educación
Matemática en Utrecht. Incansable propulsor de un cambio en la enseñanza tradicional de la matemáti-
ca, así como de los ICME. Recuperado de https://lasmatesdeinma.files.wordpress.com/.../principios-de-edu-
cacion-m...
3 Bruno D´Amore, Pinilla (febrero 2014), VII Coloquio Internacional de Enseñanza de las Matemáticas IREM: El
papel de la epistemología en la formación de los maestros de matemática.
1

4. • Actualmente existen diversos enfoques teóricos para explicar la complejidad
del proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, “debido a los
mismos conceptos matemáticos y por lo complejo y problemático que es
el mismo proceso de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en las
instituciones educativas”4
.
• Para desarrollar habilidades matemáticas, los estudiantes deben tener
confianza en su propia capacidad y propia identidad como aprendices de
matemáticas, gracias a la existencia de estrategias como la de ser acogidos
por el docente en sus preguntas y ejemplos de sus intuiciones y respuestas,
que los hacen sentirse capaces en sus primeros aprendizajes matemáticos,
y de repreguntas del docente que los invitan a profundizar en nuevas ideas
matemáticas y, de hecho, a apropiarse de estas.
• Los docentes deben dar a los estudiantes la oportunidad de reconstruir los
conceptos matemáticos y propiciar un proceso de enseñanza-aprendizaje
muy interactivo.
• Saber que lo que un estudiante es capaz de aprender por sí mismo, viene
determinado por su nivel de desarrollo evolutivo y por sus conocimientos
previos, pero esta capacidad de aprendizaje hay que diferenciarla de
la capacidad de aprender con la ayuda y el estímulo de otras personas
(no solo los profesores, también los amigos, padres, compañeros, etc.) La
diferencia entre estos dos niveles de capacidad es lo que Vygotsky llama
la zona de desarrollo próximo. Así pues, la enseñanza más eficaz es aquella
que parte del desarrollo efectivo del estudiante, no para amoldarse a él, sino
para hacerlo progresar a través de la zona de desarrollo próximo, y de esa
manera generar nuevas zonas de desarrollo próximo.5
Desde luego, estos estudios enfatizan en la necesidad de contar con
actividades desafiantes y con una alta calidad profesional de los docentes que
enseñan matemáticas6
, quienes deberán encargarse de promover experiencias
más retadoras en la matemática escolar. Es decir, trabajar en el desarrollo del
pensamiento matemático de los estudiantes, de tal manera que para ellos
sea tanto personalmente apropiado como divertido, y que les permita dejar
todas las opciones abiertas cuando tomen decisiones en la vida, “desde la
4 Vicenç Font, Universidad de Barcelona, Coloquio Internacional sobre la Enseñanza de las Matemáticas,
Lima, 2008.
5 Vincent Foll, 2008
6 Golding M. y Kyriacou C. (2008). A Systematic Review of the Use of ICTs in Developing Pupils’ Understanding
of Algebraic Ideas. Se tradujo y adaptó un documento para los docentes en marzo 2013.
2

5. profesión a seguir, hasta las finanzas personales y el ejercicio de los derechos del
ciudadano7
.
¿Qué pretenden los módulos?
Profundizar en el conocimiento, habilidades, actitudes y en el uso de estrategias
para resolver problemas que debe manejar el docente, a fin de desarrollar
en sus estudiantes una comprensión numérica, determinadas habilidades
operatorias y un saber resolver problemas relacionados con situaciones de
cantidad en contextos conocidos y definidos en el marco curricular del segundo
y cuarto grado de educación primaria.
¿Qué tareas tiene que realizar el docente para llevar a cabo el
curso?
• Transformar ese saber adulto que tiene de los conceptos matemáticos en un
saber que hay que enseñar a los estudiantes.
• Saber comunicar la matemática a los estudiantes: niñas y niños de entre
8 y 10 años, que llegan a las aulas de segundo y cuarto grado con su
propia historia personal, su lengua, sus costumbres y sus vivencias en un
determinado contexto escolar. Tarea también muy compleja, dada la
naturaleza misma de los conceptos y los aspectos lingüísticos que hay que
afrontar en cada aula: “Si no comprendo el sentido de lo que me hablas, no
entiendo”.
Por eso, será conveniente que cada docente:
- Estudie el módulo siguiendo los acuerdos dados en un curso virtual.
- Experimente en grupo, con otros docentes, las actividades antes de
aplicarlas en el aula.
- Aplique las actividades a los estudiantes y registre las respuestas, las
preguntas, los comentarios y las producciones que realicen en el transcurso
de las interacciones con él y con los materiales educativos de los que
disponen, incluidas las TIC.
- Comparta con otros docentes las mismas experiencias pedagógicas, para
reflexionar acerca de logros y dificultades encontradas en la aplicación y
recreen nuevas actividades.
- Consulte permanentemente sus hallazgos, comentarios e inquietudes con las
monitoras y tutoras del curso.
7 María Falk de Losada, investigadora de la Universidad Antonio Nariño. Actas del XXIV Coloquio Distrital de
Matemáticas y Estadística. Septiembre 8, 9 y 10 de 2011, Bogotá, Colombia.
3

6. En este módulo se abordarán las concepciones de número y numeración, así
como la incidencia de estos aprendizajes en el cálculo numérico. La enseñanza
y el aprendizaje de la numeración, como sistema, permiten a los estudiantes
identificar las convenciones y leyes que la configuran, y ofrecen la posibilidad
de trabajar diversas nociones matemáticas importantes para el desarrollo de
las capacidades de los estudiantes de segundo y cuarto grado de educación
primaria.
¿Qué conocimientos básicos habrá que tener en cuenta?
Todos los sistemas de numeración tienen los mismos principios y estos se basan
en el denominado algoritmo de la división.8
Si tenemos estos objetos:
y los dividimos en agrupaciones de 10 objetos (10 es la base del Sistema de
Numeración Decimal),
tendremos 2 agrupaciones de 10 objetos (2 decenas) y sobrarán 4 objetos (4
unidades), estos últimos serán el residuo que siempre será menor que 10.
¿Cuántos elementos hay en total? 24 objetos. Y 24 equivale a 2 decenas y 4
unidades.
En el Sistema de Numeración Decimal se emplean diez símbolos para
representar todos los números naturales, por ello, se le conoce también como
Sistema de Base 10.
Estos símbolos, conocidos como dígitos o cifras, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por
ejemplo, si un número natural se representa por 4647, esta expresión significaría:
4 647 = 4 × 1 000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 7
Se trata de una descomposición multiplicativa. Si la expresamos como una
expresión polinómica en potencias de la base 10: 4647 = 4 × 103
+ 6×102
+ 4 ×
8 A partir del documento “Hacia los Números”, elaborado por Alex Molina para la capacitación de docen-
tes del Proyecto Cruzada Regional por los aprendizajes fundamentales de niñas y niños de Huancavelica,
en el verano 2013.
4

7. 101
+ 7 × 100
, se dice que es una descomposición polinómica del número 4647.
En la expresión decimal de 4 647 cada dígito tiene un nombre:
M C D U
7 → 7 unidades
4 0 → 4 decenas o 40 unidades
6 0 0 → 6 centenas o 60 decenas o 600 unidades
4 0 0 0 → 4 millares o 40centenas o 400 decenas o 4000unidades
La cifra o el dígito 4, por la posición que ocupa, tiene diferentes significados
(más conocido como valor posicional). Como vemos, el 4 en la posición de
las decenas significa 4 decenas (40 unidades), mientras que en el lugar de las
unidades de millar significa 4 millares (4000 unidades). Es decir, cada dígito tiene
un doble valor: el valor correspondiente al número de unidades que representa
y el valor relativo a la posición que ocupa en el SND, a este valor se le conoce
como valor posicional.
¿Cuál sería la descomposición aditiva y multiplicativa de otro número como, por
ejemplo, 2016?
¿Cómo construyen los estudiantes el SND?
La comprensión del SND necesita ser construida por cada niño y niña. No basta
la tradicional escritura y lectura del número ni el uso irreflexivo del tablero de
valor posicional para desarrollar dicha comprensión. Esto se logrará en la
medida que les brindemos oportunidades de aprendizaje adecuadas y diversas.
Para generar dichas oportunidades de aprendizaje, es necesario conocer
primero cómo se construye el SND9
.
Tarea de los participantes: Identificar en qué proceso de la construcción del
SND se encuentra cada uno de los estudiantes o el grupo de estudiantes que
tiene dificultades en el aula. Se trata de analizar las páginas 24, 25 y 26 de
“¿Cómo construyen nuestros niños el SND?”10
aplicar una de esas experiencias
que allí se presentan, para luego socializar los hallazgos y las reflexiones que se
susciten en el grupo de participantes.
El documento citado presenta algunos de los procesos que siguen los niños y
las niñas al construir el Sistema de Numeración Decimal, y es necesario que los
conozca el docente. Estos procesos están asociados a la:
9 UMC, MED, 2010, página 24 del informe Resultados ECE 2010 “Recomendaciones para mejorar la compren-
sión del SND”. Recuperado de Guiadeanalisis2doPruebadeMatematica_web
10 UMC, MED, 2010, páginas 24 a 26 del informe Resultados ECE 2010 “Recomendaciones para mejorar la
comprensión del SND”. Recuperado de Guiadeanalisis2doPruebadeMatematica_web
5

8. • Construcción del número:
- Relaciona los números con objetos de su entorno, no necesariamente
cuantitativos.
- Relaciona los números con una cantidad de elementos.
- Comprende el número en el sentido ordinal únicamente.
• Comprensión del SND:
- Comprende el número como unidades únicamente.
- Comprende el número como unidades y decenas.
- Comprende el número como unidades, decenas y centenas.
- Establece equivalencias entre unidades, decenas, centenas y millares, es
decir, comprende el proceso recursivo de la numeración.11
Asimismo, en las recientes evaluaciones de la ECE, se ha puesto mayor atención
en las operaciones de composición y descomposición y las relaciones de
equivalencia, de inclusión y de recurrencia que el niño y la niña deben construir
para comprender el SND.
También será importante tener en cuenta los aportes del trabajo didáctico
acerca de la numeración escrita de otros investigadores. Así, Lerner y Sadovsky
(1997) nos dicen que en este trabajo de la numeración es imprescindible tener
presente una cuestión esencial: se trata de enseñar –y de aprender– un sistema
de representación. Habrá que crear, entonces, situaciones que permitan tanto
develar la organización propia del sistema como descubrir de qué manera este
sistema encarna las propiedades de la estructura numérica que él representa.12
11 UMC, MED, 2010, páginas 24 a 36 del Informe resultados ECE 2010 “Recomendaciones para mejorar la
comprensión del SND”.
12 Lerner, D. y Sadovsky, P. “El sistema de numeración: un problema didáctico” en Didáctica de las Matemáti-
cas, Paidos, 1997.
https://www.google.com.pe/sear-
ch?q=sistema+de+numeraci%C
3 % B 3 n + d e c i m a l & e s p v = 2 & b i -
w=1920&bih=984&source=lnms&tbm=
isch&sa=X&ved=0ahUKEwiYl8b-
zpabPAhXQsB4KHcxvD2QQ_AUIBig
B#tbm=isch&q=objetos+agrupa-
dos+por+decenas&imgrc=RJ1_Iqb
-oS49bM%3A
6

9. La organización del Sistema de Numeración Decimal implica los significados de
número, relación de orden y de adición y multiplicación, por lo tanto, comparar
números y operar con ellos son puntos a considerar en el uso de la numeración
escrita. También uno de los aspectos que menos se atiende en el aula es la
interpretación y producción de escrituras numéricas, luego de los procesos de
manipulación y representación gráfica con materiales educativos (regletas
de colores13
, cubitos, barras, placas, cubo de base diez14
, bolsas15
, placas16
y ábacos17
), que si bien han sido enfatizados en los primeros grados como
procesos en el aprendizaje de la numeración hasta las centenas, continúan
en los grados siguientes como procesos aislados sin ser conectados con los
procesos de producción e interpretación numérica.
Los procesos de evaluación formativa que realizan los docentes en las
instituciones educativas también evalúan con más énfasis los procesos de
representación gráfica, desconectados de los procesos de representación
y producción escrita. Las dificultades se acrecientan cuando no resuelven
problemas de medición sencillos y conocidos (estaturas de los estudiantes en
cm o m o de distancias recorridas en km (entre ciudades vecinas). Son unidades
longitud de uso muy conocido pero desvinculadas del manejo de equivalencia
entre las unidades del sistema de numeración decimal.
Las experiencias realizadas por Kamii18
y otros investigadores han demostrado que
los niños y las niñas tienen serias dificultades para comprender el valor posicional,
incluso cuando ya escriben números de varias cifras y se encuentran finalizando
la educación primaria. Sin embargo, la mayoría de docentes piensa que este
desconocimiento es una baja dificultad y confían en el conteo oral y escrito.
Teniendo como sustento lo anterior y el seguimiento y la sistematización de
prácticas pedagógicas, se puede afirmar que una comprensión del Sistema de
Numeración Decimal y resolución de problemas implica:
• Identificar representaciones de números con distintos materiales educativos
físicos como mediadores en la construcción de los significados del número
y de las operaciones, la exploración de las relaciones numéricas y de las
magnitudes.
• Representar los números en distintas formas y ejemplificar las relaciones entre
13 Regletas de Cuisenaire (1907)
14 Materiales de la base diez de los Multibase de Dienes
15 Objetos que sirven para guardar las agrupaciones de 10, 100, 1000
16 Tarjetas rectangulares que muestran 10 cuadrados dispuestos asi:
17 Ábacos abiertos o cerrados, Yupana (ábaco peruano), ábaco japonés, etc.
18 Comprensión numérica y habilidades operatorias. Módulo3 en Didáctica de la Matemática en Educación
Primaria. Facultad de Educación PUCP. 2016.
7

10. ellos y los conjuntos numéricos.
• Manejar la equivalencia entre unidades, decenas, centenas y unidades de
millar desde una perspectiva cognitiva y curricular.
• Reconocer la estructura de un sistema de numeración valorando principios y
organización del sistema surgido en diversas culturas.
• Darse cuenta de que las habilidades del cálculo numérico se basan en la
comprensión del Sistema de Numeración Decimal.
¿Cuál será el Contexto curricular?
En el segundo y cuarto grado se profundizará en el sentido numérico y
valor posicional del Sistema de Numeración Decimal, a través del uso de la
simbología, escritura y expresión oral de los números naturales (por ejemplo:
Gané más de cien puntos, En el estadio había cinco mil escolares, Hay más de
300 km entre Lima y Trujillo, etc.). También se los relacionará de manera natural
con las operaciones básicas, en las que se plantearán situaciones problema
que involucren contextos reales de la vida cotidiana de los estudiantes y de su
entorno.
De igual manera, se abarcarán los números naturales menores que 10 000, los
conceptos de números pares e impares y las habilidades relacionadas con el
cálculo y la estimación.
Las habilidades generales que deberán tener los estudiantes tanto en la
construcción del significado como en el uso del número y del Sistema de
Numeración Decimal son:
• Interpretar y producir números menores que 10 000 en diversos contextos:
escribir, leer y conocer números (pares e impares).
• Establecer relaciones numéricas con cantidades menores que 100 (2.° grado)
y menores que 10 000 (4.° grado): compararán cantidades y establecerán
equivalencias entre unidades, decenas, centenas y millares; ordenarán y
secuenciarán números.
• Identificar el valor posicional de los dígitos que conforman un número menor
que 10 000, para componer y descomponer una cantidad.
• Interpretar y producir distintas representaciones de un mismo número
(representaciones de las decenas, centenas y millares).
• Desarrollar y utilizar estrategias para el cálculo y la estimación.
8

11. • Utilizar números ordinales en diferentes contextos.
• Formar y escribir sucesiones numéricas de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1000
en 1000 e identificar patrones numéricos (construcción de las decenas,
centenas y millares).
Se pueden fortalecer actitudes y creencias positivas hacia las matemáticas
con facilidad mediante el planteamiento de problemas donde se evidencie
la utilidad de los números en la vida cotidiana; asimismo, promover el disfrute
de las matemáticas recurriendo sistemáticamente al juego como metodología
de aula. Los estudiantes empiezan a manipular las primeras representaciones
numéricas, por ejemplo, por medio de la descomposición de números o la
utilización de otros signos o figuras para representarlos.
¿Qué estrategias se pueden utilizar?
Una situación problema la podemos entender como un espacio para generar
y movilizar procesos de pensamiento que permitan la construcción sistemática
de conceptos matemáticos19
; es decir, cuando el estudiante se encuentra
frente a una situación que dinamiza su actividad frente a los objetos de
aprendizaje, interactúa con el docente y sus compañeros. De esta manera tiene
la oportunidad de emprender acciones que le permiten usar el saber previo,
exteriorizar ideas asociadas a conceptos, explorar los significados, confrontar las
ideas construidas y sistematizar relaciones conceptuales nuevas a partir de las
que ya tenía.
Las propuestas que se hacen giran en torno a cuatro actividades básicas:
ordenar, operar, producir e interpretar, que se espera constituyan ejes alrededor
de los cuales se organicen situaciones didácticas para el aprendizaje y la
enseñanza del sistema de numeración decimal, situándose, desde luego, en
segundo o cuarto grado de educación primaria.
19 Múnera J. (2006)Revista N°3 Formando Maestros
https://www.google.com.pe/search?q=sis-
tema+de+numeraci%C3%B3n+decimal&es-
pv=2&biw=1920&bih=984&source=lnms&tb-
m=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiYl8bzpabPAhX-
QsB4KHcxvD2QQ_AUIBigB#tbm=isch&q=-
multibase&imgrc=hq2VgQpR8H_oAM%3A
9