29. 再帰 を そのまま解 くと・・・ O (2 n ) f 1 [ j ] = e 1 + a 1,1 min( f 1 [ j -1] + a 1 ,j -1 , f 2 [ j -1]+ a 2, j -1 + t 2, j -1 ) ( j= 1) ( j> 1) f 2 [ j ] = e 2 + a 2,1 min( f 2 [ j -1] + a 2 ,j -1 , f 1 [ j -1]+ a 1, j -1 + t 1, j -1 ) ( j= 1) ( j >1) f* = min( f 1 [ n ] + x 1 , f 2 [ n ] + x 2 )
30. 再帰 を そのまま解 くと・・・ O (2 n ) f 1 [ j ] = e 1 + a 1,1 min( f 1 [ j -1] + a 1 ,j -1 , f 2 [ j -1]+ a 2, j -1 + t 2, j -1 ) ( j= 1) ( j> 1) f 2 [ j ] = e 2 + a 2,1 min( f 2 [ j -1] + a 2 ,j -1 , f 1 [ j -1]+ a 1, j -1 + t 1, j -1 ) ( j= 1) ( j >1) f* = min( f 1 [ n ] + x 1 , f 2 [ n ] + x 2 ) ボトムアップ ( 昇順 ) に 解く
31. F ASTEST -W AY( a , t , e , x , n ) 最適解 の 値 を 計算 f i [ j ] を 計算 初期値 を 設定
51. 括弧付けの個数 P ( n ) : N 個 の 行列 に対する 括弧付け の 個数 総当り には Ω (4 n / n 3/2 ) 必要
52. 括弧付けの個数 ( A 1 ( A 2 ( A 3 A 4 ))) ( A 1 (( A 2 A 3 ) A 4 )) P (4) : 4 個 の 行列 に対する 括弧付け の 個数 (( A 1 A 2 )( A 3 A 4 )) (( A 1 ( A 2 A 3 )) A 4 ) ((( A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 )
53. 括弧付けの個数 ( A 1 ( A 2 ( A 3 A 4 ))) ( A 1 (( A 2 A 3 ) A 4 )) P (4) : 4 個 の 行列 に対する 括弧付け の 個数 (( A 1 A 2 )( A 3 A 4 )) (( A 1 ( A 2 A 3 )) A 4 ) ((( A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 ) P (1) P (3) P (3) P (1) P (2) P (2)
54. 括弧付けの個数 ( A 1 ( A 2 ( A 3 A 4 ))) ( A 1 (( A 2 A 3 ) A 4 )) P (4) : 4 個 の 行列 に対する 括弧付け の 個数 (( A 1 A 2 )( A 3 A 4 )) (( A 1 ( A 2 A 3 )) A 4 ) ((( A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 ) P (1) P (3) P (3) P (1) P (2) P (2) + × × × +
70. M ATRIX- C HAIN- O RDER( p ) 初期値 を 設定 連鎖長 が l のもので ループ m [ i , j ] を 求める
71. 図で考える m [1,1] m [1,2] m [1,3] m [2,2] m [2,3] m [3,3] m [4,4] m [3,4] m [2,4] m [1,4] m [2,5] m [3,5] m [4,5] m [5,5] m [1,5] A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
72. 図で考える m [1,1] m [1,2] m [1,3] m [2,2] m [2,3] m [3,3] m [4,4] m [3,4] m [2,4] m [1,4] m [2,5] m [3,5] m [4,5] m [5,5] m [1,5] i =1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 l j =3
73. 0 0 0 0 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×10 A 4 10×20 A 5 20×25
74. 0 i =1 j =2 0 i =2 j =3 0 0 i =3 j =4 i =4 j =5 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×10 A 4 10×20 A 5 20×25
75. 0 15,750 0 0 0 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×10 A 4 10×20 A 5 20×25
76. 0 15,750 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20
77. 0 15,750 i =1 j= 3 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 3]+ p 0 p k p 3 ) 1≦ k ≦ 2
78. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 3]+ p 0 p k p 3 ) 1≦ k ≦ 2 k =1 7,875
79. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 3]+ p 0 p k p 3 ) 1≦ k ≦ 2 k =2 18,000 k =1 7,875
80. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 2,500 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20
81. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 i =1 j =4 2,500 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 4]+ p 0 p k p 4 ) 1≦ k ≦3
82. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 9,375 2,500 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 4]+ p 0 p k p 4 ) 1≦ k ≦3
83. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 9,375 7,125 2,500 1,000 0 11,875 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20
84. 0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 9,375 7,125 2,500 1,000 0 11,875 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 m [1, 5] 最適解の値
134. 例 (p35) i =0, j =0 を 初期化 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
135. 例 (p35) i =1, j =1 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]≧ c [ i , j -1] 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
136. 例 (p35) i =1, j =2 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]≧ c [ i , j -1] 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
137. 例 (p35) i =1, j =3 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]≧ c [ i , j -1] 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
138. 例 (p35) i =1, j =4 のとき x i = y j 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
139. 例 (p35) i =1, j =5 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]< c [ i , j -1] ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
140. 例 (p35) i =1, j =5 のとき x i = y j ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↖ 1 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
141. 例 (p35) ↖ 2 ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 ← 2 ↑ 1 ← 1 ← 1 ↖ 1 0 B 2 ↖ 1 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j
142. 例 (p35) ↖ 4 ↑ 3 ↑ 3 ↖ 3 ↑ 2 ↖ 2 ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 ← 3 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 1 ↖ 1 0 B 4 ↑ 4 ↑ 3 ↑ 2 ↑ 2 ↖ 1 0 B 7 ↖ 4 ↑ 3 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 1 0 A 6 ↑ 3 ↑ 3 ↑ 2 ↖ 2 ↑ 1 0 D 5 ↑ 2 ← 2 ↖ 2 ↑ 1 ↑ 1 0 C 3 ← 2 ↑ 1 ← 1 ← 1 ↖ 1 0 B 2 ↖ 1 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j