アルゴリズムイントロダクション15章動的計画法

動的計画法 2009/3/2 id:nitoyon アルゴリズムイントロダクション 15 章

動的計画法 (dynamic programming) 部分問題をボトムアップに解いて統合する

動的計画法のアルゴリズム ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.1 組み立てラインスケジューリング

問題 ,[object Object],ライン１ライン２入口出口

問題 ,[object Object],[object Object],S 1,1 入口出口 S 2,1 S 1,2 S 2,2 S 1,3 S 2,3 S 1, n -1 S 2, n -1 S 1, n S 2, n ・・・ n 個

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],a 1,1 入口出口 a 2,1 a 1,2 a 2,2 a 1,3 a 2,3 a 1, n -1 a 2, n -1 a 1, n a 2, n ・・・ e 1 e 2 x 1 x 2

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],a 1,1 入口出口 a 2,1 a 1,2 a 2,2 a 1,3 a 2,3 a 1, n -1 a 2, n -1 a 1, n a 2, n ・・・ e 1 e 2 x 1 x 2 ( 例 ) ライン１を通過する時間＝

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],a 1,1 入口出口 a 2,1 a 1,2 a 2,2 a 1,3 a 2,3 a 1, n -1 a 2, n -1 a 1, n a 2, n ・・・ t 1,1 t 2,1 t 1,2 t 2,2 t 1, n -1 t 2, n -1 e 1 e 2 x 1 x 2

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 2 + 7 + 2 + 5 + 1 + 3 + 1 + 4 + 5 + 1 + 4 + 3 =38

総当り作戦の破綻 ,[object Object],[object Object],総当りには Ω (2 n ) 必要 ※ Ω(2 n ) = 少なくとも 2 n の計算量を要する

1. 最適解の構造を特徴づける

ステーション S 1, j を最速で終了する順路が ,[object Object],S 1, j -1 S 2, j -1 S 1, j 入口

ステーション S 1, j を最速で終了する順路が ,[object Object],[object Object],入口 S 1, j -1 S 2, j -1 S 1, j

なぜならば ,[object Object],入口 S 1, j -1 S 2, j -1 S 1, j 矛盾

ステーション S 1, j を最速で終了する順路が ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],S 1, j -1 S 2, j -1 S 1, j

ステーション S 1, j を最速で終了する順路が ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],S 1, j -1 S 2, j -1 S 1, j 問題の最適解部分問題の最適解

部分問題最適性問題の最適解に部分問題の最適解が含まれる

2. 最適解の値を再帰的に定義する

最適解の値 f i [ j ] = 入口から S i, j までの最短時間 S 1, j -1 S 2, j -1 S 1, j 入口 t 2, j -1

最適解の値 f 1 [ j ] = a 1, j -1 a 2, j -1 S 1, j 入口 t 2, j -1 e 1 + a 1,1 min( f 1 [ j -1] + a 1 ,j -1 , f 2 [ j -1]+ a 2, j -1 + t 2, j -1 ) ( j= 1) ( j >1) f 1 [ j -1]

最適解の値 f 1 [ j ] = e 1 + a 1,1 min( f 1 [ j -1] + a 1 ,j -1 , f 2 [ j -1]+ a 2, j -1 + t 2, j -1 ) ( j= 1) ( j> 1) f 2 [ j ] = e 2 + a 2,1 min( f 2 [ j -1] + a 2 ,j -1 , f 1 [ j -1]+ a 1, j -1 + t 1, j -1 ) ( j= 1) ( j >1) 同様に… f* = min( f 1 [ n ] + x 1 , f 2 [ n ] + x 2 ) 求めたい最適解の値は…

3. ボトムアップに最適解の値を求める

再帰をそのまま解くと・・・ O (2 n ) f 1 [ j ] = e 1 + a 1,1 min( f 1 [ j -1] + a 1 ,j -1 , f 2 [ j -1]+ a 2, j -1 + t 2, j -1 ) ( j= 1) ( j> 1) f 2 [ j ] = e 2 + a 2,1 min( f 2 [ j -1] + a 2 ,j -1 , f 1 [ j -1]+ a 1, j -1 + t 1, j -1 ) ( j= 1) ( j >1) f* = min( f 1 [ n ] + x 1 , f 2 [ n ] + x 2 )

再帰をそのまま解くと・・・ O (2 n ) f 1 [ j ] = e 1 + a 1,1 min( f 1 [ j -1] + a 1 ,j -1 , f 2 [ j -1]+ a 2, j -1 + t 2, j -1 ) ( j= 1) ( j> 1) f 2 [ j ] = e 2 + a 2,1 min( f 2 [ j -1] + a 2 ,j -1 , f 1 [ j -1]+ a 1, j -1 + t 1, j -1 ) ( j= 1) ( j >1) f* = min( f 1 [ n ] + x 1 , f 2 [ n ] + x 2 ) ボトムアップ ( 昇順 ) に解く

F ASTEST -W AY( a , t , e , x , n ) 最適解の値を計算 f i [ j ] を計算初期値を設定

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 f 1 [ j ] 2 1 4 3 5 f 2 [ j ] 6 j

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 9 f 1 [ j ] 2 12 1 4 3 5 f 2 [ j ] 6 j

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 18 9 f 1 [ j ] 2 12 1 4 3 5 f 2 [ j ] 6 j

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 18 9 f 1 [ j ] 16 2 12 1 4 3 5 f 2 [ j ] 6 j

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 20 18 9 f 1 [ j ] 16 2 12 1 4 22 3 5 f 2 [ j ] 6 j

例 ( p .8 ) 7 入口出口 8 9 5 3 6 8 5 4 7 2 2 3 1 4 1 2 4 3 2 4 4 1 2 3 2 35 32 24 20 18 9 f 1 [ j ] 16 2 12 1 25 4 22 3 30 5 37 f 2 [ j ] 6 j

4. 最適解を構成する

[object Object],P RINT- S TATIONS ( l , l *, n )

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.2 連鎖行列積

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],A ( p × q 行列 ) と B ( q × r 行列 ) の積では、 pqr 回の掛け算が実施される

[object Object],[object Object],[object Object],問題 ( 例 ) A 1 (10×100 行列 ) A 2 (100×5 行列 ) A 3 (5×50 行列 ) (( A 1 A 2 ) A 3 ) ： 10×100×5+10×5×50 ( A 1 ( A 2 A 3 )) ： 100×5×50+10×100×50

[object Object],[object Object],[object Object],問題 (( A 1 A 2 ) A 3 ) ： 10×100×5+10×5×50 ( A 1 ( A 2 A 3 )) ： 100×5×50+10×100×50 = 7,500 = 75,000 ( 例 ) A 1 (10×100 行列 ) A 2 (100×5 行列 ) A 3 (5×50 行列 )

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],問題

括弧付けの個数 P ( n ) ： N 個の行列に対する括弧付けの個数総当りには Ω (4 n / n 3/2 ) 必要

括弧付けの個数 ( A 1 ( A 2 ( A 3 A 4 ))) ( A 1 (( A 2 A 3 ) A 4 )) P (4) ： 4 個の行列に対する括弧付けの個数 (( A 1 A 2 )( A 3 A 4 )) (( A 1 ( A 2 A 3 )) A 4 ) ((( A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 )

括弧付けの個数 ( A 1 ( A 2 ( A 3 A 4 ))) ( A 1 (( A 2 A 3 ) A 4 )) P (4) ： 4 個の行列に対する括弧付けの個数 (( A 1 A 2 )( A 3 A 4 )) (( A 1 ( A 2 A 3 )) A 4 ) ((( A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 ) P (1) P (3) P (3) P (1) P (2) P (2)

括弧付けの個数 ( A 1 ( A 2 ( A 3 A 4 ))) ( A 1 (( A 2 A 3 ) A 4 )) P (4) ： 4 個の行列に対する括弧付けの個数 (( A 1 A 2 )( A 3 A 4 )) (( A 1 ( A 2 A 3 )) A 4 ) ((( A 1 A 2 ) A 3 ) A 4 ) P (1) P (3) P (3) P (1) P (2) P (2) ＋ × × × ＋

A i A i +1 … A j の最適括弧付けが ,[object Object],A i A i +1 … A k A k +1 … A j

A i A i +1 … A j の最適括弧付けが ,[object Object],A i A i +1 … A k A k +1 … A j 部分括弧付けは A i … A k の最適括弧付けとなっている部分括弧付けは A k +1 … A j の最適括弧付けとなっている

[object Object],なぜならば A i A i +1 … A k A k +1 … A j より良い括弧付け

[object Object],なぜならば A i A i +1 … A k A k +1 … A j より良い括弧付け A i A i +1 … A j が最適括弧付けであることと矛盾

部分問題最適性問題 ( A i A i +1 … A j ) の最適解に部分問題 ( A i … A k と A k+ 1 … A j ) の最適解が含まれる

最適解の値 m [ i, j ] = A i … A j の計算に必要なスカラ乗算の最小回数 A i A i +1 … A k A k +1 … A j

最適解の値 ,[object Object],m [ i, j ] = A i … A j の計算に必要なスカラ乗算の最小回数 A i A i +1 … A k A k +1 … A j

最適解の値 ,[object Object],m [ i, j ] = A i … A j の計算に必要なスカラ乗算の最小回数 A i A i +1 … A k A k +1 … A j m [ i, j ] = m [ i , k ] + m [ k +1, j ] + p i -1 p k p j

未知の値 k を求める ,[object Object],m [ i , j ] = 0 min( m [ i , k ] + m [ k +1, j ]+ p i -1 p k p j ) 0≦ k ≦ j ( j= 1) ( j >1)

再帰だと指数時間が必要 -> 理由は 15.3 にて

部分問題の数が少ない ,[object Object],[object Object],[object Object],部分問題重複性

そこでボトムアップに

M ATRIX- C HAIN- O RDER( p ) 初期値を設定連鎖長が l のものでループ m [ i , j ] を求める

図で考える m [1,1] m [1,2] m [1,3] m [2,2] m [2,3] m [3,3] m [4,4] m [3,4] m [2,4] m [1,4] m [2,5] m [3,5] m [4,5] m [5,5] m [1,5] A 1 A 2 A 3 A 4 A 5

図で考える m [1,1] m [1,2] m [1,3] m [2,2] m [2,3] m [3,3] m [4,4] m [3,4] m [2,4] m [1,4] m [2,5] m [3,5] m [4,5] m [5,5] m [1,5] i =1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 l j =3

0 0 0 0 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×10 A 4 10×20 A 5 20×25

0 i =1 j =2 0 i =2 j =3 0 0 i =3 j =4 i =4 j =5 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×10 A 4 10×20 A 5 20×25

0 15,750 0 0 0 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×10 A 4 10×20 A 5 20×25

0 15,750 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20

0 15,750 i =1 j= 3 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 3]+ p 0 p k p 3 ) 1≦ k ≦ 2

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 3]+ p 0 p k p 3 ) 1≦ k ≦ 2 k =1 7,875

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 3]+ p 0 p k p 3 ) 1≦ k ≦ 2 k =2 18,000 k =1 7,875

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 2,500 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 i =1 j =4 2,500 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 4]+ p 0 p k p 4 ) 1≦ k ≦3

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 9,375 2,500 1,000 0 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 min( m [1, k ] + m [ k +1, 4]+ p 0 p k p 4 ) 1≦ k ≦3

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 9,375 7,125 2,500 1,000 0 11,875 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20

0 15,750 7,875 0 2,625 0 0 750 4,375 9,375 7,125 2,500 1,000 0 11,875 A 1 30×35 A 2 35×15 A 3 15×5 A 4 5×10 A 5 10×20 m [1, 5] 最適解の値

アルゴリズムの評価 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],P RINT- O PTIMAL- P ARENS ( s , i , j )

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.3 動的計画法の基本要素

15.3 の目次 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 部分構造最適性

部分構造最適性を発見する手順 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

例題 1 、例題 2 で考える ,[object Object],[object Object],[object Object]

例題 1 、例題 2 で考える ,[object Object]

部分構造最適性を発見する手順 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],どのように？

部分問題の空間の特徴づけを得る方法 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],うまく行く

部分問題の空間の特徴づけを得る方法 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],A k と A k +1 で分割するとき部分問題 A 1 … A k と A k +1 … A j を生じる部分問題の空間に含まれない

特徴量 ,[object Object],[object Object],j - i ( k = i , i +1,…, j ) 2 ( A i … A k と A k +1 … A j ) 連鎖行列積 2 ( S 1, j と S 2, j ) 1 ( S 1, j もしくは S 2, j ) 組み立てラインスケジューリング 2. 候補の個数 1. 部分問題の個数

計算時間 ,[object Object],[object Object],高々 n 2 2. 候補数 O ( n 3 ) Θ( n ) 合計 Θ( n 2 ) 連鎖行列積 Θ( n ) 組み立てラインスケジューリング 1. 部分問題の総数

貪欲アルゴリズムとの比較 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

間違えて部分問題最適性を仮定しないために ,[object Object],[object Object],[object Object],単純路 = ループや多重辺を含まない

重みなし最短路問題 ,[object Object],[object Object],[object Object]

重みなし最長単純路問題 ,[object Object],[object Object],q -> t への最長路部分問題 q -> r への最長路部分問題 r -> t への最長路 2 3 3 q s r t q s r t q s r t

重みなし最長単純路問題 ,[object Object],[object Object],[object Object]

違いは「独立」 ,[object Object],[object Object],独立 = 部分問題の解が別の部分問題の解に影響を与えない

最長単純路は「独立」か？ ,[object Object],部分問題 q -> r への最長路部分問題 r -> t への最長路 3 3 部分問題の最適解が別の問題へ影響を与えている q s r t q s r t

最短路は「単純」か？ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 部分問題重複性

部分問題重複性の性質 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

連鎖行列積を再帰で解いたら… ,[object Object]

連鎖行列積を再帰で解いたら… (2) ,[object Object],つまり… 少なくとも 2 n の計算量！

最適解の再構成「最適解の値」を求めたあとに「最適解」を求める ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

メモ化 (memoize) ,[object Object],[object Object],O ( n 3 ) 再帰 + メモ化 2 n O ( n 3 ) 連鎖行列積再帰のみ動的計画法

動的計画法 v.s. 再帰＋メモ化 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 最長共通部分系列

問題 ,[object Object],[object Object]

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],X = 〈 A , B , C , B , D , A , B 〉 Z = 〈 B , C , D , B 〉部分系列

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],X = 〈 A , B , C , B , D , A , B 〉 Z = 〈 B , C , D , B 〉〈 2, 3, 5, 7 〉部分系列

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],X = 〈 A , B , C , B , D , A , B 〉 Y = 〈 B , D , C , A , B , A 〉〈 B , C , A 〉は共通部分系列

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],X = 〈 A , B , C , B , D , A , B 〉 Y = 〈 B , D , C , A , B , A 〉最長部分系列 (LCS) は〈 B , C , A, B 〉と〈 B , D , A, B 〉

問題 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

総当り作戦の破綻 ,[object Object],総当りには Ω (2 m ) 必要

LCS の部分構造最適性 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],接頭語 X i = 〈 x 1 , x 2 ,…, x i 〉とする

LCS を求める手順 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],部分問題の部分問題を共有している -> 部分問題重複性

最適解の値 c [ i , j ] = X i と Y j の LCS の長さ ※ 利用しない部分問題が存在する

動的計画法の利用 ,[object Object],[object Object],動的計画法でボトムアップ ( 昇順 ) に解く

LCS-L ENGTH( X , Y ) 左上から１つずつ計算 i =0, j =0 を設定

例 (p35) i =0, j =0 を初期化 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) i =1, j =1 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]≧ c [ i , j -1] 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) i =1, j =2 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]≧ c [ i , j -1] 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) i =1, j =3 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]≧ c [ i , j -1] 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) i =1, j =4 のとき x i = y j 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) i =1, j =5 のとき x i ≠ y j , c [ i -1, j ]< c [ i , j -1] ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) i =1, j =5 のとき x i = y j ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 0 B 2 ↖ 1 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) ↖ 2 ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 0 B 4 0 B 7 0 A 6 0 D 5 0 C 3 ← 2 ↑ 1 ← 1 ← 1 ↖ 1 0 B 2 ↖ 1 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

例 (p35) ↖ 4 ↑ 3 ↑ 3 ↖ 3 ↑ 2 ↖ 2 ← 1 0 B 5 0 0 0 0 0 0 x i 0 ← 3 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 1 ↖ 1 0 B 4 ↑ 4 ↑ 3 ↑ 2 ↑ 2 ↖ 1 0 B 7 ↖ 4 ↑ 3 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 1 0 A 6 ↑ 3 ↑ 3 ↑ 2 ↖ 2 ↑ 1 0 D 5 ↑ 2 ← 2 ↖ 2 ↑ 1 ↑ 1 0 C 3 ← 2 ↑ 1 ← 1 ← 1 ↖ 1 0 B 2 ↖ 1 ↖ 1 ↑ 0 ↑ 0 ↑ 0 0 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

コードの改善 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],↑ 2 B 5 x i 0 ↑ 1 ↖ 1 0 B 4 B 7 A 6 D 5 ↑ 2 ← 2 ↖ 2 ↑ 1 ↑ 1 0 C 3 B 2 A 1 A A C D B y j i 6 4 3 2 1 0 j

15 章の構成例題１例題 2 一般化例題 3 例題 4 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.5 最適２分探索木

問題 ,[object Object],k 2 k 1 k 4 k 3 k 5 k i を検索する確率： pi 0.20 0.10 0.05 0.10 0.15 p i 5 4 3 2 1 i

問題 ,[object Object],k 2 k 1 k 4 k 3 k 5 d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

問題 ,[object Object],k 2 k 1 k 4 k 3 k 5 d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 k i を検索する確率： p i d i を検索する確率： q i 0.05 0 0.10 0.05 0.05 0.05 0.10 q i 0.20 0.10 0.05 0.10 0.15 p i 5 4 3 2 1 i

問題 ,[object Object],k 2 k 1 k 4 k 3 k 5 d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 この値を最小化する T を求める

総当り作戦の破綻 ,[object Object],総当りは非現実的

最適 2 分探索木 T が ,[object Object],k x k r k i k j T ’ T’ はキー k 1 ,…, k j とダミーキー d i ,…, d j から定義される部分問題の最適解

なぜならば ,[object Object],矛盾 k x k r k i k j T ’’ T が最適 2 分探索木であることと

部分問題最適性を利用する ,[object Object],k r 左部分木 k i ,…, k r -1 右部分木 k r +1 ,…, k j 全ての k r に対して左部分木と右部分木の最適 2 分探索木を決定する ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],※

最適解の値 e [ i , j ] = キー ki ,… kj を含む最適 2 分探索木の探索コストの期待値最終目的： e [1, n ] を求める

最適解の値を求める ,[object Object],[object Object]

未知の値 k を求める root [ i , j ] を k r の添え字と定義する

ご清聴ありがとうございました

アルゴリズムイントロダクション15章動的計画法

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