Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Β
Bab ix ruas garis berarah
1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB IX
RUAS GARIS BERARAH
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
2. RUAS GARIS BERARAH
9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana
Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian
tentang ruas garis berarah sebagai berikut:
Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu
ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan
titik akhir.
Apabila A dan B dua titik, lambang π΄π΅Μ Μ Μ Μ kita gunakan sebagai ruas garis
berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan AB
melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa π΄π΅βββββ
menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui
B.
Dua ruas garis π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB
= CD, π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ tidak perlu sama; π΄π΅Μ Μ Μ Μ adalah sebuah himpunan sedangkan
AB adalah bilangan real. Jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ kongruen ditulis π΄π΅Μ Μ Μ Μ β πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ . Dalam
membandingkan dua ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ tidaklah sukup, jika AB =
CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas
garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ ekivalen dengan ruas garis berarah πΆπ·Μ Μ Μ Μ yang ditulis sebagai
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
Definisi: π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah π΅πΆΜ Μ Μ Μ .
Gambar 9.1
Teorema 9.1:
A
B
C
D
P
3. Andaikan π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4
ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
Bukti:
Akan ditunjukkan jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ adalah dua ruas garis berarah yang tidak
segaris maka ABCD jajargenjang βΊ π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
(βΉ) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajar genjang dengan π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ
adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
Dipunyai ABCD sebuah jajar genjang.
Diagonal-diagonal π΄π·Μ Μ Μ Μ dan π΅πΆΜ Μ Μ Μ berpotongan di tengah-tengah, misalkan
titik P.
Dengan demikian Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah π΄π·Μ Μ Μ Μ maupun
π΅πΆΜ Μ Μ Μ .
Berdasarkan definisi keekivalenan diperoleh π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
(βΈ) Akan ditunjukkan jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka ABCD jajargenjang dengan π΄π΅Μ Μ Μ Μ
dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
Dipunyai π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
Misalkan titik P adalah titik tengah π΅πΆΜ Μ Μ Μ .
Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.
Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.
Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah
segiempat ABCD.
π΄π·Μ Μ Μ Μ dan π΅πΆΜ Μ Μ Μ adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi
sama panjang di P (definisi jajar genjang).
Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang.
Jadi terbukti jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris
maka ABCD jajargenjang βΊ π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ .
Akibat Teorema 9.1:
Jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka AB = CD dan π΄π΅β‘ββββ dan πΆπ·β‘ββββ sejajar atau segaris.
Bukti:
4. Akan dibuktikan π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ βΉ π΄π΅ = πΆπ· dan π΄π΅β‘ββββ dan πΆπ·β‘ββββ sejajar atau segaris.
Dipunyai π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ
Kasus π β π΄π΅β‘ββββ :
Karena π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ , maka menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan
P adalah titik tengah π΅πΆΜ Μ Μ Μ sehingga BP = PC.
Pilih titik P pada perpanjangan π΄π΅Μ Μ Μ Μ .
Karena Sp(A) = D, maka AP = PD.
Diperoleh AP = PD βΊ AB + BP = PC + CD.
Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD βΊ AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D.
Diperoleh π΄π΅Μ Μ Μ Μ β π΄π΅β‘ββββ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ β πΆπ·β‘ββββ sehingga π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ β π΄π·β‘ββββ .
Karena π΄π΅Μ Μ Μ Μ segaris dengan πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka π΄π΅β‘ββββ segaris dengan πΆπ·β‘ββββ .
Kasus π β π΄π΅β‘ββββ :
Karena π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ , maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ tidak segaris.
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar genjang.
Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.
Karena π΄π΅Μ Μ Μ Μ // πΆπ·Μ Μ Μ Μ , π΄π΅Μ Μ Μ Μ β π΄π΅β‘ββββ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ β πΆπ·β‘ββββ maka π΄π΅β‘ββββ //πΆπ·β‘ββββ .
Teorema 9.2:
Diketahui ruas-ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ , πΆπ·Μ Μ Μ Μ , dan πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka
1. π΄π΅Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ (sifat reflexi);
2. jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka πΆπ·Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ (sifat simetrik);
3. jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ (sifat transitif).
Bukti:
1. Akan dibuktikan π΄π΅Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ (sifat reflexi)
Misalkan P adalah titik tengah π΄π΅Μ Μ Μ Μ , maka Sp(A) = B
Menurut definisi keekivalenan diperoleh π΄π΅Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ .
2. Akan dibuktikan jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka πΆπ·Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ (sifat simetrik)
5. Menurut teorema 9.1 jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka segiempat ABCD jajargenjang,
diagonal-diagonal π΅πΆΜ Μ Μ Μ dan π΄π·Μ Μ Μ Μ membagi sama panjang di P,
maka P dalah titik tengah π΄π·Μ Μ Μ Μ
akibatnya Sp(C) = B
menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah π΄π·Μ Μ Μ Μ
maka πΆπ·Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ .
3. Akan dibuktikan jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ (sifat
transitif):
Diperoleh π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka Sp(A) = D dengan P titik tengah π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Diperoleh πΆπ·Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah π·πΈΜ Μ Μ Μ
Menurut teorema 9.1 jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka segiempat ABCD jajargenjang
sehingga π΄π΅Μ Μ Μ Μ //πΆπ·Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ //πΈπΉΜ Μ Μ Μ akibatnya π΄π΅Μ Μ Μ Μ //πΈπΉΜ Μ Μ Μ .
Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka AB = CD,
jika πΆπ·Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka CD = EF
Akibatnya AB = EF.
Karena AB = EF dan π΄π΅Μ Μ Μ Μ //πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka ABFE jajargenjang.
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ //πΈπΉΜ Μ Μ Μ .
Teorema 9.3:
Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah π΄π΅Μ Μ Μ Μ maka ada titik
tunggal Q sehingga ππΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ .
Gambar 9.2
Bukti:
Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga π΄π΅Μ Μ Μ Μ = ππΜ Μ Μ Μ
Andaikan ada titik Q
misal R adalah titik tengah π΅πΜ Μ Μ Μ dengan Sp(A) = Q maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = ππΜ Μ Μ Μ
A Q
B
R
P
6. Menurut teorema 9.2 (2) maka ππΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ
Akan dibuktikan Q tunggal,
Andaikan ada titik T sehingga π΄π΅Μ Μ Μ Μ = ππΜ Μ Μ Μ
Karena R titik tengah π΅πΜ Μ Μ Μ maka SR(A) = T
Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga π πΜ Μ Μ Μ = π΄π Μ Μ Μ Μ
Akibat 1:
Jika
Jika π1(π₯1, π¦1), π2(π₯2, π¦2), dan π3(π₯3, π¦3) titik-titik yang diketahui maka
titik π(π₯3 + π₯2 β π₯1, π¦3 + π¦2 β π¦1) adalah titik tunggal sehingga π3 πΜ Μ Μ Μ Μ =
π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ .
Andaikan P bukan titik tungga maka π3 πΜ Μ Μ Μ Μ β π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ artinya π3 πΜ Μ Μ Μ Μ β π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ β 0
diperoleh π3 πΜ Μ Μ Μ Μ β π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ =(π β π3) β (π2 β π1)
= [(π₯3 + π₯2 β π₯1, π¦3 + π¦2 β π¦1) β (π₯3, π¦3)] β [(π₯2, π¦2) β (π₯1, π¦1)]
= [(π₯3 + π₯2 β π₯1 β π₯3, π¦3 + π¦2 β π¦1 β π¦3)] β [(π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1)]
= (π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1) β (π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1)
= (0,0)
= 0.
Akibat 2:
Jika ππ = (π₯ π, π¦π), π = 1,2,3,4, maka π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π3 π4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
βΊ π₯2 β π₯1 = π₯4 β π₯3, π¦2 β π¦1 = π¦4 β π¦3
(βΉ) Akan dibuktikan jika Jika ππ = (π₯ π, π¦π), π = 1,2,3,4 maka
π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π3 π4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ βΉ π₯2 β π₯1 = π₯4 β π₯3, π¦2 β π¦1 = π¦4 β π¦3
Karena π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π3 π4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ maka π1 π2=π3 π4 sehingga π2 β π1 = π4 β π3
βΊ [(π₯2, π¦2) β (π₯1, π¦1)] = [(π₯4, π¦4) β (π₯3, π¦3)]
βΊ (π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1) = (π₯4 β π₯3, π¦4 β π¦3)
menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d)
jika dan hanya jika π = π dan π = π
diperoleh π₯2 β π₯1 = π₯4 β π₯3 dan π¦2 β π¦1 = π¦4 β π¦3
(βΈ) Akan ditunjukkan jika π₯2 β π₯1 = π₯4 β π₯3, π¦2 β π¦1 = π¦4 β π¦3 maka
Jika ππ = (π₯ π, π¦π), π = 1,2,3,4 maka π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π3 π4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
7. Dipunyai π₯2 β π₯1 = π₯4 β π₯3, π¦2 β π¦1 = π¦4 β π¦3 maka dapat dibuat
titik yang sama misalkan R dan S, dengan π = (π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1)
dan π = (π₯4 β π₯3, π¦4 β π¦3)
misalkan R = S βΊ (π₯2 β π₯1, π¦2 β π¦1) = (π₯4 β π₯3, π¦4 β π¦3)
βΊ [(π₯2, π¦2) β (π₯1, π¦1)] = [(π₯4, π¦4) β (π₯3, π¦3)]
βΊ π2 β π1 = π4 β π3
βΊ π1 π2=π3 π4 βΊ π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π3 π4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Jadi jika π₯2 β π₯1 = π₯4 β π₯3, π¦2 β π¦1 = π¦4 β π¦3 maka Jika ππ =
(π₯ π, π¦π), π = 1,2,3,4 maka π1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π3 π4
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar
Definisi:
Andaikan π΄π΅Μ Μ Μ Μ sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka
kπ΄π΅Μ Μ Μ Μ adalah ruas garis berarah π΄πΜ Μ Μ Μ sehingga π β π΄π΅Μ Μ Μ Μ dan AP = k (AB) jika
k>0.
Apabila k<0 maka kπ΄π΅Μ Μ Μ Μ adalah ruas garis berarah π΄πΜ Μ Μ Μ dengan P anggota
sinar yang berlawanan arah dengan π΄π΅βββββ sedangkan AP = |π|π΄π΅.
Dikatakan bahwa π΄πΜ Μ Μ Μ adalah kelipatan π΄π΅Μ Μ Μ Μ .
8. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak segaris.
Ditanya:
a. Lukis titik D sehingga πΆπΈΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ
b. Lukis titik F sehingga π·πΈΜ Μ Μ Μ = π΅π΄Μ Μ Μ Μ
c. ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
Jawab:
a. Misalkan titik D adalah titik tengah πΈπ΄Μ Μ Μ Μ sehingga π π·(πΆ) = π΅
b. Misalkan titik F merupakan titik tengah πΈπ΅Μ Μ Μ Μ sehingga π πΉ(π·) = π΄
c. ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tidak segaris.
Lukislah:
a. Titik D sehingga π΄π·Μ Μ Μ Μ = 3π΄π΅Μ Μ Μ Μ
b. Titik F sehingga π΄πΈΜ Μ Μ Μ = β
4
3
π΄π΅Μ Μ Μ Μ
c. Titik F sehingga πΆπΉΜ Μ Μ Μ = β2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ
E
B
C
C
A
D
Bβ
E
A
D B
F
B
A
9. Jawab:
a. Titik D sehingga π΄π·Μ Μ Μ Μ = 3π΄π΅Μ Μ Μ Μ
b. Titik F sehingga π΄πΈΜ Μ Μ Μ = β
4
3
π΄π΅Μ Μ Μ Μ
c. Titik F sehingga πΆπΉΜ Μ Μ Μ = β2 π΄π΅Μ Μ Μ Μ
3. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar?
a. π΄π΅Μ Μ Μ Μ = βπ΅π΄Μ Μ Μ Μ
b. ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ ) = π΅π΄Μ Μ Μ Μ
c. ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ ) = π π΅(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
d. Jika π΄β²
= π π΅(π΄) maka π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ = 2π΄π΅Μ Μ Μ Μ
e. Jika π΅β²
= ππ΄ π π΅(π΅) dan π΄β²
= ππ΄ π π΅(π΄), maka π΄β² π΅β²Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ
Jawab:
a. π΄π΅Μ Μ Μ Μ = βπ΅π΄Μ Μ Μ Μ
π΄π΅Μ Μ Μ Μ
π΅π΄Μ Μ Μ Μ
βπ΅π΄Μ Μ Μ Μ
(Benar)
β2
C
A B
F
A BE Bβ
A B
BA
A B
DBA
10. b. ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ ) = π΅π΄Μ Μ Μ Μ
ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
π΅π΄Μ Μ Μ Μ
(Benar)
c. ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ ) = π π΅(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
ππ΄(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
π π΅(π΄π΅Μ Μ Μ Μ )
(Benar)
d. Jika π΄β²
= π π΅(π΄) maka π΄π΄β²Μ Μ Μ Μ Μ = 2π΄π΅Μ Μ Μ Μ
(Benar)
e. Jika π΅β²
= ππ΄ π π΅(π΅) dan π΄β²
= ππ΄ π π΅(π΄), maka π΄β² π΅β²Μ Μ Μ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ
(Benar)
4. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan:
a. R sehingga π΄π Μ Μ Μ Μ = π΅πΆΜ Μ Μ Μ
b. S sehingga πΆπΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ
c. T sehingga ππ΅Μ Μ Μ Μ = π΄πΆΜ Μ Μ Μ
Jawab:
a. R sehingga π΄π Μ Μ Μ Μ = π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Berdasarkan teorema akibat jika π΄π Μ Μ Μ Μ = π΅πΆΜ Μ Μ Μ maka AR = BC sehingga
(
π₯ π
π¦ π
) β (
π₯ π΄
π¦ π΄
) = (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
) β (
π₯ π΅
π¦ π΅
) βΊ (
π₯ π
π¦ π
) = (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
) β (
π₯ π΅
π¦ π΅
) + (
π₯ π΄
π¦ π΄
)
βΊ (
π₯ π
π¦ π
) = (
β2
4
) β (
5
3
) + (
0
0
) = (
β7
1
)
A BBβ
BA
A BBβ
A B Aβ
BA Aβ
Bβ A BAβ
11. Jadi R = (-7,1).
b. S sehingga πΆπΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ
Berdasarkan teorema akibat jika πΆπΜ Μ Μ Μ = π΄π΅Μ Μ Μ Μ maka CS = AB sehingga
(
π₯ π
π¦π
) β (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
) = (
π₯ π΅
π¦ π΅
) β (
π₯ π΄
π¦ π΄
) βΊ (
π₯ π
π¦π
) = (
π₯ π΅
π¦ π΅
) β (
π₯ π΄
π¦ π΄
) + (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
)
βΊ (
π₯ π
π¦π
) = (
5
3
) β (
0
0
) + (
β2
4
) = (
3
7
)
Jadi R = (3,7).
c. T sehingga ππ΅Μ Μ Μ Μ = π΄πΆΜ Μ Μ Μ
Berdasarkan teorema akibat jika ππ΅Μ Μ Μ Μ = π΄πΆΜ Μ Μ Μ maka TB = AC sehingga
(
π₯ π΅
π¦ π΅
) β (
π₯ π
π¦ π
) = (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
) β (
π₯ π΄
π¦ π΄
) βΊ (
π₯ π
π¦ π
) = (
π₯ π΅
π¦ π΅
) β (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
) + (
π₯ π΄
π¦ π΄
)
βΊ (
π₯ π
π¦ π
) = (
5
3
) β (
β2
4
) + (
0
0
) = (
7
β1
)
Jadi R = (7,-1).
5. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan:
a. D sehingga CD = AB
b. E sehingga AE = BC
c. F sehingga AF =
1
2
π΄πΆ
Jawab:
a. D sehingga CD = AB
β(π₯ π· β π₯ πΆ)2 + (π¦ π· β π¦ πΆ)2 = β(π₯ π΅ β π₯ π΄)2 + (π¦ π΅ β π¦ π΄)2
βΊ β(π₯ π· + 1)2 + (π¦ π· β 5)2 = β(3 β 2)2 + (β4 β 1)2
βΊ β(π₯ π· + 1)2 + (π¦ π· β 5)2 = β(1)2 + (β5)2
βΊ β(π₯ π· + 1)2 + (π¦ π· β 5)2 = β26
βΊ (π₯ π· + 1)2
+ (π¦ π· β 5)2
= 26
βΊ π₯ π·
2
+ 2π₯ π· + 1 + π¦ π·
2
β 10π¦ π· + 25 = 26
βΊ π₯ π·
2
+π¦ π·
2
+ 2π₯ π· β 10π¦ π· + 26 = 26
βΊ π₯ π·
2
+π¦ π·
2
+ 2π₯ π· β 10π¦ π· = 0
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran π₯ π·
2
+π¦ π·
2
+ 2π₯ π· β 10π¦ π· = 0
b. E sehingga AE = BC
β(π₯ πΈ β π₯ π΄)2 + (π¦ πΈ β π¦ π΄)2 = β(π₯ πΆ β π₯ π΅)2 + (π¦ πΆ β π¦ π΅)2
13. Karena K titik tengah BC maka πΎ = (
π₯ π΅+π₯ πΆ
2
,
π¦ π΅+π¦ πΆ
2
) = (
2β1
2
,
7+4
2
) = (
1
2
,
11
2
)
Karena K titik tengah AD maka πΎ = (
π₯ π΄+π₯ π·
2
,
π¦ π΄+π¦ π·
2
)
βΊ (
1
2
,
11
2
) = (
1 + π₯ π·
2
,
3 + π¦ π·
2
)
βΊ
1 + π₯ π·
2
=
1
2
βΊ 1 + π₯ π· = 1 βΊ π₯ π· = 0
βΊ
3 + π¦ π·
2
=
11
2
βΊ 3 + π¦ π· = 11 βΊ π¦ π· = 8
Jadi koordinat D adalah (0,8).
7. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang
ABCD, tentukan h dan k.
Jawab:
Karena ABCD jajargenjang maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ dan π΄π·Μ Μ Μ Μ = π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Dari π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka
(
π₯ π΅
π¦ π΅
) β (
π₯ π΄
π¦ π΄
) = (
π₯ π·
π¦ π·
) β (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
)
βΊ (
β
3
) β (
β2
4
) = (
3
0
) β (
5
π
) βΊ (
β + 2
β1
) = (
β2
βπ
)
Sehingga diperoleh β + 2 = β2 βΊ β = β4 dan β π = β1 βΊ π = 1.
8. Jika A(-h,-k), B(5,-2β3), C(k,8β3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga
π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ , tentukan h dan k.
Jawab:
Karena π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD
sehingga
(
π₯ π΅
π¦ π΅
) β (
π₯ π΄
π¦ π΄
) = (
π₯ π·
π¦ π·
) β (
π₯ πΆ
π¦ πΆ
) βΊ (
5 + β
β2β3 + π
) = (
β9 β π
β β 8β3
)
βΊ 5 + β = β9 β π βΊ β + π = β14 ... (1)
βΊ β2β3 + π = β β 8β3 βΊ β β π = 6β3 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3β3 dan h = - 7 - 3β3.
9. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi?
a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.
b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.
c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.
14. d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3.
Jawab:
a. Relasi ekivalensi
b. Relasi ekivalensi
c. Relasi ekivalensi
d. Bukan relasi ekivalensi
e. Bukan relasi ekivalensi
10. Buktikan jika π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ dan πΆπ·Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ maka π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ dengan jalan
memisalkan π΄ = (π1, π2), π΅ = (π1, π2), πΆ = (0,0) πππ πΈ = (π1, π2).
Bukti:
Dari π΄π΅Μ Μ Μ Μ = πΆπ·Μ Μ Μ Μ diperoleh AB = CD maka (
π1
π2
) β (
π1
π2
) = (
π1
π2
) β (
π1
π2
)
βΊ (
π1
π2
) = (
π1 β π1 + 0
π2 β π2 + 0
) = (
π1 β π1
π2 β π2
)
Dari πΆπ·Μ Μ Μ Μ = πΈπΉΜ Μ Μ Μ diperoleh CD = EF maka (
π1
π2
) β (
π1
π2
) = (
π1
π2
) β (
π1
π2
)
βΊ (
π1 β π1
π2 β π2
) β (
0
0
) = (
π1
π2
) β (
π1
π2
)
βΊ (
π1
π2
) = (
π1 β π1 + π1
π2 β π2 + π2
)
Sehingga πΈπΉΜ Μ Μ Μ = (
π1 β π1 + π1
π2 β π2 + π2
) β (
π1
π2
) = (
π1 β π1
π2 β π2
).
11. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan:
a. D sehingga AD = 3 AB
b. E sehingga AE =
1
2
π΅πΆ
c. F sehingga AF = -2 AB
Jawab:
a. D sehingga AD = 3 AB
β(π₯ π· β π₯ π΄)2 + (π¦ π· β π¦ π΄)2 = 3β(π₯ π΅ β π₯ π΄)2 + (π¦ π΅ β π¦ π΄)2
βΊ β(π₯ π· + 0)2 + (π¦ π· β 0)2 = 3β(1 β 0)2 + (β3 β 0)2
βΊ βπ₯ π·
2 + π¦ π·
2 = 3β(1)2 + (β3)2
βΊ βπ₯ π·
2 + π¦ π·
2 = 3β10
βΊ π₯ π·
2
+ π¦ π·
2
= 90
15. Jadi D adalah semua titik pada lingkaran π₯ π·
2
+ π¦ π·
2
= 90
b. E sehingga AE =
1
2
π΅πΆ
β(π₯ πΈ β π₯ π΄)2 + (π¦ πΈ β π¦ π΄)2 =
1
2
β(π₯ πΆ β π₯ π΅)2 + (π¦ πΆ β π¦ π΅)2
βΊ β(π₯ πΈ β 0)2 + (π¦ πΈ β 0)2 =
1
2
β(5 β 1)2 + (7 β (β3))2
βΊ βπ₯ πΈ
2 + π¦ πΈ
2 =
1
2
β(4)2 + (10)2
βΊ βπ₯ πΈ
2 + π¦ πΈ
2 =
1
2
β16 + 100
βΊ βπ₯ πΈ
2 + π¦ πΈ
2 =
1
2
β116
βΊ π₯ πΈ
2
+ π¦ πΈ
2
=
1
4
. 116
βΊ π₯ πΈ
2
+ π¦ πΈ
2
= 29
Jadi E adalah semua titik pada lingkaran π₯ πΈ
2
+ π¦ πΈ
2
= 29
c. F sehingga AF = -2 AB
β(π₯ πΉ β π₯ π΄)2 + (π¦ πΉ β π¦ π΄)2 = -2β(π₯ π΅ β π₯ π΄)2 + (π¦ π΅ β π¦ π΄)2
βΊ β(π₯ πΉ β 0)2 + (π¦ π· β 0)2 =-2β(1 β 0)2 + (β3 β 0)2
βΊ βπ₯ πΉ
2 + π¦ πΉ
2 = β2β(1)2 + (β3)2
βΊ βπ₯ πΉ
2 + π¦ πΉ
2 = 4β10
βΊ π₯ πΉ
2
+ π¦ πΉ
2
= 40
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran π₯ πΉ
2
+ π¦ πΉ
2
= 40
12. Jika π0 = (0,0), π1 = (π₯1, π¦1), π2 = (π₯2, π¦2) dan π3 = (π₯3, π¦3) sedangkan
k>0, tentukan:
a. P sehingga π0 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ0 π1
Μ Μ Μ Μ Μ Μ
b. P sehingga π1 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ
c. Jika π3 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ maka π = [π₯3 + π(π₯2 β π₯1), π¦3 + π(π¦2 β π¦1)]
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
Jawab:
a. P sehingga π0 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ0 π1
Μ Μ Μ Μ Μ Μ
16. Karena π0 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ0 π1
Μ Μ Μ Μ Μ Μ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P =
kP0P1 sehingga (
π₯ π β π₯ π0
π¦ π β π¦ π0
) = π (
π₯ π1
β π₯ π0
π¦ π1
β π¦ π0
) βΊ (
π₯ π β 0
π¦π β 0
) = π (
π₯1 β 0
π¦1 β 0
)
βΊ (
π₯ π
π¦π
) = (
ππ₯1
ππ¦1
)
b. P sehingga π1 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Karena π1 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P1P=kP1P2 sehingga
(
π₯ π β π₯ π1
π¦π β π¦ π1
) = π (
π₯ π2β π₯ π1
π¦ π2
β π¦ π1
) βΊ (
π₯ π β π₯1
π¦ π β π¦1
) = π (
π₯2 β π₯1
π¦2 β π¦1
)
βΊ π₯ π β π₯1 = ππ₯2 β ππ₯1 βΊ π₯ π = ππ₯2 β (π β 1)π₯1
βΊ π¦ π β π¦1 = ππ¦2 β ππ¦1 βΊ π¦ π = ππ¦2 β (πβ1)π¦1
Jadi π = (ππ₯2 β (π β 1)π₯1, ππ¦2 β (πβ1)π¦1)
c. Jika π3 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ maka π = [π₯3 + π(π₯2 β π₯1), π¦3 + π(π¦2 β π¦1)]
Karena π3 πΜ Μ Μ Μ Μ = ππ1 π2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P3P=kP1P2 sehingga
(
π₯ π β π₯ π3
π¦ π β π¦ π3
) = π (
π₯ π2β π₯ π1
π¦ π2
β π¦ π1
) βΊ (
π₯ π β π₯3
π¦ π β π¦3
) = π (
π₯2 β π₯1
π¦2 β π¦1
)
βΊ π₯ π β π₯3 = ππ₯2 β ππ₯1 βΊ π₯ π = π(π₯2 β π₯1) + π₯3
βΊ π¦ π β π¦3 = ππ¦2 β ππ¦1 βΊ π¦ π = π(π¦2 β π¦1) + π¦3
Jadi π = (π(π₯2 β π₯1) + π₯3, π(π¦2 β π¦1) + π¦3)
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.
13. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui,
gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat
titik-titik berikut:
a. P sehingga π΄πΜ Μ Μ Μ = 4 π΄πΆΜ Μ Μ Μ
b. R sehingga π΅π Μ Μ Μ Μ =
1
2
π΅πΆΜ Μ Μ Μ
c. S sehingga π·πΜ Μ Μ Μ = 3π΅πΆΜ Μ Μ Μ
d. T sehingga πΆπΜ Μ Μ Μ = β2π·π΅Μ Μ Μ Μ
Jawab:
a. P sehingga π΄πΜ Μ Μ Μ = 4 π΄πΆΜ Μ Μ Μ
17. Karena π΄πΜ Μ Μ Μ = 4 π΄πΆΜ Μ Μ Μ maka π΄π = 4π΄πΆ sehingga π β π΄ = 4(πΆ β π΄)
Diperoleh (
π₯ π β π₯ π΄
π¦ π β π¦ π΄
) = 4 (
π₯ πΆ β π₯ π΄
π¦ πΆ β π¦ π΄
) βΊ (
π₯ π
π¦ π
) = 4 (
β2 β 0
5 β 0
) + (
0
0
)
βΊ (
π₯ π
π¦ π
) = (
β8
20
)
Jadi koordinat P = (-8,20).
b. R sehingga π΅π Μ Μ Μ Μ =
1
2
π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Karena π΅π Μ Μ Μ Μ =
1
2
π΅πΆΜ Μ Μ Μ maka BR=
1
2
BC sehingga R β B =
1
2
(πΆ β π΅)
Diperoleh (
π₯ π β π₯ π΅
π¦ π β π¦ π΅
) =
1
2
(
π₯ πΆ β π₯ π΅
π¦ πΆ β π¦ π΅
) βΊ (
π₯ π β 1
π¦ π β 3
) =
1
2
(
β2 β 1
5 β 3
)
βΊ π₯ π β 1 =
β3
2
βΊ π₯ π =
β1
2
βΊ π¦ π β 3 = 1 βΊ π¦ π = 4
Jadi koordinat R = (
β1
2
, 4).
c. S sehingga π·πΜ Μ Μ Μ = 3π΅πΆΜ Μ Μ Μ
Karena π·πΜ Μ Μ Μ = 3π΅πΆΜ Μ Μ Μ maka S β D = 3 (C β B)
Diperoleh (
π₯ π β π₯ π·
π¦π β π¦ π·
) = 3 (
π₯ πΆ β π₯ π΅
π¦ πΆ β π¦ π΅
) βΊ (
π₯ π β 4
π¦π β (β2)
) = 3 (
β2 β 1
5 β 3
)
βΊ π₯ π β 4 = β9 βΊ π₯ π = β5
βΊ π¦π + 2 = 6 βΊ π¦π = 4
Jadi koordinat S = (β5,4).
d. T sehingga πΆπΜ Μ Μ Μ = β2π·π΅Μ Μ Μ Μ
Karena πΆπΜ Μ Μ Μ = β2π·π΅Μ Μ Μ Μ maka T β C = -2 ( B β D )
Diperoleh (
π₯ π β π₯ πΆ
π¦ π β π¦ πΆ
) = β2 (
π₯ π΅ β π₯ π·
π¦ π΅ β π¦ π·
) βΊ (
π₯ π β (β2)
π¦ π β 5
) =
β2 (
1 β 4
3 β (β2)
)
βΊ π₯ π + 2 = 6 βΊ π₯ π = 4
βΊ π¦ π β 5 = β10 βΊ π¦ π = β5
Jadi koordinat R = (4, β5).
14. Diketahui garis-garis g dan h yang sejajar. Titik π β π sedangkan titik π
tidak pada g maupun h.
a. Lukislah Pβ=MhMg(P) dan Qβ=MhMg(Q)
18. b. Buktikan bahwa ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ = ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ
Jawab:
a. Gambar Pβ=MhMg(P) dan Qβ=MhMg(Q)
b. Bukti bahwa ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ = ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ
15. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada
garis-garis itu.
a. Lukislah Zβ=MvMu(Z) dan Wβ=MvMu(W)
b. Buktikan bahwa ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ = ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Jawab:
a. Gambar Zβ=MvMu(Z) dan Wβ=MvMu(W)
b. Bukti bahwa ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ = ππβ²Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
16. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2; garis itu tidak
memotong lingkaran-lingkaran. Dengan memperhatikan Mg(L1), tentukan
Mg(Q)
h
g
P
Pβ
Qβ
Q
Zβ
u
v
ZWβ
W
Mu(Z)
Mu(W)
19. semua titik X pada g sehingga β πππ΄ β β πππ΅ dengan π΄ β πΏ1, π΅ β πΏ2
sedangkan ππ΄β‘ββββ dan ππ΅β‘ββββ adalah garis-garis singgung.
Jawab:
17. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2. Garis tidak memotong
L1 maupun L2. Gunakna sebuah transformasi untuk melukis sebuah bujur
sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g, satu titik sudut ada pada L1
dan titik sudut yang keempat ada pada L2.
Jawab: