1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar. 2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA. 3. Contoh soal juga d

1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB X
GESERAN (TRANSLASI)
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015

2. BAB X
GESERAN (TRANSLASI)
A. Ketentuan dan Sifat-sifat
Dalam bab setengah putaran, dijelaskan bahwa setengah putaran dapat
ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang
diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka hgA MMS  . Dalam
bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
Teorema 10.1
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB
maka "" BBAA  dengan )(" AMMA gh dan )(" BMMB gh
Pembuktian:
Diketahui : g // h, titik A dan titik B dengan A=MhMg(A) dan B"=MℎM 𝑔(B).
Buktikan : AA"̅̅̅̅̅ = BB"̅̅̅̅̅.
Kita tentukan sebuah sistem koordinat dengan g sebagai sumbu-y dan sebuah
garis tegak lurus dengan g sebagai sumbu-x.
B
X
A A’’A’
g
B’’
B’
N
h
Y

3. Ambil titik A dan B sebarang dengan A≠B dan A, B ∉ 𝑔 A, B ∉ ℎ
Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2)
Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adalah titik tengah BA"̅̅̅̅̅
Jelas g : x=0.
Andaikan persamaan garis h adalah x=n, n≠0.
Maka, Mg(A)=A' = (−a1, a2) dan
MhMg(A)=A" ⟺ Mℎ(A′)=A"
⟺ Mℎ(−a1, a2)=A"
⟺ ((−a1) + 2(𝑛 + a1), a2) = A"
⟺ (2𝑛 + a1, a2) = A"
Mg(B)=B' = (−b1, b2) dan
MhMg(B)=B" ⟺ Mℎ(B′)=B"
⟺ Mℎ(−b1, b2)=B"
⟺ ((−b1) + 2(𝑛 + b1), b2) = B"
⟺ (2𝑛 + b1, b2) = B"
Karena N titik tengah BA",̅̅̅̅̅̅
Maka
 





 

2
,
2
2 2211 baban
N
Diperoleh 




 

2
,
2
2 2211 baban
N dan A=(a1, a2)
sehingga 










 





 
 2
22
1
11
2
2,
2
2
2)( a
ba
a
ban
ASN
 
"
21,2
B
bbn


Dengan demikian maka AA"̅̅̅̅̅ = BB"̅̅̅̅̅
Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya
oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil
transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang
sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).

4. Definisi :
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah
𝐀𝐁̅̅̅̅ sehinga setiap titik P pada bidang menjadi P’ dengan G(P) = P’ dan
𝐏𝐏′̅̅̅̅̅ =̇ 𝐀𝐁.̅̅̅̅̅
Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau AB̅̅̅̅ suatu garis
berarah maka dengan lambang GAB dimaksudkan sebagai sebuah geseran yang
sesuai dengan AB̅̅̅̅.
Teorema 10.2
Apabila 𝐀𝐁̅̅̅̅ =̇ 𝐂𝐃̅̅̅̅ maka 𝐆 𝐀𝐁 = 𝐆 𝐂𝐃
Bukti:
Dipunyai CDAB 
Ambil x sebarang
Misalkan 1)( xxGAB  dan 2)( xxGCD 
Maka ABxx 1 dan CDxx 2
Karena CDAB  maka 21 xxxx 
Ini berarti bahwa x1 = x 2
Jadi CDAB GG 
Teorema 10.3
Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan 𝐂𝐃̅̅̅̅ sebuah garis berarah
tegak lurus pada g dengan 𝐂 ∈ 𝒈 dan D ∈ 𝒉. Apabila 𝐀𝐁̅̅̅̅ =̇ 𝟐𝐂𝐃̅̅̅̅ maka
GAB=MhMg
Bukti:
Ambil titik P sebarang.
Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P)

5. Akan dibuktikan P’=P”
Menurut definisi geseran PP′̅̅̅̅ =̇ AB̅̅̅̅
Karena AB̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅̅̅ , maka PP′̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅̅̅
Karena C ∈ 𝑔 maka MℎM 𝑔(C) = Mℎ[M 𝑔(C)] = Mℎ(C) = C"
Ini berarti D titik tengah CC"̅̅̅̅̅ , sehingga CC"̅̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅̅̅
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh CC"̅̅̅̅̅ =̇ PP"̅̅̅̅̅
Jadi CC"̅̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅̅̅ =̇ PP′̅̅̅̅ =̇ PP"̅̅̅̅̅ akibatnya P’=P”
Jadi GAB(P)=MhMg(P)
Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg
Catatan
1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis
sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB⃡ dan
berjarak
1
2
AB.
2. Jika AB⃡ sebuah garis dan M titik tengah AB̅̅̅̅ sedangkan g, h dan n tiga garis
masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada AB⃡ maka
GAB=MhMg=MnMh.
3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah
suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang
merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran
adalah suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri
lawan.
A M
nhg
B

6. Teorema 10.4
Jika GAB sebuah geseran maka (GAB )-1 = GBA
Bukti:
Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)
Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)
Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)
Maka setiap geseran memiliki balikan
Perhatikan gambar berikut:
Dari uraian diatas
Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)
=Mh[Mg(A)]
=Mh(A)
=B
GAB(A)=MnMh(A)
=Mn[Mh(A)]
=Mn(B)
=B
Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh
Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)
=Mh[Mn(B)]
=Mh(B)
=A
GBA(B)=MgMh(B)
=Mg[Mh(B)]
=Mg(A)
=A
Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh
Sehingga (GAB)-1
= (MnMh)-1
= Mh
-1
Mn
-1
= MhMn
=GBA
Jadi (GAB)-1
=GBA
nhg
A BC |
|

7. Teorema 10.5
Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga
𝐀𝐁̅̅̅̅ =̇ 𝟐𝐂𝐃̅̅̅̅ maka
GAB = SCSD
Bukti :
Andaikan 𝑔 = CD⃡ , k g di C, m g di D (gambar 10.5)
Maka CD̅̅̅̅ ruas garis berarah dari k ke m. Karena AB̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅̅̅ maka GAB = MmMk
( Berdasarkan Teorema 10.3) ……………….(*)
sedangkan SD = MmMg
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak
lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg )
dan SC = MgMk
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak
lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )
A
B
C
D
g
k
m
Gambar 10.5
D
g
m

8. Jadi :
SCSD = (MmMg)(MgMk)
= Mm (MgMg) Mk (Sifat asosiatif hasil kali transformasi)
= Mm I Mk
= MmMk …………………………………(**)
Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh :
GAB = SCSD
CONTOH:
Jika A = (3,-1), dan B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik-titik yang diketahui
tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SCSD.
JAWAB:
sebuah titik sehingga, CE̅̅̅̅ =Pilih E
C
g
k
(Transformasi identitas)
6
2
0
1
3
4
5
Y
X-1 654321
-4
-3
-2
-1
7
A
B
C
9
8
10

9. AB̅̅̅̅ maka E = (4 + [1 − 3], 2 + [7 − (−1)]) atau E = (2,10). Apabila D titik
tengah CE̅̅̅̅ maka D = (3,6) sehingga CE̅̅̅̅ = 2CD̅̅̅̅.
Atau AB̅̅̅̅ = 2CD̅̅̅̅.
Menurut Teorema 10.5 diperoleh GAB = SCSD jadi titik D yang dicari adalah
(3,6).
Teorema 10.6
Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu
setengah putaran.
Bukti:
Andaikan GAB suatu geseran.
Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga CE̅̅̅̅ =̇ AB̅̅̅̅
Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah CE̅̅̅̅, berarti CE̅̅̅̅ =̇ 2CD̅̅̅̅
Menurut teorema 10. 5,
GAB = SDSC
⇔ GABSC = SDSCSC
⇔ GABSC = SD[SCSC]
⇔ GABSC = SDI
⇔ GABSC = SD
Jadi, komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah
putaran.
Akibat :
Andaikan 𝐒 𝐀, 𝐒 𝐁 dan 𝐒 𝐂 masing-masing setengah putaran, maka
𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐃 dengan D sebuah titik sehingga 𝐀𝐃 =̇ 𝐁𝐂.
Bukti :
Diperoleh berturut-turut 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 = 𝐆 𝐁𝐂
⇔ 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐆 𝐁𝐂 𝐒 𝐀
Ambil titik X sebarang
Misal 𝐆 𝐁𝐂 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐗

10. Sehingga diperoleh 2BC̅̅̅̅ =̇ 2AX̅̅̅̅ atau BC̅̅̅̅ =̇ AX̅̅̅̅
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan
titik D maka diperoleh
𝐆 𝐁𝐂 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐗
⇔ 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐃 dengan AD = BC.
Jadi, jika SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐃
dengan D sebuah titik sehingga AD̅̅̅̅ =̇ BC̅̅̅̅.
Teorema 10.7
Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi
Bukti :
Andaikan dua buah geseran yaitu GAB dan GBC
Diperoleh GAB(A) = B dan GBC(B) = C
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A
maka didapat GBCGAB(A) = GBC[GAB(A)]
= GBC(B)
= C
Andaikan titik E sebarang
Diperoleh GAB(E) = E′
Berarti EE′̅̅̅̅ =̇ AB̅̅̅̅
GBC(E′) = E′′
Berarti E′E′′̅̅̅̅̅̅ = BC̅̅̅̅
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh
GBCGAB(E) = GBC[GAB(E)]
= GBC(E′)
A
B
C E
E’
E’’

11. = E"
Berarti EE′′̅̅̅̅̅ =̇ AC̅̅̅̅ sehingga diperoleh
GEE"(E) = E" = GAC
Jadi GBCGAB = GAC
Atau
Pembuktian menggunakan teorema 10.5
Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2PQ̅̅̅̅ =̇ AB̅̅̅̅ dan titik R sehingga 2QR̅̅̅̅ =̇ BC̅̅̅̅
Diperoleh GAB = SQSP dan GBC = SRSQ
Jika GBC dikomposisikan dengan GAB maka diperoleh
GBCGAB = (SRSQ)(SQSP)
= SR(SQSQ)SP (assosiatif)
= SRISP (Identitas transformasi)
= SRSP (Identitas transformasi)
Karena 2PR̅̅̅̅ = AC̅̅̅̅ maka diperoleh SRSP = GAC
Jadi GBCGAB = GAC
Teorema 10. 8
Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan
A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y)
sebagai T(P) = (x + a, y + b) maka 𝐓 = 𝐆 𝐎𝐀.
Bukti :
Ambil titik P(x, y) dengan T(P) = (x + a, y + b)
Missal GOA(P) = P′, berarti PP′̅̅̅̅ = OA̅̅̅̅
P′
= (x + a − 0, y + b − 0) = (x + a, y + b)
Jadi, T(P) = P′
= GOA(P), ∀ P ∈ V
Artinya
Ini berarti 𝐓 = 𝐆 𝐎𝐀.
Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7
Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH

12. Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan OA̅̅̅̅ = EF̅̅̅̅ dan OB̅̅̅̅ = KH̅̅̅̅
Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh
GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d)
Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)
Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh
GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]
= GKH(x+a,y+b)
= ((x+a)+c,(y+b)+d)
= (x+(a+c),y+(b+d))
Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik
(a+c,b+d).

13. SOAL TUGAS 1
1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.
a. Lukislah
b. Lukislah
c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan
d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga
2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :
a. Garis h sehingga
b. Garis k sehingga
c. Garis m sehingga m’
d. Titik C sehingga
3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis
trersebut.
a. Lukislah titik B sehingga
b. Lukislah titik C sehingga
4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
A
B
D
P
g
C

14. Lukislah :
a.
b. Garis h sehingga g
c.
d.
5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :
a. R
b. R
c. R
6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :
a. Jika maka
b. Setiap translasi adalah suatu involusi
c. dengan
d. Apabila M titik tengah , maka
e. Apabila g’ (g), maka g’ // g
7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)
a. Tentukan C’
b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan sehingga

15. 9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke
B.
a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)
b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)
10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :
a. jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga
c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)

16. SOAL TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P
a. Tentukan GABSC(P)
b. Tentukan SCGAB (P)
c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB
b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE
c. Tentukan F sehingga GABSC = SF
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :
a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE
b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X
4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b).
Tentukan S-1
(P)
b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan
b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan
c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)
d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

17. Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)
Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G
7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.
8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat,
buktikan :
a. SBSA adalah suatu translasi
b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap
b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa
10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)
a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)
b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)

18. JAWABAN TUGAS 1
1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris
a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)
b. Lukislah GAB(C)
c. Lukislah garis-garis g dan h dengan gA dan GAB=MhMg
d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga gC  dan sehingga GAB=MhMg
A B
C
A B=GAB(A) A’=GAB(B)
A B
C C’=GAB(C)
hg
A B
C
GAB(A) =B
MhMg(A)=B
} GAB=MhMg
A B
g h

19. A
gk
B
m
A
m’
B
2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g  AB.
a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB
b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB
c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)
GAB (m) = B
m’ = B
hg
A B
GAB(A)= B
MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB
GAB(A)= B
MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB
m’ = GAB(m)

20. d. Titik C sehingga GBA(C) = B
GAB(C) = B
3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.
a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB
Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B
b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC
Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C
g h
A Mg(A)=A’
B= Mh(A’)
g h
C= Mg(A’ ) A Mh(A)=A’
A B C

21. A
B
P
C
D
P
P’
P”
P’
P”
P
4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
Lukislah !
a) GCD GAB (P)
GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB
GCD (P) = P” dimana P’P” = CD
b) GCD GBA (P)
GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA
GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD

22. h’ = GDC (h)
h
g = GABGDC (h)
P
P’
P”
P”’ = G3
AB (P)
c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g
d) G3
AB (P)
5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:
a. GABGCD(P)=R
b. SAGBC(P)=R
c. (GAB)-1
Mg(P)=R
Penyelesaian:

23. 6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:
a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)
Bukti:
Dipunyai GAB=MgMh.
Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).
Jadi GAB ≠ MhMg.
Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg
b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)
Bukti:
Misal: GAB=MhMg.
Maka diperoleh (GAB)-1
= (MhMg)-1
= Mg
-1
Mh
-1
= MgMh
≠ GAB.
Jadi GAB bukan suatu involusi.
c. GABGAB= GCD dengan (Benar)
Bukti:
Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.
Karena GAB(P)=P2 maka
GAB(P2)=P4 maka dan

24. GABGAB(P)=P4 maka
Sehingga , akibatnya .54 PP 
Jadi GABGAB(P)= GCD(P).
Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.
d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)
e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar)
7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab :
Jelas g dan h  dan jarak antara g dan h
Persamaan garis
Jadi
Misal A ∈ g maka persamaan garis g
Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint
AB
)
)

25. Jadi C(-1,5)
Persamaan garis h  AB dan melalui C(-1,5)
Jadi g : y =
h : y =
8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).
a. Tentukan ).(' CGC AB
Penyelesaian:
Karena )(' CGC AB maka
Jelas
Sehingga 242 22  xx dan .044 22  yy
Jadi ).0,2()('  CGC AB
b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga gC  dan sehingga
MhMg= GAB.
Penyelesaian:
Jelas
.1
4
4
15
31
12
12










xx
yy
mAB
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan ., ABhABg 
222
2
2
2
222
2
2
2
2
12
2
12
2
12
2
12
22
)4()4()4()2(
)31()15()4()2(
)()()()(
'
'





yx
yx
yyxxyyxx
ABCC
ABCC

26. Sehingga diperoleh
Karena g//h maka 1 hg mm .
Misal garis h melalui titik D maka
Sehingga diperoleh
Jadi 042 22
1
2  xx dan .244 22
1
2  yy
Jadi titik D(0,2).
Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan 1gm adalah
6
24
)2(14
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan 1hm adalah
.2
2
)0(12
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
9. Diket A(2,1), B(5,-3)
Ditanyakan
a.
misal maka
sehinggga
dan
.1
11
1



g
g
gAB
m
m
mm
2
2
12
2
12
2
2
2
2
4
12
4
12
2
2
2
2
12
2
124
12
12
2
12
2
4
12
2
1
)4()4()4()2(
)31()15()4()2(
])()[()()(





yx
yx
yyxxyyxx
ABCD
ABCD

27. Jadi C’(7,-2)
b. dengan
misal
maka sehingga

28. dan
Jadi
10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)y+2x=4}.
a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).
Jawab:
Jelas BAGAB )(
).4,3()1,2(
)4,3()1,2(


ba
GAB
Sehingga 132  aa dan .541  bb
Jadi ).5,1(),()(  yxyxGPG ABAB
b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).
Jawab:
Misal titik ),( 11 yxD maka
).3,1()5,1(
)3,1(),(
)3,1()(
11
11



yx
yxG
DG
AB
AB
Sehingga 011 11  xx dan .235 11  yy
Jadi titk D(0,-2).
c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga ).(gGh AB
Jawab:
.32
4225
4)1(25
)42()(




yx
xy
xy
xyGgGh ABAB

29. JAWABAN TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P
a) Tentukan GABSC(P)
Penyelesaian :
GABSC(P)=GAB[SC(P)]
=GAB(P’) dengan C adalah titik tengah
=P” dengan
b) Tentukan SCGAB(P)
Penyelesaian :
SCGAB(P)=SC[GAB(P)]
=SC(P’) dengan
=P” dengan C titik tengah
c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X
Penyelesaian :
Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD
Ambil titik X sebarang
GABSC(X)=SD(X)
Diperoleh SD(X)=X, berartti X=
Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)
= GAB[SC(X)]
=GAB(D’) dengan C titik tengah D’,
berarti
=D dengan
=X
Jadi titik X adalah titik tengah dimana

30. 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris
a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis
dimana,
2
b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE
Penyelesaian :
Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik
C dimana,
c) Tentukan F sehingga GABSC=SF
Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti
dimana,
3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :
a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE
b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X
4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b).
Tentukan S-1
(P).
Penyelesaian :
Menurut teorema 7. 3 S-1
(P)=S(P)

31. =(x+a,y+b)
b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.
Penyelesaian :
Ambil titik P sebarang
Misal G1=GAB dan G2=GCD
G1G2(P)=G1[G2(P)]
=G1(P’) dengan
=P” dengan
Jadi, ………(1)
G2G1(P)=G2[G1(P)]
=G2(P’) dengan
=P” dengan
Jadi, ………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB
G1G2=G2G1
5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang
bersangkutan?
a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.
Penyelesaian :
b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan
Penyelesaian :
c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)
Penyelesaian :
e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.

32. Penyelesaian :
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).
Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G
Penyelesaian :
SDSC(P)=G(P)
SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)
Misalkan D(a,b)
[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
 2a-(2-x)=x+2
2a=x+2+2-x
2a=4
a=2
 2b-(-14-y)=y+3
2b=y+3-14-y
2b=-11
b=-5,5
Jadi titik D(2,-5,5)
7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan
koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.
Penyelesaian :
Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])
=(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah maka,


33. x=-1

y=18
Jadi koordinat D=(-1,18)
8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-
koordinat. Buktikan :
a) SBSA adalah suatu translasi
Penyelesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
SBSA(P)=SB[SA(P)]
=SB(2a1-x,2a2-y)
=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)
=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka =
Penyeleesaian :
Ambil titik P(x,y) sebarang
Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
=( b1–a1,b2-a2)
=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]
=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]
=2( b1–a1,b2-a2)
=2
Jadi terbukti =
9. Buktikan sifat-sifat berikut :
a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap
Penyelesaian :

34. b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi
Penyelesaian :
c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA
Penyelesaian :
10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)
a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)
Penyelesaian :
SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)
=SA(-6-x,10-y)
=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)
=(10+x,-8+y)
Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)
b) L={(x,y)| x2
+y2
=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L).
Penyelesaian :
L= x2
+y2
=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]
=SA(-6,10)
=[2.2-(-6),2.1-10]
=(10,-8)
Jadi L’={(x,y)|(x-10)2
+(y+8)2
=4}