Rangkuman materi Isometri

1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB IV
ISOMETRI
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015

2. BAB IV
ISOMETRI
Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis g adalah suatu transformasi yang
mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri.
Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat berikut :
Teorema 4.1 : sebuah isometri bersifat :
a. memetakan garis menjadi garis
b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis
c. mengawetkan kesejajaran dua garis
Bukti :
a. Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri.
Akan dibuktikan bahwa T(g)= g’ adalah suatu garis juga.
Ambil A g dan B g. Maka T(g) = g’, A’
= T(A), dan B’
=T(B) ; melalui A’
dan B’
ada suatu garis, misalnya h. Akan dibuktikan h=g’.
(i)
Akan dibuktikan h g’
Ambil sebarang X’
h.
Oleh karena bidang Euclides, kita andaikan (A’X’B’), artinya A’X’ + X’B’ = A’B’.
Karena T transformasi, maka ada X sehingga T(X) = X’ .
Karena T suatu isometri maka AX= A’X’, XB= X’B’, dan AB= A’B’.
Diperoleh A’X’+ X’B’= AX + XB =AB.
Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g dan berarti pula X’ = T(X) g’.
Jadi untuk setiap X’
h maka X’
g’.
Sehingga h g’.
(ii) Akan dibuktikan g’ h.
Ambil lagi Y’ g’.
A’
B’
g
A
B
Gambar 4.1
h

3. Maka ada Y g sehingga T(Y) = Y’
’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y g
dan AY + YB = AB.
Karena T sebuah isometri maka AY= A’
Y’
, YB=Y’B’, dan AB= A’B’
Sehingga A’Y’ + Y’B’ = AY + YB = AB=A’B’.
Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris, yaitu garis yang melalui A’ dan B’.
Oleh karena h garis yang melalui A’ dan B’ maka Y’ h .
Jadi jika Y’ g’ dan Y g berarti g’ h
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh h g’ dan g’ h maka h = g’.
Jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis.
b. Ambil sebuah  ABC.
Akan ditunjukkan m( ABC)=m( A’B’C’)
(a) (b)
Andaikan A’
= T(A), B’
= T(B), C’
= T(C).
Menurut (a), maka A’B’ merupakan peta dari AB dan B’C’ merupakan peta dari BC
adalah garis lurus. Karena AB dan BC merupakan garis lurus maka A’B’ dan B’C’
merupakan garis lurus.
Karena  ABC = BA BC maka  A’B’C’ = B’A’ B’C’ .
Perhatikan ABC dan A’B’C’ !
A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = CA. Menurut teorema kekongruenan jika dua buah
segitiga yang memiliki sifat S S S sama maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Sehingga ABC A’B’C’. Jadi,  A’B’C’ =  ABC.
Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sudut.
c.
A
C
B
𝐴′
𝐶′𝐵′
a b
a’
b’
Gambar 4.3
P’

4. Kita harus memperlihatkan a’ // b’
Andaikan a’ memotong b’ di sebuah titik P’
jadi P’ a’ dan P’ b’. Ini berarti
bahwa a memotong b di P, jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a//b.
Maka pengandaian a’ memotong b’ salah.
Jadi haruslah a’ // b’.
Akibat : salah satu akibat dari sifat (b) Teorema 1.3 ialah bahwa apabila a b maka
T(a) T(b) dengan T sebuah isometri.
Bukti:
Dipunyai a b akan ditunjukkan T(a) T(b)
Andaikan T(a) T(b) maka terapat sudut antara T(a) dengan T(b) yang tidak sama
dengan 90o
. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka
sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o
. Hal ini kontradiksi dengan
a b. Jadi pengandaian harus dibatalkan.
Artinya T(a) T(b).
Jadi apabila a b maka T(a) T(b) dengan T sebuah isometri.
Contoh: Diketahui garis g { (x,y) | y = -x } dan garis h { (x,y) | y = 2x – 3}.
Apabila Mg adalah refleksi pada garis g tentukanlah persamaan garis h’
= Mg(h).
Jawab :
Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut teorema
4.1, h’
adalah sebuah garis.
Garis h’
akan melalui titik potong antara h dan g misalnya R, sebab Mg(R) = R.
g : y = -x, h : y = 2x – 3, misalkan R(x,y). Dengan mensubsitusikan g ke dalam h
diperoleh:
X
Y
P
R
Q’
g
h
P’
Q
h’
O

5. 1
33
32x-
3-2xy




x
x
x
Karena y = -x, jadi y = -x. Jelas bahwa R = (1,-1); h’ akan pula melalui Q’
= (0,-
3/2). Persamaan garis h’ adalah
 
032
032
0
2
3
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
10
1
)1(
2
3
)1(
12
1
12
1





















yx
xy
xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
4.1 Isometri langsung dan isometri lawan
Perhatikan gambar 4.9 a ini. Anda melihat suatu transformasi T yang memetakan
segitiga ABC pada segitiga A1 B1 C1 misalnya sebuah pencerminan pada garis g.
Tampak bahwa apabila pada segitiga ABC, urutan keliling adalah A B C
adalah berlawanan dengan putaran jarum jam maka pada petanya, yaitu segitiga
A1 B1 C1, urutan kelilingnya A1 B1 C1 adalah sesuai denagn putaran jarum
jam. Pada gambar 4.9b Anda lihat juga suatu isometri, yaitu suatu rotasi
(putaran)mengelilingi sebuah titik O.
Kelak akan dibicarakan lebih mendalam tentang rotasi ini.
Dengan demikian persamaan h’
adalah : h’
= { (x,y) | x-2y-3 = 0 }
C’
B’
A’
Gambar 4.9a
A
B
C
Gambar 4.9b
g
A
B
C

6. Di sini dikemukakan sekedar sebagai contoh. Kalau pada segitiga ABC urutan
keliling A B C adalah berlawanan arah maka pada petanya yaitu pada segitiga
A2 B2 C2 urutan keliling A2 B2 C2 tetap berlawanan dengan putaran jarum
jam.
Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita perkenalkan konsep
orientasi tiga titik yang tak segaris. Andaikan (P1, P2, P3) ganda tiga titik yang tak
segaris. Maka melalui P1, P2, dan P3 ada tepat satu lingkaran l. kita dapat
mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai P2, P3 dan akhirnya
kembali ke P1.
Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam, maka dikatakan bahwa
ganda tiga titik (P1, P2, P3) memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum
jam (atau orientasi yang negatif). Apabila arah keliling itu berlawanan dengan arah
putaran jarum jam, maka dikatakan bahwa ganda tiga titik (P1, P2, P3) memiliki
orientasi yang berlawanan dengan putaran jarum jam (atau orientasi yang positif).
Jadi pada gambar 4.9a, (A,B,C) memiliki orientasi positif sedangkan (A 1 B1 C1)
memiliki orientasi yang negatif. Pada gambar 4.9b, orientasi (ABC) adalah positif
dan orientasi (A2 B2 C2) tetap positif.
Jadi pencerminan pada gambar 4.9a mengubah orientasi sedangkan putaran pada
gambar 4.9b mengawetkan orientasi.
Definisi:
1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga
titik tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya sama dengan ganda (P1’, P2’, P3’)
dengan P1’ = T(P1), P2’ = T(P1), P3’ = T(P3).
2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik
tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya
(P1’, P2’, P3’) dengan P1’ = T(P1), P2’ = T(P1), P3’ = T(P3).
Definisi:
Suatu transformasi dinamakan langsung apabila transformasi itu mengawetkan
orientasi; suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transfomasi
itu mengubah orientasi. Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi kita
adalah:
Teorema 4.2 : Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan.
Teorema ini tanpa bukti.
Tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Anda dapat melihat pada gambar
4.9b. di situ isometri kita (yaitu rotasi pada titik O) adalah sebuah isometri

7. langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu
:
Teorema 4.3 : Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah
isometri lawan.

8. SOAL HALAMAN 42
1. Diketahui garis g dan h seperti dapat dilihat pada gambar. Dengan menggunakan jangka
dan penggaris lukislah garis g’=Mh(g) dengan Mh sebuah pencerminan pada garis h.
Jawab :
2. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. T
adalah sebuah isometri dengan B = T(A) dan u = T(s). Kalau t s, lukislah t’=T(t).
Jawab:
3. Diketahui garis t, lingkaran l dengan pusat D dan segitiga ABC seperti pada gambar.
a) Lukislah Mt(
b) Hubungan apakah antara dan Mt( ?
c) Lukislah Mt(l)
Jawab:
a)
g’
h
g
o
o
Diketahui : 𝐵 = 𝑇(𝐴) dan 𝑢 =
𝑇(𝑠), 𝑡 ⊥ 𝑠
𝑇(𝑡) = 𝑡’ , 𝐴𝜖𝑡.
Karena 𝐵 = 𝑇(𝐴) maka 𝐵𝜖𝑡’.
Karena 𝑡𝜖 𝑠 dan T isometri, maka
𝑇(𝑡) ⊥ 𝑇(𝑠) ⇔ 𝑡’ ⊥ 𝑢.
Jadi, untuk melukis t’ buat garis t’
melalui B yang tegak lurus u.A
B
u
s
t
B
C
A
t
B’
A’
C’
O

9. b) Perhatikan ΔABC dan ΔA’B’C’
Karena A’=Mt(A)OA’=OA dan A’P = AP
B’=Mt(B)OB’=OB
C’=Mt(C)OC’=OC
Diperoleh m( ABC)= m( A’B’C’)
AB=OA+OB=OA’+OB’=A’B’
m( BAC)= m( B’ A’C’).
Berdasarkan teorema, (Sd S Sd) maka ΔABC  ΔA’B’C’.
c)
4. Diketahui garis t.
a) Lukislah sebuah ΔABC sehingga Mt(ΔABC) = ΔABC (artinya : oleh Mt, ΔABC dan
hasil refleksi pada t berimpit).
b) Lukislah sebuah lingkaran yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
c) Lukislah sebuah segi empat yang berimpit dengan petanya oleh Mt.
Jawab:
a)
P
Untuk melukis ΔABC yang berhimpit dengan Mt(ΔABC),
maka segitiga ΔABC haruslah merupakan segitiga samakaki
dengan AO sebagai sumbu simetri, t berhimpit dengan AO,
sehingga BO = OC.
Mt(A) = A’ = A
Mt(B) = B’ = C
Mt(C) = C’ = B
Jadi Mt(ΔABC) = ΔA’B’C’ = ΔABC
D’
D
A=A’
B=C’ C=B’
t
O

10. b)
c)
5. Diketahui garis g = {(x,y) |x + 2y = 1} dan h = {(x,y) |x = -1}.
Tulislah sebuah persamaan garis g’ = Mh(g).
Jawab:
Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan Mh(g) =
g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik A(1,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu X.
Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi Cg dan Ch.
Karena Ch maka Mh(C) = C
g
Y
X
A(1,0)
B(0, )
C
g’
h:x = -1
A’(-3,0) D
l=l’
O=O’
t
Untuk melukis lingkaran l yang berhimpit dengan Mt(l), maka
titik pusat lingkaran l haruslah berada pada sumbu refleksi t
sehingga Mt(l) = l’= l.
t
Untuk melukis segiempat yang berhimpit dengan petanya oleh
Mt, maka haruslah cermin t harus berhimpit dengan sumbu
simetri segiempat tersebut.

11. Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A).
 Koordinat titik C
g ≡ x + 2y = 1  x + 2y – 1 = 0,
h ≡ x = -1
substitusikan x = -1 ke persamaan garis g ≡ x + 2y = 1, diperoleh :
-1 + 2y – 1 = 0  2y =2  y = 1
Jadi C(-1,1)
 Kordinat A’ = Mh(A)
Titik D(-1,0) adalah titik potong h dengan sumbu X.
AD = xA – xD = 1- (-1) = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2
Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4
Misal titik A’(x’,y’)
Absis titik A’ adalah 1 - 4 = -3
Diperoleh x’ = -3 dan y’ = y = 0
Jadi, A’(-3,0)
Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan A’(-3,0)
Persamaan garis g’:
10
1
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
)1(3
)1(



x
1
1



y
=
2
1

x
1 y =
2
1x
y = 1
2
1
2
1
x
y =
2
3
2
1
x
032  yx
Jadi, g’ = {(x,y) | x - 2y + 3 = 0}
6. Diketahui garis g = {(x,y) |3x - y + 4= 0} dan h = {(x,y) |y = 2}.
Tulislah persamaan garis g’ = Mh(g).
Jawab:
X
B( ,0)
A’(0,0)
A(0,4)
C
D
Y
g
h

12. Karena Mh sebuah refleksi pada h, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan Mh(g) =
g’, maka g’ adalah sebuah garis.
Titik A(4,0) merupakan titik potong antara garis g dan sumbu Y.
Titik C merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi Cg dan Ch.
Karena Ch maka Mh(C) = C
Jadi g’ akan melalui titik C, dan g’ akan melalui A’ = Mh(A)
 Koordinat titik C
g ≡ 3x - y + 4= 0, h ≡ y = 2
substitusikan y = 2 ke persamaan garis g ≡ 3x - y + 4= 0, diperoleh:
3x – 2 + 4= 0  3x = -2  x =
3
2

Jadi C (
3
2
 ,2)
 Koordinat A’ = Mh(A)
Titik D (0,2) adalah titik potong h dengan sumbu Y.
AD = yA – yD = 4 − 2 = 2
Karena isometri maka D A’ = AD = 2
Jadi, AA’ = AD + DA’ = 2 + 2 = 4
Misal titik A’(x’,y’)
Ordinat titik A’ adalah 4 − 4 = 0
Diperoleh y’ = 0 dan x’ = x = 0
Jadi, A’(0,0)
Jadi, g’ melalui titik C(
3
2
 ,2) dan A’(0,0)
Persamaan garis g’:
20
2
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
)
3
2
(0
)
3
2
(



x

13. 2
2



y
=
3
2
3
2
x
2 y = -2 )1
2
3
( x
y = -3x -2 +2
y = -3x
03  yx
Jadi, g’ = {(x,y) | 03  yx }
7. Diketahui garis-garis g = {(x,y) | y = 0}, h = {(x,y) |y = x}, dan k = {(x,y) |x = 2}.
Tulislah persaman garis-garis berikut;
a). Mg(h) b). Mh(g)
c). Mg(k) d). Mh(k)
Jawab:
a).
Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) = h’,
maka h’ adalah sebuah garis.
Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, Og dan Oh.
Karena Og maka Mg(O) = O
Jadi h’ akan melalui titik O(0,0)
Ambil sebarang titik di h, misal A(1,1), maka h’ juga akan melalui A’ = Mg(A).
A(x,y)
gM
 A’(x,-y) , g = {(x,y) | y = 0}
Jadi, A(1,1)
gM
 A’(1,-1)
Jadi, garis h’ melalui titik O(0,0) dan A’(1,-1)
1
g: y=0
h’: y=-x
h: y=x
Y
X
A(1,1)
A’(1,-1)

14. Persamaan garis h’:
01
0
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
01
0



x
xy 
Jadi, h’ = {(x,y) | y = -x}.
b).
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(g) = g’,
maka g’ adalah sebuah garis.
Titik O(0,0) merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, Og dan Oh.
Karena Oh maka Mh(O) = O
Jadi g’ akan melalui titik O(0,0)
Ambil sebarang titik di g, misal C(1,0), maka g’ juga akan melalui C’ = Mh(g).
C(x,y)
gM
 C’(y,x)
Jadi, C(1,0)
gM
 C’(0,1)
Jadi, garis g’ melalui titik O(0,0) dan C’(0,1)
Persamaan garis g’:
01
0
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
00
0



x
0 x
Jadi, g’ = {(x,y) | x = 0}.
c).
Y
X = g:y=0
h: y=x
C’(0,1)
C(1,0)
g’: x=0
Og:y=0
B(2,
1
2
)
P(2,0)
k : x=2Y
X
B’(2,-
1
2
)
k'

15. Karena Mg sebuah refleksi pada g maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(k) = k’,
maka k’ adalah sebuah garis.
Titik P(2,0) merupakan titik potong antara garis g dan k.
Jadi, Pg dan Pk.
Karena Pg maka Mg(P) = P, maka k’ akan melalui titik P(2,0)
Ambil sebarang titik di k, misal B(2,
2
1
), maka k’ juga akan melalui B’ = Mg(B).
B(x,y)
gM
 B’(x’,y’) = B’(x,-y)
Jadi, B(2,
2
1
)
gM
 B’(2,-
2
1
)
Jadi, garis k’ melalui titik P(2,0) dan B’(2,-
2
1
)
Jadi, k’ = k = {(x,y) | x = 2}.
d).
Karena Mh sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mh(k) = k’
, maka k’ adalah sebuah garis.
Titik A(2,2) merupakan titik potong antara garis h dan k.
Jadi, Ah dan Ak.
Karena Ah maka Mh(A) = A
Jadi k’ akan melalui titik A(2,2)
Ambil sebarang titik di k, misal B(2,0), karena h: y = x maka Mh(B) = (0,2) = B’.
k’: y=2
Y
XB(2,0)
A(2,2)B’(0,2)
k: x=2 h: y=x

16. Jadi k’ melalui A dan B’
Persamaan garis k’:
22
2
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
02
0



x
2 y
Jadi, g’ = {(x,y) | y=2}.
8. Jika g = {(x,y) | y = x} dan h = {(x,y) |y = 3 – 2x}, tentukan persamaan garis Mg(h).
Jawab:
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h)=h’,
maka h’ adalah sebuah garis.
Titik A merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, Ag dan Ah.
Karena Ag maka Mg(A) = A
Jadi h’ akan melalui titik A
Ambil titik B(0,3) dan C(
2
3
,0) karena g: y = x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’.
Jadi h’ melalui B’ dan C’
Persamaan garis h’:
0
2
3
0
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
30
3



x
2
9
2
3
3  xy
936  xy
0963  yx
Y
X
g: y=x
C’(0, )
B(0,3)
C( ,0)
B’(3,0)
A

17. Jadi, h’ = {(x,y) | 0963  yx }.
9. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}, selidikilah apakah A(-2,-4) terletak
pada garis h’ = Mg(h).
Jawab:
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h)=h’ ,
maka h’ adalah sebuah garis.
Titik D merupakan titik potong antara garis g dan h.
Jadi, Dg dan Dh.
Karena Dg maka Mg(D) = D
Jadi h’ akan melalui titik D
Ambil titik B(-3,0) dan C(0,1) karena g: y = - x maka Mg(B) = B’ dan Mg(C)=C’.
Jadi h’ melalui B’ dan C’
Persamaan garis h’:
03
0
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
)1(0
)1(



x
3)1(  xy 33  xy
Jadi, h’ = {(x,y) | 33  xy }
Akan diselidiki apakah A(-2,-4) terletak pada garis h’ = Mg(h)
Substitusikan A(-2,-4) pada h’: y = 3x + 3
Maka h’ : -4 = 3(-2) + 3
-4 = -3 ( pernyataan yang salah)
Diperoleh A(-2,-4) tidak memenuhi persamaan h’: y = 3x + 3, artinya A(-2,-4) tidak
terletak pada garis h’ = Mg(h)
10. Diketahui lingkaran l=       432:,
22
 yxyx
Y
XB(-3,0) C’
C(0,1)
B’(0,3)
D
g: y=-x
h: 3y=x+3

18. T sebuah isometri yang memetakan titik A(2,3) pada A’(1,-7). Tentukan persamaan
himpunan T(l). Apakah peta l juga lingkaran?
Jawab:
l =       432:,
22
 yxyx
A’=T(A) dengan A(2,3) dan A’(1,-7).
L adalah lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari=2.
Karena A adalah pusat lingkaran l, maka A’=(1,-7) adalah pusat lingkaran l’=T(l).
Sehingga T(l)=l’=       471:,
22
 yxyx
Peta l yaitu l’ adalah lingkaran karena isometri T mengawetkan besarnya sudut yaitu
360o
.
11. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga g’=Mk(g), dan h’=Mk(h). Apabila g’//h’
buktikan bahwa g//h.
Jawab:
Dipunyai g’//h’.
Adt g//h
Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri Mk mengawetkan
kesejajaran 2 garis, diperoleh g’ tidak sejajar dengan h.
Padahal dipunyai g’//h’, maka pengandaian harus dibatalkan.
artinya, g//h.
12. Diketahui garis-garis g, h, dan h’ sehingga h’=Mg(h). Apakah ungkapan-ungkapan di
bawah ini benar?
a) Jika h’//h, maka h//g.
b) Jika h’=h maka h=g.
c) Jika h’ h={A}, maka A g.
Jawab:
a) Benar
b) Benar
c) Benar
gh’ h
h
h’
g
h
A
h'
g

19. 13. Buktikan sifat berikut: Apabila g h maka Mh(g)=g. Apakah ini berarti bahwa apabila
P g maka Mh(P)=P?
Jawab:
Dipunyai g h.
Adt Mh(g)=g.
Karena Mh mengawetkan besarnya dua sudut yaitu sudut antara g dan h sebesar 90o
,
maka sudut antara g’ dan h juga 90o
. Sehingga g’ merupakan pelurus g. Jadi, g’ berimpit
dengan g sehingga Mh(g)=g.
Kasus I. P g, P h maka Mh(P)=P.
Kasus II. P g, Ph. Karena Mh isometri maka OP=OP’. Diperoleh P=P’.Jadi, Mh(P)
P.
15. Jika g = {(x,y) | y = 2x + 3} dan h = {(x,y) |y = 2x + 1}, tentukan persamaan garis h’ =
Mg(h).
Jawab:
Karena Mg sebuah refleksi pada h maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan Mg(h) = h’
, maka h’ adalah sebuah garis.
Titik A(-
2
1
,0 ) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu X.
Titik B(0,1) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.
Titik C(-
2
3
,0 ) merupakan titik potong antara garis g dengan sumbu X.
P
h
gP’
P
h
gP’
Y
X
D(0,3)
C
,1)
A(−
1
2
, 0)
B(0,1)
h: y=2x+1
g: y=2x+3
h’
E
F

20. Titik D(0,3) merupakan titik potong antara garis h dengan sumbu Y.
Sehingga AC =1, BD =1
Diperoleh h’ memotong sumbu X di titik F(-
2
5
,0)
h’ memotong sumbu Y di titik E(0,5)
Persamaan garis h’ melalui F dan E sehingga persamaan g’:
05
0
12
1
12
1







 y
xx
xx
yy
yy
)
2
5
(0
)
2
5
(



x
)
2
5
(5
2
5
 xy 25105  xy
052  xy
Jadi, h’ = {(x,y) | 052  xy }
16. Suatu transformasi T ditentukan oleh T(P)=(x+1,2y) untuk semua P(x,y).
a) Jika A(0,3) dan B(1,-1) tentukan A’=T(A) dan B’=T(B). Tentukan pula persamaan
AB dan ''BA .
b) Apabila C(c,d) AB selidiki apakah C’=T(C) AB
c) Apabila D’(e,f) AB selidiki apakah D AB dengan D’=T(D).
d) Menurut teorema, disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometric maka
peta sebuah garis adalah suatu garis. Apakah kebalikannya benar?
Jawab:
T(P)=(x+1,2y) P(x,y)
a) A(0,3), B(1,-1)
A’=T(A)=(0+1,2x3)=(1,6)
B’=T(B)=(1+1,2x(-1))=(2,-2)
034
441
1
1
4
1
10
1
)1(3
)1(
12
1
12
1



















xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
AB

21. 0148
1682
1
2
8
2
21
2
)2(6
)2(
''
12
1
12
1



















xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
BA
b) C(c,d) AB
Akan diselidiki C’=T(C) ''BA
Karena A’=T(A), B’=T(B), maka ''BA merupakan peta dari AB .
Sehingga jika C AB maka C’=T(C) ''BA
c) D’(e,f) AB diselidiki apakah D AB dengan D’=T(D).
Karena ''BA merupakan peta AB maka jika D’ AB pasti D AB .
d) Dipunyai h’ adalah garis.
Akan ditunjukkan h adalah garis dengan h’=T(h).
Andaikan h bukan garis maka h’=T(h) bukan garis.
Padahal dipunyai h’ garis.
Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya, h suatu garis .
Jadi, jika h’ garis maka h juga garis dengan h’=T(H).
18. Ada berapa refleksi garis dengan sifat berikut:
a) Sebuah segitiga sama kaki direfleksi pada dirinya sendiri?
b) Sebuah persegi panjang direfleksi pada dirinya sendiri?
c) Sebuah segiempat beraturan direfleksi pada dirinya sendiri?
Jawab:
a) 1 refleksi
b) 2 refleksi
c) 4 refleksi

23. SOAL HALAMAN 47
1. Pada gambar 4.10, ada tiga titik tidak segaris, yaitu P, Q, R; T dan S adalah isometri-
isometri dengan P’
= T(P), Q’
= T(Q), R’
= T(R) sedangkan P’’
= S(P), Q’’
= S(Q), R’’
=
S(R). Termasuk golongan manakah T dan S itu?
Jawab :
Jadi :
T merupakan isometri lawan dan S merupakan isometri langsung.
2.Isometri T memetakan A pada X; B pada Y dan C pada Z. Apabila T sebuah isometri
lawan tentukan titik Z.
3. Sebuah isometri S memetakan D pada W, E pada Z dan F pada U. Apabila S sebuah
isometri langsung, tentukan U.
Jawab:
P
Q
R
P’
R’
Q’
R’’
Q’
’
P’’
P
Q
R
P’
R’
Q’
R’’
Q’
’
P’’
D Z
W
F
E
B
A
C
Y
X
Z

24. 4. Diketahui sebuah titik A dan dua transformasi T dan S yang didefinisikan sebagai berikut:
T(A)=A, S(A)=A. Jika P  A, T(P)=P’ dan S(P)=P’’. P’ adalah titik tengah ruas garis
AP sedangkan A titik tengah ''PP . Termasuk golongan manakah masing-masing
trnsformasi S dan T itu?
Jawab:
T(A)=A, S(A), jika P  AT(P)=P’,S(P)=P”
Ilustrasi:
Dari gambar diperoleh S isometri berlawanan karena APPA "
Dan T isometri langsung karena APPA '
5. Tentukan koordinat-koordinat titik P pada sumbu X sehingga BPXAPO  .
Diketahui bahwa A=(0,3) dan B=(6,5).
Jawab:
A=(0,3) dan B=(6,5).
Misal P(x,0)
6. Sebuah sinar mamancar dari titik A(6,4) dan diarahkan ke titik P(2,2) pada sebuah
cermin yang digambar sebagai garis g = {(x,y) |y = x}. Ada sebuah garis h = {(x,y) |x =
-1}. Sinar yang dipantulkan memotong garis h pada sebuah titik Z. Tentukan koordinat-
koordinat titik Z.
Jawab:
PA P’P”
Y
g; y=x
A(6,4)
A’
Koordinat A’(4,6)
Persamaan sinar A’P
βα
6-xx P
B(6,5)
A(0,3)
Agar maka,
Jadi, agar maka
P(9/4,0)
6
5
Y
X

25. 7. Diketahui garis-garis g dan h dan titik-titik P dan R.
Diketahui bila bahwa P’=Mg(P), P”=Mh(P’), R’=Mg(R), dan R”=Mh(R).
a. Lukislah P’ dan R”
b. Bandingkan jarak PR dan P”R”
Jawab:
a.
b. Karena PR = P’
R’
(isometri mengawetkan jarak)
Maka jarak P’
dengan h = jarak P’’
dengan h
Jarak R’
dengan h = jarak R’’
dengan h
Jadi jarak P’
R’
= jarak P’’
R’’
Karena jarak PR = jarak P’
R’
dan jarak P’
R’
= jarak P’’
R’’
, maka jarak PR = jarak
P’’
R’’
.
8. Diketahui bahwa T dan S adalah padanan- padanan sehingga untuk semua titik P berlaku
T(P) = P’ dan S(P’) = P’’.
W adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk semua P sebagai W(P) = P’’.
Apakah W suatu transformasi?.
P
R
h
g
R’
P”
P’
R”

26. Jawab:
W suatu fungsi sehingga  titik P  P”S W(P) = P”.
 Ditunjukkan W surjektif
Pikirkan sebarang titik A(x,y)
Jelas A(x,y)
T
 A’(x’,y’)
S
 A”(x”,y”), atau
A(x,y)
W
 A”(x”,y”)
Jadi,  titik A A”S W(P) = P”.
Jadi, W surjektif.
 Ditunjukkan W injektif
Pikirkan sebarang titik B(x,y) dan C dengan B≠C.
Jelas B
W
 B” = W(B)
C
W
 C” = W(C) , dengan W(B) ≠ W(C)
Jadi,  titik B dan C dengan B ≠ C berlaku W(B) ≠ W(C).
Jadi, W injektif.
Jadi, karena W surjektif dan injektif maka W merupakan transformasi.
9. R adalah suatu transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P( 𝑥, 𝑦)sebagai
R( 𝑃)=(−𝑦, 𝑥)
a) Selidiki apakah R suatu isometri
b) Jika R sebuah isometri, apakah isometri langsung atau isometri lawan?
Jawab :
R transformasi
∀ P( 𝑥, 𝑦), R( 𝑃)=(−𝑦, 𝑥)
a) Apakah R isometri
Ambil P1( 𝑥, 𝑦), P2( 𝑎, 𝑏)
R(P1)=(−𝑦, 𝑥)=𝑃1
′
R(P2)=(−𝑎, 𝑏)=𝑃2
′
Akan ditunjukkan P1P2= 𝑃1
′
𝑃2
′
P1P2=√( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
= √𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2
𝑃1
′
𝑃2
′
= √(−𝑦 − (−𝑏))
2
+ ( 𝑥 − 𝑎)2
= √(−𝑦 + 𝑏)2 + ( 𝑥 − 𝑎)2
= √𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 + 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

27. = √𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2
Diperoleh P1P2= 𝑃1
′
𝑃2
′
Jadi, R mengawetkan jarak, sehingga R merupakan isometri.
b) Apakah R isometri langsung atau isometri lawan
Ambil sebarang titik P, Q, S tidak segaris.
Misalkan P( 𝑎, 𝑏), Q( 𝑐, 𝑑), dan S( 𝑒, 𝑓).
Maka 𝑃′
(−𝑏, 𝑎), 𝑄′
(−𝑑, 𝑐), dan 𝑆′
(−𝑓, 𝑒) dengan R( 𝑃)=𝑃′
, R( 𝑄)=𝑄′
, dan R( 𝑆)=𝑆′
10. Diketahui sebuah garis g dan titik A, A’ dan B sehingga Mg(A) = A’ dan garis

AB // g.
Dengan menggunakan suatu penggaris saja tentukan titik B’ = Mg(B)
Jawab:
g
B’
BA
A’
X
Y
𝑄′
(−𝑑, 𝑐)
𝑃′
(−𝑏, 𝑎)
Q( 𝑐, 𝑑)
𝑆′
(−𝑓, 𝑒)
P( 𝑎, 𝑏)
S( 𝑒, 𝑓)