Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan

1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB XIV
TRANSFORMASI KESEBANGUNAN
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015

2. TRANSFORMASI KESEBANGUNAN
1. Definisi dan Sifat-sifat
Kita telah mempelajari macam-macam transformasi yang berupa suatu
isometri, yaitu suatu transformasi yang mengawetkan jarak.
Dalam bab ini, kita akan mempelajari transformasi yang mengubah jarak.
Transformasi demikian dinamakan suatu transformasi kesebangunan (bahasa
Inggris similitude).
Definisi suatu transformasi T adalah transformasi kesebangunan (atau
disingkat kesebangunan) apabila ada sebuah konstanta k > 0 sehingga untuk
setiap pasang titik P, Q, = kPQ dengan T(P) = P’dan T(Q) = Q’
Apabila k = 1, maka transformasi tersebut adalah sebuah isometri.
Teorema 14.1 sebuah kesebangunan T
1) memetakan garis pada garis
2) mengawetkan ukuran sudut
3) mengawetkan kesejajaran
Bukti :
1) Andaikan t sebuah garis, misalkan A  t, B  t, dua titik berbeda. Akan
dibuktikan bahwa T(t) = A’B’, untuk itu akan dibuktikan T(t)  A’B’ dan
A’B’  T(t). Pilihlah sebuah titik P  t. Apabila P terletak antara A dan B
maka AP + PB = AB. Jika A’ = T(A), B’ = T(B), P’ = T(P) maka
A’P’ + P’B’ = k(AP) + k(PB) (menurut definisi)
= k(AP+PB)
= k.AB
Menurut definisi A’B’ = kAB maka A’P’ + P’B’ = A’B’. Jadi P’ terletak
antara A’B’, yang berarti bahwa A’, P’, B’ segaris. Dengan cara yang
serupa, uraian di atas berlaku pula untuk A antara P dan B atau B antara A
dan P. Jadi P’  A’B’ atau T(P)  A’B’. Karena ini berlaku untuk setiap
P  AB = t, maka T(t)  A’B’. Untuk bagian yang kedua, pilihlah sebuah

3. titik Q’  A’B’. Oleh karena T sebuah transformasi, jadi surjektif maka
ada Q sehingga Q’ = T(Q).
Andaikan Q’ letaknya antara A’ dan B’. Jadi A’Q’ + Q’B’. Apabila Q  t
maka AQ + QB > AB, jadi k (AQ) + k(QB) > k(AB). Sehingga A’Q’ +
Q’B’ > A’B’. Ini berlawanan dengan A’Q’ + Q’B = A’B’. Jadi haruslah Q
 t. Bukti serupa untuk A’ antara Q’ dan B’ dan B’ antara A’ dan Q’.
Dengan demikian maka A’B’  T(t).
Jadi T(t) = A’B’
2) Andaikan diketahui ABC dan T(ABC) = A’B’C’
Maka A’B’ = k(AB), B’C’ = k(BC), A’C’ = k(AC).
Sehingga A’B’C’  A’B’C = ABC
Akibat dari sifat di atas ialah bahwa oleh kesebangunan T, dua garis yang
saling tegak lurus tetap tegal lurus.
3) Andaikan T suatu kesebangunan dan andaikan ada dua garis l dan m
dengan l//m. Andaikan T(l) memotong T(m) di sebuah titik A', maka ada
A  l sehingga T (A)  T(l) dan T(A)  T(m), jadi A  l dan A  m. ini
berarti l dan m berpotongan. ini bertentangan dengan pengandaian bahwa
l//m.
Dalam mempelajari isometri-isometri, reflexi-lah adalah isometri dasar. anda
masih ingat tentunya bahwa setiap isometri dapat ditulis sebagai hasilkali dari
tiga reflexi paling banyak. untuk transformasi kesebangunan transformasi
dasarnya adalah suatu perbaikan atau dilasi (dalam bahasa inggris dilation).
Definisi diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif r. suatu dilasi D
dengan faktor skala r dan pusat A adalah padanan yang bersifat.
1) D(A) = A
2) Jika P  A, P' = D(P) adalah titik pada sinar AP sehingga AP' = r(AP). ( ini
setara dengan mengatakan bahwa AP' = rAP). dilasi dengan pusat A dan
faktor skala r ini dilambangkan dengan DA.r'
Akibat I DA.r' adalah suatu kesebangunan.
Untuk membuktikan ini akan dibuktikan dua hal, yaitu
1) DA.r' adalah suatu transformasi

4. 2) Jika P, Q dua titik pada bidang yang berbeda maka P'Q' = r(PQ), dengan P'
= DA.r' (P) dan Q' = DA.r' (Y)
1) Andaikan ada dua titik X dan Y dengan X' = DA.r' (X) dan Y' = DA.r' (Y)
dan andaikan X' = Y'. Jadi X'Y' = 0. Oleh karena X'Y' = r(XY) dan r > 0
maka XY = 0. Ini berarti X = Y. jadi DA.r' injektif.
Andaikan Y sebarang titik. andaikan pula X sebuah titik pada sinar AY
sehingga AX = r(AY). Jadi DA.r' (X) = Y sebab AY=(AX). jadi setiap titik
Y memiliki prapeta. dengan demikian DA.r' suryektif sehingga terbukti
bahwa DA.r' adalah sebuah transformasi.
2) a) Jika P=A maka P' = A' = A. sehingga P'Q' =AQ'=r(PQ).
b) Jika Q  AP, andaikan P' terletak antar A dan Q sehingga AP+ PQ=
AQ. Jadi AP < AQ dan r(AP) < r(AQ), maka AP' < AQ'. Ini berarti P'
terletak antara A dan Q', sehingga,
AP’ + P’Q’ = AQ’
P'Q' = AQ' – AP'
= r(AQ) – r(AP)
= r(AQ-AP) = r(AQ)
c) Andaikan A, P, Q tidak segaris. karena AP' = r(AP) dan AQ' = r(AQ),
maka
AQ
AQ
AP
AP ''

Sehingga AP'Q'  APQ. Jadi .
'''
r
AP
AP
PQ
QP

Maka untuk setiap pasang titik P, Q, akan kita peroleh P'Q' = r(PQ).
Jadi dapat dikatakan bahwa setiap dilasi adalah suatu kesebangunan.
Akibat II Jika g sebuah garis dan g' = D A.r (g) maka g' = g apabila A  g dan
g'//g apabila A  g.
1) Andaikan A  g maka DA.r(A)= A'  g'.

5. Andaikan B  g dan B  A, DA.r (B) = B' dan B'  g', tetapi menurut
ketentuan dari DA.r' B' terletak pada sinar AB  g. sehingga B'  g. Jadi A
 g => A  g dan B  g => B’  g.
Ini berarti g = g'
2) Andaikan A  g. Misalkan B  g dan C  g, maka B' = DA.r' (B), C' =
DA.r' (C) sehingga B'  g, C'  g'.
Karena AB' = r(AB), AC' = r(AC), maka B'C' = g'//g, sebab
AC
AB
AC
AB

'
'
2. Hasil kali Transformasi dengan Dilasi
Andaikan P = (x,y) dan andaikan ada dilasi D0,r'. Kita hendak mencari
koordinat-koordinat P' = D0,r'(P).
P' terletak pada sinar OP sehingga OP' = rOP. Jadi jika P' = (x',y') maka x'
= rx dan y' = ry. Sehingga P' = (rx,ry)
Sekarang andaikan A = (a,b) dan diketahui dilasi DA.r'. Kalau P" = (x",y")
dengan DA.r(P) = P" sedangkan P = (x,y). Apakah hubungan antara x", y", x,
dan y?
Untuk ini kita lakukan translasi GAQ' kemudian dilasi D0,r, disusul dengan
translasi Q0A, maka kita dapat menulis
DA.r = G 0AD0,rGA0
Jadi untuk P = (x,y) kita peroleh berturut-turut:
DA.r[(x,y)] = G0AD0rGA0 [(x,y)] =
= G0AD0r[(x-a,y-b)]
= G0A[r(x-a,r(y-b)]
= [r(x-a)+a,r(y-b)+b]
= [rx+a(1-r),ry+b(1-r)]
Dengan demikian dapat dikatakan
Teorema 14.2. Apabila DA,r sebuah dilasi dengan A = (a,b) dan P = (x,y),
maka DA.r (P) = [rx+a(1-r), ry+b(1-r)].

6. Sebaliknya: padanan T'(P) = (rx+c,ry+d) untuk P = (x,y) dengan r>0 dan r1
adalah suatu transformasi dan merupakan suatu dilasi. Pusat dilasi ini dapat
ditentukan sebagai berikut. Kita tulis T(P) =
   









 r
r
d
ryr
r
c
rx 1
1
1
1
Dengan demikian pusat dilasi tersbeut adalah titik A = 





 r
d
r
c
1
,
'1
Teorema 14.3 Hasilkali dua dilasi adalah sebuah dilasi
Bukti : Andaikan diketahui dilasi DAr dan DB,S
Kita pilih sebuah sistem koordinat ortogonal dengan AB sebagai sumbu –x
dan titik asal kita pilih di A. Andaikan B = (b,0) dan A = (0,0).
Jika P = (x,y) maka DA,r (P) = (rx,ry) dan DB,S (P) = [sx+b(1-s), sy]
Jadi DB,S.DA,r(P) = DB,S[rx,ry]
= [s(rx) + b(1-s), s(ry)]
Apabila rs  1, kita dapat menulis:
DB,S. DA.r (P) = [(rs)x +
 
rs
sb


1
1
(1-rs),(rs)y]
Jadi hasilkali DB,S. DA.r adalah suatu dilasi dengan pusat C =
  )0,
1
1
(
rs
sb


Sehingga hasilkali dilasi berpusat di C dengan faktor skala rs. Kalau rs = 1 dan
A  B maka b  0; kalau P = (x,y) kita peroleh.
DB,S. DA.r (P) = [x+b(1-s),y]
Ini berarti bahwa DB,S. DA.r adalah suatu translasi dengan arah yang sejajar
dengan garis AB.
Akibat 1 jadi kalau DD,r dan DB.S dengan DB,S. DA.r adalah sebuah dilasi DC,rs
dengan C  AB apabila rs  1.
Apabila rs = 1 maka hasilkali dua dilasi itu adalah suatu translasi yang sejajar
dengan AB.
Akibat 2 jika diketahui DA.r dan DA.s maka DA.s.DA.r adalah suatu dilasi
dengan skala faktor rs, jika rs  1.

7. Apabila rs = 1 maka hasilkali ini adalah transformasi identitas.
Akibat 3 Untuk sebuah dilasi DA.r berlaku D-1
A.r = DA.1/r
Apabila diketahui dua dilasi DA.r dan DB.S bagaimana menentukan pusat dilasi
hasilkali dua dilasi tersebut?
Untuk ini misalkan P' = DB.S. DA.r (P) = DC,rs (P) menurut uraian di atas C
AB dan C  PP. Jadi C adalah titik potong AB dan PP'; disini P dapat
dipilih sembarang kemudian P'.
Di atas telah kita buktikan, bahwa hasilkali dua dilasi adalah suatu dilasi atau
suatu translasi.
Apabila suatu dilasi dikalikan dengan sebuah reflexi atau rotasi maka
hasilkalinya bukan suatu dilasi atau suatu isometri. Mengenai ini dapat
dituangkan sebuah.
Teorema 14.4 : Hasilkali sebuah dilasi dan sebuah isometri adalah sebuah
kesebangunan.
Bukti: Sebuah isometri adalah sebuah kesebangunan dengan skala 1. Hasilkali
dua kesebangunan adalah kesebangunan. Dengan demikian maka hasilkali
suatu dilasi dan suatu isometri adalah suatu kesebangunan.
Akibat : Jadi pada umumnya hasilkali suatu reflexi dan suatu dilasi atau
hasilkali suatu rotasi dan suatu dilasi adalah sebuah kesebangunan.
Contoh: Buktikan bahwa garis-garis berat sebuah segi-3 melalui satu titik.
Bukti:

8. Andaikan M titik tengah AC dan N titik tengah BC. Andaikan X titik pada AN
sehingga AX = 2(XN) dan Y  BM sehingga BY = 2(YM). Kita akan
membuktikan bahwa X = Y. Berturut-turut diperoleh.
X = DA.2/3(N), N = DB1/2(C)
Jadi X = DA.2/3(N), N = DB1/2(C).
Sedangkan D-1
A,2/ 3= DA.3/2 dan D-1
B.1/2 = D-1
B.1/2 = DB.2
Jadi C = DB.2 DA.3/2 (C). Maka
Y = D2/3 DA.1/2 DB.2 DA.3/2 (X)
DB.2/3 = DB.1/3 DB.2
DA.3/2 = DA.1/2 DA.3
Maka: Y = (DB.1/3DB.2) DA.1/2 DB.2 (DA.1/2 DA.3) (X)
= DB.1/3(DB.2DA.1/2) (DB.2DA.1/2) (DA.3) (X)
= DB.1/3SB.ASBADA.3 (X)
= DB.1/3SB.ADA.3 (X)
= DB.1/3(DB.3DA.1/3) DA.3 (X)
DB.2/3 = DB.1/3DB.2
DA.2/3 = DA.1/2DA.3
Maka: Y = (DB.1/3DB.2) DA.1/2DB.2 (DA.1/2DA.3) (X)
= DB.1/3(DB.2DA.1/2) (DB.2DA.1/2) (DA.3) (X)
= DB.1/3SB.ASB.ADA.3 (X)
= DB.1/3SB.ADA.3 (X)
= DB.1/3(DB.3DA.1/3) DA.3 (X)

9. = (DB.1/3DB.3) (DA.1/3DA.3) (X)
= X
Dengan cara yang serupa, kalau Z  CK, K titik tengah AB sedangkan CZ =
2/3 CK atau CZ = 2ZK, maka Z = X.
Seperti halnya mengenai isometri yang mengatakan bahwa setiap
isometri adalah hasilkali dari paling banyak tiga reflexi dan apabila ada dua
segi-3, ABC  XYZ, maka ada tepat satu isometri yang memetakan A pada
X, B pada Y dan C pada Z, adapula sifat di atas mengenai kesebangunan,
sebagai berikut:
Teorema 14.5 : Andaikan maka ada tepat satu
kesebangunan T sehingga T(A) = X, T(B) = Y, T(C) = Z.
Bukti : Kita akan membuktikan dua hal, yaitu
1) Eksistensi kesebangunan itu
2) Ketunggalan kesebangunan itu.
1) Oleh karena maka ada k > 0 sehingga XY = k.AB, YZ
= k.BC, XZ = k.AC. Buatlah DA.k sehingga Da.k =
Maka A’B’ = k.AB, B’C’ = k.BC, dan A’C’ = k.AC
Jadi
Berdasarkan atas eksistensi isometri, maka ada isometri M sehingga
M(A’) = X, M(B’) = Y, M(C’) = Z.
Jika hasil kali M.DA.k = T, maka T adalah suatu kesebangunan dan T(A)
= X, T(B) = Y, dan T(C) = Z.
2) Andaikan ada kesebangunan lain, S misalnya sehingga S =
Kita akan membuktikan bahwa S = T. Untuk ini kita ambil sebuah titik P
sebarang dan akan diperlihatkan bahwa S(P) = T(P).Misalkan P” = T(P),
A” = T(A), B” = T(B), C” = T(C) dan
P’ = S(P), A’ = S(A), B’ = S(B), C’ = S(C).
Oleh karena T dan S adalah kesebangunan maka
A”P” = XP” = kAP dan

10. A’P’ = XP’ = kAP
Jadi P” dan P’ terletak pada sebuah lingkaran L1 dengan pusat X dan
berjari – jari kAP. Tetapi P” dan P’ juga terletak pada L2 dengan pusat Y
dan berjari – jari kAB dan terletak pada L3 dengan pusat Z dan berjari –
jari kCP. Jadi
Oleh karena ketiga lingkaran itu bersekutu pada paling banyak satu titik.
Jadi P’ = P”. Sehingga terbukti bahwa S = T.
Teorema 14.6 : Setiap kesebangunan dapat ditulis sebagai hasil kali sebuah
dilasi dan tidak lebih dari tiga reflexi garis.
Bukti: Andaikan ada tiga titik A, B, C yang tak segaris dan andaikan T sebuah
kesebangunan dengan faktor skala k. Andaikan
A" = T(A), B" = T(B), C" = T(C)
Perhatikan sebuah dilasi DA.k sehingga
A'B'C' = DA.k (ABC)
Jadi A'B'C'  A"B"C"
Maka ada tepat satu isometri M yang memetakan A'B'C' pada A"B"C",
sehingga dapat ditulis
M (A'B'C') = A"B"C"
Maka M. DA.k ((A'B'C') = A"B"C"
Dengan demikian menurut teorema sebelumnya dapat dikatakan bahwa T
= M. DA.k Karena M sebagai suatu isometri dapat dinyatakan sebagai hasilkali
paling banyak tiga reflexi garis, maka akhirnya terbuktilah teorema di atas.
Akhirnya kita dapat mengemukakan definsi berikut:
Definisi: Dua himpunan titik-titik dinamakan sebangun, apabila ada suatu
kesebangunan yang memetakan himpunan yang satu pada himpunan yang
lain.

11. Tugas:
1. Diketahui titik-titik A, P, Q, yang tak segaris. Lukiskan DA.r(P), DA.r(Q).
2. Diketahui A, P, Q segaris pada g dan R  g. Lukislah DA.k(R) apabila;
a) DA.k(Q) = P b) DA.k(P) = Q
3. Diketahui ABC, K di luar ABC, I di dalam ABC.
Lukislah; a) DA.4/3(ABC) b) D2/3(ABC)
4. a) Jika DA.r suatu dilasi, apakah D-1
A.r?
b) Jika DA3/4 (P) = K, nyatakanlah P dengan K
c) Sederhanakanlan (DA.2)3
.
5. Diketahui ABC dan sebuah titik F di luar ABC.
a) Lukislah A'B'C' = DF.r(ABC) sehingga C  A'B'
b) Lukislah A"B"C" = DF.r(ABC) sehingga luas (A"B"C") = 3 x luas
(ABC)
Jawaban Tugas
1. Diketahui titik-titik A, P, Q, yang tak segaris. Lukiskan DA.r(P), DA.r(Q).
Jawab :
A
DA,R (P)
DA,R (Q)
P
Q

12. 2. Diketahui A, P, Q segaris pada g dan R  g. Lukislah DA.k(R) apabila
a. DA.k(Q) = P
b. DA.k(P) = Q
3. Diketahui ABC, K di luar ABC, I di dalam ABC. Lukislah:
a) DA.4/3(ABC)
A
Q DA.K(Q) = P
R
DA.K(R)
A
P DA.K(P) = Q
R
DA.K(R)
A
.K
.I
B C
B’ C’
DA.4/3(ABC)= ∆AB’C’

13. b) DK.2/3(ABC)
4. a. DA.r . D-1
A.r1 = 1
r1 = 1/r
DA.r1 merupakan suatu dilatasi.
b. DA.3/4(P) = K
DA.r.DA.3/4(P) = DA.r(K)
1 . P = DA.r(K)
r . ¾ = 1
r = 4/3
P = DA.4/3 (K)
c.
5.
.K
A
B
C
B’ C’
A’
DA.2/3(ABC)= ∆A’B’C’
A P DA.2 (DA.2)3
A’
A B
B’
F
C
C’
taL 
2
1
taL 
2
1
33
ta
2
3

14. Tugas:
1) Diketahui titik-titik A, B, P yang tak segaris
a) Lukislah P' = DA.1/2DB.3 (P)
b) Lukislah P" = DB.3DA.1/2 (P)
c) Jika DC.r = DA.1/2DB.3 lukislah C dan tentukan r.
2) Diketahui titik-titik E, F, P yang tak segaris
a) Lukislah P' = DF.3/2DE.2/3 (P)
b) Lukislah P" = DE.2/3DF.3/2 (P)
c) Nyatakan PP" dan PP' dengan jarak a = EF
3) Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P
a) Lukislah P' = DC.2SA.B (P)
b) Lukislah P" = SA.BDC.2 (P)
c) Tentukan semua titik X sehingga DC.2SA.B (X) = X
4) Diketahui A = (1,3) dan P = (x,y)
a) Tentukan DA.3/4 (P)
b) Jika g = {(x,y) 2x+y=8} tentukan persamaan himpunan DA.3/4 (g)
5) Diketahui sebuah transformasi T. Jika P = (x,y) dan T(P) = {(x',y')  x' = 3x
+7, y' = 3y-9}. Tentukan jenis transformasi T.
6) Diketahui A = (1,2) dan B = (4,10). Gunakan dilasi yang tepat untuk
menentukan,
a) Koordinat-koordinat E dengan E  AB dan AE =
5
2
AB
b) Koordinat-koordinat F pada AB dan BF = 3AB.
7) Tentukan ABC dengan A = (0,2), B = (6,0) dan C = (8,10). Jika G titik berat
ABC tentukan koordinat-koordinat titik-titik sudut SGDG.1/2 (ABC).
Jawaban Tugas :
1. Diketahui titik-titik A, P, Q yang tak segaris.
Lukislah DA,r (P), DA,r (Q)
2. Diketahui titik-titik E, F, P yang tak segaris.
a). Lukislah P’ = DA.1/2 DB.3 (P)

15. A
B P DB.3 (P)
b). Lukislah P”= DB.3 DA.1/2 (P
A P”= DB.3 DA.1/2 (P)
B
P
3. Diketahui titik-titik E, F, P yang tak segaris.
a). Lukislah P’ = DF.3/2 DE.2/3 (P)
E F
b) Lukislah P” = DE.2/3 DF.3/2 (P)
DF.3/2 (P)
E F

16. 4. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P.
a). Lukislah P’ = DC.2 SAB (P)
B”
B
b). Lukislah P’ = SAB DC.2 (P)
A’
6. Diketahui A = (1,2) dan B = (4,10).
Gunakan dilasi yang tepat untuk menentukan :
a). Koordinat-koordinat E dengan E є AB dan AE = 2/5 AB
Penyelesaian:
Misalkan E  AB dan AE = 2/5 AB
Maka dapat dicari koordinat E dengan menggunakan rumus
DA.r (B) = [rx + a(1-r), ry + b(1-r)]
Diperoleh DA.2/5(4,10) = [(2/5)4 + 1(1-2/5), (2/5)10 + 2(1-2/5)]
= [(8/5) + (3/5), (20/5) + (6/5)]
= [11/5, 26/5]
Jadi koordinat-koordinat di E adalah (11/5, 26/5)
b). Koordinat-koordinat F pada AB dan BF = 3 AB
Penyelesaian:
Misalkan F  AB dan BF = 3AB
Diperoleh DA.3(4,10) = [3.4 + 1(1-3), 3.10+ 2(1-3)]

17. = [12-2, 30-4]
= [10, 26]
Jadi koordinat-koordinat di F adalah (10, 26).
7. Diketahui ∆ABC dengan A = (0,2), B = (6,0) dan C = (8,10).
Jika G titik berat ∆ABC
Tentukan Koordinat-koordinat titik-titik sudut SG DG.1/2 (∆ABC)
Penyelesaian :
(i) Diketahui G adalh koordinat titik berat ∆ABC
Misalkan : AP adalah garis berat ∆ABC pada garis BC dengan P titik
tengah BC.
BQ adalah garis berat ∆ABC pada garis AC dengan Q titik
tengah AC
CR adalah garis berat ∆ABC pada garis AB dengan R titik
tengah AB
Jelas AP, BQ, QR berpotongan di titik G.
Koordinat-koordinat dari P, Q, R dapat dicari dengan cara:
P = ((8+6)/2, (10+0)/2) = (7, 5)
Q = ((8+0)/2, (10+2)/2) = (4, 6)
R = ((6+0)/2, (0+2)/2) = (3, 1)
(ii). Selanjutnya akan dicari koordinat titik berat ∆ABC dengan
menggunakan dilasi,
DA.r (P) = [rx + a(1-r), ry + b(1-r)]
Diperoleh:
DA2/3 (7, 5) = [(2/3)7 + 0(1-(2/3)), (2/3)5 + 2(1-(2/3))]
= [(14/3), (12/3)]
Jadi koordinat titik G adlah (14/3, 12/3).
(iii). Akan dicari titik sudut SG DG.1/2 (∆ABC)
SG DG.1/2 (A) = SG [(1/2)0 + (14/3)(1-(1/2)), (1/2)2 + (1-(1/2)]
= SG (14/6, 3)
= [2(14/3) – (14/6), 2(12/3) – 3]
= (7, 5)
.
SG DG.1/2 (B) = SG [(1/2)6 + (14/3)(1-(1/2)), (1/2)0 + (12/3)(1-(1/2)]

18. B(6,0)
= SG(32/6, 2)
= [2(14/3) – (32/6), 2(12/3) – 2]
= (4,6).
SG DG.1/2 (C) = SG [(1/2)8 + (14/3)(1-(1/2)), (1/2)10 + (12/3)(1-
(1/2)]
= SG(38/6, 7)
= [2(14/3) – (38/6), 2(12/3) – 7]
= (3, 1).
Dari (i), (ii), (iii) diperoleh titik sudut ∆ABC adalah A”(7,5),
B”(4,6), C”(3,1).