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MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA

Propuesta para el aprendizaje de la MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA

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MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA

  1. 1. 1 MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA “La verdad para las víctimas es su remedio del alma” Nubia Esperanza Mejía García Contenido INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 4 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE............................................................................ 11 1.1. Investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de la modelación matemática a través de las ecuaciones en diferencia ............................................. 11 1.1.1. Journal: Advances in Difference Equations (Avances en Ecuaciones en.. 11 Diferencia)............................................................................................................. 11 1.1.2. Proyecto SIMIODE ..................................................................................... 12 1.1.3. Comprendiendo las dificultades que enfrentan los estudiantes de pregrado de Ingeniería, para aprender modelación matemática......................................... 14 1.1.4. An Easy Way to Teach First-order Linear Differential and Difference Equations with a Constant Term and a Constant Coefficient.¡Error! Marcador no definido.
  2. 2. 2 1.1.5. La Matemática en el contexto de las ciencias y las matemáticas en la formación de un ingeniero .................................................................................... 17 1.1.6. Modelación matemática como método de investigación en clases de matemáticas.......................................................................................................... 24 1.1.7. Modelación en educación matemática: Una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos ................................................................ 26 CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO ............................................................................... 30 2.1 Modelo Didáctico................................................................................................ 30 2.1.1. Definición y consideraciones generales ..................................................... 30 2.1.2. Fundamentación ......................................................................................... 32 2.1.3. Elementos del Modelo Didáctico ................................................................ 41 CAPÍTULO 3: METDOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO ................................................................................................................. 45 3.1. Principios ........................................................................................................... 45 3.1.1. Aprender matemática = Hacer matemática................................................ 45 3.1.2. Importancia de los modelos discretos ........................................................ 48 3.1.3. Las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación .............. 51 3.2. Metodología para el diseño y evaluación de actividades de aprendizaje......... 52 3.2.1. Situación Inicial de los Estudiantes ............................................................ 53
  3. 3. 3 3.2.2. Referentes Tecnológicos, normativos e institucionales ............................. 54 3.2.3. Objetivos, metas ......................................................................................... 54 3.2.4. Contenidos.................................................................................................. 55 3.2.5. Métodos y Procesos de trabajo .................................................................. 55 3.2.6. Evaluación .................................................................................................. 56 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 57 ANEXO 1...................................................................................................................... 60 ANEXO 2...................................................................................................................... 65
  4. 4. 4 INTRODUCCIÓN En Colombia se cuestiona la calidad de la educación a todo nivel, así como la competencia de los egresados en diferentes profesiones. El SNIES reporta 348 instituciones de Educación Superior activas en Colombia, de las cuales 115 se encuentran domiciliadas en Bogotá, y de éstas se catalogan académicamente como Universidades 29; se resalta que solamente 9 se encuentran acreditadas con alta calidad. Las Instituciones que ofrecen carreras de Ingeniería son 51, de carácter oficial son 5 y las demás son privadas. En 21 Instituciones de Educación Superior se ofrecen programas de Ingeniería acreditados de Alta Calidad. Para los egresados de carreras Ingenieriles, se reconoce la exigencia de desarrollar el pensamiento científico, es decir la capacidad para relacionar variables, formular conjeturas, preguntas o hipótesis, además de proponer explicaciones y modelos que les permita interpretar diferentes situaciones en su desempeño profesional, o proponer innovaciones, desarrollos tecnológicos y conformar los diferentes grupos de investigación (ver figura 1). Figura 1: Desempeño profesional de los Ingenieros1 1 Creación del autor EXIGENCIAS PARA EL DESEMPEÑO PROFESIONAL DE LOS FUTUROS INGENIEROS LECTURA DEL ENTORNO, ESTRUCTURACIÓN, IDENTIFICACIÓN DE MODELOS Y COMPORTAMIENTOS PENSAMIENTO CIENTIFICO DESARROLLO TECNOLÓGICO INVESTIGACIÓNINNOVACIÓN
  5. 5. 5 En las pruebas “SABER PRO” 2 se evalúa esta competencia transversal a los estudiantes de los diferentes programas de Ingeniería, sólo que en un contexto específico relacionado con la formación dada en cada pregrado. Un indicador del nivel de formación matemática de los egresados es la prueba de razonamiento cuantitativo en la cual los más altos puntajes del grupo de las carreras de ingeniería los obtuvieron los estudiantes de las Universidades Nacional de Colombia y Los Andes, según el reporte de los resultados agregados de las pruebas aplicadas en el segundo semestre de 2013. En el reporte de los mejores puntajes “SABER PRO 2013” se puede establecer que se clasificaron 859 estudiantes de las carreras de ingeniería, en la ciudad de Bogotá de un total de 9345 mejores puntajes de todo el país. El total de estudiantes de ingeniería de las universidades de Bogotá evaluados por las “PRUEBAS SABER PRO” en el segundo semestre del 2013 fue de 51151. Lo que significa que apenas el 1,7% de los estudiantes alcanzó puntajes notables en las competencias relacionadas con el desarrollo del pensamiento científico en contexto y las asignaturas de ciencias básicas son la plataforma que permite a los estudiantes desarrollar el pensamiento científico. Tal como lo plantea el ICFES (Módulo de Pensamiento científico Matemáticas y Estadística SABER PRO 2014-2), la formación científica incluye habilidades como: 2 www.icfes.gov.co/examenes/saber-pro/informacion-general/que-se-evalua
  6. 6. 6 Figura 2: Pensamiento científico en contexto3 Pese a que en todo estamento de la comunidad educativa universitaria se reconoce las posibilidades que otorga la educación matemática, no se han resuelto las dificultades para superar modelos didácticos tradicionales, o propuestas, aisladas de la realidad de los ingenieros y los diferentes sectores industriales y de servicios que los demandan. Es un deber de los investigadores en educación matemática estudiar a todo nivel los procesos de enseñanza – aprendizaje y las prácticas docentes para responder acertadamente a las demandas educativas que permitan posicionar nuestro país en un mundo globalizado. 3 ICFES. (30 de 10 de 2014). www.icfes.gov.co. Obtenido de www.icfes.gov.co: http://www.icfes.gov.co/examenes/111-saber-pro/informacion-general/historicos-estructura-general-del- examen Plantear preguntas y proponer explicaciones o conjeturas que puedan ser abordadas con rigor científico. Establecer estrategias adecuadas para abordar y resolver problemas. Adquirir e interpretar información para abordar y entender una situación problema. Analizar críticamente los resultados y derivar conclusiones. Comprender, comparar, utilizar o proponer modelos que permiten describir, explicar y predecir fenómenos o sistemas.
  7. 7. 7 Desarrollar el pensamiento científico de los estudiantes implica que utilicen las herramientas matemáticas para modelar situaciones relacionadas con otras asignaturas, el desempeño profesional o eventos cotidianos. La modelación matemática se considera un tema implícito en diferentes asignaturas del área matemática de las carreras de ingeniería, en algunos programas se enuncia como uno de sus objetivos pero no se establece la forma de cumplirlo (Camarena)4 . Algunos profesores de matemáticas consideran que la modelación matemática corresponde al área de las ciencias aplicadas y de las asignaturas específicas de cada ingeniería. Otros enfoques se orientan a las aplicaciones que se derivan de cada tema de los cursos de matemáticas. Es notable que para abordar acertadamente la modelación matemática se requiere el aporte de diferentes disciplinas además de las matemáticas, pues el contexto y características de cada situación a modelar deben estar plenamente identificados y establecidos. Otro elemento importante a tener en cuenta en los procesos de modelación es la utilización de los recursos tecnológicos ya sea para procesar datos o para recolectarlos. Las habilidades matemáticas, que requieren los futuros ingenieros están relacionadas con el mundo cambiante y globalizado que afrontamos, el vertiginoso avance tecnológico y las comunicaciones que generan cada vez nuevas situaciones ingenieriles que deben ser analizadas, interpretadas, modeladas, recreadas y explicadas en forma concreta y precisa. Tal como lo plantea Dujet en su conferencia pronunciada en México en el año 2005 “Los ingenieros están destinados a evolucionar en un mundo de complejidad creciente y cada vez más incierto; sin embargo deben llevar a cabo sus proyectos 4 Camarena, P. (s.f.). Matemáticas del mundo real. Recuperado el 30-10-2014, de Matemáticas del mundo real: http://www.m2real.org/IMG/pdf_Patricia_Camarena_Gallardo-II.pdf
  8. 8. 8 con la mayor eficacia, lograr los resultados más sobresalientes y tomar las decisiones adecuadas con toda la responsabilidad requerida en este contexto.” (Dujet, 2007)5 . Sin embargo, en las prácticas de clase de matemáticas se enfatiza en resolver ejercicios de cálculo, considerando el saber matemático aislado de la vida laboral y cotidiana. De las diferentes asignaturas que brindan las herramientas para realizar procesos de modelación matemática es de destacar las ecuaciones diferenciales y en diferencia, pues permiten la conjugación y comparación de diferentes métodos de análisis y una mejor comprensión de diversos fenómenos dinámicos. El abordar los sistemas discretos desde las ecuaciones en diferencia permite, en algunas situaciones, obtener modelos más ajustados a la realidad. Con las ecuaciones en diferencia finitas se obtienen estimaciones de las soluciones de ecuaciones diferenciales, lo que se denomina “métodos de diferencias finitas”. Actualmente son muchas las aplicaciones de las ecuaciones en diferencia, los investigadores las han utilizado para modelar diferentes situaciones en el campo de la ingeniería, la dinámica de poblaciones, la economía, la biología y otras. Dicha modelación se hace con el uso de recursos informáticos a través de la simulación. Además la importancia creciente de los modelos discretos por el uso de recursos computacionales para diversas aplicaciones e investigaciones. Al comparar las soluciones arrojadas y confrontarlas con las situaciones reales, se encuentra que en las ecuaciones diferenciales se presenta el análisis de las variables continuas y en las ecuaciones en diferencia el de las variables discretas. El comportamiento real de los fenómenos, algunas veces puede ser un punto intermedio entre estas posibilidades, y en estos casos debe abordarse desde los procesos estocásticos. 5 Dujet, C. (05-10-2007). Matemáticas del Mundo Real. Recuperado el 30 de 10 de 2014, de Matemáticas del Mundo Real: http://www.m2real.org/spip.php?article2
  9. 9. 9 El “APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA” es un tema no resuelto en las facultades de Ingeniería, pues las actividades didácticas encaminadas a desarrollar la habilidad de modelar matemáticamente diversas situaciones son muy escasas en los cursos de ecuaciones diferenciales y en diferencia. Esto se debe, en parte, a que algunos docentes no dominan las diferentes técnicas de modelación matemática ni utilizan situaciones novedosas de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y en diferencia. Otro elemento a tener en cuenta para formular una propuesta de enseñanza y aprendizaje de la modelación matemática es que los modelos matemáticos construidos con base en las ecuaciones en diferencia, deben servir para motivar y preparar a los estudiantes en el abordaje de las ecuaciones diferenciales. La propuesta de promover el “APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA” Metodología de investigación Esta disertación en educación matemática se enmarca dentro del enfoque de la investigación cualitativa. Este tipo de investigación es la más adecuada debido a que se busca explorar y comprender el comportamiento y actitudes de los estudiantes después de aplicar la estrategia didáctica, en aras de adquirir habilidades en el proceso de modelación. 6 “Es recomendable seleccionar el enfoque cualitativo cuando el tema de estudio ha sido poco explorado, o no se ha hecho investigación al respecto en algún grupo social específico. El proceso cualitativo inicia con la idea de investigación”. Grinnell, Williams y Unrau (2009), opinan sobre lo que representa un planteamiento cualitativo: es como ingresar a un laberinto, se sabe dónde se inicia, 6 Hernández Sampieri, R. (2010). Metodología de la Investigación. Quinta Edición. Editorial Mc.Graw Hill, México D.F., páginas. 364-365.
  10. 10. 10 pero no se conoce donde se termina. Se entra con convicción, pero sin un “plano” preciso. A continuación se describen las fases para su desarrollo: FASE 1 En esta fase se diseñan los instrumentos y estrategias para recolectar información y analizarla, dentro de las cuales se incluyen: • Análisis de los syllabus aplicados en diversas instituciones de índole nacional e internacional. • A través de encuestas y cuestionarios, conocer las prácticas y posturas de los docentes que imparten el curso. • Determinar, revisando datos sobre el rendimiento o usando encuestas y cuestionarios, las prácticas y posturas de los alumnos. FASE 2 En esta fase se realiza el diseño y aplicación del Modelo Didáctico sustentado en la resolución de problemas, las ecuaciones en diferencia y la concepción cuasi empírica de la matemática. FASE 3 Esta fase corresponde al análisis de datos y resultados que permitan evaluar el Modelo Didáctico propuesto y formular unos elementos teóricos que describan y expliquen la forma en que las actividades didácticas impactaron positivamente o no, en cada uno de los estudiantes y con esto aportar en la construcción del aprendizaje de la modelación a través de las ecuaciones en diferencia.
  11. 11. 11 CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE 1.1. Investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de la modelación matemática a través de las ecuaciones en diferencia A continuación se enuncian algunas investigaciones que tienen como eje central la enseñanza aprendizaje de modelación matemática a través de las ecuaciones en diferencia. 1.1.1. Journal: Advances in Difference Equations (Avances en Ecuaciones en Diferencia)7 Objetivos y alcances La teoría de las ecuaciones en diferencia, desde hace unos 12 años, ha tenido un avance significativo; el aumento de la producción científica en esta área, se ha visto reflejada en muchos artículos de investigación, varias monografías, conferencias internacionales y numerosas sesiones especiales. La teoría de las ecuaciones diferenciales y en diferencia explica dos formas de representar los problemas del mundo real. Por ejemplo, un modelo de población sencilla cuando se representa como una ecuación diferencial muestra el buen comportamiento de las soluciones, mientras que el análogo discreto en ecuaciones en diferencia, muestra el comportamiento caótico. El comportamiento real de la población está en algún punto intermedio. Este Journal: “Advances in Difference Equations”, especializado en el estudio de las ecuaciones en diferencia, presenta muchos avances en la matemática contemporánea, pero en general no abarca los procesos de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones en diferencia. 7 http://www.advancesindifferenceequations.com
  12. 12. 12 1.1.2. Proyecto SIMIODE8 SIMIODE es una propuesta dirigida por Brian Winkel, Profesor Emérito del departamento de Ciencias Matemáticas de la Academia Militar de Estados Unidos, cuya finalidad es promover el uso de la modelación con ecuaciones diferenciales y en diferencia en el aula de clase. Entre las estrategias utilizadas para mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales y en diferencia, se conforma una comunidad en línea para profesores y estudiantes en la cual se comparten experiencias exitosas que utilizan la modelación, la tecnología y el aprendizaje colaborativo. SIMIODE ofrece a sus usuarios “escenarios de modelación”, conjuntos de datos, videos, y presentaciones entre otros recursos que permiten y motivan el aprendizaje. Los materiales que se divulgan en la página web son revisados por pares. SIMIODE (Systemic Initiative for Modelling Investigations and Opportunities with Differential Equations), significa Iniciativa Sistémica para la Investigación y Oportunidades en la Modelación con Ecuaciones Diferenciales. En esta página se comparten actividades diseñadas para que los estudiantes desarrollen habilidades de modelación matemática utilizando las ecuaciones diferenciales y la tecnología. Winkel7 , señala que las fuentes de información para encontrar situaciones que puedan ser modeladas son los datos de todos los sucesos que pasan cotidianamente a nuestro alrededor y hace sugerencias a los profesores para encontrar esas “oportunidades” de modelación: • Mirar a nuestro alrededor • Consultar el internet, acceder a bases de datos, grupos, blogs, y demás información que suministra la red. 8 https://www.simiode.org/about
  13. 13. 13 • Explorar la información derivada de revistas especializadas y actuales sobre todo en los temas que no conozca. • Comunicarse e intercambiar información con docentes y profesionales de otras áreas, diferentes a las matemáticas. • Desarrollar sus propios “escenarios” de modelación por ejemplo, la extensibilidad de la masa de las galletas. • Tomar riesgos, aprender por sí mismo, acompañar el proceso de modelación de los estudiantes, y divertirse aprendiendo con ellos. En la actualidad las nuevas tecnologías de información y comunicación permiten a estudiantes y profesores conocer las diferentes propuestas del grupo SIMIODE para enseñar y aprender la modelación matemática con ecuaciones diferenciales, esto implica que se aprende colaborativamente en el aula de clase o fuera de ella. Los docentes no solo conocen los diferentes escenarios de modelación, además pueden recrear cada propuesta, compartir sus comentarios y la respuesta de sus estudiantes. Esta es otra forma de desarrollar didácticas, investigar prácticas docentes y procesos de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales y en diferencia. Un escenario de modelación que utiliza para su análisis las ecuaciones en diferencia es la simulación de la muerte e inmigración de una población utilizando dulces M&M. Esta propuesta es innovadora en la medida que el estudiante obtiene un conjunto de datos a partir de manipular los dulces, esta forma de trabajo posibilita entender la simulación, hacer analogías con el comportamiento de una población, comparar resultados con sus compañeros, y utilizar las herramientas matemáticas para formular el modelo que se ajuste al comportamiento de la población estudiada. Las matemáticas aplicadas en contexto que utilizan la simulación y las herramientas tecnológicas como software matemático con el objetivo de desarrollar habilidades para la modelación matemática, constituyen una tendencia en los cursos de
  14. 14. 14 ecuaciones diferenciales y en diferencia dirigidos a estudiantes de ciencias aplicadas y de ingeniería. 1.1.3. Comprendiendo las dificultades que enfrentan los estudiantes de pregrado de Ingeniería, para aprender modelación matemática9 . En este artículo, el autor se plantea la siguiente pregunta: ¿Por qué es difícil para los estudiantes de pregrado de ingeniería aprender a proponer modelos matemáticos? Comprender las dificultades de aprendizaje que los estudiantes de pregrado de las carreras de ingeniería afrontan a la hora de aprender a modelar matemáticamente situaciones en contexto es necesario para atacar la raíz de un problema que se presenta en las universidades de Singapur y en otras latitudes. Un grupo de investigadores en educación matemática (Wanmei Soon, 2011) 10 destaca como una fuente principal de la inhabilidad de los estudiantes para modelar matemáticamente diferentes situaciones la tendencia a enseñar matemáticas de una forma tradicional. No se relacionan los contenidos matemáticos con sus aplicaciones y el contexto, no se abordan problemas no rutinarios, diversos y mucho menos retadores, se presenta la matemática como una ciencia precisa y que consiste en la aplicación de fórmulas o algoritmos. Los estudiantes no están entrenados para resolver problemas no rutinarios, es decir, no se desarrollan habilidades para el análisis matemático de situaciones nuevas, novedosas, diferentes o complejas, lo cual es indispensable para proponer o formular modelos matemáticos. Se indagó, por medio de una encuesta, a un grupo de estudiantes de ingeniería que participaban del curso “Modelación matemática utilizando ecuaciones diferenciales y 9 Winkel, B. J. 2013. Browsing Your Way to Better Teaching. PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies. 23(3): 274-290. 10 Wanmei Soon , Luis Tirtasanjaya Lioe & Brett McInnes (2011) Understanding the difficulties faced by engineering undergraduates in learning mathematical modelling, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42:8, 1023-1039, DOI: 10.1080/0020739X.2011.573867 Tomado en línea: http://dx.doi.org/10.1080/0020739X.2011.573867
  15. 15. 15 algebra lineal”, acerca sus expectativas del curso, la forma como abordan los problemas nuevos a ser modelados matemáticamente, además del punto de vista de sus profesores. Una de las quejas más frecuentes de los estudiantes fue “no saber cómo empezar a modelar el enunciado o problema propuesto”, hecho que se atribuye a la dificultad de interpretar matemáticamente los hechos descritos o la información suministrada, es decir, pasar de la palabra escrita o narración al lenguaje matemático. Esta situación desmotiva a los estudiantes quienes consideran que se necesita mucho tiempo para resolver exitosamente un problema de modelación matemática, además de la sensación de frustración e incapacidad que aumenta con cada uno de los intentos fallidos. Se evidencia que los estudiantes no están en capacidad de relacionar fácilmente los conceptos matemáticos y sus procedimientos con el mundo real, las situaciones cotidianas o específicas de las ciencias aplicadas. Otra inconformidad estudiantil “no saber que se pretende”, consiste en que no logran identificar el objetivo, o el sentido de los procedimientos para establecer modelos matemáticos, o a dónde se quiere llegar. Para formular un modelo matemático se siguen las siguientes fases: Al parecer los estudiantes, objeto de este estudio solo se han entrenado en las siguientes fases: Escenario de la vida real Representación matemática Solución del problema matemático Interpretación de resultados en la vida real Representación matemática Solución del problema matemático
  16. 16. 16 Por lo tanto es procedente plantear las siguientes cuestiones en el marco de este estudio: • ¿Cuáles son las dificultades específicas que enfrentan los estudiantes en la traducción de un problema de la vida real a un problema matemático? • ¿Las dificultades involucran la física o conceptos matemáticos, el pensamiento lógico, o son de naturaleza lingüística? Se reconoce que la inclusión de la modelación matemática es reciente en los cursos de ecuaciones diferenciales, y que no se logra con éxito por varias razones, pues la enseñanza se centra en los métodos para resolver las ecuaciones diferenciales y dar respuestas numéricas y algebraicas, dado que el tiempo que se requiere para manejar integradamente las aplicaciones y ejercicios de modelación matemática con los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales es mucho mayor. Se investiga acerca de la forma cómo abordan los estudiantes los modelos matemáticos, el uso de la tecnología en la formulación de modelos, y la evaluación de los avances en cada fase del proceso de modelación matemática. Una de las recomendaciones importantes de esta investigación es formular propuestas didácticas que garanticen la comprensión, entendimiento y traducción de las situaciones problema o en contexto a ser modeladas. En aras de allanar el análisis de las situaciones a ser modeladas matemáticamente, los docentes orientan pasos a seguir por parte de los estudiantes, estas “recetas” para resolver los problemas de modelación no son suficientes, pues cada planteamiento para ser modelado matemáticamente tiene características específicas, y no coinciden exactamente con cada paso. Además los estudiantes no siguen metódicamente el paso a paso. Tienden a saltar de la lectura a los cálculos y fórmulas, omiten el análisis de información, la clasificación de variables, y las relaciones entre ellas. Así como en Singapur existen dificultades de aprendizaje para la modelación matemática, en Colombia a nivel de pregrado con estudiantes de ingeniería se
  17. 17. 17 detectan dificultades similares, con causas comunes como son la enseñanza tradicional de las matemáticas, el énfasis que se hace en la resolución numérica y procedimental de las ecuaciones diferenciales, las escasas propuestas a nivel de pregrado para desarrollar habilidades para la modelación matemática, la comprensión y traducción de los problemas no rutinarios al lenguaje matemático entre otros más. El aporte de este grupo de investigadores en educación matemática, es la identificación de las dificultades en el aprendizaje de la modelación matemática, para señalar aquellos paradigmas de la enseñanza tradicional que deben ser revaluados y repensados a la hora de formular cursos de modelación con ecuaciones diferenciales y en diferencia dirigidos a estudiantes de ingeniería y otras ciencias aplicadas. 1.1.5. La Matemática en el contexto de las ciencias11 y las matemáticas en la formación de un ingeniero12 Las exigencias de un mundo globalizado y un constante avance tecnológico llevan a las instituciones de educación superior a replantearse los perfiles de sus egresados, los programas académicos y curriculares y por lo tanto las practicas docentes. Una opción a tener en cuenta para la formación de ingenieros es utilizar propuestas metodológicas de enseñanza que desarrollen la creatividad, innovación y el razonamiento orientado a la solución de problemas. En el caso de las matemáticas dirigidas a estudiantes de ingeniería, la propuesta de “La matemática en el contexto de las ciencias” (MCC), teoría que data desde 1982 en el Instituto Politécnico Nacional de México como producto de las reflexiones acerca 11 Mejía Nubia (2012). Acciones didácticas para mejorar el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales en carreras de Ingeniería. Bogotá. 12 Trejo Trejo, E.; Camarena Gallardo, P; Trejo Trejo, N. (2013). Las matemáticas en la formación de un ingeniero: una propuesta metodológica. Revista de Docencia Universitaria. REDU. Vol. 11, Número especial dedicado a Engineering Education, pp. 397-424. Recuperado el 25 de abril de 2015 en http://red-u.net
  18. 18. 18 de la problemática estudiantil asociada a los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles educativos13 . Esta propuesta pretende superar la dificultad que presentan los estudiantes para interpretar el mundo real, pues no reconocen los conceptos matemáticos como una herramienta para plantear o analizar modelos, y la gran cantidad de información proveniente de otras asignaturas no es relacionada con el conocimiento matemático. Según la autora (Camarena, 2009), la matemática en el contexto de las ciencias se fundamenta en los siguientes paradigmas: • “La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa. • La matemática tiene una función específica en el nivel universitario. • Los conocimientos nacen integrados”14 . Además, señala que el proceso de enseñanza aprendizaje es “un sistema en donde intervienen las características cognitivas, psicológicas y afectivas de los estudiantes; los conocimientos y concepciones de los profesores; la epistemología del contenido a aprender y a enseñar; el tipo de currículo y la didáctica a emplearse”13 . Otros factores que influyen son los ambientes: social, cultural, económico y político. 13 Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, pp. 15-25. Recuperado el 8 de mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf 14 Camarena, P. La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, p. 16. Recuperado el 8 de mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf 13 Ibidem.
  19. 19. 19 Figura 3: Fases de la Matemática en Contexto de las Ciencias15 A partir de la “terna dorada” que se representa en la Figura 3 se derivan cinco fases que fundamentan la “Teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias”: a. Curricular. En esta fase se propone una estrategia de investigación en tres etapas, una central que consiste en analizar los contenidos matemáticos de las asignaturas de ingeniería; una etapa precedente en la cual se establece el nivel de competencias matemáticas que tienen los estudiantes al ingresar a la carrera; y otra consecuente en la cual se definen las competencias matemáticas que se requieren para el desempeño profesional. b. Formación Docente. En esta fase se diseñó una especialización en docencia de la matemática para el programa de Ingeniería Electrónica con la característica de relacionar el saber matemático con las diferentes asignaturas de la ingeniería electrónica y afines. 15 Trejo Trejo, E.; Camarena Gallardo, P; Trejo Trejo, N. (2013). Las matemáticas en la formación de un ingeniero: una propuesta metodológica. Revista de Docencia Universitaria. REDU. Vol. 11, Número especial dedicado a Engineering Education, pp. 397-424. Recuperado el 25 de abril de 2015 en http://red-u.net
  20. 20. 20 Matemáticas en el contexto de la Ingeniería Electrónica Asignaturas de Matemáticas Asignaturas de Ingeniería Electrónica Introducción al análisis matemático de una variable real Electrónica básica Cálculo vectorial Electromagnetismo Algebra lineal Control electrónico Ecuaciones diferenciales ordinarias Circuitos eléctricos Análisis de Fourier Análisis de señales electromagnéticas Probabilidad Análisis de señales aleatorias Procesos estocásticos Telefonía Tabla 1: Vinculación de Asignaturas de Matemáticas con las Asignaturas de Ingeniería Electrónica16 . Además se establecen los contenidos para el programa de formación docente en matemáticas a nivel universitario. c. Epistemológica. Consiste en reconocer la génesis del conocimiento matemático ligado a otras áreas del saber, se despliega una lista de “situaciones contextualizadas” documentadas, que al ser incluidas en las clases de matemáticas permiten identificar las dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje y posteriormente diseñar actividades que permitan su mejor comprensión en el aula. En esta etapa se desarrolla “la transposición contextualizada” que se representa según Camarena, 2001 en la siguiente figura: 16 Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, pp. 15-25. Recuperado el 8 de mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf
  21. 21. 21 Conocimiento erudito Transposición Conocimiento a ser enseñado Transposición Conocimiento a ser aplicado Transposición Didáctica Transposición Contextualizada Tabla 2: Transposiciones17 d. Didáctica. En esta fase se presentan diferentes herramientas que permiten mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje tales como el diseño de la estrategia didáctica, cursos extracurriculares para el desarrollo de habilidades cognitivas, taller integral e interdisciplinario dirigido a estudiantes de últimos semestres para que analicen eventos reales en diferentes campos. Según Camarena (2007) “Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica es la elaboración del modelo matemático”, lo cual conlleva a establecer definiciones del modelo matemático ajustado a la carrera de ingeniería. “… modelo matemático es aquella relación matemática que describe objetos o problemas de ingeniería”18 ; la modelación matemática se entiende como el proceso cognitivo que permite construir el modelo matemático. e. Cognitiva. Esta fase se fundamenta en la teoría de aprendizaje significativo de Ausubel, Novak y Hanesian (1990). Se pretende que el estudiante se apropie del conocimiento matemático de tal forma que pueda aplicarlo en contexto, y por lo tanto pueda perdurar en el tiempo. Estrategia Metodológica para la enseñanza de las matemáticas en las carreras de Ingeniería 17 Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, (p. 15-25) Recuperado el 8 de mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf 18 Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, (p. 15-25) Recuperado el 8 de mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf
  22. 22. 22 Esta estrategia está justificada en la medida que los requerimientos para el buen desempeño profesional de un ingeniero son: Conocimiento y manejo de las disciplinas básicas como la física, química, matemáticas, biología, entre otras y de las nuevas tecnologías para el procesamiento de información o de instrumentación para realizar mediciones Capacidad para analizar información, procesarla y desarrollar modelos que simulen el comportamiento del mundo físico. Formación ética que desarrolle valores como el respeto a la vida, sociedad, medio ambiente, responsabilidad, criterios racionales, humanistas y técnico científicos para la toma de decisiones, entre otros. La propuesta de la Matemática en Contexto se desarrolla en las siguientes etapas en el marco de la fase didáctica:
  23. 23. 23 Figura 4: Etapas de la fase didáctica de la Matemática en Contexto. Adaptado de Trejo (2013) Conforme a lo señalado en propuesta de la Matemática en Contexto, las autoras utilizan el tema de la velocidad de las reacciones químicas para contextualizar las ecuaciones diferenciales de primer orden, justifican el evento contextualizado, indican los pasos para el diseño y aplicación de la actividad didáctica y por último relacionan las competencias matemáticas a evaluar según los parámetros de la actividad. 1. Determinación de los problemas matemáticos contextualizados 2. Planteamiento del evento contextualizado 3. Determinación de variables y constantes 4. Inclusión de temas matemáticos de la disciplina en contexto 5. Establecimiento del modelo matemático 6. Solución matemática del problema 7. Determinación de la solución requerida por el problema en el ámbito de las disciplinas del contexto 8. Interpretación de la solución en términos del problema y las áreas de las disciplinas en contexto 9.Descontextualización de los conceptos y temas a tratarse en la asignatura
  24. 24. 24 1.1.6. Modelación matemática como método de investigación en clases de matemáticas19 Según los autores, el modelaje matemático es todo un proceso inmerso en el hallazgo de un modelo. El modelo matemático de un fenómeno reúne una serie de símbolos y formulaciones matemáticas que realizan la traducción del fenómeno en estudio. Dicho modelo no sólo permite hallar una solución particular del problema, sino que también sirve de apoyo para otro tipo de teorías o aplicaciones matemáticas. Existen muchas definiciones de modelo, según cada área del conocimiento. En este caso, la definición de interés es la de modelación matemática. “El proceso de modelización envuelve una serie de procedimientos, a saber: • Elección del tema; • Reconocimiento de la situación/problema: delimitación del problema; • Familiarización con el tema a ser modelado: referencial teórico; • Formulación del problema: hipótesis; • Formulación de un modelo matemático: desarrollo; • Resolución del problema a partir del modelo: aplicación; • Interpretación de la solución y validación del modelo: evaluación.”20 19 Hein, N., y Biembengut, M. S. (2006). Modelaje Matemático como Método de Investigación en Clases de Matemáticas. [Versión Electrónica]. V Festival Internacional de Matemáticas, 1-25. Recuperado el 10 de mayo de 2012 en el URL: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P- 2Hein.pdf 20 Hein, N., y Biembengut, M. S. (2006). Modelaje Matemático como Método de Investigación en Clases de Matemáticas. [Versión Electrónica]. V Festival Internacional de Matemáticas, 1-25. Recuperado el 10 de mayo de 2012 en el URL: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-2Hein.pdf 20
  25. 25. 25 En los últimos años, la modelación matemática ha hecho parte de la investigación científica en muchos países y preguntas sobre el por qué y para qué enseñar matemáticas han ayudado en el crecimiento del área de la educación matemática. La modelación matemática es una manera actual de enseñar matemáticas y con su “…aplicación busca para el alumno: • La integración de la matemática con otras áreas del conocimiento; • Interés por la matemática frente a su aplicabilidad; • Mejoría de la aprehensión de los conceptos matemáticos; • Estímulo a la creatividad en la formulación y resolución de problemas; • Habilidad en el uso de máquinas (calculadora gráfica y computadoras); • Capacidad para actuar en grupo; • Orientación para la realización de la investigación; • Capacidad para la redacción de esa investigación”20 El artículo termina con la presentación de una aplicación de un problema real al tema de la crianza de pollos, el peso que adquieren durante su vida y las raciones de comida que consumen en función de los días de vida, en la cual se hace todo el proceso de modelación matemática (delimitación del problema, referencial teórico, hipótesis, desarrollo, resolución del problema, interpretación de la solución y validación del modelo). Hein, N., y Biembengut, M. S. (2006). Modelaje Matemático como Método de Investigación en Clases de Matemáticas. [Versión Electrónica]. V Festival Internacional de Matemáticas, 1-25. Recuperado el 10 de mayo de 2012 en el URL: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-2-Hein.pdf
  26. 26. 26 1.1.7. Modelación en educación matemática: Una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos21 Este documento es un avance de investigación en el marco del proyecto “El proceso de modelación matemática en las aulas escolares del suroeste antioqueño”22 , en él se desarrollan los referentes teóricos sobre la modelación como recurso didáctico en las clases de matemáticas. El Ministerio de Educación Nacional (MEN) en el documento Lineamientos Curriculares (1998) expone la importancia de que los estudiantes relacionen los contenidos de aprendizaje con sus experiencias cotidianas; además se afirma que uno de los propósitos de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo del pensamiento matemático. Las estrategias que se sugieren son “la resolución de problemas” y “la modelación matemática”, sustentadas en desarrollar en los estudiantes la habilidad de comunicarse matemáticamente, propiciar la investigación que acompaña al razonamiento matemático, comprender conceptos y procesos matemáticos, e investigar diferentes alternativas a situaciones problémicas. La modelación se describe como un proceso que permite a los estudiantes construir conceptos matemáticos de una forma significativa ya que a partir de una situación problémica se puede observar, analizar, explicar, inferir, validar el modelo mismo y los conceptos y procesos matemáticos que encierra. En el 2006 el MEN define el modelo matemático “como un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. Es una construcción o artefacto material o mental, un sistema – a veces se dice también ‘una estructura’… que puede usarse como referencia para lo 21 Villa, J.A. y Ruíz, H.M. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos. “Revista Virtual Universidad del Norte”. No 27 (mayo – agosto de 2009, Colombia). Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL: http://revistavirtual.ucn.edu.co/ 22 Ibidem
  27. 27. 27 que se trata de comprender; una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo…”22 . Los autores señalan que, para el MEN, no existe una delimitación definida entre resolución de problemas y modelamiento matemático como estrategias para la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. A continuación se resume las características de cada una y su comparación según el MEN, además se aprecia gran deficiencia que ese organismo tiene en la caracterización de la resolución de problemas. Tabla 3: Elementos que caracterizan los procesos de modelación, planteamiento y resolución de problemas24 Criterios MODELACION MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTOS Situaciones reales, relacionadas con el entorno del estudiante. Pueden ser situaciones reales o artificiales. PROPÓSITOS El estudiante pueda indagar, explorar, documentar, recoger datos, experimentar, analizar, simplificar, abstraer, proponer. La posibilidad de experimentar, proponer, establecer datos es más limitada porque las situaciones son más simplificadas. PROCESO Se caracteriza por ser cíclico, recursivo, compuesto por diferentes fases, que va desde la interpretación de la situación hasta la validación o evaluación del modelo. También es un proceso cíclico, se supone el problema resuelto y pretende identificar en la situación lo más relevante para formarse un modelo mental por parte del estudiante. La validación es generalmente interna. 22 Ministerio de Educación Nacional (2006).Estándares básicos de competencias. Bogotá: Magisterio(p 52) 24 Villa, J.A. y Ruíz, H.M. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad del Norte. No 27 (mayo – agosto de 2009, Colombia), Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL: http://revistavirtual.ucn.edu.co/
  28. 28. 28 Figura 5: Convergencia de la modelación y la resolución de problemas23 La modelación matemática construye modelos a partir de situaciones “reales”; esto ha generado discusión en cuanto al concepto mismo de “realidad” ya que para la aplicación de algunos conceptos matemáticos la realidad se convierte en una situación creada artificialmente. Esto puede entenderse como una estrategia más cercana a la resolución de problemas y por lo tanto en los planteamientos realizados por el MEN no se distingue claramente la orientación hacia estas dos estrategias didácticas, incluso los autores señalan para muchos profesores “representar matemáticamente un problema suele ser equivalente a modelar”24 . 23 Villa, J.A. y Ruíz, H.M. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad del Norte. No 27 (mayo – agosto de 2009, Colombia), Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL: http://revistavirtual.ucn.edu.co/. 24 Villa, J.A. y Ruíz, H.M. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad del Norte. No 27 (mayo – agosto de 2009, Colombia), Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL: http://revistavirtual.ucn.edu.co/.
  29. 29. 29
  30. 30. 30 CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO En este capítulo se plantean los referentes teóricos, epistemológicos y conceptuales, en los cuales se soporta el trabajo a realizarse en la tesis. 2.1 Modelo Didáctico 2.1.1. Definición y consideraciones generales25 En los últimos años, en Colombia se despliega una dinámica de cuestionamiento acerca de la Educación Superior con el fin de lograr una política educativa que garantice el acceso sin restricciones ni discriminaciones a toda la población, una educación superior de calidad y que sea generadora de conocimiento, tecnología e innovación. Con el fin de lograr este anhelo nacional las Instituciones de Educación Superior se deben someter a diferentes procesos evaluativos ya sea de los entes que vigilan el sistema o de su propia autoevaluación en cuanto al cumplimiento de metas de eficiencia y calidad. El cuestionamiento de la efectividad de los procesos de enseñanza y aprendizaje lleva a incentivar la generación de propuestas que superen dificultades ya identificadas en ciertas áreas del conocimiento. En las asignaturas de matemáticas se observa los mayores índices de pérdida y deserción académica por parte de los estudiantes. En este contexto del Sistema Educativo Colombiano se delimita la propuesta de DISEÑAR Y VALIDAR UN MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA. 25 Ministerio de Educación Nacional de la República de Colombia. (29 de julio de 2014). MINEDUCACIÓN. Recuperado el 3 de diciembre de 2014, de MINEDUCACIÓN: http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340678_recurso_1.pdf
  31. 31. 31 Definición de Modelo Didáctico Un modelo didáctico es una representación del proceso enseñanza aprendizaje en un contexto científico y socio-cultural determinado y basado en opciones epistemológicas y éticas específicas. A partir de visualizar la complejidad de elementos que se deben tener en cuenta al momento de proponer y diseñar un modelo que permita desarrollar en los estudiantes las competencias pertinentes para abordar la modelación matemática usando ecuaciones en diferencia, se describen el contexto científico bajo el cual se aborda la temática de ecuaciones en diferencia y modelos matemáticos, la situación social y cultural de la población estudiantil de las carreras de ingeniería en Colombia; los referentes epistemológicos de la educación matemática que subyace a la propuesta así como el compromiso por una educación superior de calidad. A continuación se representa en un esquema los elementos que conforman un modelo didáctico: APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA CON ECUACIONES EN DIFERENCIA CÓMO ENSEÑAR SISTEMAS DE SEGUIMIENTO Y EVALUACION QUE ENSEÑAR PORQUE Y PARA QUE ENSEÑAR IDEAS DE LOS ESTUDIANTES CONTEXTO SOCIO CULTURAL Y POLITICO CONTEXTO TECNOLÓGICO Y CIENTÍFICO FUNDAMENTOS EPISTEMOLOGICOS FUNDAMENTOS ETICOS IDEAS DE LOS PROFESORES
  32. 32. 32 Figura 6: Elementos que conforman un Modelo Didáctico 2.1.2. Fundamentación 2.1.2.1. Contexto Científico  Modelación Matemática Según Biembengut 26 , un modelo matemático es el conjunto de símbolos, relaciones matemáticas que se utilizan para representar una situación real. En el mundo tan cambiante en el que vivimos, globalizado y competitivo, donde no importa el conocimiento como tal sino cómo se puede aplicar y socializar para sacarle el mejor provecho, la modelación matemática definida como el proceso que se involucra directamente en el hallazgo del modelo matemático, viene siendo muy defendida como método de enseñanza, aunque hay algunos docentes que aún consideran que corresponde al área de las ciencias aplicadas y de las asignaturas específicas de cada Ingeniería. Es notable que para abordar acertadamente la modelación matemática se requiere el aporte de diferentes disciplinas además de las matemáticas, pues el contexto y características de cada situación a modelar deben estar plenamente identificados y establecidos. Otro elemento importante a tener en cuenta en los procesos de modelación es la utilización de recursos tecnológicos ya sea para procesar datos o para recolectarlos. De las diferentes asignaturas que brindan las herramientas para realizar procesos de modelación matemática es de destacar las ecuaciones diferenciales y en diferencia, pues permiten la conjugación y comparación de diferentes métodos de análisis y una mejor comprensión de diversos fenómenos discretos y dinámicos. 26 Biembengut, M. y Hein, N. (s.f.). Modelo, Modelación y Modelaje: Métodos de la enseñanza- aprendizaje de las matemáticas. Departamento de Matemática CCEN, Universidad Regional de Blumean. Brasil. Recuperado el 03 de Diciembre de 2014 en http://matesup.utalca.cl/modelos/articulos/modelación_mate2.pdf
  33. 33. 33  Modelos Discretos y Continuos27 Un modelo es la representación de un proceso, es decir, un cambio en los estados de un sistema a través del tiempo, esta descripción puede ser discreta o continua. En el caso discreto, se observa un sistema que cambia a intervalos de tiempo regulares finitos, es decir, a cada segundo, minuto, hora, etc., y se relaciona el estado observado del sistema con los estados en los instantes anteriores. Tal sistema puede modelarse en algunas ocasiones con ecuaciones en diferencia. En los casos continuos, se trata el tiempo como un continuo, lo que permite observaciones del sistema en cualquier instante. De tal forma que el modelo puede expresar las relaciones entre las tasas de variación de diversas cantidades, en lugar de entre los estados varias veces. Estos tipos de modelos se representan por las ecuaciones diferenciales. El abordar los sistemas discretos desde las ecuaciones en diferencia permite, en algunas situaciones, obtener modelos más ajustados a la realidad. Con las ecuaciones en diferencia finitas se obtienen estimaciones de las soluciones de ecuaciones diferenciales, lo que se denomina “métodos de diferencias finitas”. Ecuaciones en diferencia28 Las ecuaciones en diferencia describen la evolución de ciertos fenómenos a través del tiempo. Por ejemplo, al establecer el tamaño de una generación de una población en el tiempo, este valor es una variable discreta, el tamaño de la generación  1nx es una función de la generación  nx . Esta relación se expresa como una ecuación en diferencias así: 27 Banasiak J.(2013). An Introduction via Difference and Differential Equations. University of KwaZulu- Natal, South Africa Technical University of Lodz. Cambridge University Press. 28 Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (Third Edition). Department of Mathematics Trinity University San Antonio, Texas. Editorial Board. Springer Science Business Media, Inc.
  34. 34. 34     nxfnx 1  1 Puede verse esto usando otra notación, si se comienza desde el punto x0, se genera la secuencia:         ,....,,, 0000 xfffxffxfx Por conveniencia, se adoptará la notación:            .,; 00 3 00 2 etcxfffxfxffxf   0xf , es la primera iteración de x0 sobre f;  0 2 xf es la segunda iteración de x0 sobre f, más generalmente,  0xf n es la n-ésima iteración de x0 sobre f. El conjunto de todas las iteraciones positivas   0:0 nxf n , donde   00 0 xxf  , es denominada por definición orbita de x0 y se denotará por  0xO . Este proceso iterativo es un ejemplo de un sistema dinámico discreto. Dejando    0xfnx n  , se tiene:          nxfxffxfnx nn   00 1 1 , Las ecuaciones en diferencia y los sistemas dinámicos discretos representan las dos caras de la misma moneda. Por ejemplo, cuando los matemáticos hablan de ecuaciones en diferencia, se refieren por lo general a la teoría analítica de la materia y cuando hablan acerca de los sistemas dinámicos discretos, por lo general se refieren a su geometría y aspectos topológicos. 2.1.2.2. Contexto Socio-Cultural  Exigencias actuales de la formación matemática del profesional y en particular en las carreras de ingeniería En Colombia, al igual que en otros países se percibe que el número de ingenieros no es suficiente. Los retos que impone un mundo globalizado en cuanto al desarrollo
  35. 35. 35 tecnológico y científico, las innovaciones y cambios sociales que traen los nuevos acuerdos comerciales entre los países, exigen contar con profesionales debidamente preparados y competitivos. Los ingenieros son los profesionales que se encargan de analizar los sistemas, organizaciones, situaciones y proponen mejoras, soluciones o innovaciones para el crecimiento del sector productivo y la eficiencia de las empresas. Esto implica la comprensión del entorno, la visión holística y sistemática de cada situación para relacionarla acertadamente con la tecnología. En este panorama es necesario que las facultades de ingeniería a nivel de pregrado, desarrollen en los estudiantes habilidades para practicar la ingeniería de síntesis es decir enfocarse en proyectos de diseño; así como desempeñarse con habilidades comunicativas y tecnológicas apropiadas al área de competencia y al mercado laboral altamente competitivo. Según el Instituto Tecnológico de Massachusetts (IMT), “La ingeniería es una profesión creativa, cuya razón de ser es el desarrollo y aplicación del conocimiento científico y tecnológico para satisfacer las necesidades de la sociedad, dentro de los condicionantes físicos, económicos, humanos y culturales”  Perfil del estudiante 29 El perfil del estudiante se refiere a su formación previa, sus expectativas, deficiencias, potencialidades, y otras características académicas y sociodemográficas que se deben tener en cuenta al momento de formular una propuesta didáctica. Pese a la importancia que reviste para el desarrollo de un país contar con profesionales ingenieros, socialmente no hay reconocimiento ni valoración de las carreras ingenieriles. 29 (Por: fin/JCR/CAPG/nics/fgd).(14 de Mayo de 2013). Agencia de noticias UN. Recuperado el 05 de Diciembre de 2014, de Agencia de Noticias UN:http://www.agenciadenoticias.unal.edu.co/ndetalle/article/la-formacion-de-ingenieros-retrocede-en- colombia.html
  36. 36. 36 En un estudio reciente se analiza que si bien en Colombia hay una gran oferta de carreras de pregrado en ingeniería, superior a países como Venezuela y Ecuador, no hay una acogida por parte de los jóvenes al momento de decidir su futuro profesional, es alto el nivel de deserción y la insatisfacción de los estudiantes cuando ingresan a las facultades de Ingeniería. Una de las causas de deserción e insatisfacción se relaciona con los programas académicos y la forma como se abordan contenidos en el aula, en especial con las asignaturas del área de ciencias básicas como lo son las matemáticas. En el sistema educativo Colombiano, hay una fuerte tendencia a las practicas docentes tradicionales, que poco a poco han incorporado recursos de información y comunicación tecnológica, pero que aún mantienen esquemas de enseñanza tradicionales, sin propiciar una participación activa de los estudiantes. 2.1.2.3. Fundamentos Epistemológicos “Asumir (a nivel personal y/o institucional) un modo de entender el pensamiento matemático determina la práctica didáctica” 30 . A partir de esta afirmación se desarrollan los siguientes lineamientos que se tendrán en cuenta para la construcción de la propuesta didáctica: “MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA”  Concepción de la Matemática La concepción de la matemática como ciencia, se ve reflejada en las estrategias didácticas que se desarrollan en el aula. Este postulado obliga al investigador en educación matemática a indicar los referentes de la filosofía de las matemáticas que acompañan el modelo didáctico a desarrollar. 30 Chacón G. (2014). Una esquema para una investigación en Educación Matemática
  37. 37. 37 El planteamiento de uno de los matemáticos de nuestra época, Reuben Hersh, es cuestionar la esencia de las matemáticas proponiendo una “filosofía humanista” que se contrapone a los principios del realismo y el nominalismo; bajo esta concepción, las matemáticas se derivan de los contextos históricos y socioculturales; pues son un producto del pensamiento humano, la relación que tiene con su entorno ambiental y social. Esta visión permite sustentar propuestas de enseñanza aprendizaje de las matemáticas aplicadas, matemáticas en contexto, la resolución de problemas y la modelación matemática. Además de concebir a las matemáticas como una herramienta útil para las otras ciencias naturales o aplicadas. Si la matemática es una construcción social en la cual las conjeturas, pruebas y refutaciones pueden ser valoradas de acuerdo a la realidad social y cultural que le subyace, entonces “saber matemáticas” consiste en “hacer matemáticas”. Según Schoenfeld (1992) las matemáticas nos proporcionan modelos; es una ciencia que nos permite formular patrones o identificar tendencias y lograr prototipos que representen diversas situaciones o planteamientos asociados con contextos sociales, ambientales, tecnológicos entre otros. Hoy en día se desarrolla el conocimiento matemático a partir del planteamiento de las situaciones problémicas de diferentes ciencias aplicadas y se utilizan programas de cómputo para la recolección y el procesamiento de datos y de esta manera se traduce la realidad al contexto y lenguaje matemático. No se puede concebir el saber matemático aislado de los avances tecnológicos y los conocimientos de la física, la química, la biología, la economía y demás ciencias en las que se utiliza la matemática para su avance. Es decir el conocimiento matemático es una herramienta para la construcción de los diferentes campos del saber y es así como se construye el mismo. En la medida en que las matemáticas se visualicen de forma aplicada, sencilla, relacionada con lo cotidiano y los avances de otras ciencias se pueden desarrollar, procesos de enseñanza y aprendizaje orientada a formulación de modelos matemáticos en forma eficiente.
  38. 38. 38 Conexión de la Epistemología y la filosofía de la ciencia31 Se considera de fundamental importancia para el diseño del marco teórico el análisis que hace Hersh en el cual la filosofía de las matemáticas se debe articular con la epistemología y la filosofía de la ciencia. En la historia del conocimiento cada avance de las matemáticas se encontró en un contexto determinado, conocer la forma como se relaciona con otras ciencias facilita comprender su desarrollo y construcción. La filosofía de las matemáticas debe ser evaluada confrontando cinco clases de práctica matemática: a) Investigación b) Aplicación c) Enseñanza d) Historia e) Programación Los avances en las matemáticas para la ciencia y la tecnología a menudo son inseparables de los avances en matemática pura. Por ejemplo, Newton en la gravitación universal y el cálculo infinitesimal; Gauss en Electromagnetismo, Astronomía y Geodesia (esta última inspiró la asignatura pura más bella “la Geometría Diferencial”); Poincaré en Mecánica Celeste; y Von Neumann en Mecánica Cuántica, Dinámica de Fluidos, Diseño de Computadores, Análisis Numérico y explosiones nucleares. Los grandes matemáticos hicieron ambas cosas: matemática pura y aplicada, esto se evidencia en el trabajo de Gauss y Poincaré y el más cercano a nuestro tiempo es Norbert Wiener, generalmente conocido por cibernética, pero durante su vida trabajó en análisis matemático, su estudio de procesos estocásticos infinitos dimensionales fue guiado por su interpretación física del movimiento Browniano, iluminado por experimentos del físico francés Jean Perrin (ver Wiener 1948). 31 Hersh R. (1997). What is mathematics Really? Oxford University Press, Inc.
  39. 39. 39 Las matemáticas se aprenden calculando, solucionando ejercicios, problemas y comunicándose con otras personas, y a partir de este argumento se desarrollan las estrategias didácticas para el aprendizaje de la modelación matemática. Es importante reconocer la trayectoria histórica de los conceptos matemáticos, la forma como se han conformado los diferentes axiomas y las técnicas y procedimientos que rigen el abordaje de las ecuaciones diferenciales y en diferencia Una cuestión filosófica en la cual la historia es relevante es la reducción de toda la matemática a la teoría de conjuntos. Sobre la base de esta reducción, los filósofos de las matemáticas generalmente limitan su atención para fijar teoría, lógica y aritmética. Lo que hace esta suposición que todas las matemáticas son fundamentalmente una teoría de conjuntos hecha por Euclides, Arquímedes, Leibniz, Newton y Euler; nadie se atreve a decir que ellos estaban pensando en términos de conjuntos cientos de años atrás antes que el establecimiento de la reducción teórica se inventara. ¿Por qué las matemáticas en Italia tuvieron un lapso después de Galileo, si estaban a la cabeza por delante de Inglaterra, Francia y Alemania? ¿Por qué fue la geometría no euclidiana no concebida hasta el siglo XIX, y después independientemente descubierta tres veces? El filósofo de las matemáticas quien es históricamente consciente, puede ofrecer dichas preguntas al historiador; pero si su filosofía no deja ver estas estas preguntas, entonces en vez de estimular la historia de las matemáticas, él las embrutece. La informática es la mejor parte de la matemática práctica, el uso de computadores en la comprobación matemática es controversial. Una adecuada filosofía de matemáticas debe arrojar alguna luz para esta controversia. Los filósofos logicistas y formalistas, cada uno en su propia vía, expresan las matemáticas esencialmente como un cálculo, para lo logicistas, los teoremas matemáticos son verdaderas tautologías, como identidades lógicas. Para los formalistas, los términos indefinidos de las matemáticas son sin sentido, entonces, los teoremas matemáticos no tienen sentido. Ambos afirman que la esencia de las matemáticas es la demostración en el sentido de la lógica formal. La demostración como un cálculo formal en un lenguaje formal conforme las reglas formales. Cuando
  40. 40. 40 esas concepciones fueron desarrolladas en los inicios del siglo XX, la posibilidad de realizarlas era una fantasía. El intento más famoso para formalizar enunciados y las demostraciones de los teoremas matemáticos fue “The Principia Mathematica” de Bertrand Russell y Alfred Whitehead. En las Matemáticas aplicadas se han usado computadores como una herramienta del curso, hoy los computadores son utilizados cada vez más y más en investigación de matemática pura, un número de teóricos y algebraicos los usan para evaluar y construir sus conjeturas, con un computador se pueden realizar cálculos que no se logran con facilidad manualmente. 2.1.2.4. Fundamentos Éticos  Dilema Inclusión – Calidad Ante las exigencias y necesidades no satisfechas en materia educativa de una sociedad cambiante, los entes gubernamentales, las instituciones de educación superior y las asociaciones de ingenieros se han propuesto como meta la calidad de la formación para los futuros egresados. En el contexto educativo en el cual se interrelacionan la infraestructura universitaria, las aptitudes y habilidades de los estudiantes de pregrado y la formación de los docentes y directivos el compromiso por brindar una formación de calidad debe hacerse realidad. Para realizar las mejoras o cambios e innovaciones que se requiere en el caso particular de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es imperante avanzar en las investigaciones o intervenciones educativas para compartir aquellas experiencias exitosas. La propuesta de un MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA, cumple con allanar la búsqueda de la calidad en la formación de los futuros ingenieros, así como la coherencia entre lo que se aprende en el salón de clases y el quehacer del ingeniero.
  41. 41. 41 2.1.3. Elementos del Modelo Didáctico 2.1.3.1. El proceso de enseñanza aprendizaje como Sistema Complejo 2.1.3.2. La Resolución de Problemas como opción metodológica que enmarca la relación Docente- Alumno- Conocimiento Matemático Cómo plantear y resolver problemas “Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento”32 Pölya (1965) señala que en la solución de un problema, se requiere mínimamente seguir los pasos de la figura 4. Figura 7: Pasos para la resolución de un problema33 El cumplimiento de las etapas planteadas es un camino en la búsqueda de resultados satisfactorios. Cada enunciado de las actividades didácticas diseñadas como parte de la estrategia para mejorar el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales pueden 32 Polya, G. (1965): Como plantear y resolver problemas. (Décimo Quinta Reimpresión). Editorial Trillas, México D.C, p 7-12 33 Polya, G. (1965): Como plantear y resolver problemas. (Décimo Quinta Reimpresión). Editorial Trillas, México D.C, p 7-12
  42. 42. 42 abordarse bajo la propuesta de resolución de problemas. A continuación se presenta un esquema de resolución de un enunciado de ecuaciones diferenciales: Figura 8: Preguntas planteadas para resolver problemas34 El cumplimiento de cada fase se puede promover y valorar a medida que el estudiante responda las diferentes cuestiones planteadas. A partir de las respuestas de los estudiantes se establecen evidencias del avance hacia la resolución del problema y se va completando la actividad. Las actividades se ordenan según el grado de complejidad y de requisitos previos para su solución. Pölya (1965), define heurística como el “método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente útiles en este proceso”35 . 36 Font (2003), expone algunos puntos de vista sobre la relación entre las matemáticas y las cosas y se comentan algunas implicaciones sobre los modos de 34 Creación del autor. 35 Polya, G. (1965): Como plantear y resolver problemas. (Décimo Quinta Reimpresión). Editorial Trillas, México D.C, p 7-12 36 Font Vicent (2003). Matemáticas y Cosas. Una mirada desde la Educación Matemática. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 2
  43. 43. 43 enseñar matemáticas que de ellos se derivan. Se presenta una reflexión de tipo filosófico y una mirada desde las perspectivas de la Educación Matemática. Afirma que un hecho ampliamente aceptado en el campo de la Educación Matemática, es que las concepciones de los profesores, y de las instituciones escolares, sobre la naturaleza de las matemáticas influye en su enseñanza. No obstante, manifiesta que no es el único factor a tener en cuenta ya que hay otros que también son muy importantes como las concepciones pedagógicas y psicológicas de tipo general, y realiza un recorrido por algunos puntos de vista sobre la relación entre las matemáticas y las “cosas”. La actividad matemática (personal e institucional), es una manera de pensar sobre las cosas. Los diferentes puntos de vista sobre las matemáticas que se han ido proponiendo a lo largo de la historia polemizan tanto sobre el tipo de “cosas” como sobre la manera de pensar sobre estas cosas 2.1.3.3. Recursos Una propuesta desarrollada en México en los últimos años hace referencia a las Matemáticas en el Contexto de las Ciencias esta experiencia resalta la importancia de las matemáticas en la formación de los ingenieros.37 La Matemática en el Contexto de las Ciencias es una estrategia metodológica que integra el saber matemático al conocimiento aplicado en otras áreas de las ciencias como la biología, química, la bioquímica, la física, biofísica entre otras. Los resultados con los estudiantes de ingeniería son prometedores. Según las autoras “Cuando se trabaja con la Matemática en Contexto de las Ciencias el estudiante debe asumir un rol protagónico en el proceso de enseñanza aprendizaje y el profesor se convierte en un orientador que facilita la apropiación del conocimiento, fomenta la solidaridad, el respeto y el trabajo en equipo.” 37 Trejo Trejo, E.; Camarena Gallardo, P; Trejo Trejo, N. (2013). Las matemáticas en la formación de un ingeniero: una propuesta metodológica. Revista de Docencia Universitaria. REDU. Vol. 11, Número especial dedicado a Engineering Education, pp. 397-424. Recuperado el (5 de diciembre de 2014) en http://red-u.net
  44. 44. 44 Este antecedente vislumbra las posibilidades que se tiene al utilizar las matemáticas aplicadas para modelar la realidad utilizando las ecuaciones en diferencia. Otro recurso importante y dinamizador de un participación activa de los estudiantes son los recursos tecnológicos ya sea para procesar información o para comunicar y compartir resultados, procesos o conceptos matemáticos. Figura 9: Elementos del Marco Teórico MODELACIÓN MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ECUACIONES EN DIFERENCIA
  45. 45. 45 CAPÍTULO 3: METDOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO La construcción del modelo didáctico se soporta en los principios básicos:  Aprender matemática = Hacer matemática  Importancia de los modelos discretos  Las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación Una vez establecido el modelo didáctico se realizará el diseño de actividades de aprendizaje, luego se procederá a su aplicación y validación. 3.1. Principios Para plantear un modelo didáctico que responda a la situación de los estudiantes y al contexto social y educativo colombiano; se enuncian los siguientes principios acerca del quehacer matemático, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, la importancia de los modelos discretos para representar diferentes eventos relacionados con la dinámica de poblaciones, amortización de deudas en el área financiera, y otras situaciones en diferentes campos de las ciencias aplicadas y el tema específico de las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación. 3.1.1. Aprender matemática = Hacer matemática Las actividades didácticas, los procesos de enseñanza aprendizaje, los currículos, las herramientas tecnológicas y demás recursos educativos deben estar debidamente armonizados con la realidad social, económica y política de Colombia. Esto significa que los temas matemáticos se deben desarrollar en relación con contextos de eventos cotidianos que puedan ser de interés para los estudiantes según su perfil profesional y las ciencias que soportan el núcleo básico de conocimiento de los futuros profesionales. Al utilizar las matemáticas para comprender situaciones de la física, la química, la biología y otras ciencias aplicadas, los estudiantes pueden a partir del “hacer
  46. 46. 46 matemáticas” lograr aprendizajes integrales, con una visión interdisciplinar y por lo tanto adquirir competencias matemáticas orientadas a su desempeño profesional. Para la construcción del modelo didáctico y el diseño de las actividades de aprendizaje se establece que sea el estudiante un participante activo del proceso educativo, y reconozca la relación de los temas tratados con situaciones de interés disciplinar. Se pretende que el estudiante desarrolle sus habilidades matemáticas a partir del hacer matemáticas. Figura 10: Habilidades y destrezas que se espera desarrollen los estudiantes con la aplicación de las actividades didácticas38 Cada actividad de aprendizaje se diseñará teniendo en cuenta los pasos a seguir para la resolución de problemas con las siguientes directrices: 38 Creación del autor Operación y manipulación de objetos matemáticos Desarrollo y ejercitación de la capacidad mental, la creatividad, la confianza en si mismo Reflexión y toma de consciencia de sus proceso de pensamiento Preparación para otros problemas de las ciencias , la tecnología o de situaciones cotidianas ESTUDIANTE
  47. 47. 47 Figura 11: Elementos de la Resolución de Problemas39 • Presentación de la “situación problema”, situación a ser modelada, es el docente quien elige y organiza la información para que esta situación sea ajustada a los intereses de los estudiantes, al tema de ecuaciones en diferencia a estudiar, el programa curricular y el énfasis del perfil profesional según la carrera a la que se dirige el curso. Para el planteamiento se puede tener en cuenta la historia, aplicaciones, juegos o modelos relacionados con la temática central. • Trabajo autónomo de los estudiantes, una vez se socializa con los estudiantes las indicaciones e información de la actividad se orienta a que en forma grupal o individual los estudiantes, realicen propuestas para analizar y diseñar un plan de acción encaminado a la construcción del modelo solicitado y a la realización de las propuestas de la guía de aprendizaje. 39 Adaptado del texto de Miguel de Guzman •Trabajo autónomo de los estudiantes •Análisis y conclusiones de los estudiantes Presentación de "Sitiuación Problema" •Afianzamiento formalizado •Generalización •Nuevos Problemas Elección de estrategias para la solución a las cuestiones planteadas
  48. 48. 48 • Elección de estrategias para la solución a las cuestiones planteadas, los estudiantes con la orientación del docente eligen la mejor estrategia a ser utilizada para consolidar el modelo matemático a proponer. • Análisis y conclusiones de los estudiantes, los estudiantes ejecutan su plan de acción y presentan sus resultados, informe y análisis y conclusiones del modelo que proponen según la situación problema. • Afianzamiento formalizado y Generalización, de acuerdo a la dinámica del grupo y el desarrollo de las actividades de aprendizaje el docente retroalimenta los conceptos matemáticos y generaliza Este principio tiene sus raíces en la concepción cuasi-empírica de la matemática, y por tanto se debe enfatizar que se propondrán actividades que permitan al estudiante "vivir" el proceso de hacer matemática: experimentar, conjeturar, comprobar, demostrar, aplicar 3.1.2. Importancia de los modelos discretos Una de las ecuaciones en diferencias más antiguas es la sucesión de Fibonacci, presentada en 1202, por el famoso italiano Leonardo de Pisa. Esta sucesión corresponde al siguiente planteamiento: Si una pareja de conejos adultos procrea una pareja de conejos cada mes, ¿cuántos pares de conejos, habrá después de un año?. Cada pareja de conejos alcanza su edad adulta a los dos meses de nacidos. Si F (n) es el número de pares de conejos al final del mes n, entonces la ecuación en diferencias de segundo orden que representa este modelo es:           1110,11  FyFconnFnFnF Esta relación entre las ecuaciones en diferencia y la biología data de muchos años atrás, pero con los métodos del cálculo diferencial propuestos por Newton desde 1732 para modelar diferentes eventos de las ciencias naturales y económicas con las ecuaciones diferenciales se ha visto opacada y olvidada.
  49. 49. 49 La teoría moderna de las ecuaciones en diferencias se debe a los matemáticos Henri Poincaré y George Birkhoff. En el texto "Ecuaciones Sur LesLlineaires Differentielles Aux Ordinaires Et Aux Differences Finites"40 , Poincaré presentó el estudio de la representación asintótica de soluciones de ecuaciones en diferencias lineales no autónomas. Otros autores como George Birkhoff y sus colaboradores41 , desarrollan la teoría formal de las ecuaciones en diferencias analíticas. Otra área donde las ecuaciones en diferencias han jugado un papel destacado es el análisis numérico. Al aproximar una ecuación diferencial dada, a través de un método de “discretización”, a una ecuación en diferencias. Sin embargo, estos métodos de discretización pueden conducir a la inestabilidad y el comportamiento a veces caótico. Para remediar esta situación, Ronald Mickens introdujo un esquema de discretización no estándar que es dinámicamente coherente 42 , expuesto en el texto “Applications of nonstandard finite difference schemes”. En las décadas de los sesentas y setentas, surge la teoría moderna de las ecuaciones en diferencias. Los trabajos de Alexander Nikolai Sharkovsky con su teorema fundamental sobre los períodos de mapas continuos en la recta real43 . Diez años después y de forma independiente se enuncia este teorema en los trabajos de TY Li y James Yorke en " Period three implies chaos"44 . En 1978, Mitchell Feigenbaum 45 descubrió una constante universal, el "número de Feigenbaum," que es compartida por los mapas continuos unimodales en la recta real. Desde entonces, la teoría del caos ha estado presente en la frontera de las ciencias, como son la física y la economía. En 1976, las ecuaciones en 40 Poincare, H., Sur les equations lin´eaires aux differentielles ordinaires et aux diff´erences finies, Amer. J. Math. 7 (1885), 203–258. 41 Birkhoff, G., Formal theory of irregular difference equations, Acta Math. 54 (1930), 205–246. 42 Mickens, R., Applications of nonstandard finite difference schemes, World Scientific, Singapore, 2000. 43 Elaydi, S., Is the world evolving discretely?, Adv. in Appl. Math. 31(1) (2003), 1–9. 44 Li, T.Y., and J.A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly 82 (1975), 985–992. 45 Feigenbaum, M., Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Statist. Phys. 19 (1978), 25–52.
  50. 50. 50 diferencias recibieron un gran impulso gracias a la labor fundamental de Robert May quien ha difundido su uso para el desarrollo de modelos biológicos, pues como lo señala el texto “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, las ecuaciones en diferencia proporcionan modelos simples para las describir dinámicas de población aunque sean complejas46 . Las últimas tres décadas presentan un crecimiento exponencial en el área de las matemáticas aplicadas a la biología, aparecen nuevas revistas científicas y libros dedicados al tema. En la actualidad existen dos formas de enfocar las ecuaciones en diferencias. Una de ellas presenta las ecuaciones en diferencias como el análogo discreto de ecuaciones diferenciales. Tal es el caso de los autores Lakschmikantham y Trigiante47 , Agarwal48 , y Elaydi49 entre otros. La segunda presenta las ecuaciones en diferencias como iteraciones de mapas o como sistemas dinámicos discretos. Se plantea cuestiones como la estabilidad, la bifurcación y el caos. Los autores Devaney50 , Strogatz51 , Alligood et al52 , entre otros le dan este tratamiento a las ecuaciones en diferencias. La investigación en ecuaciones en diferencias avanza, y los límites entre los dos enfoques son cada vez más borrosos. Se estudian y desarrollan modelos discretos propios de la biología y la economía sin pasar por las ecuaciones diferenciales. También se ha argumentado recientemente que las ecuaciones en diferencias son el medio adecuado para modelar los fenómenos físicos53 . La 46 May, R., Simple mathematical models with very complicated dynamics, j. (1976). 47 Lakshmikantham, V. and D. Trigiante, Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications, Second Edition, Marcel Dekker, New York, 2002. 48 Agarwal, R.P., Difference Equations and Inequalities, Marcel Dekker, New York, 1992. 49 Elaydi, S., An Introduction to Difference Equations, Third Edition, Springer–Verlag, New York, 2004. 50 Devaney, R., A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiments, Addison- Wesley, Reading, MA, 1992. 51 Strogatz, S., Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, Perseus Books Group, 2001. 52 Alligood, K., T. Sauer, J. Yorke, CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems, Springer–Verlag, New York, 1997. 53 Elaydi, S., Is the world evolving discretely?, Adv. in Appl. Math. 31(1) (2003), 1–9.
  51. 51. 51 cuestión de si el tiempo es discreto ha sido resuelta afirmativamente desde hace tiempo en la mecánica cuántica, y recientemente defendida por las propuestas de modelación de sistemas discretos. 3.1.3. Las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación Los modelos discretos son aquellos en los que las variables de estado cambian instantáneamente en instantes separados de tiempo. Los procedimientos del análisis numérico, algunos de probabilidad y estadística, la simulación discreta, investigación de operaciones, las matemáticas financieras, la combinatoria, la teoría de juegos, la teoría de grafos y redes, máquinas de estados finitos, una parte de la teoría de números, una parte del algebra moderna, álgebra booleana, codificación, análisis de algoritmos, funciones numéricas discretas y funciones generatrices, diseños combinatorios, geometrías finitas, lógica, teoría de conjuntos finitos, optimización combinatoria, lenguajes formales, modelos o procesos estocásticos, entre otras son ramas de las matemáticas que utilizan variables discretas. Muchos eventos se presentan como una realidad aproximada, discontinua y discreta, finita, aleatoria, caótica, esta situación es muy común, y por lo tanto es susceptible de ser modelada por las matemáticas DISCRETAS, ESTOCÁSTICAS, NUMÉRICAS, COMPUTACIONALES, RECURSIVAS, la estadística, la probabilidad, la computación y la simulación. Las situaciones en las que interviene una variable discreta son de gran importancia en la solución de problemas asociados a las ciencias económicas, contables y administrativas. Entre estas pueden nombrarse las relaciones de oferta y demanda cuando estas dependen del tiempo medido en días, meses o años; el valor acumulado de una inversión cuando depende del tiempo medido por periodos de capitalización; el saldo en un sistema de amortización cuando se pagan cuotas periódicas, etc. Estos ejemplos y muchos más justifican el estudio de las ecuaciones en diferencias, en la cual la variable independiente debe ser discreta y, por tanto, constituyen una de las herramientas matemáticas usadas para resolver estos problemas.
  52. 52. 52 Casi la totalidad de problemas que relacionan valores con respecto al tiempo (propios de las matemáticas financieras), siempre consideran el valor en un periodo respecto al inmediatamente anterior, esto indica que sólo se necesita el estudio de las ecuaciones en diferencia de primer orden. Con respecto a la relación que existe entre las ecuaciones en diferencias y la educación, se dice que, los prerrequisitos que exigen la solución de este tipo de ecuaciones son mínimos (solamente aritmética y algebra), por lo tanto, se pueden usar en cualquier nivel del área de las matemáticas. En esta investigación se abordarán los temas de matemáticas básicas en la solución de problemas, las matemáticas financieras y la introducción a las ecuaciones diferenciales a través de las ecuaciones en diferencias. 3.2. Metodología para el diseño y evaluación de actividades de aprendizaje A continuación se describen los aspectos a tener en cuenta para diseñar y evaluar un conjunto de actividades didácticas para el aprendizaje de la modelación matemática a través de las ecuaciones en diferencia. (Union, 2005, págs. 57 - 67) Situación Inicial de los Estudiantes Referentes tecnológicos, normativos e institucionales Objetivos, metas Contenidos Metodos y Procesos de trabajo Evaluación
  53. 53. 53 Figura 12: Adaptada del Modelo de la Teoría Didáctica definida por Hilde Hiim y Else Hippe54 3.2.1. Situación Inicial de los Estudiantes Para garantizar que el conjunto de actividades didácticas se adapte a las necesidades de aprendizaje de los estudiantes se realizan pruebas iniciales que den cuenta de su situación inicial individual y grupal. La caracterización de los estudiantes tiene en cuenta sus habilidades, aptitudes o competencias. A continuación se lista las habilidades y cuestiones que permiten al docente diseñar estas pruebas: Tabla 4: Habilidades y aptitudes de los estudiantes a ser evaluadas en las pruebas iniciales HABILIDADES/APTITUDES CUESTIONES Propias del perfil profesional ¿Qué sabe? ¿Cuál es su formación previa? Comunicativas ¿Cómo interpreta la información y la relaciona con el lenguaje matemático? Sociales ¿Qué actitud tiene para el trabajo en grupo y en equipo? Manejo de TICs ¿Qué programas o recursos tecnológicos maneja? Nivel de Motivación ¿Qué le interesa? ¿Qué expectativas tiene? 54 Pérez, F. F. (18 de febrero de 2000). iblio 3W. Revista Bibliográfica de Geografía y Ciencias Sociales. Recuperado el 2 de diciembre de 2014, de iblio 3W. Revista Bibliográfica de Geografía y Ciencias Sociales: http://www.ub.edu/geocrit/b3w-207.htm Union, S. –G. (2005). Getting Started with ODL.
  54. 54. 54 Forma de aprender ¿Cómo estudia? ¿Qué actividades realiza para aprender? Se diseñará un instrumento para dar cuenta de los conocimientos previos de los estudiantes 3.2.2. Referentes Tecnológicos, normativos e institucionales En el diseño de un curso, y el conjunto de actividades didácticas a implementar se tiene marcos de referencia que inciden en su diseño a continuación se indican los diferentes referentes para el diseño de un conjunto de actividades didácticas para el aprendizaje de la modelación matemática a través de las ecuaciones en diferencia. Tabla 5: Referentes tecnológicos, normativos e institucionales para el modelo didáctico REFERENTE DESCRIPCIÓN Tecnológicos Software Mathematica Normativo Legislación de la Educación superior Colombia Institucional Programas de estudios, intensidad horaria, número de créditos, programación académica, de las carreras de Ingeniería y de Ciencias Económico administrativas y contables Habilidades del Docente Formación, Nivel académico y Perfil del Docente 3.2.3. Objetivos, metas El planteamiento de los objetivos debe corresponder a los propósitos de la enseñanza y aprendizaje de la Modelación Matemática. Los objetivos pueden ser cognitivos, actitudinales o de conocimiento. Los objetivos responden a las preguntas de que conocimientos, habilidades o actitudes deben
  55. 55. 55 tener los estudiantes después de concluidas las actividades didácticas propias del curso. En el presente trabajo de investigación, se van a realizar tres grupos de actividades: a) Grupo 1: Solución de problemas de matemática básica a través de las ecuaciones en diferencias. b) Grupo 2: Solución de problemas de propios de las matemáticas financieras a través de las ecuaciones en diferencias. c) Grupo 3: Introducción a las ecuaciones diferenciales a partir de las ecuaciones en diferencias. 3.2.4. Contenidos En Los contenidos corresponden al currículo explicito e implícito dado por los referentes institucionales y los programas de las asignaturas de cada carrera. A continuación se listan los temas a desarrollar con las actividades didácticas a ser diseñadas. Tabla 6: Contenidos temáticos de las actividades a realizar Contenidos Problemas de Pre-cálculo Matemáticas Financieras Dinámica de Poblaciones 3.2.5. Métodos y Procesos de trabajo Los métodos se refieren a la relación en la enseñanza y el aprendizaje que se utilizan para elaborar la parte procedimental de las actividades didácticas. Pueden orientarse a desarrolla habilidades en los estudiantes, promover la comprensión y el uso de los conceptos y técnicas o a desarrollar el conocimiento de forma constructiva.
  56. 56. 56 Los procesos de trabajo se desarrollaran conforme a las matemáticas en contexto y la resolución de problemas. 3.2.6. Evaluación Para diseñar la evaluación se establece: ¿Qué se quiere evaluar?  Conforme a la relación del aprendizaje con los objetivos planteados.  El aprendizaje antes y después de concluido el proceso de aprendizaje ¿Por qué se evalúa? ¿Cómo evaluar? ¿Quién evalúa
  57. 57. 57 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Advances in Difference Equations. 3rd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA-2014). 2. Barrantes H (2006). Resolución de Problemas. El trabajo de Allan Schoenfeld. Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta Matemáticas, UCR. Escuela de Ciencias exactas y naturales UNED. Año . No.1. 3. Bryan Winkel (2011). International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Cross coursing in mathematics: physical modelling in differential equations crossing to discrete dynamical systems. Department of Mathematical Sciences, United States Military Academy, 646 Swift Road, West Point, NY 10996-1501, USA. 4. Brito M.L, Romero I. A, Guerra E.F. (2011). El papel de la modelación matemática en la formación de los ingenieros Ingeniería Mecánica. Vol. 14. No. 2, mayo-agosto, 5. Barquero, Bosch y Gascón. La modelización como instrumento de articulación de las matemáticas del primer ciclo universitario de Ciencias. Universidad Autónoma de Barcelona. Recuperado el 13 de mayo de 2012 en http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2507874 6. Camarena, P. (s.f.) (2014). Matemáticas del mundo real. Recuperado el 30 de Octubre de 2014, de Matemáticas del mundo real: http//www..m2real.org/IMG/pdf_Patricia_Camarena_Gallardo- II.pdfCamarena,P.(s.f.). 7. Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, pp. 15-25. Recuperado el 8 de mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf 8. Dujet, C. (2007). Matemáticas del Mundo Real. Recuperado el 30 de 10 de
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  60. 60. 60 ANEXO 1 ACTIVIDAD No. 1 PROPOSITO QUE LOS ESTUDIANTE LOGREN MODELAR LA ELIMINACIÓN DE FARMACOS DEL ORGANISMO. ¿UNA VEZ ADMINISTRADO UN MEDICAMENTO, ES POSIBLE SU ELIMINACIÓN TOTAL DEL ORGANISMO? PREREQUISITOS CONOCIMIENTO DE FUNCIONES POLINOMICAS, LOGARITMICAS, EXPONENCIALES Y SU GRAFICACIÓN MATERIALES – RECURSOS SOFTWARE GRAFICADOR, CALCULADORA, PAPEL MILIMETRADO, LAPIZ PAPEL. ORIENTACIONES GENERALES AL RESOLVER LAS PREGUNTAS 1 A 4 LOS ESTUDIANTES RECONOCEN  VARIABLES DISCRETAS  LAS DIFERENCIAS ENRTRE VALORES CONSECUTIVOS Y ECUACIONES EN DIFERENCIAS COMO HERRAMIENTA PARA FORMULAR MODELOS
  61. 61. 61 AL RESOLVER LOS NUMERALES 5 A 8 LOS ESTUDIANTES UTILIZAN LAS DIFERENCIAS Y LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARA RESOLVER INTERROGANTES COMO  PREDICCIÓN DE CONCENTRACIÓN DE FARMACO EN EL ORGANISMO DESPUES DE UN TIEMPO DADO  TIEMPO AL CUAL UN FARMACO SE HA ELIMINADO CASI EN SU TOTALIDAD  COMO SE AFECTA LA ELIMINACIÓN DE UN FARMACO DEPENDIENDO SI HAY DOSIS REPETIDAS, SI HAY INTERACCIÓN CON OTROS FARMACOS O ALIMENTOS O BEBIDAS, NIVEL DE SALUD DEL PACIENTE  CONFRONTACIÓN DE RESULTADOS CON LA TERAPIAS APLICADAS POR LOS MEDICOS.
  62. 62. 62 ELIMINACIÓN DE FARMACOS EN EL CUERPO Analice 1. Se estudia una molécula nueva para la formulación de un medicamento antibiótico que se utiliza para combatir infecciones pulmonares. Este medicamento se suministra a un paciente, vía intravenosa, en una dosis de 40mg. Se realiza un monitoreo al paciente cada hora y se tienen los siguientes resultados durante las primeras 8 horas: Para el análisis de esta información y proponer un modelo que nos permita saber cuántas horas después se ha eliminado el fármaco del organismo y en qué momento se alcanza la vida media del fármaco (Tiempo al cual la concentración del fármaco es igual a la mitad de la inicial). Se propone: Realizar la gráfica que represente los datos Analizar el tipo de grafico Realizar el análisis de la variable conforme cambian en el tiempo. Realizar las siguientes diferencias:      tCtCtC 1 C(t=1)-C(t=0) = C(t=2)-C(t=1) = C(t=3)-C(t=2) = C(t=4)-C(t=3) = C(t=5)-C(t=4) = C(t=6)-C(t=5) = C(t=7)-C(t=6) = C(t=8)-C(t=6) = t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C(t) 40,00 36,00 32,00 28,00 24,00 20,00 16,00 12,00 8,00
  63. 63. 63 ¿Encuentra alguna relación entre la diferencia de dos valores continuos de C(t) y el modelo a proponer?. ¿Qué significa y como establecería Δ(ΔC(t))? 2. Qué situaciones Ud. conoce, que tienen un comportamiento parecido al expuesto en el numeral 1. Escriba el modelo correspondiente utilizando la notación de diferencias. 3. Que cree que sucedería con una función polinómica de grado 2 y con una función polinomica de grado 3? 4. Que situaciones se pueden modelar con este tipo de funciones polinómicas, de por lo menos un ejemplo de cada una y expréselas con notación de diferencias. 5. Analice la siguiente situación y describa las diferencias con lo expuesto en los numerales anteriores. Para el análisis y formulación del modelo utilice la gráfica de las variables, y la técnica de las diferencias El Prozac55 es uno de los fármacos más ampliamente formulados para combatir la depresión extrema. Por lo general un paciente toma una tableta diaria de Prozac. Se sabe que el principio activo es absorbido y pasa a la sangre, luego es depurado en los riñones, que se encargan de filtrar las sustancias químicas extrañas del cuerpo. También está indicado para el tratamiento de la Bulimia nerviosa con una dosis diaria de 60mg. Se monitorea, durante 15 días, a un paciente que se le ha administrado 60 mg de Prozac, para determinar la concentración sérica del fármaco y se obtuvieron los siguientes resultados: 55 La fluoxetina (conocida comercialmente como Prozac) es un antidepresivo de la clase Inhibidor Selectivo de la Recaptación de la Serotonina (ISRS). La fluoxetina fue documentada en 1974 por los científicos Eli Lilly and Company. Fue presentada a la FDA en 1977 y recibió la aprobación a finales de 1987. Su patente expiró en Agosto de 2001. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C(t) 60,000 55,200 50,784 46,721 42,984 39,545 36,381 33,471 30,793 28,330 26,063 23,978 22,060 20,295 18,672 17,178

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