2. Konsep Eliminasi Gauss
• Eliminasi Gauss adalah metode yang digunakan untuk mencari
akar dari persamaan linear. Persamaan linier adalah kumpulan
persamaan-persamaan yang memiliki variabel-variabel yang
sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n
peubah dinyatakan sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2
.
.
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn = bn
3. Konsep Eliminasi Gauss
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2
.
.
am1x1 + am2x2 + …. + amnxn = bn
Persamaan di atas dalam matriks dapat digambarkan:
4. Konsep Eliminasi Gauss
• Contoh: Gambarkan bentuk matriks dari persamaan berikut:
x1 – 4x2 + 15x3 = 44
2x1 + 5x2 – x3 = 12
- 2x2 + 4x3 = 10
• Jawab: Dengan menggunakan bentuk umum matriks dari
persamaan linear, maka bentuk matriks untuk persamaan
linear di atas adalah:
5. Konsep Eliminasi Gauss
• Jika diketahui persamaan linear sebagai berikut:
• Maka bentuk matriksnya:
• Atau secara sederhana dapat dituliskan:
6. Konsep Eliminasi Gauss
• Tujuan dari Eliminasi Gauss adalah untuk mengubah Matriks A
menjadi matriks diagonal di mana nilai elemen pada diagonal
matriks adalah 1, dan juga untuk mengubah Matriks A menjadi
matriks segitiga atas, di mana elemen-elemen di bawah
diagonal bernilai 0.
• Kesimpulannya, Matriks A akan berubah menjadi:
7. Konsep Eliminasi Gauss
Jika:
R1 adalah setiap elemen pada baris 1, yaitu: a11, a12, a13, dan b1.
R2 adalah setiap elemen pada baris 2, yaitu: a21, a22, a23, dan b2.
R3 adalah setiap elemen pada baris 3, yaitu: a31, a32, a33, dan b3.
Maka tahapan penyelesaian Eliminasi Matriks adalah:
1. Untuk mendapatkan R1 yang baru, bagilah semua elemen di
baris 1 dengan a11.
R1 baru = a11/a11, a12/a11, a13/a11, b1/a11
2. Untuk mendapatkan R2 yang baru, gunakan cara:
R2 baru = a21 – [(a21/a11)a11], a22 - [(a21/a11)a12] , a23 - [(a21/a11)a13],
b2 - [(a21/a11)b1]
3. Untuk mendapatkan R3 yang baru, gunakan cara:
R3 baru = a31 – [(a31/a11)a11], a32 - [(a31/a11)a12] , a33 - [(a31/a11)a13],
b - [(a /a )b ]
8. Konsep Eliminasi Gauss
4. Kemudian bagi semua elemen R2 dengan a22:
R2 baru = a21/a22, a22/a22, a23/a22, b2/a22
5. Dapatkan lagi R1 yang baru dengan cara:
R1 baru = a11 – [(a12/a22)a21], a12 - [(a12/a22)a22] , a13 - [(a12/a22)a23],
b1 - [(a12/a22)b2]
6. Dapatkan lagi R3 yang baru dengan cara:
R3 baru = a31 – [(a32/a22)a21], a32 - [(a32/a22)a22] , a33 - [(a32/a22)a23],
b3 - [(a32/a22)b2]
7. Kemudian bagi semua elemen R3 dengan a33:
R3 baru = a31/a33, a32/a33, a33/a33, b3/a33
9. Konsep Eliminasi Gauss
8. Dapatkan lagi R1 yang baru dengan cara:
R1 baru = a11 – [(a13/a33)a31], a12 - [(a13/a33)a32] , a13 - [(a13/a33)a33],
b1 - [(a13/a33)b3]
9. Dapatkan lagi R2 yang baru dengan cara:
R2 baru = a21 – [(a23/a33)a31], a22 - [(a23/a33)a32] , a23 - [(a23/a33)a33],
b2 - [(a23/a33)b3]
10. Sampai pada tahap ini, matriks akan berbentuk:
10. Konsep Eliminasi Gauss
10. Sampai pada tahap ini, matriks akan berbentuk:
11. Persamaan linear dari matriks di atas adalah:
12. Sehingga solusi persamaannya adalah:
11. Konsep Eliminasi Gauss
• Contoh: Diketahui persamaan linear sebagai berikut:
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 – 5x3 = 0
Tentukan nilai x1, x2, dan x3!
Jawab:
Bentuk matriks dari persamaan di atas adalah:
12. Konsep Eliminasi Gauss
• Langkah-langkahnya:
1. Kalikan baris (i) dengan -2, lalu tambahkan ke baris (ii):
2. Kalikan baris (i) dengan -3, lalu tambahkan ke baris (iii):
13. Konsep Eliminasi Gauss
• Langkah-langkahnya:
3. Kalikan baris (ii) dengan ½:
4. Kalikan baris (ii) dengan -3, lalu tambahkan ke baris (iii):
14. Konsep Eliminasi Gauss
• Langkah-langkahnya:
5. Kalikan baris (iii) dengan -2:
• Dari matriks di atas telah didapat matriks segitiga bawahnya.
Sehingga persamaan di atas menjadi:
x1 + x2 + 2x3 = 9
x2 – 7/2x3= -17/2
x3 = 3
15. Konsep Eliminasi Gauss
• Langkah-langkahnya:
x1 + x2 + 2x3 = 9
x2 – 7/2x3= -17/2
x3 = 3
• Kemudian dengan menggunakan teknik penyulihan mundur,
akan didapat:
x3 = 3
x2 – 7/2(3) = -17/2 x2 = 2
x1 + (2) + 2(3) = 9 x1 = 1
