1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Matematika 2
Determinan
Beny Nugraha, MT, M.Sc
10FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Ekspansi Kofaktor
• Jika sebuah matriks dengan orde n memiliki determinan, maka yang
dimaksud dengan Minor unsur aij adalah determinan yang berasal
dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan
kolom ke-j.
• Contoh: Jika terdapat matriks orde-4 sebagai berikut:
• Maka, Minor unsur a32 adalah matriks yang tidak memiliki unsur dari
baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks D, atau digambarkan:

3. Ekspansi Kofaktor
• Maka, Minor unsur a32 adalah matriks yang tidak memiliki unsur dari
baris ke-3 dan kolom ke-2 matriks D, atau digambarkan:
• Sedangkan pengertian Kofaktor suatu unsur determinan aij
adalah:

4. Ekspansi Kofaktor
• Contoh: Terdapat matriks berikut:
• Maka, Minor a32 adalah:
• Nilai dari Minor a32 adalah: 2.7 – 4.5 = -6
• Sedangkan Kofaktor a32 adalah: C32 = (-1)3+2 (-6) = 6

5. Teorema Laplace
• “Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian
elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan
kofaktor-kofaktornya”. Atau dengan kata lain:
• Di mana nilai i sembarang, Persamaan di atas disebut uraian
baris ke-i (Ekspansi Baris).
• Di mana nilai j sembarang, Persamaan di atas disebut uraian
kolom ke-j (Ekspansi Kolom).

6. Teorema Laplace
• Contoh: Hitung determinan matriks berikut dengan Minor dan
Kofaktor:
• Jawab:
Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan
ekspansi kolom ke-1 dari matriks A. Maka:
Minor a11:

7. Teorema Laplace
• Jawab:
Minor a21:
Minor a31:
Kofaktornya:
Maka determinan A adalah:

8. Teorema Laplace
• Latihan:
Hitung determinan matriks berikut dengan Minor dan Kofaktor:
𝐴 =
4 1 −3
2 −5
−2 0
4
6

9. Aturan Cramer
• Aturan Cramer dapat digunakan untuk menentukan solusi
Sistem Persamaan Linear (SPL). Aturan Cramer berbunyi:
“Misalkan SPL dengan n persamaan dan n variabel dapat ditulis
secara matriks Anxn Xnx1 = Bnx1 dan det(A) ≠ 0. Maka nilai dari
variabel xi dapat dihitung dengan rumus:
Di mana Ai adalah matriks yang diperoleh dari A dengan
mengganti kolom-i dengan matriks kolom B.”

10. Aturan Cramer
• Contoh: Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer:
2x1 + 3x2 + x3 = 13
-4x1 + 5x2 + 2x3 = 0
3x1 - 5x2 + 5x3 = 10
Jawab:

11. Aturan Cramer
• Sehingga:
x1 = |A1|/|A| = 387/129 = 3
x2 = |A2|/|A| = 258/129 = 2
x3 = |A3|/|A| = 129/129 = 1

12. Aturan Cramer
• Latihan:
Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer:
-x1 + 5x2 - 3x3 = 4
2x1 + 2x2 + 5x3 = 5
3x1 - 3x2 - 2x3 = 10

13. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc