Modul ini membahas tentang vektor eigen dan nilai eigen dari suatu matriks, serta cara mendiagonalisasi suatu matriks menggunakan vektor eigen dan nilai eigen-nya. Persamaan karakteristik digunakan untuk menemukan nilai eigen suatu matriks. Vektor eigen dari suatu matriks adalah vektor yang ketika dikalikan dengan matriks hasilnya adalah kelipatan skalar dari vektor itu sendiri.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Matematika 2
Eigen
Beny Nugraha, MT, M.Sc
13FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Vektor Eigen
• Misalkan A adalah matriks n x n, maka vektor x yang tidak nol
di Rn disebut vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah
kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λ x untuk suatu skalar λ.
Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.
• Contoh:
Terdapat matriks berikut:
Kemudian ada vektor:
Vektor x adalah vektor eigen dari A karena Ax adalah kelipatan
dari x:

3. Vektor Eigen
Vektor x adalah vektor eigen dari A karena Ax adalah kelipatan
dari x:
Dalam contoh di atas, nilai eigen, λ, adalah 3.

4. Vektor Eigen
Contoh: Terdapat matriks berikut:
Dan terdapat dua buah vektor:
Kedua vektor tersebut adalah vektor eigen dari matriks P karena:
Nilai-nilai eigen dari matriks P adalah λ1 = 2 dan λ2 = 1.

5. Vektor Eigen
Latihan:
Terdapat matriks berikut:
A =
3 0
8 −1
Tentukan apakah vektor-vektor berikut adalah vektor eigen dari
matriks A dan tentukan juga nilai eigen-nya!
a. Vektor a = (2, 4)
b. Vektor b = (6, -8)
c. Vektor c = (-3, -6)

6. Persamaan Karakteristik
• Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks yang berukuran
n x n, maka perlu diperhatikan kembali definisi vektor eigen
dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini dapat ditulis sebagai
berikut:
• Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian
yang tidak nol dari persamaan di atas. Persamaan di atas akan
mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian
non trivial) jika dan hanya jika:
det (λ I – A) = 0

7. Persamaan Karakteristik
• Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut
persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-
skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen
(nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu
berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom
karakteristik.
• Jika A adalah matriks n n, maka persamaan karakteristik dari
matriks A mempunyai orde n dengan bentuk:

8. Persamaan Karakteristik
• Jika A adalah matriks n n, maka persamaan karakteristik dari
matriks A mempunyai orde n dengan bentuk:
• Suatu matriks yang berukuran n n paling banyak mempunyai n-
nilai eigen yang berbeda.
• Contoh:
• Tentukan nilai eigen dari matriks:

9. Persamaan Karakteristik
• Jawab:
Persamaan karakteristik dari matriks Q adalah:
Solusi dari persamaan di atas adalah:
λ1 = 1 dan λ2 = 2. Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1
dan 2.

10. Persamaan Karakteristik
• Contoh: Carilah nilai eigen dari matriks berikut:
• Jawab:
Persamaan karakteristik matriks T adalah:

11. Persamaan Karakteristik
• Karena nilai-nilai eigen dari matriks T adalah bilangan imajiner,
sedangkan menurut definisi λ adalah skalar atau bilangan real.
Maka matriks T tidak mempunyai nilai eigen.

12. Latihan
Tentukan nilai eigen dari matriks-matriks
berikut:
a.
b.

13. Diagonalisasi
• Suatu matriks persegi (matriks bujursangkar) A dinamakan
dapat didiagonalkan (dapat didiagonalisasi) jika ada suatu
matriks P yang invertibel sedemikian rupa sehingga P-1AP
adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan
mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) matriks A.
• Berikut adalah tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang
berukuran n x n:
– Tahap 1. Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari matriks A yang
berukuran n x n. Misalnya p1, p2, ... , pn.
– Tahap 2. Bentuklah matriks P yang mempunyai p1, p2, ... , pn sebagai
vektor-vektor kolomnya.
– Tahap 3. Matriks D = P-1 A P adalah matriks diagonal dengan λ1, λ2, ... ,
λn sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutannya dan λi adalah nilai-
nilai eigen yang bersesuaian dengan pi untuk i = 1, 2, 3, …, n.

14. Diagonalisasi
• Contoh: Diketahui sebuah matriks
• Tentukan:
a. Matriks P yang mendiagonalisasi A.
b. Matriks diagonal D = P-1 A P.
Jawab:
a. Persamaan karakteristik dan nilai-nilai eigen matriks A:

15. Diagonalisasi
Jawab:
a. Persamaan karakteristik dan nilai-nilai eigen matriks A:
Untuk λ1 = 1, sistem persamaan linear homogennya:
(λ I – A )x = 0

16. Diagonalisasi
Jawab:
Jadi, basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 1
adalah p1 =

17. Diagonalisasi
Untuk λ2 = -1, sistem persamaan linear homogennya:
(λ I – A )x = 0
Jadi, basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ2 = -1
adalah p2 =

18. Diagonalisasi
Dengan demikian kita dapatkan bahwa (p1, p2) adalah bebas
linear, sehingga:
P =
1/3 0
1 1
akan mendiagonalkan matriks A.
b. Mencari matriks diagonal sekaligus sebagai pemeriksaan
bahwa D = P-1A P:

19. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc