O documento discute medidas de posição como quartis e percentis. Explica como dividir um conjunto de dados em quatro partes iguais usando quartis, e como dividir em 100 partes iguais usando percentis. Fornece a fórmula e os passos para calcular quartis e percentis a partir de dados agrupados em classes de frequência.

1. Medidas de posição

2. Professor Norimar de Melo Verticchio
2

3. Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais
Professor Norimar de Melo Verticchio
3

4. As notas dos testes de 15 funcionários matriculados em um curso de treinamento
são listadas a seguir. Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis das
notas dos testes.
13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17
Resolução
Em primeiro lugar é necessário ordenar os dados em ordem crescente:
5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37
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Q1 Q2 Q3
Determinar a posição dos quartis:
i
Qi = ⋅ (n + 1) onde i = 1, 2 ou 3
4
4
1 2 3
Q1 = ⋅16 = 4 Q2 = ⋅16 = 8 Q1 = ⋅16 = 12
4 4 4

5. 1 - Para os dados agrupados a posição do quartil é dada por:
i
POS (Qi ) = ⋅n onde i = 1, 2 ou 3
4
2 - Pelo valor da frequência acumulada (Fac) identifica-se a classe que contem o quarti
Para identificar essa classe podemos fazer a seguinte pergunta: Esta Fac
é maior ou igual a posição do quartil? Quando a resposta for positiva
aquela é a classe que contem o quartil.
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3 - Utiliza-se a seguinte formula para determinar o quartil:
li = limite inferior da classe
POS (Qi ) − FAC , ANT
Qi = li + ⋅h ni = frequência absoluta da classe
ni h = amplitude da classe 5

6. Para o conjunto abaixo, determine os valores do primeiro, segundo e terceiro quartis
xi ni Fac
ac Comparação
0 |------ 10
|------ 2 2 2 é maior ou igual a 6 – NÃO
10 |------ 20
10 |------ 5 7 7 é maior ou igual a 6 – SIM
20
20 |------
|------ 30 8 15
30
30 |------
|------ 40 6 21
40 |------ 50
40 |------ 3 24
Determinar as frequências acumuladas. Determinar a classe que contem o
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Determinar a localização dos quartis: primeiro quartil, comparando a Fac
i com a posição desse quartil:
POS (Qi ) = ⋅n onde i = 1, 2 ou 3
4
Utilizar a formula para calcular o quartil
1 2
POS (Q1 ) = ⋅ 24 = 6 POS (Q2 ) = ⋅ 24 = 12 POS (Qi ) − FAC , ANT
4 4 Qi = li + ⋅h
ni 6
3
POS (Q3 ) = ⋅ 24 = 18 6 − 2
4 Q1 = 10 + 
 5   ⋅10  ∴ Q1 = 18
→

7. Para o conjunto abaixo, determine os valores do primeiro, segundo e terceiro quartis
xi ni Fac Comparação
0 |------ 10 2 2 2 é maior ou igual a 12 – NÃO
10 |------ 20 5 7 7 é maior ou igual a 12 – NÃO
20 |------ 30 8 15 15 é maior ou igual a 12 - SIM
30 |------ 40 6 21
40 |------ 50 3 24
Determinar as frequências acumuladas. Determinar a classe que contem o
Professor Norimar de Melo Verticchio
Determinar a localização dos quartis: primeiro quartil, comparando a Fac
i com a posição desse quartil:
POS (Qi ) = ⋅ n onde i = 1, 2 ou 3
4
Utilizar a formula para calcular o quartil
1 2
POS (Q1 ) = ⋅ 24 = 6 POS (Q2 ) = ⋅ 24 = 12 POS (Qi ) − FAC , ANT
4 4 Qi = li + ⋅h
ni 7
3
POS (Q3 ) = ⋅ 24 = 18 12 − 7 
4 Q2 = 20 + 
 8   ⋅10  ∴ Q2 = 26,25
→

8. Para o conjunto abaixo, determine os valores do primeiro, segundo e terceiro quartis
xi ni Fac Comparação
0 |------ 10 2 2 2 é maior ou igual a 18 – NÃO
10 |------ 20 5 7 7 é maior ou igual a 18 – NÃO
20 |------ 30 8 15 15 é maior ou igual a 18 - NÃO
30 |------ 40 6 21 21 é maior ou igual a 18 - SIM
40 |------ 50 3 24
Determinar as frequências acumuladas. Determinar a classe que contem o
Professor Norimar de Melo Verticchio
Determinar a localização dos quartis: primeiro quartil, comparando a Fac
i com a posição desse quartil:
POS (Qi ) = ⋅ n onde i = 1, 2 ou 3
4
Utilizar a formula para calcular o quartil
1 2
POS (Q1 ) = ⋅ 24 = 6 POS (Q2 ) = ⋅ 24 = 12 POS (Qi ) − FAC , ANT
4 4 Qi = li + ⋅h
ni 8
3
POS (Q3 ) = ⋅ 24 = 18 18 − 15 
4 Q3 = 30 + 
 6   ⋅10  ∴ Q3 = 35
→

9. Os percentis dividem um conjunto de dados em 100 partes iguais
Para calcular os percentis devemos utilizar o seguinte procedimento:
Professor Norimar de Melo Verticchio
i Pela Fac POS ( Pi ) − FAC , ANT
POS ( Pi ) = ⋅n Pi = li + ⋅h
100 identifica-se a ni
classe que
contém o valor
Calcula-se a do percentil
posição da Utiliza-se a fórmula
9
medida

10. A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o percentil de ordem 23.
ESCORES
ESCORES ALUNOS
ALUNOS Fac
Fac
(ni))
(ni
35 |--- 45
35 |--- 45 5
5 5
5 5 é maior ou igual a 13,34? NÃO
45 |--- 55
45 |--- 55 12
12 17
17 17 é maior ou igual a 13,34? SIM
55 |--- 65
55 |--- 65 18
18 35
35
65 |--- 75
65 |--- 75 14
14 49
49
75 |--- 85
75 |--- 85 6
6 55
55
Professor Norimar de Melo Verticchio
85 |--- 95
85 |--- 95 3
3 58
58
TOTAL
TOTAL 58
58 --
Determinar a localização do 23º percentil: Utilizar a formula para calcular o quartil
23 POS ( Pi ) − FAC , ANT
POS (23) = ⋅ 58 = 13,34 Pi = li + ⋅h
100 ni
10
Determinar a classe que contem o
23º percentil, comparando a Fac com 13,34 − 5
P23 = 45 + ⋅10  ∴ P23 = 51,95
→
a posição deste: 12

11. Para as distribuições a seguir determine o valor do primeiro, segundo e terceiro
quartis e do decimo e nonagésimo percentil
Classe Frequência (ni)
16|--- 21 100
21|--- 26 122
26|--- 31 900
31|---36 207
Professor Norimar de Melo Verticchio
36|---41 795
41|---46 568
46|---51 322
11

12. 12
Medidas de
assimetria e curtose

13. E o grau de deformação de uma distribuição em relação ao
eixo de simetria
Professor Norimar de Melo Verticchio
13

14. Professor Norimar de Melo Verticchio
Coeficiente de Bowley:
14

15. E o grau de achatamento de uma distribuição
Professor Norimar de Melo Verticchio
Coeficiente de curtose:
15

16. Utilizando os resultados obtidos no exercício do slide 11, determine as
medidas de simetria e curtose de cada uma das distribuições.
Determine o tipo de simetria e curtose da seguinte distribuição:
Classes Fi
03 |- 08 5
08 |- 13 15
13 |- 18 20
18 |- 23 10
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16

17. Professor Norimar de Melo Verticchio
17