Integral

1. SMA - 1
Integral
A. Integral Tak Tentu
1. Rumus Integral Fungsi Aljabar
k x n+1 + c ; n ≠ -1
1
a n +
( 1)
(ax+b) n+1 + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1
sin dx = ∫
d
cos
dx = ln|x| +c )
d
sin
cos dx = ∫ x
1 cos (ax+b) + c
1 sin (ax+b) + c
1 ln|cos(ax+b)| + c
1 ln|sin(ax+b)| + c
1
a n +
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
1. ∫ k x n dx =
n +1
2. ∫(ax + b)n dx =
1 dx = ln|x| + c
x
x
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
3. ∫ x
4. ∫ ( f (x)dx ± g(x)dx) = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx
2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri
1. ∫sin x dx = - cos x dx + c
2. ∫cos x dx = sin x dx + c
3. ∫ tan x dx = ∫ x
cos
−
x
x
dx
cos
dx = - ln |cos x| + c ( ∫ x
4. ∫ctgx dx = ∫ x
sin
x
dx
sin
dx = ln |sin x| + c
5. ∫sin(ax + b) dx = -
a
6. ∫ cos(ax + b) dx =
a
7. ∫ tan(ax + b) dx = -
a
8. ∫ctg(ax + b) dx =
a
9. ∫ sinn (ax+b) cos(ax+b) dx =
( 1)
sin n+1 (ax+b) +c

2. SMA - 2
10. ∫cosn (ax+b) sin(ax+b) dx =
1
a n +
( 1)
cos n+1 (ax+b) +c
11. ∫ 2sin ax cos bx dx = a b x ∫ +
sin ( ) dx + ∫ − a b x
2
sin ( ) dx
2
1 tan (ax+b)+ c
14. ∫ c sec2 x dx = - ctg x + c
1 ctg (ax+b)+ c
a
16. ∫ tan x secx dx = sec x + c
17. ∫c tan x csecx dx = -csec x + c
3. Rumus-rumus Integral yang lain
1 a 2 arc sin (
x ) +
a
1 x a2 − x2 + c ( x = a sin θ ; sin θ =
2
1 a 2 ln |x + a2 + x2 | +
1 x a2 + x2 + c
1 a 2 ln |x + x2 − a2 | +
1 x x2 − a2 + c
x ) + c
dx = ln |x + a2 + x2 | + c
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
12. ∫ sec2 x dx = tan x + c
13. ∫ sec2 (ax+b)dx =
a
15. ∫ c sec2 (ax+b)dx = -
1. ∫ a2 − x2 dx =
2
x ) )
dx = arc sin (
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
x ;
a
θ = arc sin (
a
2. ∫ a2 + x2 dx =
2
2
3. ∫ x2 − a2 dx = -
2
2
4. ∫ a2 − x2
a
5. ∫ a2 + x2

3. SMA - 3
dx = ln |x + x2 − a2 | + c
x +
a
−
x | + c
dv (dikalikan dx)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
dx =
1 ln |
dx =
1 arc tan|
du + u .
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
6. ∫ x2 − a2
7. ∫ a2 − x2
2a
x a
| +c
8. ∫ a2 + x2
a
a
4. Integral Parsial
∫u dv = uv - ∫v du
Didapat dari :
y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x)
y’ = u’ v + u v’
= v u’ + u v’
dy = v.
dx
dx
dx
dy = v du + u dv
d (u.v) = v du + u dv
∫d(u.v) = ∫v du + ∫u dv
u.v = ∫v du + ∫u dv
∫u dv = uv - ∫v du
B. Integral Tertentu
∫ b
a
f (x) dx = F(x)
b
a |
= F(b) – F(a)
1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu-Sumbu Koordinat
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta
x = g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb :

4. SMA - 4
a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
L = ∫ b
a
f (x) dx
b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)
L = -∫ b
a
x f ) ( dx = ∫ a
b
f (x) dx
c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya
berada di atas sumbu x)
L = -∫ c
a
x f ) ( dx + ∫ b
c
f (x) dx
= ∫ a
c
x f ) ( dx + ∫ b
c
f (x) dx

5. SMA - 5
d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
L = ∫ b
a
g( y) dy
e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)
L = -∫ b
a
y g ) ( dy = ∫ a
b
g( y) dy
f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya

6. SMA - 6
berada di sebelah kanan sumbu y)
b
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
L = -∫ c
a
y g ) ( dy + ∫ b
c
g( y) dy
= ∫ a
c
y g ) ( dy + ∫ b
c
g( y) dy
2. Luas Daerah Antara Dua Kurva
a. Di atas sumbu x
L = ∫ b
a
y2 dx - ∫ b
a
y1dx = ∫ −
a
( y2 y1) dx

7. SMA - 7
b
b
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
b. Di bawah sumbu x
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
L = -∫ b
a
y2 dx - { -∫ b
a
y1dx } = ∫ b
a
y1dx - ∫ b
a
y2 dx = ∫ −
a
( y1 y2) dx
c. Di sebelah kanan sumbu y
L = ∫ b
a
x2 dy - ∫ b
a
x1dy = ∫ −
a
(x2 x1) dy

8. SMA - 8
3. Volume Benda Putar
a. Diputar terhadap sumbu x maka,
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
V= π y dx
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
b
a ∫
2
b. Diputar terhadap sumbu y maka,
b
a ∫
2
V= π x dy