Ecuaciones diferenciales

Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE
E.D.O. LINEALES
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Introducción 1

2 Series numéricas 1
2.1 Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia 4
3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binómicas . . . . 7

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales 9
4.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Introducción
Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de orden
superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin embargo, en las aplicaciones, se puede
observar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no más, que
las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y 00 + xy = 0,
no tienen soluciones expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicar
este tema a la búsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas por lo que se
denominan series de potencias.
Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de
potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtención de
soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedades
elementales de las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados básicos relativos a las
series numéricas que nos serán necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.

2 Series numéricas
Se llama serie de números reales a todo par ordenado ({an }, {Sn }) en el que {an } es una sucesión de
números reales arbitraria y {Sn } es la sucesión definida por:

S1 = a1
Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + · · · + an+1 para todo n ∈ N.

A {an } se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión {Sn } se llamará sucesión de
P
∞ P
sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por an (o más brevemente an ) a la serie de
n=1
término general {an }.

1

Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 2

P
Se dice que la serie de números reales an es convergente cuando su sucesión de sumas parciales es
convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito), en cuyo caso el límite de
la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa por
∞
X
an = lim Sn = lim (a1 + · · · + an ).
n→∞ n→∞
n=1

Cuando la sucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límite o bien el límite sea
±∞), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie.
Ejemplos:
1) Se denomina serie geométrica de razón r y primer término a, siendo a y r dos números reales no
nulos, a la
∞
X
arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·
n=1

Esta serie es convergente si y sólo si | r |< 1. En efecto, para r 6= 1, se tiene:
arn − a
Sn = a + ar + . . . + arn−1 =
r−1
y por tanto,
a
• a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn = y la serie es convergente independientemente del
1−r
a
valor de a siendo su suma .
1−r
b) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que
⎧
rn − 1 ⎨
+∞ si r > 1 y a > 0
lim Sn = lim a = −∞ si r > 1 y a < 0
n→∞ n→∞ r−1 ⎩
no existe si r < −1
c) Cuando r = −1, como la sucesión de sumas parciales es a, 0, a, 0, . . . y el número a es no nulo,
entonces la serie es divergente.
d) En el caso r = 1, se tiene que Sn = a · n y de ahí que la serie diverja para cualquier valor de a.
P1
2) La serie se denomina serie armónica. Dicha serie es divergente pues se verifica que lim Sn =
n
+∞, ya que, como se puede comprobar, la sucesión de sumas parciales {Sn } es estrictamente
creciente y no está acotada superiormente.
P 1
3) Para cada número real α, la serie recibe el nombre de serie armónica de orden α. El estudio
nα
de la convergencia de esta serie pone de manifiesto que, para α ≤ 1, dicha serie es divergente y para
α > 1, la serie es convergente.

Veremos ahora dos propiedades generales de las series numéricas.
Teorema 2.1 (Condición necesaria de convergencia) Una condición necesaria para que la serie
P
an sea convergente es que lim an = 0.
P P
Teorema 2.2 (Propiedad de linealidad) Si las series
P an y bn son convergentes, entonces la
serie (αan + βbn ) con α, β ∈ R es convergente y se cumple:
∞
X ∞
X ∞
X
(αan + βbn ) = α an + β bn .
n=1 n=1 n=1

A continuación daremos algunos resultados importantes en el estudio de la convergencia de algunos
tipos de series.


2.1 Series de términos no negativos
P
Definición 2.1 Una serie an tal que an ≥ 0 para todo n ∈ N, se denomina serie de términos no
negativos.

La sucesión de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es convergente si,
y sólo si, la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. Este hecho hace que las series de
términos no negativos sean especialmente fáciles de tratar, y aunque se dispone de numerosos criterios
de convergencia para las mismas, únicamente veremos los criterios de comparación, de D’Alembert, de
Raabe y de Pringsheim.

Teorema 2.3 (Criterio de comparación) P P
Si, para las series de números reales no negativos an y bn , se cumple la desigualdad

an ≤ bn para todo n ≥ p,
P P
entonces se verifica: si la serie bn
P es convergente, la serie P n es convergente.
a
Y en consecuencia: si la serie an es divergente, la serie bn es divergente.
P
Teorema 2.4 (Criterio de D’Alembert o del cociente) Si an es una serie de términos positivos
tal que existe
an+1
lim =λ∈R
n→∞ an

se verifica:
P
1) Si λ < 1, entonces la serie an es convergente.
P
2) Si λ > 1, pudiendo ser λ = +∞, entonces la serie an es divergente.
an+1
3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea > 1 para todo n a partir de un cierto p ∈ N
P an
en cuyo caso la serie an es divergente.
P
Teorema 2.5 (Criterio de Raabe)Si para la serie de términos positivos an existe el límite
µ ¶
an+1
lim n 1 − =λ
n→∞ an
entonces:

1) Si 1 < λ ≤ ∞ , la serie converge.
2) Si −∞ ≤ λ < 1, la serie diverge.
µ ¶
an+1
3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea n 1 − < 1 para todo n ≥ p en cuyo caso
an
la serie diverge.

Teorema 2.6 (Criterio de Pringsheim)
P
Si an es una serie de términos no negativos, y existe un número real α tal que la sucesión
{nα an }converge a un número real positivo, entonces:
X
an converge si, y sólo si, α > 1.


2.2 Series alternadas
Definición 2.2 Las series cuyos términos consecutivos alternan el signo se llaman alternadas. Así,
P
suponiendo an > 0 para todo n ∈ N, las series alternadas aparecen de dos maneras:
P (−1)n an ó
n−1
(−1) an .

Teorema 2.7 (Criterio de Leibnitz) Una condición suficiente para que converja la serie alternada
P
(−1)n an es que lim an = 0 y la sucesión {an } sea decreciente.

2.3 Series absolutamente convergentes
P
Definición 2.3 Una serie de términos arbitrarios P n es absolutamente convergente (absolutamente
a
divergente) cuando la serie de términos no negativos |an | es convergente (divergente).

Teorema 2.8 Toda serie absolutamente convergente, es convergente.

El recíproco del teorema anterior no es en general cierto. Por ejemplo, la serie de término general
(−1)n
an = es convergente pero no absolutamente convergente.
n
Definición 2.4 Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes, se llaman series
condicionalmente convergentes.

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia
Una serie de potencias centrada en un punto x0 ∈ R es una expresión de la forma
∞
X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · ·
n=0

donde a0 , a1 , . . . son constantes reales. La serie anterior también se denomina serie de potencias de x−x0 .
Obsérvese que en las series de potencias adoptaremos el convenio de hacer variar el índice de la suma
desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta ahora, con el objeto de que el
subíndice de cada monomio coincida con el grado de éste.
Cuando se toma x0 = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de x
∞
X
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·
n=0

Puesto que un simple cambio de variables, tomando como nueva variable x−x0 , permite reducir cualquier
serie de potencias considerada a otra análoga con x0 = 0, en lo sucesivo sólo manejaremos este último
caso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga restricción a los resultados que obtengamos.
Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesión de funciones {Sn (x)} definida así:

Sn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

que recibe el nombre de sucesión de sumas parciales.
P P
Diremos que la serie an xn converge (diverge) en un punto c ∈ R cuando la serie numérica an cn
sea convergente (divergente). Así pues, la serie de potencias es convergente en el punto c cuando existe
y es finito lim Sn (c), cuyo valor se llama suma de la serie en el punto c.
n→∞


El subconjunto D de R formado por los puntos en los que la serie de potencias es convergente se
denomina dominio de convergencia de la serie, en él es posible deﬁnir una función S : D → R dada por

S(x) = lim Sn (x)
n→∞

que se denomina suma de la serie en el conjunto D.
P
Diremos que la serie
P an xn es absolutamente convergente (divergente) en un punto c ∈ R cuando la
n
serie numérica an c sea absolutamente convergente (divergente).

Teorema 3.1 (Teorema de Abel)
P
1) Si una serie de potencias an xn es convergente en un punto c ∈ R, c 6= 0, entonces es absoluta-
mente convergente en todo punto del intervalo abierto (− |c| , |c|).
2) Si la serie diverge en un punto d, entonces diverge para todo valor de x tal que |x| > |d|.

P
Puesto que toda serie de potencias an xn es convergente en el punto x = 0, el teorema anterior nos
permite precisar aún más cómo es el dominio de convergencia de tales series. Así, para toda serie de
P
potencias an xn se presenta una, y sólo una, de las tres situaciones siguientes:

1. La serie sólo converge en el origen. Se dice entonces que el radio de convergencia es R = 0.
2. La serie converge absolutamente en todo R. Se dice que tiene radio de convergencia R = ∞ y que
su intervalo de convergencia es I = (−∞, +∞)
3. Existe un número R∗ ∈ R+ tal que la serie es absolutamente convergente en el intervalo abierto
(−R∗ , R∗ ) y diverge en todo punto x ∈ R tal que | x |> R∗ . En este caso el radio de convergencia
es R = R∗ y el intervalo de convergencia es I = (−R∗ , +R∗ ).

En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos de radio de
convergencia (R = 0, R = ∞ y R ∈ R+ ).
Ejemplos:
P n
1) La serie de potencias x para cada valor de x da lugar a una serie geométrica de razón x. Por
ello es convergente si |x| < 1 y divergente si |x| ≥ 1. Se trata de una serie con radio de convergencia
R = 1. Su intervalo de convergencia es ] − 1, 1[ y en él su suma es 1/(1 − x).
P
2) La serie de potencias n!xn sólo converge en el origen (R = 0), ya que para cualquier x ∈ R, x 6= 0,
P n
la serie numérica n! |x| es divergente (se puede comprobar aplicando el criterio de D’Alembert);
luego la serie dada no converge absolutamente en ningún x 6= 0, lo que asegura (¡justifíquese!) que
la serie sólo converge en x = 0.
P xn
∞
3) La serie de potencias n
es absolutamente convergente para cualquier valor real de x y por
n=1 n
tanto su radio de convergencia es R = ∞.
P xn
∞
4) La serie de potencias también es absolutamente convergente para todo x con |x| < 1, y
n=1 n
divergente cuando |x| > 1. Así que su radio de convergencia es 1. Ahora la serie converge no
absolutamente para x = −1 y diverge para x = 1 (armónica). Su intervalo de convergencia es, por
tanto, el intervalo (−1, 1) y su dominio de convergencia es [−1, 1).


Cálculo del radio de convergencia
P
Dada una serie de potencias an xn , se sabe que en el interior de su intervalo de convergencia la serie
es absolutamente convergente. Por tanto, para averiguar el radio de convergencia consideraremos la serie
P
|an | |x|n y veremos en qué puntos x converge esta última. Para ello, podemos aplicar el criterio de
D’Alembert, calculando

|an+1 | |x|n+1
lim n = L (x)
n→∞ |an | |x|

y deduciendo los valores de x que para los que L (x) < 1. Estos valores constituirán el intervalo de
convergencia de la serie.
Ejemplos:
P n2 n
1) El radio de convergencia de la serie a x , con 0 < a < 1, es R = ∞. Si a fuera mayor que 1,
entonces R = 0.
P n P xn P xn
2) Las series x , , tienen radio de convergencia R = 1. Un estudio posterior
n+1 (n + 1)2
en los puntos 1 y −1 no lleva a decir que: la primera no es convergente en los puntos −1 y 1, la
segunda converge en −1 pero no en 1 y la tercera converge en ambos puntos.

PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS
P
∞
Como los términos de una serie de potencias an xn son funciones potenciales y éstas son continuas,
n=0
derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas propiedades. Ello nos lleva
estudiar series de potencias de la forma:

∞
X ∞
X an
nan xn−1 , xn+1
n=1 n=0
n+1

que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar término a término la serie dada.

P
∞ P
∞ P
∞ an n+1
Teorema 3.2 Las tres series de potencias an xn , nan xn−1 , x tienen el mismo radio
n=0 n=1 n=0 n+1
de convergencia.

Observación. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias y el de la serie
obtenida al derivar término a término no coincidan; aunque, según el teorema anterior, ambas tienen el
P xn P xn−1
mismo radio de convergencia. Nótese que la serie converge en [−3, 3], mientras que sólo
n2 3n n3n
converge en [−3, 3[.
P
∞
Teorema 3.3 Si an xn es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0, intervalo de
n=0
convergencia I, y suma S(x) para cada x ∈ I, se veriﬁca:
P
∞
La función suma es derivable en el intervalo I, y además S 0 (x) = nan xn−1 , es decir, la derivada
n=1
de la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando término a término la serie de potencias
dada.


P
∞
Corolario 3.1 La suma de una serie de potencias an xn con radio de convergencia no nulo, tiene
n=0
derivadas de todos los órdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la serie dada, y sus derivadas
se pueden obtener derivando sucesivamente término a término la serie dada.

P
∞
Teorema 3.4 Si an xn es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0, dominio de
n=0
convergencia D, y suma S(x) para cada x ∈ D, se veriﬁca:
P
∞
1) La suma S(x) = an xn es continua en D.
n=0

P
∞
2) La suma S(x) = an xn es integrable en todo intervalo cerrado y acotado contenido en D, y su
n=0
integral se puede obtener integrando término a término la serie dada. Es decir:
Z x XZ x
∞
S(t)dt = an tn dt
α n=0 α

para cualesquiera α, x de D.

3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series
binómicas
En este apartado se trata de dar respuesta a una cuestión que, en cierto modo, es recíproca de la anterior:
Dada una función f , ¿existe una serie de potencias con radio de convergencia no nulo cuya suma sea igual
a f ? La respuesta a esta pregunta es negativa: no todas las funciones se pueden expresar como series
de potencias. Aquellas funciones que se distinguen por poder representarse en dicha forma se llaman
analíticas.

Deﬁnición 3.1 Se dice que una función f es analítica en x0 si, en un intervalo abierto que contenga a
P
∞
x0 , esta función es la suma de una serie de potencias an (x − x0 )n que tiene un radio de convergencia
n=0
positivo.

Teorema 3.5 Si f es analítica en x0 , entonces la representación
∞
X f n) (x0 )
f (x) = (x − x0 )n
n=0
n!

es válida en cierto intervalo abierto centrado en x0 .
La serie anterior se llama serie de Taylor de f centrada en x0 . Cuando x0 = 0, también se le
conoce como serie de Maclaurin de f.

Además de los resultados conocidos ya sobre series de potencias, éstas tienen también una propiedad
de unicidad; esto es, si la ecuación
∞
X ∞
X
an (x − x0 )n = bn (x − x0 )n
n=0 n=0

es válida en algún intervalo abierto que contiene a x0 , entonces an = bn para n = 0, 1, 2, . . . . Por tanto,
si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una función analítica,
entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor.


El cálculo directo de los coeﬁcientes de la serie de Taylor o Maclaurin por derivaciones sucesivas
puede resultar difícil. El método más práctico para hallar una serie de Taylor o Maclaurin consiste en
desarrollar series de potencias para una lista básica de funciones elementales. De esta lista se podrán
deducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, división, derivación
integración o composición con series conocidas. Antes de presentar esta lista básica desarrollaremos en
serie la función f (x) = (1 + x)r con r ∈ R que produce lo que se llama la serie binómica.
Las funciones de este tipo sólo son polinomios cuando r es natural o cero. Son indeﬁnidamente
derivables en un entorno del cero, y se tiene:

f n) (x) = r(r − 1) · · · (r − n + 1)(1 + x)r−n ,f n) (0) = r(r − 1) · · · (r − n + 1)
µ ¶
r
Por tanto, si cuando n ∈ N y r ∈ R utilizamos la notación para indicar
n
µ ¶ µ ¶
r r(r − 1) · · · (r − n + 1) r
= y =1
n n! 0

obtenemos como posible desarrollo en serie de Mac-Laurin de la función dada el siguiente:
X µr ¶
∞
xn
n=0
n

Cuando r no es un número natural o cero, el radio de convergencia de la serie de la expresión anterior es
R = 1. La serie, en consecuencia, es absolutamente convergente en ] − 1, 1[ y divergente cuando | x |> 1.
Se puede probar también que la suma de dicha serie en ] − 1, 1[ es precisamente la función f (x) = (1 + x)r .
µ ¶
P r n
∞
La serie x se denomina serie binomial o binómica puesto que cuando r es un número natural
n=0 n
sólo sus n + 1 primeros términos son no nulos, y además su expresión es la conocida fórmula de Newton
para la potencia del binomio (1 + x)r .
Como casos particulares de la serie binómica citamos los siguientes:
Para r = −1
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · ·
1+x
Para r = 1/2
√ x 1 2 1·3 3 1·3·5 4
1+x=1+ − x + x − x + ···
2 2·4 2·4·6 2·4·6·8
Para r = −1/2
1 1 1·3 2 1·3·5 3
√ = 1− x + x − x + ···
1+x 2 2·4 2·4·6

En la lista que sigue, ofrecemos las series de Maclaurin de otras funciones elementales junto con sus
intervalos de convergencia.


SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES

x3 x5 (−1)n 2n+1
senx = x − + − ··· + x + ··· −∞ < x < ∞
3! 5! (2n + 1)!

x2 x4 (−1)n 2n
cos x = 1 − + − ··· + x + ··· −∞ < x < ∞
2! 4! (2n)!

x x2 xn
ex = 1 + + + ··· + + ··· −∞ < x < ∞
1! 2! n!

x3 x5 1
sh x = x + + + ··· + x2n+1 + · · · −∞ < x < ∞
3! 5! (2n + 1)!

x2 x4 1
ch x = 1 + + + ··· + x2n + · · · −∞ < x < ∞
2! 4! (2n)!

1 x3 1 · 3 x5 (2n)! x2n+1
arcsen x = x+ + + ··· + + ··· −1 < x < 1
2 3 2·4 5 (2n n!)2 (2n + 1)

x2 x3 x4 (−1)n−1 n
ln (1 + x) = x− + − + ··· + x + ··· −1 < x < 1
2 3 4 n
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n x2n + · · · −1 < x < 1
1 + x2
n
x3 x5 x7 (−1) x2n+1
arctg x = x− + − + ··· + +··· −1 < x < 1
3 5 7 2n + 1

Entre las aplicaciones de los desarrollos en serie se encuentran:

— El cálculo de integrales definidas.
— El cálculo de la suma de series numéricas.
— La resolución de ecuaciones diferenciales.

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales
En esta sección veremos un procedimiento para obtener soluciones en serie de potencias de una ecuación
diferencial lineal. El método de series de potencias para resolver una ecuación diferencial consiste en
sustituir la serie de potencias
∞
X
an (x − x0 )n
n=0

en la ecuación diferencial y después determinar cuáles deben ser los coeficientes a0 , a1 , a2 , . . . para que
la serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al método de coeficientes
indeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coeficientes que de algún modo hemos de
obtener.


Para ilustrar el método de la serie de potencias consideremos una ecuación diferencial lineal de primer
orden sencilla.
Ejemplo: Encontrar una solución en serie de potencias en torno a x = 0 de la ecuación

y 0 + 2xy = 0. (1)

Solución: Si suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma
∞
X
y (x) = an xn ,
n=0

nuestra tarea consistirá en determinar los coeficientes an . Para ello, sustituimos los desarrollos en serie
de y (x) y y 0 (x) en la ecuación (1), obteniendo
∞
X ∞
X
nan xn−1 + 2x an xn = 0,
n=1 n=0

o equivalentemente
∞
X ∞
X
nan xn−1 + 2an xn+1 = 0. (2)
n=1 n=0

Si escribimos los primeros términos de estas series y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x,
se obtiene

a1 + (2a2 + 2a0 ) x + (3a3 + 2a1 ) x2 + (4a4 + 2a2 ) x3 + · · · = 0.

Para que la serie de potencias del primer miembro de la ecuación anterior sea idénticamente cero, se debe
verificar que todos los coeficientes sean iguales a cero. De modo que

a1 = 0, 2a2 + 2a0 = 0,
3a3 + 2a1 = 0, 4a4 + 2a2 = 0, . . .

Resolviendo el sistema anterior resulta
2 1 1
a1 = 0, a2 = −a0 , a3 = − a1 = 0, a4 = − a2 = a0 .
3 2 2
Por tanto, la serie de potencias adopta la forma
1
y (x) = a0 − a0 x2 + a0 x4 + · · ·
2
Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de término
general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión (2) y la
escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de x, esto es
∞
X ∞
X
(k + 1) ak+1 xk + 2ak−1 xk = 0,
k=0 k=1

y, puesto que la primera serie empieza en k = 0 y la segunda en k = 1, separamos el primer término de
la primera y sumamos los coeficientes de igual potencia de x, obteniendo que
∞
X
a1 + [(k + 1) ak+1 + 2ak−1 ] xk = 0.
k=1


Haciendo ahora todos los coeficientes iguales a cero, obtenemos una relación de recurrencia para los
coeficientes
a1 = 0

2
ak+1 = − ak−1
k+1
Tomando k = 1, 2, . . . , 6 y teniendo en cuenta que a1 = 0, resulta que
2 2
a2 = − a0 = −a0 , (k = 1) a3 = − a1 = 0, (k = 2)
2 3
2 1 2
a4 = − a2 = a0 , (k = 3) a5 = − a1 = 0, (k = 4)
4 2! 5
2 1 2
a6 = − a4 = − a0 , (k = 5) a7 = − a1 = 0, (k = 6)
6 3! 7
y de aquí, se observa que
n
(−1)
a2n = a0 n = 1, 2, 3, . . .
n!

a2n+1 = 0 n = 0, 1, 2, . . .
Puesto que el coeficiente a0 se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria y, por tanto, propor-
ciona la solución general de la ecuación
∞
X (−1)n
1
y (x) = a0 − a0 x2 + a0 x4 + · · · = a0 x2n .
2 n=0
n!

Se puede comprobar que esta serie tiene radio de convergencia R = ∞. Además esta serie recuerda el
desarrollo de la función exponencial, verificándose que
2
y (x) = a0 e−x ,
solución que se podía obtener fácilmente ya que se trataba de una ecuación de variables separables.

4.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios
Aunque el método de series de potencias puede usarse en ecuaciones lineales de cualquier orden, sus
aplicaciones más relevantes se refieren a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma
a (x) y 00 + b (x) y 0 + c (x) y = 0, (3)
donde a (x) , b (x) y c (x) son funciones analíticas de x. En realidad, en la mayoría de las aplicaciones esas
funciones son polinomios. Por esta razón limitaremos el estudio a este tipo de ecuaciones.
Para determinar cuándo el método de series de potencias será efectivo, reescribimos la ecuación
anterior en la forma
y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0, (4)
con el coeficiente principal 1 y p (x) = b (x) /a (x) y q (x) = c (x) /a (x) .
Nótese que p (x) y q (x) en general no tienen porqué ser analíticas en los puntos que a (x) se anula.
Por ejemplo, en la ecuación
xy 00 + y 0 + xy = 0
todos los coeficientes son funciones analíticas en todos los puntos pero si lo escribimos en la forma (4)
1
resulta que p (x) = no es analítica en x = 0.
x


Definición 4.1 El punto x = x0 se denomina punto ordinario de la ecuación diferencial (3) si las
funciones p (x) y q (x) son analíticas en x0 . En caso contrario, el punto recibe el nombre de punto
singular.

Ejemplos:

1) El punto x = 0 es un punto ordinario de la ecuación

xy 00 + (sen x) y 0 + x2 y = 0

pues

sen x x2 x4
p (x) = =1− + + ··· , q (x) = x
x 3! 5!
son ambas analíticas en x = 0.
2) El punto x = 0 no es un punto ordinario de la ecuación
√
y 00 + x2 y 0 + xy = 0
√
pues p (x) = x2 es analítica en el origen, pero q (x) = x no lo es, ya que q (x) no es diferenciable
en x = 0.

Vamos a encontrar ahora soluciones en serie de potencias en torno a puntos ordinarios, para ecuaciones
diferenciales del tipo (3) en las que los coeficientes son polinomios. Para ello, se deberá, tal y como hemos
P
∞
hecho en un ejemplo anterior, sustituir y (x) = an (x − x0 )n en (3), agrupar términos semejantes e
n=0
igualar a cero los coeficientes de la serie de potencias resultante, lo que conducirá a una relación de
recurrencia para los coeficientes an . Para simplificar, supondremos que un punto ordinario de la ecuación
diferencial está siempre localizado en x = 0, ya que si no lo está, la sustitución t = x − x0 traslada el
valor x = x0 a t = 0.
Establecemos ahora un resultado básico de existencia de soluciones en serie de potencias en torno a
un punto ordinario de la ecuación (3) que justifica el método de series de potencias.

Teorema 4.1 Si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (3), entonces existen dos solu-
ciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en 0, es decir, cada una de
la forma
∞
X
y (x) = an xn ,
n=0

cuyos radios de convergencia son por lo menos tan grandes como la distancia de x = 0 al punto singular
más próximo.

Ejemplo: Encontrar la solución de

2y 00 + xy 0 + y = 0

en forma de serie de potencias en torno al punto ordinario x = 0.
Solución: Consideramos
∞
X
y (x) = an xn ,
n=0


y los correspondientes desarrollos en serie para y 0 (x) y y 00 (x) dados por
∞
X ∞
X
y 0 (x) = nan xn−1 , y 00 (x) = n (n − 1) an xn−2 .
n=1 n=2

Sustituimos estas series de potencias en nuestra ecuación
∞
X ∞
X ∞
X
2n (n − 1) an xn−2 + nan xn + an xn = 0,
n=2 n=1 n=0

y escribimos las tres series de forma que el término general de cada una de ellas sea una constante
multiplicada por xk .
∞
X ∞
X ∞
X
2 (k + 2) (k + 1) ak+2 xk + kak xk + ak xk = 0.
k=0 k=1 k=0

Separamos los términos correspondientes a x y agrupamos los coeficientes de xk obteniendo
0

∞
X
4a2 + a0 + [2 (k + 2) (k + 1) ak+2 + kak + ak ] xk = 0.
k=1

Igualando a cero los coeficientes de la serie de potencias, resulta que
4a2 + a0 = 0

−1
ak+2 = ak k ≥ 1.
2 (k + 2)
De esta manera,
−1 −1
a2 = a0 a3 = a1 (k = 1)
22 2·3
−1 1 −1 1
a4 = a2 = 2 a0 (k = 2) a5 = a3 = 2 a1 (k = 3)
2·4 2 ·2·4 2·5 2 ·3·5
−1 −1 −1 −1
a6 = a4 = 6 a0 (k = 4) a7 = a5 = 3 a1 (k = 5)
2·6 2 · 3! 2·7 2 ·3·5·7
−1 1
a8 = a6 = 8 a0 (k = 6)
2·8 2 · 4!
Considerando a0 y a1 como constantes arbitrarias, se obtiene
n
(−1)
a2n = a0 n ≥ 1,
22n · n!
n
(−1)
a2n+1 = a1 n ≥ 1.
2n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n + 1)]
De aquí resultan dos soluciones linealmente independientes
P (−1)n 2n
∞ P
∞ (−1)
n
y1 (x) = 2n · n!
x y2 (x) = n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n + 1)]
x2n+1
n=0 2 n=0 2

y por consiguiente la solución general de nuestra ecuación viene dada por
y (x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x) .

Este método se puede utilizar también para resolver problemas de valores iniciales. Si se tienen los
valores de y (0) y y 0 (0) , es fácil comprobar que se verifica que a0 = y (0) y a1 = y 0 (0) , con lo cual se
llega a una solución única del problema de valor inicial.


4.2 Soluciones en torno a puntos singulares
En la sección precedente vimos que no hay mucha dificultad en encontrar una solución en serie de potencias
de

a (x) y 00 + b (x) y 0 + c (x) y = 0,

en torno a un punto ordinario x = x0 . Sin embargo, cuando x = x0 es un punto singular, no siempre es
P
∞
posible encontrar una solución de la forma y (x) = an (x − x0 )n .
n=0
P
∞
n+r
Veremos que, en algunos casos, si podemos obtener una solución de la forma y (x) = an (x − x0 )
n=0
donde r es una constante a determinar.
¡ ¢
Por ejemplo, si consideramos la ecuación diferencial 6x2 y 00 + 5xy 0 + x2 − 1 y = 0, que tiene un punto
P
∞
singular en x = 0, esta ecuación no tienen ninguna solución de la forma y (x) = an xn . No obstante,
n=0
se puede demostrar que existen dos soluciones en serie de la forma
P
∞ P
∞
y (x) = an xn+1/2 y y (x) = an xn−1/3 .
n=0 n=0

Vamos, por tanto, a investigar la solución de la ecuación (3) cerca de un punto singular. Los puntos
singulares se subdividen en regulares e irregulares. Para definir estos conceptos reescribimos la ecuación
de la forma y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0.

Definición 4.2 Un punto singular, x = x0 , de la ecuación (3) es un punto singular regular si tanto
(x − x0 ) p (x) como (x − x0 )2 q (x) son analíticas en x0 y es un punto singular irregular en caso contrario.

Ejemplo Los puntos x = 0 y x = −1 son, ambos, puntos singulares de la ecuación diferencial
2 ¡ ¢
x2 (x + 1) y 00 + x2 − 1 y 0 + 2y = 0.

Si examinamos
x−1 2
p (x) = y q (x) =
x2 (x + 1) x2 (x + 1)2

podemos observar que x = 0 es un punto singular irregular, mientras que x = −1 es un punto singular
regular.
Antes de establecer un resultado de existencia de soluciones en serie en torno a un punto singular
regular, necesitamos la siguiente definición.

Definición 4.3 Si x0 es un punto singular regular de y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0, entonces llamamos
ecuación indicial de ese punto a la ecuación

r (r − 1) + p0 r + q0 = 0

donde
2
p0 = lim (x − x0 ) p (x) y q0 = lim (x − x0 ) q (x)
x→x0 x→x0

Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes (índices) de la singularidad x0 .


En general, si x0 es un punto singular regular de (3), entonces las funciones (x − x0 ) p (x) y (x − x0 )2 q (x)
son analíticas en x0 ; es decir, los desarrollos
2
(x − x0 ) p (x) = p0 + p1 (x − x0 ) + p2 (x − x0 ) + · · ·
2 2
(x − x0 ) q (x) = q0 + q1 (x − x0 ) + q2 (x − x0 ) + · · ·

son válidos en intervalos que tengan radio de convergencia positivo. Después de sustituir y (x) =
P
∞
an (x − x0 )n+r en la ecuación y simpliﬁcar, la ecuación indicial es la ecuación cuadrática en r que
n=0
resulta de igualar a cero el coeﬁciente total de la menor potencia de (x − x0 ) .
Para estudiar la existencia de soluciones en serie en torno a puntos singulares regulares, y al igual que
hicimos en la sección precedente, restringiremos nuestra atención al caso en el que x0 = 0 es un punto
singular regular de la ecuación.
El siguiente teorema nos garantiza la existencia de al menos una solución en serie de la forma anterior a
la vez que proporciona, en algunos casos, la expresión de una segunda solución linealmente independiente.

Teorema 4.2 Soluciones en serie de Frobenius
Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0 y sean r1 y r2 las raíces,
con r1 ≥ r2 , de la ecuación indicial asociada. Entonces:

(a) Para x > 0, existe una solución de la forma
∞
X
y1 (x) = an xn+r1 , a0 6= 0
n=0

correspondiente a la raíz mayor r1 .
(b) Si r1 − r2 no es cero ni un entero positivo, entonces existe una segunda solución linealmente inde-
pendiente para x > 0 de la forma
∞
X
y2 (x) = bn xn+r2 , b0 6= 0
n=0

correspondiente a la raíz menor r2 .

Ejemplo: Encontrar la solución de

3xy 00 + y 0 − y = 0

en forma de serie de potencias en torno al punto singular regular x = 0.
Solución: Ensayamos una solución de la forma
∞
X
y(x) = an xn+r .
n=0

Puesto que
∞
X ∞
X
y 0 (x) = (n + r) an xn+r−1 , y 00 (x) = (n + r) (n + r − 1) an xn+r−2
n=0 n=0


al sustituir en la ecuación, obtenemos
∞
X ∞
X ∞
X
3 (n + r) (n + r − 1) an xn+r−1 + (n + r) an xn+r−1 − an xn+r
n=0 n=0 n=0
∞
X ∞
X
= (n + r) (3n + 3r − 2) an xn+r−1 − an xn+r
n=0 n=0
" " ∞
# #
X
r −1 k
= x r (3r − 2) a0 x + (k + r + 1) (3k + 3r + 1) ak+1 − ak x =0
k=0

lo cual implica que
r (3r − 2) a0 = 0

1
ak+1 = ak k = 0, 1, 2, . . . (5)
(k + r + 1) (3k + 3r + 1)
2
De la ecuación r (3r − 2) = 0 (ecuación indicial), tenemos que r1 = y r2 = 0. Al sustituir en (5) los
3
dos valores de r resultan dos relaciones de recurrencia diferentes
1 1
ak+1 = ak ak+1 = ak
(3k + 5) (k + 1) (k + 1) (3k + 1)
Iterando en ambas relaciones obtenemos
1 1
a1 = a0 a1 = a0
5·1 1·1
1 1 1 1
a2 = a1 = a0 a2 = a1 = a0
8·2 2!5 · 8 2·4 2!1 · 4
1 1 1 1
a3 = a2 = a0 a3 = a1 = a0
11 · 3 3!5 · 8 · 11 3·7 3!1 · 4 · 7
1 1 1 1
a4 = a3 = a0 a4 = a1 = a0
14 · 4 4!5 · 8 · 11 · 14 4 · 10 4!1 · 4 · 7 · 10
.
. .
.
. .

1 1
an = a0 an = a0
n!5 · 8 · 11 · · · (3n + 2) n!1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)
Conseguimos así dos soluciones en serie
P
∞ 1
y1 (x) = a0 x2/3 xn
n=0 n!5 · 8 · 11 · · · (3n + 2)

P
∞ 1
y2 (x) = a0 x0 xn
n=0 n!1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)
Se puede comprobar que el radio de convergencia de estas series es R = ∞. Además se puede ver que
ninguna es un múltiplo constante de la otra y por lo tanto, y1 (x) y y2 (x) son soluciones linealmente
independientes. Luego,
y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
" ∞
# " ∞
#
X 1 X 1
2/3 n 0 n
= C1 x x + C2 x x
n=0
n!5 · 8 · 11 · · · (3n + 2) n=0
n!1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)


representa la solución general de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga al origen.
En el caso en el que r1 = r2 sólo puede haber una solución en serie de Frobenius. Si r1 −r2 es un entero
positivo, puede existir o no una segunda solución en serie de Frobenius correspondiente a la raíz menor
r2 . Los resultados correspondientes a la obtención de una segunda solución linealmente independiente en
estas dos situaciones particulares los enunciamos en el siguiente teorema.

Teorema 4.3 Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0 y sean r1 y
r2 las raíces, con r1 ≥ r2 , de la ecuación indicial asociada. Entonces:

(a) Si r1 = r2 , existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma
∞
X
y1 (x) = an xn+r1 a0 6= 0
n=0
∞
X
y2 (x) = y1 (x) ln x + bn xn+r1
n=1

(b) Si r1 − r2 es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la
forma
∞
X
y1 (x) = an xn+r1 a0 6= 0
n=0
∞
X
y2 (x) = Cy1 (x) ln x + bn xn+r2 b0 6= 0
n=0

donde C es una constante que puede ser cero.

En el caso (b) del teorema b0 6= 0, pero C puede ser cero o no; de modo que el término logarítmico
puede estar presente o no en la segunda solución. Los coeficientes de estas series (y la constante C)
pueden determinarse por sustitución directa de las series en la ecuación diferencial.
Observación: Puede ocurrir que al intentar encontrar la solución en serie de una ecuación diferencial
de la forma (3), en torno a un punto singular regular, las raíces de la ecuación indicial resulten ser
números complejos. Cuando r1 y r2 son complejos, la suposición r1 > r2 carece de significado y debe ser
reemplazada por Re (r1 ) > Re (r2 ) , y, en este caso las soluciones serán complejas. Esta dificultad puede
ser superada mediante el principio de superposición. Puesto que una combinación de soluciones también
es solución de la ecuación diferencial, podríamos formar combinaciones adecuadas de y1 (x) y y2 (x) para
obtener soluciones reales.

Por último, si x = 0 es un punto singular irregular, debe hacerse notar que puede ser posible no
P
∞
encontrar ninguna solución de la forma y(x) = an xn+r .
n=0

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