ハノイの塔 解説

1. ハノイの塔 解説
ギノ株式会社 吉岡 恒夫

2. 問題
ハノイの塔
• 問題: https://paiza.jp/learning/hanoi
• ３つの杭がある。
• 杭には円盤が置かれている。
• ある円盤の下には、大きい円盤しか置けない。
• 一番左の杭に積まれたn段の円盤を一番右に動かす。
• 最短の方法で移動した場合のt手目の状態を出力
• 1≤n≤16
0<t≤2^n-1

4. 解法
• 一番右の杭について考えると、一番大きい円盤
から順番に一番右の杭に置く必要がある。
• まず、一番大きい杭について考える。
• 一番大きい円盤を動かすためには、大きい円盤
の上の円盤を真ん中の円盤に動かす必要がある。

5. 解法

6. 解法
• 関数定義: hanoi(n, 移動元、移動先、あまり)
n段の円盤を移動元から移動先に移動する関数として定
義する。
• hanoi(n-1、移動元、あまり、移動先)
n-1段を移動元からあまりに移動する。
• 大きさnの円盤を異動元から移動先に移動する。
• hanoi(n-1, あまり、移動先、異動元)
n-1段をあまりから移動先に移動する。

7. コード

8. N,
@T
=
gets.split.map(&:to_i)
@t=0
@plates
=
[
N.downto(1).to_a,[],[]
]
def
show
(0..2).each{|i|
if
@plates[i].size
==
0
puts
"-­‐"
else
puts
@plates[i].join("
")
end
}
end
def
move_one(n,
from,
to)
plate
=
@plates[from].pop
@plates[to].push(plate)
@t
+=
1
if
@t
==
@T
show
exit
end
end
def
hanoi(n,
from,
to,
other)
if
n
==
0
return
end
hanoi(n-­‐1,
from,
other,
to)
move_one(n,
from,
to)
hanoi(n-­‐1,
other,
to,
from)
end
hanoi(N,
0,
2,
1)

9. プレートを動かす回数
• hanoi(n): n段の円盤を移動させるのに必要な回数
• hanoi(n) = hanoi(n-1) * 2 + 1
• hanoi(n)+1 = (hanoi(n-1)+1)*2
• hanoi(n)+1 = 2^n
• hanoi(n) = 2^n - 1
n=16の場合、65535 => ok!
• 計算量: O(2^n)

10. ところで
• 本物(?)のハノイの塔は64段！
• もし n = 64なら？
• 移動回数
2^64-1= 18446744073709551615
(1秒に一回移動させるとして1000億年)

11. 解法2
• nがT以下の場合、シミュレーションしなくても、
動かしたことにしてしまえばいい!

12. コード
def
hanoi(n,
from,
to,
other)
if
n
==
0
return
end
if
@T
>=
@t
+
(2**n)-­‐1
plates
=
@plates[from].pop(n)
@plates[to].push(*plates)
@t
+=
(2**n
-­‐
1)
show
if
@t
==
@T
return
end
…

13. 計算量
• 解法1(総当たり)
O(2^n)
• 解法2(最適化後)
O(n)
# 各nについてhanoiは一回のみ呼ばれる