Parábola El uso en la vida diaria y en la arquitectura

1. P A U L A A N G É L I C A M A R T Í N E Z R A M O S
F A C U L T A D D E A R Q U I T E C T U R A D E L A U A S
G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
P R O F E S O R . M A U R I C I O Z A T A R A I N
S E M E S T R E 3 G R U P O 1
PARÁBOLA

2. INTRODUCCIÓN
• Podríamos decir que la Geometría, y más generalmente, las Matemáticas, han
estado presentes en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la
necesidad de construir un hogar donde refugiarse, ya sea excavando en
cuevas, construyendo chozas o montando tiendas, y siente además la necesidad de
construir lugares especiales para enterrar y venerar a los muertos o adorar a los
dioses, como los dólmenes, los túmulos o los monumentos megalíticos. Presencia que
a lo largo de la historia nos ha dejado obras de gran belleza y utilidad.
• Parece evidente para cualquiera que siendo la forma y la estructura de las
construcciones tan importantes en el diseño de las obras arquitectónicas, la
Geometría y las Matemáticas sean una parte fundamental de la Arquitectura, como
queda puesto de manifestó cuando se echa un vistazo a los temarios de algunas de
las asignaturas de Arquitectura o Ingeniería.
• Podemos separar las aportaciones de estas en dos tipos:
• i) Como herramienta de cálculo, por ejemplo para determinar la estructura y forma de la
obra arquitectónica, a la hora de estudiar el equilibrio, resistencia o estabilidad de un
edificio, puente u otra construcción, para determinar las condiciones de
luminosidad, temperatura, acústica y un largo etcétera.
• ii) Como fuente de inspiración y en el desarrollo de la creatividad, imaginación inventiva del
arquitecto.
• En este caso se hablará de la parábola, se definirá, se hablara de sus aplicaciones
en la vida diaria, y en un nivel mayor de importancia en el tema de la arquitectura.

3. PARÁBOLA
• Una parábola es el lugar
geométrico de un punto que
se mueve en un plano de tal
manera que su distancia en
una recta fija, situada en el
plano, es siempre igual a su
distancia de un punto fijo en
el plano y que no pertenece
a la recta.
• El punto fijo se llama Foco y
la recta fija se llama Directriz
de la parábola.
• La parábola aparece en
muchas de las ramas de las
ciencias aplicadas debido a
que las gráficas de
ecuaciones cuadráticas son
parábolas.

4. • En la figura F: Foco y l: directriz.
La recta que pasa por F y es
perpendicular a l se llama eje de
la parábola.
• Sea A el punto de intersección
del eje y la directriz.
• El punto V, punto medio del
segmento a AF, se llama vértice.
• El segmento de la recta como
BB‟ une dos puntos cualesquiera
diferentes de la parábola se
llama cuerda.
• Una cuerda que pasa por el foco
tal como CC‟ se llama cuerda
focal.
• La cuerda focal LL‟ se llama
Lado Recto.
• Si P es un punto cualquiera de la
parábola, la recta FP que une al
Foco con el punto P se llama
radio focal de P, o radio vector.

5. ECUACIÓN
•

6. ECUACIÓN
•

7. LADO RECTO
•

8. DIRECCIÓN DE LA PARÁBOLA
•

9. PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
•

10. PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
•

11. PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL
ORIGEN
Si abre hacia arriba
•
Si abre hacia abajo
•
Cuando el eje de la parábola es el eje y, también se tienen dos casos en traslación:

12. CONSTRUCCIÓN DE LAS PARÁBOLAS
Por Doblado de Papel
La parábola se puede trazar con el doblado
de papel:
• Trazar un segmento de recta LL‟.
(Preferiblemente a la izquierda de la hoja).
• Doblar la hoja, de forma tal que coincidan
los extremos del segmento.
• Trazar una línea “S” sobre el dobles, esta
línea es perpendicular al segmento inicial.
• Marcar un punto F sobre la línea “S”. (no
tomar el punto muy lejos de LL‟).
• Marcar un punto de LL‟ y doblar el papel
de forma que este punto coincida con el
punto F.
• Repetir el paso anterior tomando
diferentes puntos a lo largo de LL‟. (entre
más puntos de LL‟ se tome, mejor se
apreciará la figura)
• Observe la figura que se forma.

13. Utilizando Regla y Compás.
• Tracemos un segmento de recta LL‟.
(preferiblemente a la izquierda de la hoja).
• Trace una perpendicular “S” a LL‟.(el punto de
corte de las perpendiculares llámelo O)
• Marque un punto F sobre “S”.
• Tome el compás y haga una abertura igual a
la mitad de la distancia OF, y situando el
pivote del compás sobre “o” marque sobre la
recta “S” la distancia obtenida.
• Abrimos el compás con una abertura mayor a
la anterior, colocamos el pivote en “O” y
marcamos en donde corta LL‟. (no mueva la
abertura del compás)
• Colocamos ahora el pivote del compás en los
puntos marcados en LL‟ y trazamos un arco de
circunferencia.(Todavía no cambie la abertura
del compás)
• Trasladamos el pivote a “F” y trazamos un arco
de circunferencia que intercepta a los que se
hicieron anteriormente. Resalte estos puntos.
• Repita el procedimiento 5,6,7, hasta que se
obtenga una gran cantidad de puntos.(6-10)
• Una los puntos que resalto y observe la figura
que se forma.

14. PARÁBOLAS EN LA VIDA COTIDIANA
La parábola tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos
fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor.

15. MOVIMIENTO PARABÓLICO
• Se denomina movimiento
parabólico al realizado por un
objeto cuya trayectoria describe
una parábola. Se corresponde con
la trayectoria ideal de un proyectil
que se mueve en un medio que no
ofrece resistencia al avance y que
está sujeto a un campo gravitatorio
uniforme.
• Puede ser analizado como la
composición de dos movimientos
rectilíneos: un movimiento rectilíneo
uniforme horizontal y un
movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado vertical.

16. MOVIMIENTO PARABÓLICO
• Fotografía estroboscópica de una pelota de tenis
que se desplaza hacia la derecha, botando contra
el suelo. Podemos distinguir dos arcos parabólicos.
También vemos como el tamaño del arco se va
haciendo más pequeño, la pelota cada vez bota a
menor altura, debido a la pérdida de energía que
experimenta en cada colisión.

17. ANTENA PARABÓLICA
• La antena parabólica es un tipo de antena que se
caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie
es en realidad un paraboloide de revolución. Las antenas
parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full
duplex, llamadas así cuando pueden trasmitir y recibir
simultáneamente. Suelen ser utilizadas a frecuencias altas y
tienen una ganancia elevada.
• En las antenas parabólicas transmisoras, la así llamada
parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por
un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco
del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos
que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda
planos al reflejarse en dicha superficie, produciendo ondas
más coherentes que otro tipo de antenas.
• En las antenas receptoras el reflector parabólico se encarga
de concentrar en su foco, donde se encuentra un
detector, los rayos paralelos de las ondas incidentes.

18. ANTENA PARABÓLICA
Antena parabólica de foco
primario
Antena parabólica Offset
Antena parabólica Cassegrain

19. ILUMINACIÓN
• También obtenemos formas parabólicas cuando
un haz luminoso de forma cónica se proyecta
sobre una pared blanca de manera que la pared
sea paralela a la generatriz del cono.

20. FUENTES Y AGUA
• El desplazamiento bajo la acción de la atracción
gravitatoria de la Tierra permite obtener bonitos arcos
parabólicos. Como el caso de los chorros y las gotas
de agua que salen de los caños de las numerosas
fuentes que podemos encontrar en las ciudades.

21. DEPORTES

22. OTROS
Los faros de los automóviles
envían haces de luz
paralelos, si la bombilla se
sitúa en el foco de una
superficie parabólica.
Un radiotelescopio capta ondas
de radio emitidas por fuentes de
radio, generalmente a través de
una gran antena parabólica
(plato), o un conjunto de ellas, a
diferencia de un telescopio
ordinario, que produce imágenes
en luz visible.

23. OTROS
Cocina solar de concentrador
parabólico. El mismo método se
emplea en las grandes centrales
captadoras de energía solar.
Un satélite envía información a la Tierra, estos
rayos serán perpendiculares a la directriz por
la distancia a la que se encuentra el satélite.
Al reflejarse en el plato de la antena
(blanca, casi siempre) los rayos convergen
en el foco en donde se encuentra un
receptor que decodifica la información.

24. PARÁBOLA EN LA
ARQUITECTURA

25. GEOMETRÍA DE LA PARÁBOLA SEGÚN
EL NÚMERO DE ORO
Todas las parábolas son similares:
aunque el tamaño varíe, las
constantes de su configuración
son las mismas para todas ellas.
En consecuencia, al quedar
demostrado que la parábola se
encuentra en la sección oval
configurada por F, se establece
las proporciones relativas de las
principales dimensiones de toda
parábola: parámetro, flecha y
cuerda, con las implicaciones
consiguientes. Así mismo la
coherencia armónica del
conjunto que asocia la figura
oval con la parábola permite
confirmar la ubicación del foco
de ésta.

26. GEOMETRÍA DE LOS ARCOS APUNTADO
Y PARABÓLICO
• Con el conocimiento o
percepción de la armonía en las
proporciones e inspirada en la
forma del huevo, la arquitectura
que prefirió los arcos apuntado y
parabólico utilizó adobes y
mortero de barro en muy
antiguas culturas de diferentes
lugares, hasta llegar a la música
en piedra de la arquitectura
gótica, para construir obras bellas
y además durables. La
preferencia por tales arcos se
debió a que la regularidad
armónica de éstos reúne óptimas
condiciones estructurales para
transmitir las cargas al suelo más
directamente, con un mínimo de
esfuerzos laterales.

27. ARCO PARABÓLICO
•

28. PUENTES
Cualquier puente sólo puede mantenerse si puede
soportar su propio peso (llamado el peso muerto) y el
peso de todo el tráfico que le atraviesa (llamada
carga viva). La carga crea dos fuerzas principales que
actúan sobre las partes de un puente. Las dos fuerzas
son de compresión y tensión:
• Compresión - La fuerza de compresión empuja hacia
abajo en la cubierta del puente de suspensión. Pero
al ser un puente suspendido, los cables transfieren la
compresión a las torres, que disipan la compresión
directamente en la tierra donde están firmemente
arraigadas.
• Tensión - Los cables de soporte, que corren entre dos anclajes, son los
afortunados destinatarios de las fuerzas de tensión. Los cables son
extendidos desde el peso del puente y su tráfico a medida que corren
de anclaje a anclaje. Los anclajes están también bajo tensión, pero ya
que al igual que las torres, se mantienen firmes en la tierra, la tensión
que experimentan se disipa.

29. PUENTES
• La forma parabólica del puente colgante es también
interesante. A primera vista, la curva puede ser descrita
como una catenaria. Una catenaria es una curva
creada por la gravedad, Sin embargo, debido a que
la curva en un puente de suspensión no se crea
solamente por gravedad (las fuerzas de compresión y
tensión actúan en él) no puede ser considerado una
catenaria, sino más bien una parábola. La forma
parabólica permite a las fuerzas de compresión que
deben transferirse a las torres, que sostiene el peso del
tráfico. La forma parabólica también se puede
demostrar matemáticamente, usando comparaciones
fórmula.

30. PUENTES

31. PUENTES

32. CONCHA ACÚSTICA
Una parábola refleja un sonido producido en su foco según líneas
paralelas. Una aplicación corriente de estas particularidades es la de los
anfiteatros al aire libre en los que la concha atrás del escenario se diseña
para reflejar los sonidos hacia al auditorio.
La Concha Acústica de
Schubert de Carpenter

33. CUBIERTAS DE BÓVEDAS PARABÓLICAS
• En la actualidad las
bóvedas parabólicas
ofrecen a los
arquitectos los más
variados tipos de
cubrición.

34. CINCO BÓVEDAS PARABÓLICAS
BODEGA PROTOS
• Se instalaron los arcos de madera laminada que conforman la estructura
que más llama la atención de las nuevas bodegas: las cinco bóvedas
parabólicas interconectadas, soportadas por grandes arcos de madera
laminada, y que se revisten con piezas de terracota de gran formato para
crear una estructura ligera y articulada. Las cinco bóvedas, de 18 metros
de anchura cada una, están conectadas entre sí mediante piezas de
acero a la estructura base de hormigón. Sobre estas piezas de madera que
se colocan sobre apoyos en forma de „V‟ en acero, reposan las vigas de
madera y tensores que separan los arcos de las bóvedas parabólicas. La
cubierta está compuesta de vigas secundarias y terciarias y un acabado
de paneles multicapa y material aislante.

35. CONSTRUCCIONES
• Arco Parabólico
El arco parabólico es
un monumento
ubicado en el Centro
Cívico de la ciudad de
Tacna. Su altura es de
18m y construido en
piedra de cantería.
• Puente Juscelino
Kubitschek, Brasilia, Brasil.
• Los arcos no se
encuentran en el mismo
plano y los cables de
suspensión forman una
superficie parabólica

36. CONSTRUCCIONES
"Cilindro parabólico" en el ático -
Zaragoza
Paraboloide en la arquitectura popular
(Nevero de Fuendetodos - Zaragoza)
Parabolide espacial
Cité de L´Espace – Toulouse
Puente sobre el Guadiana (Santiago
Calatrava. 1992)
L' Oceanographic. Valencia.
Ciudad de las Artes y las Ciencias.
Valencia.

37. CONSTRUCCIONES
Barrio de La Dèfense. Paris.
Ciudad de las Artes y las Ciencias.
Valencia.
Casa Milá (Antonio Gaudí).
Barcelona.
Colegio Teresiano (Antonio Gaudí).
Barcelona.
Parábolas bajo el puente (La Manga
del Mar Menor) Palacio Güell. Antonio Gaudí