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MATEMÁTICA
FINANCEIRA

PROFª YASMIN F. S. FERNANDES
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. INTRODUÇÃO
1.1. Conceito
A Matemática Financeira é o ramo da matemática que lida com valores mone...
2. USANDO A CALCULADORA HP12C
2.1. Principais Funções da HP12C
Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá u...
R$, ou seja (0,00), basta, com a máquina desligada, pressionar ao mesmo tempo as teclas
e
soltando primeiro a tecla
e, em ...
a) Data Futura: Para utilizar o calendário, introduza a data conhecida, separando o dia e o
mês pela tecla , e pressione a...
3. JUROS
3.1. Operação de Juros: o que é?
Juro é a remuneração de um capital ou valor presente a uma dada taxa percentual,...
Compostos (ou exponencial): após cada período, os juros são incorporados ao
capital, gerando juros sobre juros.

3.3. Elem...
“rendimento”. Se alguém pergunta: “qual foi seu rendimento nesta operação?”, estará,
na verdade, questionando sobre o valo...
Exigência: taxa e tempo na mesma unidade
Exemplos:
a) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante o...
c) Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses,
produzindo um rendimento financeiro de $ 9.6...
3.4.2.

Montante e Capital

O montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:

No entanto sabe...
Solução:
M = $ 900.000,00
i = 7% ao mês (0,07)
n = 4 meses
C =?

C =

900.000,00
(1 + 0,07 x 4)

C =

900.000,00
1,28

C =...
3) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$
9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se c...
7) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 6 meses. Qual a taxa
simples mensal ganha?
____________________________...
3.4.4.

Taxa Proporcional

Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o
período da taxa d...
d) Uma dívida de $ 30.000,00 a vencer dentro de uma ano é saldada 3 meses antes.
Para a sua quitação antecipada, o credor ...
Exemplo:
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/09 sendo quitada em
15/03/09, com a taxa de 48% ao ano. Pe...
2) Um capital de $ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano.
Determine o juro obtido.
__________________...
3.5. JUROS COMPOSTOS
3.5.1.

Fórmulas de Juros Compostos

Podemos entender os juros compostos como sendo popularmente cham...
Exemplos:
a) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela
depositar hoje numa alternativa de...
c) A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de 10.210,72, sem
entrada, para pagamento em uma única pres...
e) Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5
meses à taxa de 10% ao mês:
Solução:
PV = ...
Exemplo:
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa
de 25% ao ano, para um período de 92...
3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de
R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês?
_...
7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros
compostos de 2% a.m.?
____________________________...
3.5.4.

Taxas Equivalentes a Juros Compostos

Duas taxas são consideradas equivalentes se, considerados o mesmo prazo da
a...
b) Solução:
02 / 01

i=

{(1 + 0,2859)

- 1} . 100

eq
2

i=

{ (1,2859)

- 1} . 100

{ (1,653539)

- 1} . 100

{ 0,653539...
b) Mensal equivalente a 60,103% ao ano.
________________________________________________________________
_________________...
3.6. DESCONTOS
É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é
resgatado antes de seu vencim...
Exemplo 01:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu
vencimento, à taxa de juros simpl...
Exemplo 02:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu
vencimento, à taxa de juros simpl...
________________________________________________________________
_________________________________________________________...
6) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do
seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido ...
3.6.2.

DESCONTO COMPOSTO

São identificados dois tipos de descontos composto: o desconto racional (ou “por
dentro”) e o d...
3.6.2.2.

Desconto Bancário ou Comercial ou “por fora” Composto

Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento...
2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$
3.000,00 considerando uma taxa de juros com...
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_________________________________________________________...
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  1. 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFª YASMIN F. S. FERNANDES 1
  2. 2. MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. INTRODUÇÃO 1.1. Conceito A Matemática Financeira é o ramo da matemática que lida com valores monetários. A Matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira.  Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de crédito.  Prejuízo (ou despesa): em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos e etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática irá mostrar quanto se pagou de despesas ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.  Lucro (ou receita): da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesas, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado. 1.2. Arredondamento de dados Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer. Por exemplo, arredondando R$ 358,2548968968, teremos a importância de R$ 358,25. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se uma unidade do último algarismo a permanecer. Por exemplo, arredondando R$ 358,2558968968, teremos a importância de R$ 358,26. 2
  3. 3. 2. USANDO A CALCULADORA HP12C 2.1. Principais Funções da HP12C Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá utilizá-la para realizar todos os seus cálculos, então, vamos verificar qual é a função de cada tecla? 2.2. Ligando e Desligando a Calculadora: Para começar a usar a sua HP-12C, pressione a tecla calculadora será desligada. . Se você pressionar novamente ,a 2.3. O Teclado A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até mesmo três funções, observe: . Para usar a função primária, impressa em branco, basta pressioná-la. . Para usar a função impressa em amarelo, pressione a tecla amarela, de prefixo e, em seguida, pressione a tecla da função desejada. . Para usar a função impressa em azul, pressione a tecla azul, de prefixo e, então, pressione a tecla da função desejada. 2.4. 03. Separando Dígitos Se, ao ligar sua HP, você perceber que a parte inteira está separada da parte decimal por ponto (0.00), significa que está preparada para cálculo em US$. Para adaptá-la a cálculos em 3
  4. 4. R$, ou seja (0,00), basta, com a máquina desligada, pressionar ao mesmo tempo as teclas e soltando primeiro a tecla e, em seguida, a tecla . 2.5. 04. Introduzindo Números Pressione as teclas dos dígitos em seqüência. A tecla do ponto deverá ser pressionada se o número possuir dígitos na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto é irrelevante. 2.6. Cálculos Aritméticos Simples Para realizar os cálculos, os números devem ser informados na ordem. Após a introdução do primeiro número, pressione a tecla e, em seguida, o segundo número e a operação a ser realizada ( , , ou ); a resposta aparecerá no visor. 2.7. Tabulando Casas Decimais Para fixar um número distinto de casas decimais, pressione a tecla seguida da tecla de número correspondente à quantidade desejada de casas decimais (de 0 a 9 casas). 2.8. Limpando os Registros A tecla clear é utilizada somente para limpar o visor, porém, se pressionar limpará todos os registros. 2.9. Troca de Sinais que, em inglês, quer dizer “troca sinal”, isto é, transforma o número que estiver no visor, se positivo, em negativo e vice-versa. 2.10. Funções de Porcentagem a) Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, introduza a base, pressione , introduza a porcentagem e pressione . b) Para calcular a variação percentual entre dois números, introduza, como base, o valor mais antigo da operação, seguido da tecla , introduza o segundo número e pressione . c) Para calcular a porcentagem de um valor em relação a um total, introduza o valor correspondente ao total, digite o valor da porcentagem e pressione . 2.11. Funções de Calendário Para encontrar datas futuras ou passadas e o dia da semana correspondente, pressione inicialmente as teclas (D.MY = que representam as iniciais, em inglês, de dia, mês e ano) você estará fixando esta informação na sua calculadora. Portanto, não será necessário repetí-la a cada operação. Obs.: Lembre-se que, ao acionar a tecla , a função em azul passa a ser utilizada. 4
  5. 5. a) Data Futura: Para utilizar o calendário, introduza a data conhecida, separando o dia e o mês pela tecla , e pressione a tecla . Digite o número de dias correspondente ao intervalo de tempo e pressione as teclas (DATE). Você estará calculando uma nova data. b) Data Passada: Para calcular uma data passada, utilize a data atualizada de referência e pressione a data tecla . Digite o número de dias passados e pressione a tecla CHS Posteriormente pressione as teclas . (DATE). c) Variação de Dias entre Datas: Para calcular o número de dias existentes entre duas datas, introduza a data mais antiga e pressione , em seguida, introduza a data mais recente e pressione as teclas (DYS). 2.12. Usando a Memória - Armazenando e Recuperando Valores A HP-12C possui 20 memórias para armazenamento de valores, que vão de 0 a 9 e de • 0 a • 9. - Para armazenar um valor, deve-se digitá-lo e, em seguida, pressionar a tecla seguida do número da memória desejada. - Para recuperar a informação contida na memória é necessário pressionar a tecla seguida do número da memória. 2.13. Resolvendo uma Operação de Potenciação na HP-12C Para calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, em seguida, digite o expoente e pressione a tecla . 5
  6. 6. 3. JUROS 3.1. Operação de Juros: o que é? Juro é a remuneração de um capital ou valor presente a uma dada taxa percentual, proporcional ao número de períodos de tempo em que permanecer aplicado (investimento) ou emprestado (financiamento). Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: - de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo e etc. - de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho e etc. Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio ou de terceiros. O valor capital acrescido dos juros denomina-se montante ou valor futuro. 3.2. Os regimes da Matemática Financeira A Matemática Financeira se divide em dois grandes “blocos”, os quais chamaremos de “regimes”. Teremos, então, o “REGIME SIMPLES” (ou linear) e o “REGIME COMPOSTO” (ou exponencial). Sempre que formos iniciar a resolução de uma questão de matemática financeira, nossa primeira preocupação será essa: identificar em qual dos regimes estamos trabalhando, se no regime simples ou no composto! Isso por uma razão muito clara: quando estivermos analisando um enunciado de Juros, por exemplo, se esta operação estiver no regime simples, encontraremos uma resposta para o problema; se estiver no regime composto, a resposta será diferente! É evidente que só temos uma resposta correta na questão! Logo, se não soubermos em qual dos regimes estamos trabalhando, corremos sério risco de chegar a uma resposta errada, e perder um ponto (precioso) na nossa prova. Sendo assim, os Juros são capitalizados em regime: simples e compostos. Simples (ou linear): somente o capital principal rende juros 6
  7. 7. Compostos (ou exponencial): após cada período, os juros são incorporados ao capital, gerando juros sobre juros. 3.3. Elementos de uma operação de juros: Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P): É o valor que será aplicado, que será investido, e que, com o passar do tempo, crescerá! Será designado por um “C” (maiúsculo), ou PV, ou P. Tempo (n): É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montante (M). Será designado por “n” (minúsculo). Montante (M): O Montante é a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é a soma do capital (C) com os juros (J). Taxa (i): É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. Vimos na última aula que existem dois tipos de regime na Matemática Financeira. Da mesma forma, o elemento “taxa” poderá ser de duas naturezas! Conforme seja a natureza da taxa com a qual estamos trabalhando, saberemos se estamos no regime simples ou no regime composto! Destarte, haverá a “taxa de natureza simples”, ou “taxa simples”, ou “taxa no regime simples”; e haverá a “taxa de natureza composta”, ou “taxa composta”, ou “taxa no regime composto”. A taxa será sempre designada por “ i ” (minúsculo). Juros (J): O Juros representará o quanto “cresceu” o nosso Capital. Em outras palavras, o Juros será o quanto rendeu o nosso Capital. Por isso, um sinônimo de Juros é a palavra 7
  8. 8. “rendimento”. Se alguém pergunta: “qual foi seu rendimento nesta operação?”, estará, na verdade, questionando sobre o valor dos Juros! Ilustrativamente, teremos: Da figura acima extraímos as seguintes equações: Obviamente que essa mesma equação pode assumir duas outras formas, quais sejam:      São esses, portanto, os cinco elementos de uma operação de Juros: Capital; Montante; Juros; Taxa; Tempo. Caberá a nós, portanto, tentar identificar no enunciado tais elementos! 3.4. JUROS SIMPLES 3.4.1. Fórmulas de Juros Simples O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão: Esta fórmula é básica tanto para cálculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica: 8
  9. 9. Exigência: taxa e tempo na mesma unidade Exemplos: a) Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante o trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Solução: C = $ 80.000,00 i = 2,5% ao mês (0,025) n = 3 meses J =? J = 80.000,00 x 0,025 x 3 J = $ 6.000,00 b) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Solução: C =? i = 6% ao mês (0,06) n = 9 meses J = $ 270.000,00 C= C= C= 270.000,00 0,06 x 9 270.000,00 0,54 500.000,00 9
  10. 10. c) Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. Solução: C = $ 40.000,00 i =? n = 11 meses J = $ 9.680,00 i= 9.680,00 40.000,00 x 11 i= 9.680,00 440.000,00 i= 0,022 ou 2,2% ao mês d) Uma aplicação de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros de valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. Solução: C = $ 250.000,00 i = 1,8% ao mês (0,018) n =? J = $ 27.000,00 n= 27.000,00 250.000,00 x 0,018 n= 27.000,00 4.500,00 n= 6 meses 10
  11. 11. 3.4.2. Montante e Capital O montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: No entanto sabe-se que: Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante, e colocando C em evidência: Evidentemente, o valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação algébrica: Exemplos: e) Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período (ou montante). Solução: C = $ 18.000,00 i = 1,5% ao mês (0,015) n = 8 meses M =? M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8) M = 18.000,00 x 1,12 M = 20.160,00 f) Uma dívida de $ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um abatimento de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. 11
  12. 12. Solução: M = $ 900.000,00 i = 7% ao mês (0,07) n = 4 meses C =? C = 900.000,00 (1 + 0,07 x 4) C = 900.000,00 1,28 C = 3.4.3. 703.125,00 Exercícios 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 12
  13. 13. 3) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se calcular o prazo. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4) Qual é o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 12 meses? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5) Qual é o juro obtido através da aplicação de R$ 2.500,00 a 7% a.a. durante 3 anos? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 6) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 13
  14. 14. 7) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 6 meses. Qual a taxa simples mensal ganha? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 8) Qual o valor do investimento que gerou o resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 9) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 10) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 14
  15. 15. 3.4.4. Taxa Proporcional Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da taxa de juros. Nesses casos, é necessário trabalhar com a taxa proporcional. Exigência: taxa e tempo na mesma unidade Sendo assim: do maior para o menor do menor para o maior % a.a. para % a.m. = divide por 12 meses % a.m. para % a.a. = multiplica por 12 meses Exemplo: a) Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre. Solução: a: i = 6% a.m. para % a.a. = 6% x 12 = 72% ao ano b: i = 10% a.b. para % a.a. = 10% x 6 = 60% ao ano b) Calcular a taxa semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao trimestre. Solução: a: i = 60% a.a. para % a.s. = 60% / 2 = 30% ao trimestre b: i = 9% a.t. para % a.s. = 9% x 2 = 18% ao trimestre c) Calcular o montante de um capital de $ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. Solução: M =? i = 2,3% ao mês (0,023) n = 1 ano e 5 meses = 17 meses C = 600.000,00 M = 600.000 (1 + 0,023 x 17) M = 600.000 x 1,39 M = $ 834.600,00 15
  16. 16. d) Uma dívida de $ 30.000,00 a vencer dentro de uma ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. Solução: M = 30.000,00 i = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao mês = 0,0125) n = 3 meses C =? 30.000,00 C = (1 + 0,0125 x 3) 30.000,00 C = 1,0375 28.915,66 C = 3.4.5. Juro Exato e Juro Comercial É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se no prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato; b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Temse, por critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. Por exemplo, 12% ao ano equivale a taxa diária de: a) Juro exato: 12% = 0,032877% ao dia 365 dias b) Juro Comercial: 12% = 0,0333333% ao dia 360 dias 16
  17. 17. Exemplo: Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/09 sendo quitada em 15/03/09, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se. a) Determinar Juros Exato. b) Determinar Juros Comercial. Solução: a) Jexato: C = $ 14.500,00 i = 48% ao ano (0,48) n = 42 dias J =? J=Cxixn = 14.500 x 0,48 x 42 365 b) Jcomercial: C = $ 14.500,00 i = 48% ao ano (0,48) n = 42 dias J =? J=Cxixn = 365 14.500 x 0,48 x 42 360 3.4.6. = $ 800,88 = $ 812,00 360 Exercícios 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% ao trimestre ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ b) 24% ao semestre ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ c) 0,04% ao dia ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ d) 30% ao ano ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 17
  18. 18. 2) Um capital de $ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, proporcional à taxa de 3,05% ao mês. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 6) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar cálculos considerando ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 7) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/10 sendo quitada em 17/05/10 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 18
  19. 19. 3.5. JUROS COMPOSTOS 3.5.1. Fórmulas de Juros Compostos Podemos entender os juros compostos como sendo popularmente chamamos de juros sobre juros O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. FÓRMULAS: Para calcular o Montante: Para calcular o Capital: Para calcular a Taxa: Onde: qq = quanto eu quero (o prazo da taxa a ser calculada) qt = quanto eu tenho (o prazo da operação que foi informado) Para calcular o Prazo: Onde: LN = logaritmo neperiano Para calcular o Juro: 19
  20. 20. Exemplos: a) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? Solução: FV = $ 27.500,00 n = 1 ano = 12 meses i = 1,7% ao mês (0,017) PV = ? PV = 27.500,00 (1 + 0,017) 12 PV = 27.500,00 (1,017) 12 PV = 27.500,00 1,224197 PV = 22.463,70 b) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? Solução: PV = $ 12.000,00 n = 8 meses i = 3,5% ao mês (0,035) FV = ? FV FV FV FV = = = = 12.000 (1 + 0,035) 8 12.000 (1,035) 8 12.000 x 1,316809 15.801,71 20
  21. 21. c) A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Solução: PV = $ 10.210,72 FV = $ 14.520,68 n = 276 dias i mensal = ? i = {[1,422101...] 0,108696... -1} x 100 i = 0,039018 x 100 i = 3,90% d) Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês? Solução: PV = $ 24.278,43 FV = $ 41.524,33 i = 3% ao mês (0,03) n =? n = LN (41.524,33 / 24.278,43) LN (1 + 0,03) LN (1,710338) n = LN (1,03) 0,536691... n = 0,029559... 18,156731...meses n = 21
  22. 22. e) Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês: Solução: PV = $ 1.000,00 i = 10% ao mês (0,10) n = 5 meses J = ? J= J= J= J= J= 3.5.2. 1.000 [(1 + 0,10) 5 -1] 1.000 [(1,10) 5 -1] 1.000 [1,610510 -1] 1.000 [0,61051] 610,51 Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção de prazos para dias, vejamos a seguir: 1 ano exato = 365 ou 366 dias; 1 ano = 360 1 semestre = 180 dias 1 trimestre = 90 dias; 1 mês comercial = 30 dias; 1 mês exato = 29 a 31 dias; 1 quinzena = 15 dias. Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo n = qq/qt, sempre considerando o prazo em dias: n = qq (quanto quero) qt (quanto tenho) Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro (FV): 22
  23. 23. Exemplo: Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. Solução: PV = $ 13.500,00 i = 25% ao ano (360 dias) n = 92 dias FV = ? FV FV FV FV = = = = 3.5.3. 13.500 (1 + 0,25) 92/360 13.500 (1,25) 0,255556 13.500 (1,058683) 14.292,22 Exercícios 1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor resgatado foi de R$ 98.562,25. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 23
  24. 24. 3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4) Qual a taxa de juros mensal necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5) Determinar juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% durante 7 meses. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500 ao final de 25 meses. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 24
  25. 25. 7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros compostos de 2% a.m.? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 8) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate final do período?. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 9) José pretende aplicar R$ 30.000. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco. BANCO X Y Z Taxa 2% a.m. 2% a.t. 2,5% a.m. Prazo 2 bimestre 2 trimestre 4 meses a) Calcule o montante referente as condições por cada banco: ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ b) Qual é a melhor opção? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 25
  26. 26. 3.5.4. Taxas Equivalentes a Juros Compostos Duas taxas são consideradas equivalentes se, considerados o mesmo prazo da aplicação e o mesmo capital, produzem o mesmo montante. Onde: ieq = taxa equivalente ic = taxa conhecida qq = quanto eu quero qt = quanto eu tenho Exemplo: Calcular a equivalência entre as taxas: Taxa Conhecida Taxa Equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 mês b) 28,59% ao trimestre 1 semestre c) 0,5 ao dia 1 ano a) Solução: 01 / 12 i= {(1 + 0,795856) - 1} . 100 eq 0,083333 i= { (1,795856) - 1} . 100 { (1,049997) - 1} . 100 { 0,049997 } . 100 eq i= eq i= eq i= 5% ao mês eq 26
  27. 27. b) Solução: 02 / 01 i= {(1 + 0,2859) - 1} . 100 eq 2 i= { (1,2859) - 1} . 100 { (1,653539) - 1} . 100 { 0,653539 } . 100 eq i= eq i= eq i= 65,35% ao semestre eq c) Solução: 360 / 1 i= {(1 + 0,005) - 1} . 100 eq 360 i= { (1,005) - 1} . 100 { (6,022575) - 1} . 100 { 5,022575 } . 100 eq i= eq i= eq i= 502,26% ao ano eq 3.5.5. Exercícios de Taxa Equivalente 1) Determinar a taxa: a) Anual equivalente a 2% ao mês. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 27
  28. 28. b) Mensal equivalente a 60,103% ao ano. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ c) Anual equivalente a 0,1612% ao dia. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 28
  29. 29. 3.6. DESCONTOS É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional do mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias e etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método Simples). 3.6.1. DESCONTO SIMPLES São identificados dois tipos de descontos simples: o desconto racional (ou “por dentro”) e o desconto comercial ou bancário (ou “por fora”) 3.6.1.1. Desconto Racional Simples ou “por dentro” O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal, valor de face) e o valor atual ((VL) valor líquido, valor presente, liberado na data do desconto) calculado a juros simples. Vamos aplicar as seguintes fórmulas: Para calcular o desconto racional simples: O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula: Para calcular o valor líquido: O valor líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula: 29
  30. 30. Exemplo 01: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido? Solução: VN = $ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês (0,025) DRS = ? VL = ? DRS = 25.000,00 . 0,025 . 2 (1 + 0,025 . 2) DRS = 1.250,00 1,05 DRS = 1.190,48 VL = VN - DRS VL = 25.000 - 1.190,48 VL = 23.809,52 É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de todo o período do desconto. 3.6.1.2. Desconto Bancário ou Comercial ou “por fora” Simples O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: OBS: caso a dívida seja prorrogada: VL = VN + DBS 30
  31. 31. Exemplo 02: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) simples e o valor líquido? Solução: VN = $ 25.000,00 n = 2 meses i = 2,5% ao mês (0,025) DBS = ? VL = ? DRS = 25.000,00 . 0,025 . 2 DRS = 1.250,00 VL = VN - DRS VL = 25.000 - 1.250,00 VL = 23.750,00 Observe que o maior valor dos juros cobrado pelo título deve-se ao fato de o desconto “por fora” ser aplicado diretamente sobre o valor nominal e não sobre o valor atual como é de característica das operações de desconto racional. 3.6.1.3. Exercícios de Descontos Simples 1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2) Qual a taxa mensal simples de desconto comercial utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é R$ 1.000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 31
  32. 32. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada comercialmente por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5) Um título com o valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 32
  33. 33. 6) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 7) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada deve ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 8) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 33
  34. 34. 3.6.2. DESCONTO COMPOSTO São identificados dois tipos de descontos composto: o desconto racional (ou “por dentro”) e o desconto comercial ou bancário (ou “por fora”) 3.6.2.1. Desconto Racional Composto ou “por dentro” O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto. Exemplo 01: Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes de seu vencimento. Solução: VN = $ 5.000,00 n = 3 meses i = 3,5% ao mês (0,035) DRC = ? VL = ? VL = 5.000 (1 + 0,035) VL = 5.000 1,035 VL = 3 5.000 1,10872 VL = 3 3 4.509,71 DRC = 5.000 - 4.509,71 DRC = $ 490,29 34
  35. 35. 3.6.2.2. Desconto Bancário ou Comercial ou “por fora” Composto Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (i) por período. Vamos verificar: Exemplo 02: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. Solução: VN = $ 25.000,00 n = 60 dias = 2 meses i = 2,5% ao mês (0,025) VL = ? DBC = ? VL = 25.000 (1 + 0,025) VL = 25.000 (1,025) VL = 25.000 . 0,9518144 VL = -2 23.795,35 -2 DBC = 25.000 - 23.795,35 DBC = 3.6.2.3. 1.204,64 Exercícios de Descontos Compostos 1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era de 10%, de quanto era o valor líquido deste título? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 35
  36. 36. 2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 36
  37. 37. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DBC? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento à uma taxa de 3% ao mês. Calcular o valor líquido e o DBC? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 37

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