1. Le taquin
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Représentation mathématique naïve
11 32 43
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 4 9 5 2 6 σ=
1 3 4 5 9 2 7 6 8
77 68 89
Un mouvement : multiplication par une transposition
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
9
7
7
8
8
9
6 = τ9,6 ∗ Id
1 2 3 1 2 3
4 5 9 4 5 6
7 8 6 7 8 9

2. Propriétés de cette représentation
1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 σ=
1 2 3 4 5 6 8 7 9
8 7 9 σ résoluble ?
Si σ résoluble, σ = τ1 τ2...τp
Alors, ε(σ) = (-1)p
Parité de p récupérable :
Problème :
Démo de ε(σ) = (-1)p σ résoluble
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 1 2 σ=
5 1 2 7 4 3 6 8 9
7 4 3 ε(σ) = 1
6 8 9 Résoluble ?

3. Autre représentation
Classe d’équivalence :
1 2 3
6 5 4
7 8
Numérotation suivant le serpentin
Représentation d’une configuration :
5 1 2 51 12 23
Exemple : 4 3 76 45 34
7 6 8 67 88
1 2 3 4 5 6 7 8
σ=
5 1 2 3 4 7 6 8

4. Résolution du taquin
Représentation d’un mouvement :
1 2 3 1 2 3
Exemple : 6 5 4 5 4
7 8 6 7 8
1 2 3 1 2 3
5 7 4 5 7 4
6 8 6 8
1 2 3 4 5 6 7 8
τ5,8 =
1 2 3 4 6 7 5 8
Mouvements possibles :
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
τ1,6 = τ2,5 =
5 1 2 3 4 6 7 8 1 4 2 3 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
τ5,8 = τ4,9 =
1 2 3 4 6 7 5 8 1 2 3 5 6 7 8 4
Et leurs inverses…
Ces permutations génèrent un groupe

5. Algorithme SIFT
Permet la décomposition d’une
permutation en produit de générateurs
du groupe.
Pour le taquin, on a une permutation et
les générateurs : on utilise SIFT !
Étude des isométries laissants invariantes
les quatre points d’un carré :
1
• •2
4• •3
Exemple : R-π/4 4
1
• •2
• •1
4• •3 3• • 2
1 2 3 4
R−π/4 =
4 1 2 3

6. Tableau de permutations
Exemple :
Id
- Id σ • σ(1)=1
• σ(2)=4
- - Id
• σ(3)=?
- - - Id
Tableau permutation :
• La case T[i; j] est :
• soit indéfinie,
• soit contient σ telle que
• ∀ k<i, σ(k)=k
• σ(i)=j

7. SIFT
1 2 3 4 1 2 3 4
Générateurs : R=
4 1 2 3
S=
3 2 1 4
1 2 3 4
σ=
3 4 1 2
Id S R
- Id
La place est prise pour σ ! - - Id
- - - Id
SIFT :
1 2 3 4
γ = S −1 σ = Id R3 S R
1 4 3 2
- Id - ɣ
1 2 3 4 - - Id -
R3 =
2 3 4 1 - - - Id
Tableau complet de calcul du groupe G :
• Tableau de permutation
• ∀ ε∈G, on peut écrire
ε = σ1σ2σ3...σn
où σi appartient à la ligne i du tableau.

8. Résultats sur le taquin
(P 04 09) (P 04 09)i
5 mouvements au départ, SIFT donne :
(P 01 06)i*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 05 08)*
(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)*(P 05 08)i*
(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i
Simplifiable :
(P 01 06)i*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 05 08)*
(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)*(P 05 08)i*
(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i
(suppression des identités)
(P 01 06)i*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 04 09)*(P 05 08)*
(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*(P 05 08)i*(P 04 09)i*(P 04 09)i*
(P 04 09)i
Objectif pour étendre :
trouver d’autres simplifications