2. Muchas veces, de una función sólo conocemos un
conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo,
porque son los resultados de un experimento gobernado
por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el
valor de la función para una abscisa diferente de las
conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y,
naturalmente, el valor que obtengamos será una
aproximación del valor real. También puede suceder que
sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo
suficientemente complicada como para calcular
aproximaciones a los valores de la función a partir de otros
ya conocidos.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más
sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que
consiste en construir una función que pase por los valores
conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como
aproximación de la función primitiva. Si se utilizan
polinomios como funciones de aproximación, hablamos de
interpolación polinómica. Si la abscisa para la que queremos
encontrar un valor aproximado de la función se encuentra
fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los
polos, se dice que estamos haciendo extrapolación.
EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACION
3. Dados los valores de una función desconocida correspondiente a
dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el
propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras
de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que
satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los
valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de
la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un
sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso;
resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores
de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para
f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales.
Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o
determina calculando las diferencias entre los valores de la
columna a su izquierda.
La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias:
TABLA DE DIFERENCIAS
4. Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como
un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le
parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que
pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la
fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en
avance y retroceso).
Fórmula de Avance:
Fórmula de Retroceso:
La fórmula usa la notación, que es el número de
combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva
a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor
a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto
de partida para seleccionar los valores , que serán
seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila
diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en
caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila
diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la
longitud o distancia entre los valores de xi
POLINIO INTERPOLANTE DE NEWTON-
GREGORY
5. Hay una gran variedad de fórmulas de
interpolación además del Método de Newton-
Gregory, difieren de la forma de las trayectorias
tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la
fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en
avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma
de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de
partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son
tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia
abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así
sucesivamente. En fórmula de avance los valores son
tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia
arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas
de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de
Gauss.
POLINOMIO DE
GAUSSS
6. Para construir un polinomio de grado menor o igual que
n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹
j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente
del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente
de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se
conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se
propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el
siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con
algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si
no, se repite el procedimiento.
POLINOMIO DE LAGRANGE
7. Aquí buscamos un polinomio por pedazos
Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y
que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La
función Hn(x) queda determinada en forma
única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de n sistemas lineales
de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de
la disponibilidad de los lo cual no es el caso
en muchas en muchas aplicaciones.
INTERPOLACION DE HERMITE
