Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
  • Login to see the comments

  • Be the first to like this

Betta

  1. 1. FunciΓ³n Beta 1 𝑑 π‘₯βˆ’1 (1 βˆ’ 𝑑) π‘¦βˆ’1 𝑑𝑑 ; 𝛽 π‘₯, 𝑦 = π‘₯>0 𝑦>0 0 Si hacemos 𝑑 = 𝑠𝑒𝑛2 πœƒ 𝑑𝑑 = 2 𝑠𝑒𝑛 πœƒ cos πœƒ π‘‘πœƒ Si reemplazamos limites 𝑑 = 0 β†’ πœƒ = 0 𝑑=1 β†’ πœƒ= πœ‹ 2 Reemplazamos πœ‹ 2 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 2 (𝑠𝑒𝑛2 πœƒ) π‘₯βˆ’1 1 βˆ’ 𝑠𝑒𝑛2 π‘¦βˆ’1 𝑠𝑒𝑛 πœƒ cos πœƒ π‘‘πœƒ 0 πœ‹ 2 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2π‘₯βˆ’1 πœƒ βˆ— cos2yβˆ’1 πœƒ π‘‘πœƒ 0 πœ‹ 2 1 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2π‘₯βˆ’1 πœƒ βˆ— cos2yβˆ’1 πœƒ π‘‘πœƒ 0 Si hacemos 𝑑= 1 1+ 𝑒 𝑑𝑒 1+ 𝑒 𝑑𝑑 = 0 𝛽 π‘₯, 𝑦 = βˆ’ ∞ ∞ 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 0 ∞ 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 0 2 𝑠𝑖 𝑑 = 0 β†’ 𝑒 = ∞ 1 1+ 𝑒 π‘₯βˆ’1 𝑦 𝑠𝑖 1 1βˆ’ 1+ 𝑒 𝑑=1β†’0=0 π‘¦βˆ’1 1 1+ 𝑒 π‘₯βˆ’1 1 1+ 𝑒 𝑒 𝑦 βˆ’1 𝑑𝑒 βˆ— βˆ— π‘₯βˆ’1 1 + 𝑒 π‘¦βˆ’1 1 + 𝑒 1+ π‘’βˆ’1 1+ 𝑒 𝑒 𝑦 βˆ’1 𝑑𝑒 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 1 + 𝑒 π‘₯βˆ’1+π‘¦βˆ’1+2 𝑒 π‘¦βˆ’1 𝑑𝑒 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 1 + 𝑒 π‘₯+𝑦 π‘¦βˆ’1 𝑑𝑒 1+ 𝑒 𝑑𝑒 1+ 𝑒 2 2 2
  2. 2. Teorema 𝛽 π‘₯, 𝑦 = Ξ“xΞ“y ; Ξ“ x+y π‘₯>0 𝑦>0 Ejemplo πœ‹ 2 tan πœƒ π‘‘πœƒ 0 πœ‹/2 0 𝑠𝑒𝑛 πœƒ cos πœƒ 1/2 π‘‘πœƒ πœ‹/2 𝑠𝑒𝑛 1/2 πœƒ π‘π‘œπ‘  βˆ’1/2 πœƒ π‘‘πœƒ 0 Comparando 1 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 2 2π‘₯ βˆ’ 1 = 1 2 2𝑦 βˆ’ 1 = βˆ’ πœ‹ 2 𝑠𝑒𝑛2π‘₯βˆ’1 πœƒ βˆ— cos2yβˆ’1 πœƒ π‘‘πœƒ 0 β†’ 2π‘₯ = 1 2 1 3 + 1 β†’ 2π‘₯ = 2 2 β†’ 2𝑦 = βˆ’ β†’ 1 1 + 1 β†’ 2𝑦 = 2 2 𝒙= πŸ‘ πŸ’ β†’ Si aplicamos el teorema = 1 βˆ— 2 1 = βˆ— 2 Ξ“ 3 βˆ—Ξ“ 1 4 4 Ξ“ 3+1 4 4 Ξ“ 3 βˆ—Ξ“ 1 4 4 4 ; π‘π‘œπ‘šπ‘œ Ξ“ =Ξ“ 1 =1 4 4 Ξ“ 4 π’š= 𝟏 πŸ’
  3. 3. 1 3 1 = βˆ— Ξ“ βˆ— Ξ“ 2 4 4 = 1 1 1 βˆ— Ξ“ βˆ— Ξ“ 1βˆ’ 2 4 4 Aplicamos teorema de gamma = 1 Ο€ βˆ— Ο€ 2 sen 4 = 1 2 = πœ‹ 2 2 πœ‹ 2 ∞ π‘₯ 𝑝 βˆ’1 0 1+π‘₯ Resolver 𝑑π‘₯ Por definiciΓ³n 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 𝑒 𝑦 βˆ’1 𝑑𝑒 1+𝑒 π‘₯ +𝑦 Comparando y-1=p-1 x+y=1 y=p x=1–p Reemplazamos ∞ 0 π‘₯ π‘βˆ’1 𝑑π‘₯ = 𝛽 1 βˆ’ 𝑝, 𝑝 1+ π‘₯ = 𝛽 𝑝, 1 βˆ’ 𝑝
  4. 4. = Ξ“ p Ξ“ 1βˆ’p Ξ“ p+1βˆ’p = Ξ“ p Ξ“ 1βˆ’p Aplicamos teorema de gamma = πœ‹ 𝑠𝑒𝑛 π‘πœ‹ Resolver ∞ βˆ’βˆž 𝑒 2π‘₯ 𝑒 3π‘₯ + 1 2 𝑑π‘₯ 𝑒 = 𝑒 3π‘₯ β†’ ln 𝑒 = ln 𝑒 3π‘₯ β†’ ln 𝑒 = 3π‘₯ π‘₯= 1 ln 𝑒 β†’ 3 1 𝑑𝑒 3 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ = Evaluamos los lΓ­mites Cuando π‘₯ = ∞ β†’ ∞ 0 1 = 3 𝑒=∞ 1 2βˆ— ln 𝑒 𝑒 3 𝑒+1 1 𝑑𝑒 3 𝑒 2 𝑒 3 ln 𝑒 ∞ 0 βˆ— 2 𝑦 π‘₯ = βˆ’βˆž β†’ 𝑒 𝑒+1 2 𝑑𝑒 Por propiedades de euler y logaritmos 1 = 3 1 = 3 ∞ 0 ∞ 0 2 𝑒3 βˆ— π‘’βˆ’1 𝑑𝑒 𝑒+1 2 βˆ’1 𝑒3 𝑒+1 2 𝑑𝑒 𝑒=0
  5. 5. Si comparamos con π‘¦βˆ’1= βˆ’ 1 3 𝛽 π‘₯, 𝑦 = β†’ Reemplazamos 1 4 2 𝛽 , 3 3 3 4 2 1 Ξ“ 3 Ξ“ 3 = βˆ— 4 2 3 Ξ“ 3+3 1 1 2 Ξ“ 3 Ξ“ 3 1 = βˆ— 3 6 3 Ξ“ 3 1 2 1 Ξ“ 3 Ξ“ 3 = βˆ— 9 Ξ“(2) Ξ“ 2 = 1! 1 1 2 βˆ—Ξ“ Ξ“ 9 3 3 = 1 1 1 βˆ—Ξ“ Ξ“ 1βˆ’ 9 3 3 Aplicamos teorema de gamma = = = 1 Ο€ βˆ— 9 sen Ο€ 3 1 Ο€ βˆ— 9 3 2 2 Ο€ βˆ— 9 3 2 3 𝑑𝑒 1+𝑒 π‘₯ +𝑦 𝑦= βˆ’ π‘₯+ 𝑦 =2 β†’ π‘₯ =2βˆ’ = 𝑒 𝑦 βˆ’1 1 𝟐 +1β†’ π’š= 3 πŸ‘ β†’ 𝒙= πŸ’ πŸ‘
  6. 6. Resolver 3 𝑑π‘₯ π‘₯βˆ’1 1 3 3βˆ’ π‘₯ 1 βˆ’ 2 π‘₯βˆ’1 3βˆ’ π‘₯ 1 βˆ’ 2 𝑑π‘₯ 1 Sea x – 1 = 2y οƒ  x = 2y+1 οƒ  dx = 2dy Cuando x = 1 y = 0 1 = 1 βˆ’ 2 2𝑦 cuando x=3 y=1 1 βˆ’ 2 3 βˆ’ 2𝑦 + 1 2𝑑𝑦 0 1 =2 1 βˆ’ 2 2 1 (𝑦)βˆ’2 3 βˆ’ 2𝑦 + 1 1 βˆ’ 2 𝑑𝑦 0 = = = = 1 2 2 1 1 1 𝑦 βˆ’2 2 βˆ’ 2𝑦 1 βˆ’ 𝑦 2 1 1 βˆ’ 2 2 1βˆ’ 𝑦 1 1 𝑦 βˆ’2 2βˆ’2 𝑑𝑦 1 βˆ’ 2 𝑑𝑦 1βˆ’ 𝑦 1 βˆ’ 2 𝑑𝑦 0 1 2 = 𝑑𝑦 0 2 2 3 βˆ’ 2𝑦 βˆ’ 1 0 2 2 1 βˆ’ 2 0 2 2 1 βˆ’ 𝑦 2 𝑦 βˆ’ 1/2 (1 βˆ’ 𝑦)βˆ’ 1/2 𝑑𝑦 2 2 0 οƒ x=Β½ Sea x - 1 = - Β½ y – 1 = - Β½ οƒ  y= Β½ Luego 𝛽 = = πœ‹ 1 1 , 2 2 πœ‹βˆ— πœ‹ Rta 1 = 1 Ξ“ 2 Ξ“ 2 1 1 Ξ“ 2 +2 1 1 Ξ“ 2 Ξ“ 2 οƒ  Ξ“(1) οƒ  Ξ“ 1 2 Ξ“ 1 2
  7. 7. Ejercicio especial Resolver 1 π‘₯ π‘š βˆ’1 1 βˆ’ π‘₯ π‘›βˆ’1 𝑑π‘₯ π‘₯ + π‘Ÿ π‘š +𝑛 0 π‘Ÿ+1 π‘₯ 𝑦= Sugerencia π‘Ÿ+π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ+ π‘₯ = π‘Ÿ+1 π‘₯ Derivada de un cociente π‘¦π‘Ÿ + 𝑦π‘₯ = π‘Ÿ + 1 π‘₯ π‘Ÿ(π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦) βˆ’ π‘¦π‘Ÿ(βˆ’1) π‘¦π‘Ÿ = π‘Ÿ + 1 π‘₯ βˆ’ 𝑦π‘₯ π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 + π‘¦π‘Ÿ π‘¦π‘Ÿ = π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘₯ π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ βˆ’ π‘¦π‘Ÿ + π‘¦π‘Ÿ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 π‘Ÿ2 + π‘Ÿ π‘₯= 𝑑π‘₯ = π‘Ÿ(π‘Ÿ + 1) π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 𝑑𝑦 π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 2 𝑠𝑖 π‘₯ = 0 β†’ 𝑦 = 0 Reemplazamos 1 π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 0 1 0 1 0 1βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦+ π‘Ÿ 0 1 π‘š βˆ’1 𝑠𝑖 π‘₯ = 1 π‘›βˆ’1 π‘Ÿ π‘Ÿ+1 π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 π‘š +𝑛 π‘¦π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š βˆ’1 π‘š +𝑛 π‘¦π‘Ÿ + π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 1= 𝑑𝑦 2 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 = π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 = π‘¦π‘Ÿ + 𝑦 π‘›βˆ’1 π‘Ÿ π‘Ÿ+1 π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 2 𝑑𝑦 π‘¦π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘›βˆ’1 π‘š βˆ’1 π‘Ÿ(π‘Ÿ + 1) π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 2 + π‘Ÿ βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘š +𝑛 π‘¦π‘Ÿ + π‘Ÿ (π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦)2 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š +𝑛 π‘¦π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘›βˆ’1 π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š βˆ’1+π‘›βˆ’1+2 π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ π‘š +𝑛 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š +𝑛 π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 𝑑𝑦 π‘Ÿ+1= 𝑦 π‘Ÿ+1 π‘Ÿ+1 = 𝑦 π‘Ÿ+1 1= 𝑦
  8. 8. π‘¦π‘Ÿ 1 π‘š βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘›βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š +𝑛 π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ π‘š +𝑛 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š +𝑛 0 1 π‘¦π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘¦π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘¦π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ π‘š +𝑛 0 1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ π‘š +π‘›βˆ’1 π‘Ÿ 0 1 𝑦 π‘š βˆ’1 𝑦 π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘Ÿ π‘šβˆ’1 π‘Ÿ π‘š +π‘›βˆ’1 1 𝑦 βˆ— π‘Ÿ π‘š βˆ’1 π‘Ÿ 0 𝑛 = π‘Ÿ π‘š +𝑛 𝑑𝑦 π‘š +𝑛 𝑑𝑦 π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 π‘š +π‘›βˆ’1 βˆ’π‘š +1 π‘Ÿ+1βˆ’ 𝑦 π‘Ÿ2 + π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 π‘š +π‘›βˆ’1 π‘š +π‘›βˆ’1 π‘Ÿ 0 π‘›βˆ’1 π‘šβˆ’1 0 1 𝑑𝑦 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘›βˆ’1 π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 π‘š +𝑛 π‘Ÿ 2 + π‘Ÿ 0 1 π‘Ÿ2 + π‘Ÿ π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 π‘š +π‘›βˆ’1βˆ’π‘š +1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘Ÿ + 1 π‘š +π‘›βˆ’1 = 𝑛 π‘Ÿ π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 Como m, n, r son constantes son sacadas de la integral π‘Ÿ 𝑛 1 π‘Ÿ+1 1 𝑦 π‘š +π‘›βˆ’1 π‘š βˆ’1 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 0 π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦 βˆ’ π‘¦π‘Ÿ = π‘Ÿ + 1 βˆ’ 𝑦(1 + π‘Ÿ) = π‘Ÿ + 1 (1 βˆ’ 𝑦) Nos queda entonces π‘Ÿ π‘Ÿ π‘Ÿ 𝑛 𝑛 𝑛 1 π‘Ÿ+1 1 𝑦 π‘š βˆ’1 π‘Ÿ+1 π‘›βˆ’1 1 1βˆ’ 𝑦 π‘›βˆ’1 0 1 π‘š 𝑦 0 (1 βˆ’ 𝑦) π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 0 π‘Ÿ + 1 π‘›βˆ’1 π‘Ÿ + 1 π‘š +π‘›βˆ’1 1 π‘Ÿ+1 π‘š βˆ’1 𝑦 π‘š +π‘›βˆ’1 π‘š βˆ’1 (1 βˆ’ 𝑦) π‘›βˆ’1 𝑑𝑦 𝑑𝑦
  9. 9. Si comparamos con 1 𝑑 π‘₯βˆ’1 1 βˆ’ 𝑑 𝛽 π‘₯, 𝑦 = 0 π‘₯βˆ’1= π‘šβˆ’1 β†’ π‘₯ = π‘š π‘¦βˆ’1= π‘›βˆ’1 β†’ 𝑦 = 𝑛 Reemplazamos los nuevos valores = 1 π‘Ÿ 𝑛 π‘Ÿ+1 π‘š 𝛽(π‘š, 𝑛) … Rta 𝑦 βˆ’1 𝑑𝑑 ; π‘₯>0 𝑦>0

Γ—