Explicación del método de Gauss para resolver sistemas.

1. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático, astrónomo y físico aleman que influyó en multitud de ramas de las matemáticas. Fue un niño prodigio del que se cuentan muchas anécdotas infantiles. Es considerado como “el príncipe de las matemáticas” y muchos lo consideran el matemático más grande de todos los tiempos. Si quieres conocer más de su vida y su obra pulsa aquí .

3. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones es, en cierta forma, una generalización del tradicional método de reducción. Consiste en trabajar directamente con los coeficientes del sistema escritos en un cuadro, es decir, una matriz, de forma que cada fila contiene los coeficientes de las incógnitas y del término independiente de cada ecuación.

4. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Para utilizar el método de Gauss se realizan unas transformaciones en las filas de esa matriz hasta que conseguimos que los elementos por debajo de la diagonal principal sean todos nulos.

5. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Las transformaciones permitidas son las siguientes: 1) Se pueden cambiar entre sí dos filas. 2) Se pueden multiplicar o dividir por un número distinto de cero todos los elementos de una fila. 3) A una fila se le puede sumar otra multiplicada por un número.

6. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Vamos a ver el método con un ejemplo concreto. Queremos resolver el sistema siguiente: x + 2y - z = 2 2 x + 3y – 3z = -1 x + y + z = 6

7. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Vamos a ver el método con un ejemplo concreto. Queremos resolver el sistema siguiente: x + 2y - z = 2 2 x + 3y – 3z = -1 x + y + z = 6 Lo primero es escribir el sistema mediante la matriz ampliada.

8. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS 1 2 -1 2 2 3 -3 -1 1 1 1 6 En primer lugar le restamos a la segunda fila la primera multiplicada por 2.

9. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS 1 2 -1 2 1 2 -1 2 2 3 -3 -1 F 2 -2·F 1 0 -1 -1 -5 1 1 1 6 1 1 1 6 En primer lugar le restamos a la segunda fila la primera multiplicada por 2.

10. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS 1 2 -1 2 1 2 -1 2 2 3 -3 -1 F 2 -2·F 1 0 -1 -1 -5 F 3 -F 1 1 1 1 6 1 1 1 6 1 2 -1 2 0 -1 -1 -5 0 -1 2 4 El siguiente paso es restarle a la tercera fila la primera.

11. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS 1 2 -1 2 1 2 -1 2 2 3 -3 -1 F 2 -2·F 1 0 -1 -1 -5 F 3 -F 1 1 1 1 6 1 1 1 6 1 2 -1 2 1 2 -1 2 0 -1 -1 -5 F 3 -F 1 0 -1 -1 -5 0 -1 2 4 0 0 3 9 Y por último le restamos a la tercera fila la segunda.

12. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS 1 2 -1 2 1 2 -1 2 2 3 -3 -1 F 2 -2·F 1 0 -1 -1 -5 F 3 -F 1 1 1 1 6 1 1 1 6 1 2 -1 2 1 2 -1 2 0 -1 -1 -5 F 3 -F 1 0 -1 -1 -5 0 -1 2 4 0 0 3 9 Una vez conseguido un sistema escalonado se reconstruye el sistema.

13. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Una vez conseguido un sistema escalonado se reconstruye el sistema y se resuelve comenzando por la ecuación con menos incógnitas. x + 2y - z = 2 - y - z = -5 3z = 9

14. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Una vez conseguido un sistema escalonado se reconstruye el sistema y se resuelve comenzando por la ecuación con menos incógnitas. x + 2y - z = 2 - y - z = -5 3z = 9 z = 3

15. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Una vez conseguido un sistema escalonado se reconstruye el sistema y se resuelve comenzando por la ecuación con menos incógnitas. x + 2y - z = 2 - y - z = -5 y = 5-z = 2 3z = 9 z = 3

16. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Una vez conseguido un sistema escalonado se reconstruye el sistema y se resuelve comenzando por la ecuación con menos incógnitas. x + 2y - z = 2 x = 2-2y+z = 1 - y - z = -5 y = 5-z = 2 3z = 9 z = 3

17. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER SISTEMAS Una vez conseguido un sistema escalonado se reconstruye el sistema y se resuelve comenzando por la ecuación con menos incógnitas. x + 2y - z = 2 x = 2-2y+z = 1 - y - z = -5 y = 5-z = 2 3z = 9 z = 3 La solución es, por tanto: x=1, y=2, z=3.