Ipaee capitulo 2_slides

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
1º SEMESTRE DE 2010 – PROFa.ESTELA MARIS P. BERETA

CAPÍTULO 2

ANÁLISE DESCRITIVA E
EXPLORATÓRIA DE DADOS


OBSERVAÇÕES
AMOSTRAGEM ANÁLISE DESCRITIVA

PLANEJAMENTO DE E EXPLORATÓRIA DE

EXPERIMENTOS DADOS

PROBLEMA: VERIFICAÇÃO DAS
FORMULAÇÃO DE
HIPÓTESES HIPÓTESES
FORMULADAS

INFERÊNCIA
DESENVOLVIMENTO ESTATÍSTICA
DE NOVAS TEORIAS

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
1 1005138 1 132 17 1 2 8.5 120.5
2 1006231 2 132 17 1 1 11 134
3 1006258 2 132 18 1 2 11 135.5
4 1014137 2 132 26 4 2 14.5 135
5 1020099 1 132 19 2 1 7.5 101.5
6 1023144 1 132 17 1 9 10 125.5 Como analisar
7 1024086 1 133 18 1 7 10 122.5
8
9
1032739
1034189
2
2
132
132
17
16
1
1
4
3
12
15
130
130.5
um conjunto
10
11
1036173
1039024
2
1
133
132
18
19
1
2
1
1
11
16
127.5
136
de dados?
12 1040740 1 133 19 2 3 10.5 104.5
13 1041509 1 132 17 1 2 11 135.5
14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5
15 1044966 1 133 18 1 1 13 126
16 1045377 1 133 19 2 1 13.5 140
17 1045601 1 132 18 1 1 13.5 137
18 1046535 1 133 19 2 2 11.5 127.5
19 1054244 2 133 20 2 1 15 140.5
20 1057820 2 133 20 2 1 14 130
….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
150 1294326 2 132 18 1 2 10.5 114
151 1297325 1 133 19 2 1 12 111.5
152 1298445 1 132 17 1 3 14 131
153 1299492 1 133 17 1 2 11 123
154 1299638 1 133 20 2 2 13.5 122
155 1302400 1 132 17 1 6 11 127
156 1303082 1 132 18 1 1 11 137.5
157 1304127 1 133 22 3 1 11.5 134
158 1307100 1 133 18 1 7 7 116
159 1308246 1 132 1 1 16.5 134
160 1308335 1 132 18 1 2 10.5 130.5

1º SEMESTRE DE 2010 – PROFa. ESTELA MARIS P. BERETA

O papel da estatística pode
ser considerado como a de
uma “mineração de dados”.
Os dados devem ser
cuidadosamente coletados
(observados), devidamente
conhecidos e utilizados para
analisar e interpretar a sua
variabilidade de forma a
possibilitar uma correta
resposta à hipótese em
estudo.


PRIMEIRO PASSO:

Qual o objeto do estudo?

Uma caracterização dos
alunos ingressos nos cursos
de Química, Engenharia
Química e Engenharia de
Materiais na UFSCar no ano
de 2009.


PRIMEIRO PASSO:

Qual o objeto do estudo?

Uma caracterização dos
alunos ingressos nos cursos
de Engenharia Química e
Engenharia de Materiais na
UFSCar no ano de 2009.


UMA PRIMEIRA DEFINIÇÃO:

POPULAÇÃO:

Conjunto de indivíduos ou objetos os quais o pesquisador tem
interesse, que apresentam relevância para a investigação de
hipótese em estudo. Podemos ainda dizer que a população é
formada por todos os valores possíveis de serem observados
numa dada situação. No caso de estudos experimentais, o alvo
é sempre uma dada população.


UMA PRIMEIRA DEFINIÇÃO:

POPULAÇÃO:
População Finita

Duas Possíveis Situações:

População Infinita


POPULAÇÃO: Como coletar
informações (dados)
Resultados
CENSO
Conclusivos

Duas Possíveis Situações:

Inferência
AMOSTRA
Estatística


ANÁLISE ESTATÍSTICA:

O processo de organização, processamento,
sumarização e retirada de conclusões sobre um
determinado conjunto de dados (amostra) é
chamado de análise estatística.


ANÁLISE ESTATÍSTICA: RESUMO


SEGUNDO PASSO: Quais as informações disponíveis?

INFORMAÇÃO NUMÉRICA:
Um conjunto de dados estatísticos consiste de uma ou
mais medidas, escores ou valores observados (coletados) de
certo número de indivíduos, objetos, ensaios, experimentos,
etc.



ASPECTO BÁSICO DA INFORMAÇÃO:
A análise estatística de um conjunto de dados só faz
sentido quando existir “variabilidade” nos valores observados,
ou seja, os valores devem apresentar diferenças nas diferentes
unidades de observação utilizadas. A não existência de
variabilidade entre os valores observados torna
desnecessária a utilização de qualquer método estatístico.


V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
1 1005138 1 132 17 1 2 8.5 120.5
2 1006231 2 132 17 1 1 11 134
3 1006258 2 132 18 1 2 11 135.5
4 1014137 2 132 26 4 2 14.5 135
5 1020099 1 132 19 2 1 7.5 101.5
6 1023144 1 132 17 1 9 10 125.5
7 1024086 1 133 18 1 7 10 122.5
8 1032739 2 132 17 1 4 12 130
9 1034189 2 132 16 1 3 15 130.5
10 1036173 2 133 18 1 1 11 127.5
11 1039024 1 132 19 2 1 16 136
12 1040740 1 133 19 2 3 10.5 104.5
13 1041509 1 132 17 1 2 11 135.5
14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5
15 1044966 1 133 18 1 1 13 126
16 1045377 1 133 19 2 1 13.5 140
17 1045601 1 132 18 1 1 13.5 137
18 1046535 1 133 19 2 2 11.5 127.5
19 1054244 2 133 20 2 1 15 140.5
20 1057820 2 133 20 2 1 14 130
….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
150 1294326 2 132 18 1 2 10.5 114
151 1297325 1 133 19 2 1 12 111.5
152 1298445 1 132 17 1 3 14 131
153 1299492 1 133 17 1 2 11 123
154 1299638 1 133 20 2 2 13.5 122
155 1302400 1 132 17 1 6 11 127
156 1303082 1 132 18 1 1 11 137.5
157 1304127 1 133 22 3 1 11.5 134
158 1307100 1 133 18 1 7 7 116
159 1308246 1 132 1 1 16.5 134
160 1308335 1 132 18 1 2 10.5 130.5

1º SEMESTRE DE 2010 – PROFA. ESTELA MARIS P. BERETA


V1: Identificador
V2: Número de Inscrição;
V3: Sexo;
V4: Curso;
V5: Idade;
V6: Faixa Etária;
V7: Chamada Que foi Efetuada a Matricula;
V8: Pontos na Prova de Matemática;
V9: Total Geral de Pontos (Não Ponderados)


Quais as informações disponíveis?

V1: Identificador
V2: Número de Inscrição; As informações obtidas tem
V3: Sexo; as mesmas características ou
V4: Curso;
propriedades?
V5: Idade;
V6: Faixa Etária;
V9: Total Geral de Pontos (Não Ponderados)


V1: Identificador TIPOS DE VARIÁVEIS:
VARIÁVEIS:
VARIÁVEIS QUALITATIVAS:
V3: Sexo;
V4: Curso; Denominamos variáveis
qualitativas ( ou categóricas)
V5: Idade; aquelas medidas
V6: Faixa Etária; (características) observadas
na amostra que apenas
V7: Chamada Que foi Efetuada a Matricula; identificam a unidade de
V8: Pontos na Prova de Matemática; observação. Em outras
palavras, uma variável
V9: Total Geral de Pontos (Não Ponderados) categórica identifica um
atributo, classe,
qualidade,..., da unidade de
observação.


VARIÁVEIS:
V3: Sexo;
QUALITATIVAS NOMINAIS:
V4: Curso;
Apenas identificam um
V5: Idade; atributo à unidade
experimental sem qualquer
V6: Faixa Etária;
outra propriedade
QUALITATIVAS ORDINAIS:
Identificam um atributo
V9: Total Geral de Pontos (Não Ponderados) que estabelece uma
estrutura de ordem nas
unidades de observação


VARIÁVEIS:
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
V3: Sexo;
QUANTITATIVAS DISCRETAS:
V4: Curso;
Podem assumir um
V5: Idade;
conjunto finito ou
V6: Faixa Etária; enumerável de valores.
QUANTITATIVAS CONTINUAS:
Podem assumir infinitos
V9: Total Geral de Pontos (Não Ponderados) valores num intervalo de
números reais.


RESUMO:


OBSERVAÇÕES:

1. Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para
organizar e resumir a informação, embora em muitos casos se
verifique as técnicas usadas em um caso podem ser
adaptadas para outros.

2. Uma variável quantitativa pode ser categorizada, porém a
recíproca não é possível. É importante, porém considerar a
PERDA DE INFORMAÇÃO que ocorre nesses casos.

IDADE X FAIXA ETÁRIA


APRESENTAÇÃO DOS DADOS:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
1 1005138 1 132 17 1 2 8.5 120.5
2 1006231 2 132 17 1 1 11 134
3 1006258 2 132 18 1 2 11 135.5
4 1014137 2 132 26 4 2 14.5 135
5 1020099 1 132 19 2 1 7.5 101.5
6 1023144 1 132 17 1 9 10 125.5
7 1024086 1 133 18 1 7 10 122.5
8 1032739 2 132 17 1 4 12 130
9 1034189 2 132 16 1 3 15 130.5
10 1036173 2 133 18 1 1 11 127.5
11 1039024 1 132 19 2 1 16 136
12 1040740 1 133 19 2 3 10.5 104.5
13 1041509 1 132 17 1 2 11 135.5
14 1044400 1 132 18 1 2 14 130.5
15 1044966 1 133 18 1 1 13 126
16 1045377 1 133 19 2 1 13.5 140
17 1045601 1 132 18 1 1 13.5 137
18 1046535 1 133 19 2 2 11.5 127.5
19 1054244 2 133 20 2 1 15 140.5
20 1057820 2 133 20 2 1 14 130
….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
150 1294326 2 132 18 1 2 10.5 114
151 1297325 1 133 19 2 1 12 111.5
152 1298445 1 132 17 1 3 14 131
153 1299492 1 133 17 1 2 11 123
154 1299638 1 133 20 2 2 13.5 122
155 1302400 1 132 17 1 6 11 127
156 1303082 1 132 18 1 1 11 137.5
157 1304127 1 133 22 3 1 11.5 134
158 1307100 1 133 18 1 7 7 116
159 1308246 1 132 1 1 16.5 134
160 1308335 1 132 18 1 2 10.5 130.5


DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS

OBJETIVO:
Apresentar valores que uma variável assume nos dados
observados bem como a freqüência com que cada um ocorre.



SEXO
Freqüência Freqüência
Percentual
Masculino 108 67.50
Feminino 52 32.50
Sendo:
Freqüência: fi = freqüência do i-ésimo valor
Freqüência Percentual : pi = freqüência percentual do i-ésimo
valor ⇒


Idade do Candidato Duas informações adicionais:
Idade Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência
Percentual Acumulada Percentual Freqüência Acumulada:
Acumulada
Fi = freqüência acumulada até o i-
16 1 0.63 1 0.63
ésimo valor, ou seja, número de
17 35 22.01 36 22.64
observações até o i-ésimo valor ⇒
18 67 42.14 103 64.78
19 29 18.24 132 83.02
20 18 11.32 150 94.34
21 1 0.63 151 94.97 Freqüência Percentual Acumulada:
22 3 1.89 154 96.86 Pi= freqüência percentual
23 2 1.26 156 98.11 acumulada até o i-ésimo valor, ou
24 1 0.63 157 98.74 seja, percentual de observações até
26 1 0.63 158 99.37 o i-ésimo valor ⇒
29 1 0.63 159 100.00


Idade do Candidato
SEXO
Idade Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência
Percentual Acumulada Percentual Freqüência Freqüência
Acumulada
Percentual
16 1 0.63 1 0.63
17 35 22.01 36 22.64 Masculino 108 67.50
18 67 42.14 103 64.78 Feminino 52 32.50
19 29 18.24 132 83.02
20 18 11.32 150 94.34
21 1 0.63 151 94.97 OBSERVAÇÃO:
22 3 1.89 154 96.86 Nos casos de variáveis qualitativas
23 2 1.26 156 98.11 nominais a freqüência acumulada
24 1 0.63 157 98.74 e percentual acumulada não tem
26 1 0.63 158 99.37 sentido de interpretação.
29 1 0.63 159 100.00


Idade do Candidato PROBLEMA:
Idade Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência Variáveis quantitativas que assumem
Percentual Acumulada Percentual muitos valores, muitos deles com
Acumulada
baixas freqüências.
16 1 0.63 1 0.63
17 35 22.01 36 22.64 CONSEQUËNCIA:
18 67 42.14 103 64.78 Distribuição de freqüências se torna
19 29 18.24 132 83.02 grande sem uma maior contribuição
20 18 11.32 150 94.34 para a interpretação dos dados.
21 1 0.63 151 94.97
22 3 1.89 154 96.86 SOLUÇÃO:
23 2 1.26 156 98.11 Categorização da variável através do
24 1 0.63 157 98.74
estabelecimento de intervalos de
acordo com os objetivos do estudo.
26 1 0.63 158 99.37
29 1 0.63 159 100.00


Faixa Etária
Freqüência Freqüência Freqüência Freqüência
Percentual Acumulada Percentual
Acumulada
Até 18 anos 104 65.00 104 65.00
19 a 21 anos 48 30.00 152 95.00
22 a 24 anos 6 3.75 158 98.75
Acima de 24 2 1.25 160 100.00
anos

RECOMENDAÇÃO:
Os intervalos gerados pela categorização devem ter o mesmo
comprimento e/ou aproximadamente mesmas freqüências.


APRESENTAÇÃO DOS DADOS : REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Gráfico em Barras


Gráfico de Setores (Gráfico de “Pizza”)


Gráfico em Barras
Sexo

67.5 32.5

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Masculino Feminino


V8:PMat
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: 8.5
11
11
Stem-and-Leaf Display: V8 14.5
RAMO E FOLHAS Stem-and-leaf of V8 N = 160
7.5
10
Leaf Unit = 0,10 10
12
1 2 0 15
1 3 11
4 4 005 16
10.5
7 5 055 11
9 6 55 14
13
14 7 00055 13.5
20 8 055555 13.5
32 9 000055555555 11.5
15
51 10 0000000000005555555 14
77 11 00000000000000000055555555 …..
10.5
(18) 12 000000000000555555 12
65 13 00000000005555555555 14
45 14 0000000000000000555555 11
13.5
23 15 0000000000555555 11
7 16 05555 11
11.5
2 17 05 7
16.5
10.5


VARIÁVEIS QUANTITATIVAS:
Stem-and-leaf of V8 V4 = 132 Stem-and-leaf of V8 V4 = 133
RAMO N = 80 N = 80
Leaf Unit = 0,10 Leaf Unit = 0,10
E FOLHAS 1 2 0
1 3 2 4 05
2 4 0 4 5 05
3 5 5 6 6 55
3 6 10 7 0005
4 7 5 12 8 05
8 8 5555 15 9 005
17 9 005555555 28 10 0000000005555
23 10 000555 (13) 11 0000000005555
36 11 0000000005555 39 12 00005555
(10) 12 0000000055 31 13 0000055555
34 13 0000055555 21 14 0000000055
24 14 000000005555 11 15 000005555
12 15 0000055 2 16 5
5 16 0555 1 17 5
1 17 0


DOT PLOT


HISTOGRAMA


VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: ILUSÃO DOS GRÁFICOS


SUMARIZAÇÃO DOS DADOS

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS:
Apresenta os dados observados, o que pode também ser considerada
uma sumarização dos mesmos.
OBJETIVO:
Obter valores que possam representar cada uma das variáveis em
estudo. Esses valores devem ser representativos dos dados
observados.
TIPOS DE MEDIDAS:
Locação e dispersão dos dados.


MEDIDAS DE LOCAÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL

Medidas relacionadas à “posição” dos dados, ou ainda a
valores em torno dos quais os valores observados tendem a se
agrupar. As principais medidas de posição são:

MODA
MEDIANA
QUARTIS, DECIS, PERCENTIS.
MÉDIA



MODA:
Definição: Valor (Classe, intervalo..) que ocorre com maior
freqüência.
Vantagem: Pode ser obtida para qualquer tipo de variável,
porém, é mais apropriada para dados qualitativos nominais.



MEDIANA:
Definição: Valor que ocupa a posição central num conjunto de
dados ordenados, ou seja, valor para o qual 50% dos valores
observados são inferiores e 50% dos valores observados são
superiores a ele.
Condição: Para obtenção da mediana a variável em estudo deve
ser pelo menos qualitativa ordinal.



CÁLCULO DA MEDIANA:
Dados devem ser ordenados.
Mediana é o valor que está no
ÍMPAR centro da série, ou seja o valor
que ocupa a posição (n+1)/2

Número de Qualquer valor entre aqueles
Observações dois que estão no centro da
série, ou seja, qualquer valor
entre aqueles que ocupam as
PAR posições n/2 e (n/2)+1. Valor
usual: Média dos valores que
ocupam a posição (n/2) e
(n/2)+1.


CÁLCULO DA MEDIANA:
1 1 0.6 1 1 0.6
2 2 1.2 2 2 1.2
3 3 1.6 3 3 1.6
4 4 1.9 4 4 1.9
5 5 1.5 5 5 1.5
6 6 2.1 2.a) Se n for ímpar, a mediana é a 6 6 2.1
7 7 2.3 observação de ordem (n+1)/2 da 7 7 2.3
8 8 2.3 8 8 2.3
9 9 2.5
lista ordenada. 9 9 2.5
10 10 2.8 10 10 2.8
11 11 2.9 n = 25 11 11 2.9
12 12 3.3 12 3.3
(n+1)/2 = 26/2 = 13a Observação ordenada 13 3.4
13 3.4
14 1 3.6 Mediana = 3.4 14 1 3.6
15 2 3.7 15 2 3.7
16 3 3.8 16 3 3.8
17 4 3.9 2.b) Se n for par, a mediana é a 17 4 3.9
18 5 4.1 media das duas observações centrais. 18 5 4.1
19 6 4.2 19 6 4.2
20 7 4.5 n = 24 20 7 4.5
21 8 4.7 21 8 4.7
22 9 4.9 n/2 = 12a Observação ordenada 22 9 4.9
23 10 5.3 Mediana = (3.3+3.4) /2 = 3.35 23 10 5.3
24 11 5.6 24 11 5.6
25 12 6.1



QUARTIS, DECIS, PERCENTIS:

A mediana divide o conjunto de dados em duas partes.

QUARTIS: divide o conjunto de dados em QUATRO partes.

DECIS: divide o conjunto de dados em DEZ partes.

PERCENTIS: divide o conjunto de dados em CEM partes.



MEDIANA, QUARTIS, DECIS, PERCENTIS:

Percentil (50) = mediana ou segundo quartil (Md)

Percentil (25) = primeiro quartil (Q1)

Percentil (75) = terceiro quartil (Q3)

Percentil (10) = primeiro decil



MEDIA ARITIMÉTICA
DEFINIÇÃO: Quociente
da divisão por n da soma
x = 69 . 6
dos valores destas
observações.
INTERPRETAÇÃO: Pontos
de Equilíbrio ou “Centro
de Massa” da distribuição
da distribuição dos dados.
CONDIÇÃO:
Dados Quantitativos.


MEDIA ARITIMÉTICA

DEFINIÇÃO: Quociente da divisão por n da soma dos valores
destas observações.
Seja x1, x2, x3, .....xn os valores de uma variável observada na
amostra.


MEDIA ARITIMÉTICA : PROPRIEDADES
1. Se x1=x2=x3=......=xn= a então:

A média de uma constante é a própria constante.


2. Se a todo valor observado é adicionado uma constante “a”,
então:

Se adicionamos uma mesma constante a toda
observação, a média também fica adicionada deste
valor


3. Se a todo valor observado é multiplicado por uma constante
“a”, então

Se multiplicamos toda observação por uma mesma
constante, a média também fica multiplicada deste
valor


4. A soma dos desvios em torno da média é zero:

Conseqüência imediata do fato da média ser o
ponto de equilíbrio da distribuição.


MEDIA ARITIMÉTICA : OBSERVAÇÕES

1. Outros tipos de médias são conhecidos tais como: média
ponderada, média harmônica, média geométrica, média
aparada. Cada uma destas médias tem sua utilizada e
aplicações específicas e podem ser encontradas na grande
maioria de textos de Estatística Básica.


MEDIA ARITIMÉTICA : OBSERVAÇÕES
2. O impacto de outros fatores no cálculo de uma medida de
locação:
Aqui a forma da distribuição
da altura de plantas é
aparentemente irregular .
Por quê?

Temos neste conjunto de
dados mais do que uma
espécie de plantas ou
fenótipo?


Para estes dados uma medida resumo única não faz sentido .


COMPARANDO MEDIDAS DE LOCAÇÃO
Onde é possível obter cada medida:

Estatísticas de
MODA Média
de Ordem(*)
• Qualquer tipo • Variável no • Variáveis
de Variável mínimo em Quantitativas
escala ordinal

(*) Estatística de Ordem: Mediana, Quartis, Decis, Percentis


Uma forma de comparação:

DEFINIÇÃO:
DEFINIÇÃO:
Uma variável é dita ter comportamento (ou distribuição)
assimétrica quando os seus valores estão mais concentrados em
um dos seus extremos (valores altos ou baixos). As possíveis
situações de assimetria e simetria são derivadas do
comportamento dos valores da média, mediana e moda



Média e mediana de uma
distribuição simétrica
x = 3 .4
Doença X:
M = 3 .4

Média e mediana são iguais.

Distribuição assimétrica à direita

x = 3 .4
Doença X
M = 2 .5

A média é puxada em
direçào à assimetria.



O impacto da presença de valores atípicos (outliers):

DEFINIÇÃO: Entende-se por valores atípicos (ou
outliers) valores que se afastam do padrão geral da
distribuição de dados observada.




A média é puxada para a
direita pelos outliers. Ela
passa de 3.4 para 4.2.

Por outro lado, a mediana,
é alterada suavemente para
a direita pelos outliers
passando de 3.4 para 3.6.



Conclusão:

A MEDIANA é uma medida mais ROBUSTA do que a MÉDIA

DEFINIÇÃO:
Uma medida é dita ser ROBUSTA se o seu valor não é
impactado pela presença de valores atípicos no conjuntos
de dados observados.

QUESTÃO: Como identificar valores atípicos?


MEDIDAS DE DISPERSÃO

Na análise de uma variável de interesse em qualquer estudo, não é
suficiente para descrever de modo satisfatório, observar apenas uma
medida de posição. Podemos facilmente encontrar variáveis que
apresentam o mesmo valor para uma medida de locação (média, por
exemplo), porém com dados apresentando comportamentos
completamente diferentes. Esses diferentes comportamentos são
conseqüência de dados com diferentes graus de dispersão.


MEDIDAS DE DISPERSÃO

OBJETIVO:
Verificar o quanto os
valores observados estão
“dispersos”, ou ainda o
quanto “variam” os
dados.


MEDIDAS DE DISPERSÃO : ALGUMAS MEDIDAS

AMPLITUDE:
Definição: Diferença entre o maior e o menor valor
observado nos dados observados.

Notação:
Seja X(n) = maior valor observado para a variável na amostra;
Seja X(1) = menor valor observado para a variável na amostra;

Amplitude = A = X(n) – X(1)



AMPLITUDE:

OBSERVAÇÕES:
1. Medida sujeita a influencia da presença de valores extremos.
2. O aumento do número de observações na amostra não
produz qualquer mudança no valor dado pela amplitude.



DIFERENÇA DE QUARTIS:
QUARTIS:
Definição: Valor dado pela diferença entre os valores que
definem os 50% dos valores centrais observados.
Notação:
Seja Q(1) = 1º quartil dos dados observados (25% das observações na
amostra);
Seja Q(3) = 3º quartil dos dados observados (75% das observações na
amostra);
Logo Q(3) – Q1) contém 50% das observações e, consequentemente
Diferença de Quartis = DQ = Q(3) – Q(1)



DQ = Q(3) – Q(1)
= 4.35 – 2.2
= 2.15



VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO:
PADRÃO:
Definição: A VARIÂNCIA é uma medida de variabilidade dos
dados em torno da média, ou seja, ela quantifica a variabilidade
ou o espalhamento ao redor do valor médio.


VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO:
PADRÃO:



É natural procurar uma medida de dispersão que dependa dos
desvios de cada observação em relação à média (xi – ), e é
razoável considerar a soma de todos estes desvios. Quanto maior
forem os desvios, maior será a variabilidade presente nos dados.

Problema:
A soma dos desvios em torno da média é zero:


ALTERNATIVA:
Soma dos quadrados dos desvios em relação à média.
n
∑ (xi − x ) 2
i =1
i=
IMPORTANTE:
Considerar o nº de observações, pois quanto maior o nº de
observações maior será o valor deste somatório


Por que (n-1)?

1. Quando dividimos por n-1 temos que S2 é um estimador não
viciado, importante propriedade da inferência estatística:

1. Se a amostra é grande, os valores obtidos dividindo por n ou n-1
são praticamente iguais.



1. A variância de uma constante é zero, isto é, xi = a, para todo
i= 1, 2,..,n então S2=0.
2. Se multiplicarmos cada valor da variável por uma constante
a, a variância será a variância da variável original
multiplicada por a2, isto é:
Se y = a X então Var(y) = Var (a x)= a2 Var(x).



3. Se somarmos ou subtrairmos de cada valor da variável uma
constante a, a variância não se altera.
Seja y = X + a, então Var(y) = Var (x + a)= Var(x).



4. Se dividirmos cada valor da variável por uma constante a, a
variância será a variância da variável original dividida por a2.

Seja então Var(y) = Var ( )= Var(x).



A variância S2 tem como unidade de medida o quadrado
da escala original da variável em estudo.

Como relacionar a medida de variabilidade com a variável
na sua escala original??



Extrair a raiz quadrada da variância S2 dando origem ao
DESVIO PADRÃO S:



1. S mede a dispersão em torno da média e só deve ser
calculado quando a média é tomada como medida de
locação.
2. S ≥ 0. Logo, quanto maior a dispersão em torno da média,
maior o valor do desvio padrão, ou maior valor de S.



3. Além das medidas de dispersão aqui apresentadas, algumas
outras são encontradas na literatura, como por exemplo, as
medidas de achatamento (também ditas de curtose).


MEDIDA DE DISPERSÃO RELATIVA

1. Como comparar a variabilidade de variáveis observadas com
diferentes unidades de medidas??

Uso de medidas de dispersão (variabilidade) relativa:
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO



1. O coeficiente de variação (CV) é adimensional;
2. É uma medida para a homogeneidade do conjunto de
dados. Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto
de dados.



CV:
Baixo - (inferior a 0,10);
Médio - (de 0,10 a 0,25);
Alto - (0,25 a 0,35);
≥
Muito Alto - (≥0,35).


REPRESENTAÇÃO GRÁFICA CONJUNTA DE
MEDIDAS DE LOCAÇÃO E DE DISPERSÃO:

OBJETIVO:
OBJETIVO:

Estabelecer uma representação gráfica conjunta de medidas de
locação e dispersão através da qual seja possível verificar o
comportamento da variável em ambos os aspectos.



ESQUEMA 5 NÚMEROS:
NÚMEROS:

Proposta:
Proposta:
Identificar 5 valores dentre o conjunto de n observados que
possa dar condições de se ter uma idéia geral do
comportamento geral das observações.



ESQUEMA 5 NÚMEROS:
NÚMEROS:

TUKEY (1971):
1971)
Mediana
Valor Maximo (X(n)) e Valor Mínimo (X(1))
1º e 3º Quartis



ESQUEMA 5 NÚMEROS:
NÚMEROS:
OBSERVAÇÃO:
OBSERVAÇÃO:
Alguns outros autores e softwares propõem o uso de média e desvio
padrão no lugar de mediana e quartis. Tukey justifica o uso de
mediana e quartis dado que as mesmas são medidas de locação e
dispersão que não são influenciadas pela presença de valores
extremos no conjunto de dados.



DESENHO ESQUEMÁTICO – BOX PLOT

PROPOSTA:
PROPOSTA:

Representação gráfica do esquema de 5 números.



PROPOSTA:
PROPOSTA:

Representação gráfica do esquema de 5 números.



O Box – Plot é um procedimento que permite identificar em um
conjunto de dados:

Simetria
Dispersão
Valores Discrepantes



IMPORTANTE:

O Box–Plot, além das aplicações apresentadas, é um
procedimento extremamente importante na comparação de
diferentes grupos (tratamentos) que são observados e, por
exemplo, dentre os quais, deseja-se identificar aquele com
melhor desempenho.


OBSERVAÇÃO FINAL
A estratégia para a exploração dos dados de uma única
variável quantitativa deve ser muito clara:

1. Sempre represente seus dados graficamente: faça um gráfico,
usualmente um histograma ou diagrama de pontos ou boxplot.
2. Procure estabelecer um padrão geral (posição e dispersão) e os
desvios acentuados, tais como: valores atípicos.
3. Calcule um resumo numérico para descrever o centro e a dispersão.

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