1. PLANIFICACIONTECNICOPEDAGOGICO
1. DATOS REFERENCIALES.
dis
Unidad Educativa :
2. COMPETENCIAS E INDICADORES
COMPETENCIAS INDICADORES
Maneja adecuadamente los 1. Denota y clasifica adecuadamente a los
términos propios de la ángulos y por su relación con un par.
geometría plana mediante el 2. Identifica y aplica correctamente las
uso de guías de trabajopara la propiedades de los ángulos formados por
resolución de problemas dos paralelas y una secante.
aplicados en triángulos y 3. Denota y clasifica correctamente y de
temas posteriores. diferentes maneras a los triángulos
4. Expresa adecuadamente la hipótesis y la
tesis de los problemas geométricos.
5. Resuelve los problemas de manera lógica y
ordenada.
6. PROPÓSITO
Que el estudiante adquiera conocimientos y procedimientos relacionados con la geometría
plana, mediante el desarrollo de guías en trabajo individual y/o en parejas para la valoración
de la geometría y de los procesos de demostración, en su desarrollo intelectual.
7. CONTENIDOS
CONCEPTUALES PROCEDIMIENTOS ACTITUDINALES
Ángulo Determinación Participación activa en
Clasificación geométrica del Baricentro, clase y valoración de las
Triángulo. circuncentro, incentro y opiniones de sus
Elementos de un ortocentro. compañeros.
2. triángulo. Aplicación de los Valoración de la
Formas de clasificar criterios de congruencia: aplicación de la matemática
los triángulos según sus LLL, LAL, ALA. en la vida real.
ángulos y lados. Demostración de Hábito de orden en la
Baricentro teoremas relativos a ángulos resolución de problemas.
Circuncentro y triángulos. Resolución de
Ortocentro problemas de manera lógica
Incentro y justificada.
Congruencia.
Criterios de
congruencia: LLL, LAL,
ALA.
8. TRANSVERSAL: EQUIDAD DE GÉNERO
CONTEXTO DE
COMPETENCIA INDICADORES
RELEVANCIA SOCIAL
Propone alternativas para 6. Reflexiona sobre el Influencia del patriarcado
superar la discriminación impacto de la participación de en la vida de hombres y
de género que se las mujeres en los ámbitos mujeres.
presenta en los ámbitos social, político, científico y Análisis de sus
escolar y comunal. social. consecuencias en el hogar:
subordinación de la mujer,
7. Toma decisiones con distribución desigual de
autonomía y seguridad sin las tareas y
guiarse por estereotipos responsabilidades.
sexistas.
9. SECUENCIA DIDÁCTICA
MOMENTOS SITUACIÓN DIDÁCTICA RECURSOS TIEMPO EVALUACIÓN
Inicio Lectura de la poesía Lectura 4’
“Geometría” (Anexo 1). Tiza
Recuperación de Pizarra 7’ Lista de cotejo
conocimientos previos a través de (Anexo 14)
lluvia de ideas (Anexo 2)
Presentación del tema.
3. Desarrollo Exposición del docente sobre Papelografos 30’ Lista de cotejo
la definición de ángulo, de su Preguntas
clasificación y de su relación con elaboradas
un par, en la que presentará
algunas preguntas a los estudiantes
(Anexo 3).
Se repartirá una hoja de Actividad 4’
trabajo con la actividad “Buscando elaborada.
ángulos” (Anexo 4).
Los estudiantes trabajaran la 35’ Lista de cotejo
actividad de manera individual
Luego los trabajos se
intercambiaran con un compañero Trabajos 20’ Actividad
y se realizará la revisión del realizados completada
mismo (coevaluación). Se hará
énfasis en que se debe ser justo en
la evaluación, sin importar que sea
de un hombre o de una mujer, un
compañero/a que me simpatice o
no.
Exposición del docente sobre Papelografos 30’ Lista de cotejo
los ángulos formados entre dos
rectas paralelas y una secante,
además de sus características.
Durante la explicación se hará
algunas preguntas a los estudiantes
para confirmar si interpretan
correctamente las definiciones. Se
darán igualdad de oportunidades a
hombres y mujeres de participar en
las preguntas realizadas y se velara
que las participaciones se den en
un ambiente de respeto por el otro
(Anexo 5).
Se repartirá una hoja de Hoja de 3’
trabajo, “Rectas paralelas y rectas trabajo
secantes”.
27’’ Lista de cotejo
La actividad se la realizará de
manera individual y el docente
realizará las aclaraciones
necesarias y de manera oportuna.
25’’ Actividad
Para la evaluación de la Hoja de
realizada
4. actividad se pedirá que formen trabajo
grupos de cinco personas, deberán realizada
designar un coordinador y uno a
uno comparar y analizar los
resultados. Los grupos no podrán
ser exclusivamente de hombres o
de mujeres y se debe tomar en
cuenta que todos tenemos los
mismo derechos de equivocarnos y
de ser respetados.El objetivo de
esta coevaluación no es la
calificación sino la de
complementar y contrastar las
respuestas dadas. 20 min. Lista de cotejo
Exposición del docente de la Papelografos
definición, los elementos
primarios y secundarios de un
triángulo, de la clasificación por
los lados y los ángulos (Anexo 7).
Se repartirá la guía de trabajo 3’’
“Triángulos” (Anexo 8). Guía de
Los estudiantes podrán trabajo 25’’ Guía trabajada
trabajar la guía en parejas o tríos.
La guía será resuelta con el 7’’ Lista de cotejo
docente y la participación de los
estudiantes. Cabe aclarar que se
deberá recoger la guía trabajada
con los nombres de los integrantes
de cada grupo.
40’’ Lista de cotejo
En la pizarra el docente con Regla y
las técnicas descritas en el Anexo compás
9, determinara la altura, medianas,
bisectrices y mediatrices en un
triángulo acutángulo para
determinar los puntos notables. Se
recomendará una clase antes que
para esta actividad deben traer
material geométrico.
Posteriormente los 40’’ Dibujos
estudiantes deberán determinar los Regla y geométricos
mismos elementos en un triángulo compás realizados
rectángulo y en un obtusángulo.
50’ Guía trabajada
Se repartirá la guía de trabajo Guía Lista de cotejo
“construyendo triángulos”, la elaborada
5. cuallos estudiantes podrán
trabajarla en parejas por falta de
material geométrico (Anexo 10).
Se recordará que debemos ser
solidarios con todos nuestros
compañeros, hombres y mujeres. 30’ Lista de cotejo
El docente expondrá la Papelografos
definición y los criterios de
congruencia (Anexo 11).
40’ Guía trabajada
Se repartirá una guía de Guía de
trabajo sobre congruencia, que trabajo
deberán trabajarla de manera
individual. El docente realizará las
aclaraciones y sugerencias
necesarias para la resolución de la
guía (Anexo 12). 40’ Lista de cotejo
Para la revisión de la guía, Participación
uno a uno saldrán los estudiantes a Guía
resolverlos en la pizarra hasta resuelta
finalizar la clase mediante una
demostración directa y con
justificaciones. Se buscarán
diferentes maneras para demostrar
cada uno de los teoremas. La guía
se la deberá entregar antes de la
revisión. 55’
Se realizará la actividad Papeles de Trabajos
“DETERMINACIÓN DE LA colores acabados
RECTA DE EULER CON Tijeras
PAPIROFLEXIA”, de manera Colores
individual y se dará como trabajo Regla
las actividades mencionadas al
final (Anexo 13) 25’
Se repartirá una práctica de
congruencias con un conjunto de
ejercicios que el estudiante podrá
trabajar en su casa. Y en caso de
surgir dudas o ambigüedades, se
resolverán algunas de los
problemas en la clase
conjuntamente con el docente.
Se dirá a los estudiantes que la
siguiente clase rendirán una
prueba escrita
70’
En la prueba se
6. Se realizará las Prueba evaluará los
recomendaciones, observaciones y elaborada indicadores
sugerencias necesarias para que (1,2,3,4,5)
puedan rendir sin dificultades la además será
evaluación individual de esta heterogénea.
sesión (Anexo 15)
Finalización Metacognición. Participación 10’ Lista de cotejo
¿Qué he es lo que mejor he de los
aprendido del tema? ¿Qué fue lo estudiantes.
que más me gusto del tema
avanzado? ¿Qué fue en lo que
presente más dificultades?
10. ANEXOS
Anexo 1
GEOMETRÍA
Punto, recta y plano no definimos
y teoremas se definen
Con todos ellos construimos
Necesitamos hoy que se dinamicen
7. Punto con punto segmento se forma
Aunque infinitos puntos tiene
Y con exactitud le toma
La infinita recta que se obtiene
La recta distancia a pocas horas
La geometría no descuides
En el triángulo de Pitágoras
Y en las paralelas con Euclídes.
Aprender geometría todo un reto
Con ella aprendo construcciones
Aplico a Thales de Mileto
Me quedan muchas satisfacciones
Por su tamaño no lo puedo medir
Parece que se trata del punto
Aunque lo puede decidir
A otros les dejo ese asunto
Por dos puntos solo una recta
Desde un punto solo una perpendicular
Los pitagóricos formaran del mundo
un mundo ideal.
CONCEPTOS.
Punto. Es un elemento no definido. Un punto determina una posición en el espacio.
A Punto A
Rayo. Es cada una de las partes en que queda dividida una recta mediante un punto, el cual viene
a ser el origen del rayo.
Punto A
l A
Recta l
8. Semirrecta. Es el rayo considerado con su origen.
C Rayo
D
Segmento. Porción de recta limitada por dos puntos.
A B Segmento
AXIOMAS BÁSICOS DE LA GEOMETRIA
Axioma de identidad
Axioma de la adición
Axioma de la sustracción
Axioma de la multiplicación
Axioma de la división
Axioma de transitividad
Axioma de sustitución
Axioma del todo es la suma de sus partes
Actividades para los estudiantes
¿Para qué se utilizan los axiomas?¿En algebra como los llamamos a estos axiomas?
Anexo 3
ÁNGULOS
Un ángulo es la figura formada por dos
semirrectas o rayos que parten del B
mismo punto. Las semirrectas son
llamadas lados y el punto que tienen
en común es el vértice. Los ángulos α
pueden representarse de tres modos: A
C
una letra mayúscula en el vértice, una
letra griega o número en el interior; o
tres letras mayúsculas.
9. Ángulo agudo ángulo recto ángulo obtuso
0º< α < 90º α = 90º 90º < α < 180º
A A
A
α α α
B
C B B C
C
La medida de un ángulo se considera positiva si la abertura se recorre en sentido contrario a las
manecillas del reloj, y se considera negativa si la abertura se recorre en el mismo sentido a las
manecillas del reloj.
Por su relación con un par:
Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°.
α
β
Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°
Actividades para los estudiantes
Calcular el complemento de: 60º, 70º, 15º y 34º.
¿Cuál será el complemento de un ángulo recto?¿Tendrá complemento?
Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°.
Suplemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°
α β
Actividades para los estudiantes
Calcular el suplemento de: 40º, 110º, 170º y 55º.
10. ¿Cuál será el suplemento de un ángulo llano?¿Tendrá suplemento?
Ángulos consecutivos o contiguos: Son aquellos que tienen un lado común.
α
β
Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen un lado en común y el otro lado
sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios y
consecutivos.
α β
Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando
comparten el mismo origen y los lados de uno de ellos son las prolongaciones en sentido
contrario de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
β α
Anexo 4
BUSCANDO A LOS ÁNGULOS
Figura tras figura ve identificando a todos los ángulos que encuentres y anotando en la columna
de la derecha el número de ángulos que hallaste. Luego denota a cada uno de ellos a través de tres
puntos o escribe una letra griega en el interior o un número (ejm. θ, )y
escríbelo a continuación del número de ángulos encontrados.
# Total de ángulos Ángulos encontrados
Figura 1
B ……………………………
……... ……………………………
A C ……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
11. ……………………………
Figura 2 ……………………………
D
G ……... ……………………………
F ……………………………
……………………………
H I ……………………………
……………………………
……………………………
J
Figura 3
……... ……………………………
K ……………………………
M J ……………………………
N ……………………………
L ……………………………
……………………………
P ……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
Uno a uno identifica en las figuras a los ángulos suplementarios ……………………………
y opuestos por en vértice:
……………………………
Figura 2 Figura 3 ……………………………
Suplementarios………… Suplementarios………… ……………………………
………………………… ………………………… ……………………………
………………………… …………………………
………………………… …………………………
Opuestos por el vértice Opuestos por el vértice
………………………… …………………………
………………………… …………………………
………………………… …………………………
………………………… …………………………
………………………… …………………………
………………………… …………………………
………………………… ………………………… Anexo 5
………………………… POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
ÁNGULOS FORMADOS …………………………
………………………… …………………………
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman los siguientes ángulos:
………………………… …………………………
………………………… Son dos ángulos internos no adyacentes y situados a distintos lados
Ángulos alternos internos: …………………………
………………………… alternos internos son iguales.
de la secante.Los ángulos …………………………
………………………… …………………………
………………………… Son dos ángulos externos no adyacentes y situados a distinto lado de
Ángulos alternos externos: …………………………
……………………… alternos externos………………………
la secante.Los ángulos son iguales.
Ángulos conjugados internos: Son dos ángulos internos situados a un mismo lado de la
secante.Los ángulos conjugados internos son suplementarios.
12. Ángulos conjugados externos: Son dos ángulos externos situados a un mismo lado de la
secante.Los ángulos conjugados externos son suplementarios.
Ángulos correspondientes: Son dos ángulos no adyacentes, uno interno y el otro externo y
situados a un mismo lado de la secante.Los ángulos correspondientes son iguales.
Cuadro que se presentará a los estudiantes
l3
1 2 l1
3 4
5 6 l2
7 8
Los ángulos: 3 y 6, 4 y 5 son alternos internos
1 y 8, 2 y 7 son alternos externos
3 y 5, 4 y 6 son conjugados internos
1 y 7, 2 y 8 son conjugados externos
1 y 5, 2 y 6, 3 y 7, 4 y 8 son correspondientes.
Anexo 6
RECTAS PARALELAS Y RECTAS SECANTES
En las siguientes figuras identifica y nombra a las rectas paralelas y a las rectas secantes.
También debes identificar a los ángulos alternos internos, alternos externos, conjugados internos,
conjugados externos y correspondientes que las rectas paralelas determinan. Escribe los ángulos
en los cuadros a la derecha de cada figura.
………………………………………
Figura 1 ………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………
13. Figura 2 …………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
¿En que casos no es conveniente nombrar al ángulo solo por…………………………………………
la letra del vértice?¿Porque?
..
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………… 7 Anexo
………………………………………………………………………………………………………
TRIÁNGULOS
………………………………………………………………………………………………………
Definición de Triángulo: Porción cerrada del plano limitada por tres segmentos.
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………..
Elementos:Papelografo
γ A
A, B, C : Vértices α
a, b, c : lados
c b
α, β, θ : ángulos internos
λ β θ µ
B a C
14. γ,µ,λ : ángulo exterior
Elementos secundarios:
Altura: Segmento que parte de un vértice hasta el lado opuesto perpendicularmente.
Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Bisectriz: Segmento que biseca un ángulo interior y une su vértice con el lado opuesto.
Mediatriz:Recta perpendicular de un ladoy quepasa por su punto medio.
Clasificación
Según sus ángulos: Acutángulo, que tiene todos los ángulos interiores agudos.
Rectángulo, que tiene un ángulo recto (α = 90º)
Obtusángulo, que tiene un ángulo obtuso (α > 90º)
Según sus lados: Equilátero, que tiene los tres lados iguales.
Isósceles, que tiene dos lados iguales.
Escaleno, que tiene los tres lados diferentes.
Papelografo
Anexo 8
TRIÁNGULOS
ACTIVIDAD I
I. Responde a cada una de las siguientes preguntas.
1. Cuantos planos se forman con un punto, dos puntos y tres puntos.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
2. ¿Por qué una silla de cuatro patas cojea y una de tres patas nunca?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………….
15. 3. Que diferencias encuentras entre un triángulo y las demás figuras geométricas
estudiadas hasta el momento.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
ACTIVIDAD II
…………………………………………….
I. Con al ayuda de una regla y un transportador dibuja con diferentes colores en cada
una de los espacios correspondientes los triángulos que se mencionan, si alguno fuese
imposible de dibujar, entonces debes justificar el porque no se puede trazar un
triángulo condichas características en el mismo espacio del dibujo.
Triángulo isósceles rectángulo Triángulo equilátero acutángulo
Será verdad que no existe un triángulo que
pueda ser clasificado de una sola forma?
Triángulo escaleno obtusángulo Triángulo isósceles obtusángulo
Triángulo escaleno acutángulo Triángulo equilátero rectángulo
16. Triángulo equilátero obtusángulo
Triángulo isósceles acutángulo
ACTIVIDAD III
Encierra en un circulo y responde con F (falso) o V (verdadero) las siguientes
afirmaciones:
1. Todos los triángulos equiláteros son acutángulos F V
2. Algunos triángulos rectángulos son escalenos F V
3. Todos los triángulos isósceles son obtusángulos F V
4. Algunos triángulos obtusángulos son isósceles F V
5. Algunos triángulos equiláteros son rectángulos F V
Anexo 9
SOLO CON REGLA Y COMPÁS
Determinación de rectasy puntos notables.
1. Para determinar cada uno de ellos será necesario saber determinar a cada una de las
rectas notables en un segmento y punto exterior dados.
Se utilizara las siguientes técnicas para la determinación de:
Mediatriz y punto medio de un segmento dado un punto exterior:
Luego de trazar un segmento se
pondrá punto fijo del compas en un
de los extremos del segmento y se
le dará una amplitud tal que el
extremo con lápiz este más halla de
la mitad y se trazaran con arcos,
uno arriba del segmento (parte
media y el otro por debajo) desde
ambos extremos del segmento, tal
17. Altura a un segmento de un punto exterior dado
Para la altura se hace una
modificación a la técnica anterior.
Con el compas se abrirá una
amplitud igual a la distancia de los
extremos del segmento al punto
dado y con esa medida se realizaran
trazos por el punto dado y por
debajo del segmento. Al unir estas
dos intersecciones obtendremos una
recta perpendicular al segmento por
el punto dado.
Para la determinación de la bisectriz de un ángulo dado:
Desde el vértice del ángulo se
trazarán dos arcos en ambos lados
del ángulo con la misma amplitud
del compas. Luego se trasladará al
punto de intersección creado con los
arcos trazados y los lados del ángulo,
desde ahí se realizarán dos nuevos
arcos en el interior del ángulo, de
manera que la intersección de estos
con el vértice del ángulo
determinaran la recta que biseca al
ángulo.
18. Actividades para los estudiantes
Luego de indicar los procedimientos a los estudiantes se dará como trabajo práctico la
determinación del baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro de un triángulo
rectángulo y otro obtusángulo.
También los estudiantes deberán investigar que propiedades o características tienen estos
puntos en cada uno de los triángulos mencionados.
Anexo 10
CONSTRUYENDO TRIÁNGULOS
Para está actividad necesitarás de material geométrico compuesto mínimamente por escuadras
trasportador y compás.
Con los siguientes datos construye triángulos con los elementos establecidos en el mismo
orden.
En las instrucciones cuando
es en “cm” hace referencia a
la longitud del lado del
triángulo. Y cuando esta
“grados º ”, esta se refiere a
la amplitud del ángulo.
19. Un triángulo de lados 3,4 y 5 cm.
Un triángulo de lados 2, 4 y 6 cm.
Un triángulo de lados 3, 5 y 8 cm.
Un triángulo de 3cm, 60º y 5cm.
Un triángulo de 4cm, 35º y 2cm.
Un triángulo de 1cm, 120º y 5cm.
Un triángulo de 45º, 3cm y 45º. Cada triángulo debe tener
sus elementos en el mismo
Un triángulo de 70º, 4cm y 15º. orden que cada instrucción
Un triángulo de 25º, 5cm y 60º.
Arbitrariamente con el mismo orden de los elementos variando su magnitud, forma tus
propias órdenes de manera que puedas crear con los mismos datos al menos dos
triángulos diferentes.
Con cada una ordenes, ¿Cuántos triángulos formaste? ¿será posible construir dos
triángulos diferentes con una misma orden?
Con una misma orden cualquiera, dibuja dos triángulos con diferente rotación. Mide los
demás elementos del triángulo. ¿Cómo son estos elementos?
Anexo 11
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Definición de Congruencia: Un triángulo es congruente con otro si y solo si tienen la misma
forma y sus elementos las mismas dimensiones.
Criterios de Congruencia:
Papelografo
LLL: Dos triángulos son congruentes si y sólo si tienen sus tres lados
respectivamente iguales.
LAL: Dos triángulos son congruentes si y sólo si tienen dos lados y el
ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.
ALA: Dos triángulos son congruentes si y sólo si tiene un lado y los
dos ángulos adyacentes a él respectivamente iguales.
20. Dos triángulos son congruentes si tienen todos sus elementos homólogos respectivos de igual
medida, es decir:
Papelografo
B B’
β β
’
α γ A α γ’
A C C’
’ ’
V
ABC A’B’C’ α = α’ y
β = β’
γ = γ’
Anexo 11
GUIA DE TRABAJO
ACTIVIDAD 1
Demostrar los siguientes teoremas
1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
3. Un ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no
adyacentes a él.
4. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera es 360º.
5. En un triángulo isósceles sus ángulos de las base son iguales.
21. 6. La suma de los ángulos internos de cualquier cuadrilátero es 360º.
ACTIVIDAD 2
No olvides que los teoremas que demostraste
anteriormente te pueden ayudar ahora a
resolver los siguientes problemas
Resuelve los siguientes problemas,
1. El triángulo ABC es equilátero, los ángulos 1, 2 y 3 son iguales. Demostrar que los
triángulos I, II y III son congruentes.
B
II
3
2
III
A C
1
I
2. Los segmentos AB y AC son iguales, F es el punto medio de BC y los ángulos 1, 2 son
iguales. Demostrar que los segmentos FD y EF son iguales.
A
D E
1 2
B F C
Anexo 12
DETERMINACIÓN DE LA RECTA DE EULER
CON PAPIROFLEXIA
Materiales: Papeles de colores
Tijeras
Colores
Regla
22. Procedimiento: Primero se deberá recortar un triángulo específico, luego uno a uno determinar
los puntos notables a través de las intersecciones de las rectas notables y finalmente unir los
puntos obtenidos para obtener la recta de Euler.
Paso 1: Hallar el circuncentro. Para ello unimos los vértices A y B, doblando y
demarcando una recta que resulta ser la mediatriz del segmento . De la misma manera se
obtiene la mediatriz de los tres lados del triángulo y la intersección es el circuncentro.
A B
Paso 2: Hallar el ortocentro. De manera similar al anterior paso se une el vértice A, con
otro punto D del segmento , tal que la recta formada por el dobles contenga al vértice C, la
recta obtenida es la altura trazada desde el vértice C. De la misma manera se obtienen las otras
alturas y la intersección es el ortocentro.
C
A D B
Paso 3:Hallar el baricentro. Del paso uno, ya obtuvimos los puntos medios de los lados
del triángulo; por lo que para determinar las medianas solo es necesario realizar un dobles tal que
una con una recta el punto medio de la mediatriz del paso uno con el vértice opuesto. De la
misma manera se obtienen las otras medianas y la intersección es el baricentro.
A B
23. Actividades para los estudiantes
En cada uno de los pasos los estudiantes deberán marcar con trazos suaves y colores para
diferenciar las alturas, mediatrices y medianas. Y marcar con trazos fuertes y un color
diferente el segmento (recta de Euler), que se forma al unir los puntos notables obtenidos.
Los estudiantes deben comprobar que efectivamente estos puntos notables son colineales.
También deben verificar que la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la
distancia del baricentro al circuncentro.
Deberán realizar está misma actividad en un triángulo equilátero y rectángulo. Y también
justificarán porque no se puede aplicar este procedimiento en un triángulo obtusángulo.
Anexo 13
PRÁCTICA DE CONGRUENCIA
Interpreta cada uno de los problemas y plantéalo en un grafico antes de iniciar la resolución de
cada uno. Durante la resolución puedes utilizar todos los teoremas que ya demostraste.
1.- Si en un triángulo ABC, BM es la mediana del lado AC, demostrar que los vértices A y C,
equidistan de la mediana BM.
2.- En el triángulo ABC, M y N son puntos medios de AC y BC respectivamente. Si en la
prolongación de MN se toma NP = MN y se une con P con B, demostrar que:
24. 3.- Las rectas a y b son paralelas; AB es un segmento comprendido entre a y b; si los segmentos
marcados del mismo modo son iguales. Calcular el ángulos α.
A a
α
b
B
4.- El triángulo ABC es equilátero. Si AM = BN = CP, demostrar que el triángulo MNP es
también equilátero. C
P
N
A B
M
5.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en A se traza la altura AD. La bisectriz del ángulo
interior B, corta a la altura en E, a CA en F, corta a la paralela trazada por A, a BC, en G. Hallar
FG si BE = 2m.
6.- Demostrar que en todo triángulo isósceles, si desde un punto situado sobre su base se trazan
perpendiculares a los lados iguales, se cumple que la suma de estas es igual a cualquiera de las
alturas relativas a los lados iguales.
7.- Demostrar que en todo triángulo equilátero, si desde un punto interior se trazan
perpendiculares a sus tres lados, se cumple que la suma que la suma de esas perpendiculares es
igual a la altura del triángulo.
Anexo 13
LISTA DE COTEJO
S: satisfactorio
NS: No satisfactorio
Orden lógico en
Nombraelementos
opinión de sus
correctamente
Interpretación
forma adecuada
hipótesis y la
Participación
la resolución
geométricos de
compañeros
Identifica la
Respeta la
Nombres y
Expresión
coherente
Justifica
tesis
Apellidos
S NS S NS S NS S NS S NS S NS S NS S NS
25. Anexo 14
EVALUACIÓN INDIVIDUAL
Nombre y apellidos:………………………………………
Curso:…………………..
1. Anota la letra del enunciadoen el espacio entre paréntesis de la palabra de la izquierda con
la que tenga mayor relación (10 pts).
a) Tiene dos lados iguales ( ) Ángulo exterior
b) Son iguales ( ) Incentro
c) Es un elemento no definido ( ) Triángulo
d) Tiene tres vértices ( ) Rectas paralelas
e) Es el centro de gravedad ( ) Triángulo isósceles
26. f) Equidista de los lados ( ) Ángulos correspondientes
g) Equidista de los extremos ( ) Punto
h) Se mide en grados sexagesimales ( ) Baricentro
i) No se intersecan ( ) Punto medio
j) Es suplemento del ángulo interior ( ) Ángulo
2. Demuestra que en todo triángulo isósceles las medianas correspondientes a los lados
iguales son iguales (10pts). Primero debes denotar los elementos que necesites
y luego expresar la hipótesis y la tesis.
3. De los teoremas vistos en clase, elige dos, enúncialos correctamente y demuéstralos
(30 pts).
4. Realiza un esquema de los contenidos vistos en la unidad (10pts).
No olvides escribir tu nombre en
todas las hojas que vayas a utilizar
