M01 cedillo 5480_1ed_069086

Bloque 1
Uso del código algebraico para
expresar las reglas que gobiernan
los patrones numéricos

E ste bloque de actividades tiene dos propósitos: (1) presentarte
una propuesta alternativa para el estudio del álgebra, con el
fin de refrescar los conocimientos matemáticos adquiridos duran-
te el bachillerato, y (2) someter a tu análisis una propuesta didác-
tica en la que se aplican las ventajas de un procesador algebraico
que facilite el aprendizaje del álgebra como un lenguaje para
expresar y justificar generalizaciones sobre el comportamiento
de patrones numéricos.
Las actividades de este bloque y todos los que conforman
el libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico
desarrollado por el psicólogo Jerome Bruner, el cual consiste en
el establecimiento de un formato de comunicación entre el que
enseña y el que va a aprender. Este formato, aparentemente
rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmen-
te nuevos elementos del código de comunicación (en nuestro
caso, del código algebraico). La presentación de las actividades
parece repetitiva, pero no lo es, ya que siempre hay algún nue-
vo elemento matemático en cada hoja de trabajo, ya sea del
tipo de valores numéricos que se emplean, o de algún nuevo
elemento en la estructura algebraica. Por ejemplo, se transita de
las funciones de la forma f(x) = x + a, f(x) = ax y f(x) = ax + b,
a las inversas de esas funciones, o bien, del ámbito de las fun-
ciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita; in-
clusive, del ámbito de la producción de expresiones algebraicas
para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un
patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones.
Te invitamos a que analices estas actividades bajo la perspec-
tiva del tipo de aprendizaje matemático que pueden desarrollar
los alumnos de educación básica. Nuestra mayor expectativa
es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas
un bloque de actividades, con lo que desarrollarás compe-
tencias que en un futuro cercano pondrás en práctica como
docente de educación básica.

69

70 Desarrollo del pensamiento algebraico

Hoja de trabajo 1

Patrones numéricos: Valores de entrada y salida
Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la
siguiente tabla.

Valor de entrada Valor de salida
1 5
2 6
3 7
4 8
5 9

Si el valor de entrada es 1, el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesi-
vamente

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si escribes 6 como valor de entrada?

¿Si escribes 10 ? ¿Y si el valor de entrada fuera 0?

Explica qué operación hiciste para obtener esos resultados.

2. Construye en tu calculadora una expresión algebraica que produzca los mismos resultados.
Escribe tu expresión en el siguiente recuadro.

3. Usa tu programa para encontrar los números que faltan en la siguiente tabla.

Valor
17 35.02 89.73 107.06 299.1 307.09
de entrada
Valor
511 613.03
de salida

4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03.

5. Comprueba que el valor que obtuviste para 511 es el correcto y explica tu procedimiento.

Bloque 1 • Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos 71

Hoja de trabajo 2

Valores proporcionales (1)
Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce
la siguiente tabla.

7 14
8 16
9 18
15 30
18 32

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? ¿Si es 25?
¿Y si fuera 17?

Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados.

2. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el siguiente
recuadro.

3. Utiliza tu programa para encontrar los valores que faltan en la siguiente tabla.

Valor
25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79
de entrada
Valor
551 653.38
de salida

4. Indica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada 551 y 653.38.

5. Comprueba que el valor de entrada para 653.38 es correcto y explica cómo lo obtuviste.


Hoja de trabajo 3

Valores proporcionales (2)
1. Completa la siguiente tabla.

2.5 7.5
3.1 9.3
4 12
5.3 30
6.2
47.4
73

2. Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan.

3. Programa tu calculadora para encontrar los valores de salida y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

4. Comprueba que tu programa obtenga los mismos valores de la tabla.

5. Completa la siguiente tabla usando tu programa.

Valor
9 17 18.04 47.01 50.4 63.9
de entrada
Valor
89.1 92.4
de salida

6. Explica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada asociados a
89.1 y 92.4.

7. Comprueba que el valor de entrada para 92.4 es correcto y explica cómo lo obtuviste.


Hoja de trabajo 4

Reglas de dos pasos (1)

Un estudiante creó un programa que produjo la siguiente tabla.

1.1 3.2
2.6 6.2
3 7
4.3 9.6
5 11

1. ¿Qué valor de salida dará la calculadora si el valor de entrada es 50? ¿Si es 81?
¿Y si fuera 274?

2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos resultados.

3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla, luego escribe tu programa en el si-
guiente recuadro.

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor
12 16 19.05 48.02 51.45 62.7
de entrada
Valor
88.2 95.4
de salida

5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de
salida correcto ¿Estás de acuerdo?
Explica tu razonamiento.
6. Explica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que
obtuviste para 95.4 es el correcto.


Hoja de trabajo 5


Un estudiante construyó un programa que presenta los valores de la siguiente
tabla.

1 1
2 3
3 5
4 7
5 9

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6?
¿Si es 7? ¿Si es 15?

2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores.

3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que el estudiante. Escribe tu programa en el
siguiente recuadro.

4. Escribe detalladamente cómo compruebas que tu programa produce los mismos valores de salida que se
muestran en la tabla.


Valor
10 11 15 27 259.14
de entrada
Valor
25 137
de salida

6. Comprueba que el valor de entrada para 137 es correcto y explica cómo lo obtuviste.


Hoja de trabajo 6

Patrones con valores negativos (1)

1. Completa la siguiente tabla.

Valor
–10 –9.7 –7.8 –6.2 –5.3 – 4.6 – 0.7 0 1.3 12.4
de entrada
Valor
–9.5 –9.2 –7.3 –5.7
de salida

2. Programa tu calculadora para que complete la tabla, luego escribe el programa en el siguiente recuadro.


Valor
–20 –14.7 –13.8 –12.3 –9.6 2.5
de entrada
Valor
–10.3 0
de salida

4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para –10.3 y 0 son correctos.
¿Obtuviste los mismos resultados? Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.


Hoja de trabajo 7

Patrones con valores negativos (2)

1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla.

–15 –16.5
–14.5 –16
–12.4 –13.9
–10.2 –11.7
–5.8
–4.6
–0.9
0

2. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla. Ofrece un
ejemplo usando uno de los valores de entrada.

3. Programa tu calculadora para reproducir los valores de la tabla.

4. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. Asegúrate de que permita encontrar los mismos valores que
se muestran en la tabla.


Valor
–20 –13.8 –10.83 –.05
de entrada
Valor
–17.3 –11.9 –9.72 10
de salida

6. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuviste para –9.72 es
correcto.


Hoja de trabajo 8

Constante de proporcionalidad fraccionaria (1)

Un grupo de estudiantes construyó la siguiente tabla usando un programa.

10.5 5.25
14.42 7.21
15.3 7.65
16.7 8.35
20.1 10.05

1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? ¿Si es 19.3?
¿Si es 56? ¿Y si fuera 177?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla y escribe tu programa en el siguiente
recuadro.

4. Comprueba que tu programa obtiene los mismos valores de la tabla y explica cómo lo hiciste.


Hoja de trabajo 9


Un estudiante produjo la siguiente tabla usando un programa en su calcu-
ladora.

6 9
8 12
14 21
15 22.5
18 27

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 10?
¿Si es 13.4? ¿Y si fuera 15.6?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

3. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos valores de la tabla y escribe en el siguiente
recuadro el programa correspondiente.


Valor
20 35 44 72
de entrada
Valor
33 57 75 123
de salida

5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto.


Hoja de trabajo 10


1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en los espacios
correspondientes.

4 4.04
6 6.06
9 9.09
10 10.1
12 12.12
15.5
17.8
19.2
20.4
50.2

2. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que todos tus compañeros lo entiendan.

3. Programa tu calculadora para obtener los valores de la tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.

Comprueba que tu programa produce los mismos números de la tabla. De lo contrario, modifícalo e in-
tenta de nuevo.

Valor
1 3.1 9 32
de entrada
Valor
2.222 4.343 12.12 38.784
de salida

5. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.


Hoja de trabajo 11

Lectura de expresiones algebraicas (1)

1. Sin usar la calculadora, encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y
escríbelos en la columna correspondiente.

3
9
11.5
12
15
18

Un estudiante dice que va a usar el programa 2 + 2 × b para completar la tabla anterior.
2. Introduce el programa 2 + 2 × b en tu calculadora y comprueba que coincidan tus respuestas. De lo contrario,
corrígelas y explica a qué se debió el error.

3. Con el programa 3 + 5 × a completa, sin usar la calculadora, la siguiente tabla.

Valor
2 4 5 8 12 20
de entrada
Valor
53 78
de salida

4. Introduce el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas.
¿Coincidieron con los resultados de la calculadora?
Si no fue así, ¿a qué crees que se deba?

5. Escribe en tu calculadora el programa (3 + 5) × a y completa la siguiente tabla.

Valor
2 4 5 8 12 20
de entrada
Valor
53 78
de salida

6. Compara tus resultados con los de la tabla anterior. ¿A qué crees que se deban las diferencias?

Explícalo con un ejemplo.


Hoja de trabajo 12

Lectura de expresiones algebraicas (2)

La siguiente tabla se produjo con un programa de la calculadora.

7 23
9 29
10 32
12 38
16 50

1. Un estudiante dice que el programa 2 + 3 × b le permite producir los valores de la tabla anterior. ¿Estás
de acuerdo?
Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta.

2. Otra estudiante dice que el programa 2 + b + b × 2 también produce los valores de la tabla.
¿Estás de acuerdo?
Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta.

3. Una tercera estudiante dice que el programa 5 × a + 2 - 2 × a también produce los valores de la tabla.
¿Estás de acuerdo?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

4. Escribe otros programas que permitan obtener los valores de la tabla. Anota todos los que encuentres.


Hoja de trabajo 13


Una estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla.

7 20
7.5 21.5
8.2 23.6
9 26
9.6 27.8

1. Si el valor de entrada es 10, ¿cuál será el de salida?

Si el valor de entrada es 12, ¿cuál será el de salida?

2. La calculadora dio 17.5 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada?

Explica detalladamente qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5.

3. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla anterior. Escribe el programa en el siguiente
recuadro.


Valor
3 5.1 9.4 22
de entrada
Valor
17 15.2 32.6 80
de salida


Hoja de trabajo 14


Una estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes
valores.

10 2.5
15 3.75
20 5
25 6.25
30 7.5


2. Si la calculadora da 87 como valor de salida, ¿cuál será el de entrada?

3. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87.

4. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.


Valor
3 5.1 9.4 22
de entrada
Valor
1 1.65 2.7 8.75
de salida


Hoja de trabajo 15


Un estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes
valores.

2 5
3 7.5
4 10
5 12.5

2. ¿Y si el valor de entrada fuera 7, cuál valor nos daría?
¿Y si fuera 55?
3. La calculadora dio 35 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada?
4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35.



Valor
3 5.1 9.4 12.2
de entrada
Valor
8.5 15.5 23.5 35
de salida


Hoja de trabajo 16


Esta tabla resultó de utilizar un programa que se hizo en una calculadora.

0.15 0.015
0.27 0.027
0.3 0.03
1.5 0.15
2.03 0.203

1. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor dará de salida?
2. Si la calculadora da 37 como valor de salida, ¿cuál debe ser el valor de entrada?
3. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37.

4. Comprueba que el valor asociado a 37 es el correcto y explícalo detalladamente.



Valor
3 5.1 9.4 12.2
de entrada
Valor
0.4 0.63 1.18 35
de salida


Actividades sugeridas para el futuro docente

1. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, explica el papel que desempeñan
las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro tipo de recurso? Analiza
ampliamente tu respuesta con tus compañeros.
2. Del mismo modo, explica el rol de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sus-
tituirse con otro recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros.
3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de
las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las activi-
dades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros.
4. También se afirma que “se transita de las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b, a
las inversas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para
esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros.
5. Hay otra aseveración, según la cual “se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas
para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas
expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esta afirmación.
Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
6. En la presentación de este bloque se mencionan las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) =
ax + b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet las definiciones de los siguientes conceptos:
2) Dominio de una función.
3) Contradominio de una función.
4) Imagen de una función.
5) Regla de correspondencia de una función.

Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que hayas realizado en este bloque.

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